Ruutvõrrand (6)

Ruutvõrrandi abil lahenduvaid ülesandeid
Ülesannete lahendused pärinevad õpikust “ Matemaatika IX klassile”( koost . Tõnu Tõnso ,Tln., 1998), lk-74-78 (ül.269-391) ja kogumikust “Matemaatika kirjaliku eksami ülesanded IX klassile”* (koost. Enn Nurk ja Valvo Paat , Tln., 1996).
* ülesanded tähistatud E-tähega.
Paljude tekstülesannete lahendamisel jõuame ruutvõrrandini, millel on tavaliselt 2 lahendit. Olenevalt ülesande sisust võib aga ülesande vastuseks sobida ainult üks lahend . Tekstülesannete puhul tuleb võrrandi lahendeid kontrollida ülesande teksti, mitte koostatud võrrandi järgi. Tekstülesande lahendamine võrrandi abil koosneb kolmest etapist:

võrrandi koostamine teksti järgi;

koostatud võrrandi lahendamine;

võrrandi lahendite kontroll teksti järgi, lõplik lahendite leidmine ja vastuse kirjutamine.
Mõningaid näpunäiteid võrrandi koostamiseks .
Põhinõue - loe teksti ülima tähelepanuga, sest tekstis on kogu ülesande sisu. Nii, et lahenduse võti on õige arusaamine tekstist – ainult nii saab koostada õige võrrandi. Mõnikord võivad tekstid olla vägagi keerukad , aga eksamiülesandeks ei anta kindlasti rasket tekstülesannet, vaid mõni keskmise raskusastmega.
Mõningaid tüüpilisi seoseid võrrandi koostamiseks.
Olgu otsitav arv
iga näite puhul.

Leia -st 2 võrra suurem arv:

Leia 3 võrra väiksem arv kui :

Leia 2 korda suurem arv kui :

Leia -st 3 korda väiksem arv:
5. Leia arv, mis moodustab (on) -st :
6. Leia arv, mis on -st 25%: või
7. Leia arv, mis on -st 30% suurem:
8. Leia arv, mis on -st 40% väiksem:
9. Leia 3 järjestikust täisarvu: NB! I arv on , II arv on , III arv on
Vastus: arvud on ; ;
10. Leia 3 järjestikust paarisarvu: ; ;
11. Leia 3 järjestikust arvu, mis jaguvad 7-ga: ; ;
Loomulikult on need kõige lihtsamad seosed, aga põhiliselt neid kasutades saamegi võrrandid.
NB! Neid põhiseoseid kasutatakse kõikide võrrandite koostamisel, mitte ainult ruutvõrrandite puhul.
269 Olgu arv , siis tema ruut on
Lahendus:
= - (1)
= -0,5
= -0,5
= -6 või = 5
Kontroll: 1) Kui
= -6, siis -6 + (-6)² = -6 + 36 =30 lahend = -6 rahuldab ülesande tingimusi
2) Kui
= 5, siis 5 + 5² = 5 + 25 = 30
ka lahend
= 5 rahuldab ülesande tingimusi (lühidalt võib öelda ka, et
= 5 sobib)
Vastus: see arv on –6 või 5
NB! Valem (1) - antud juhul taandatud ruutvõrrandi lahendivalem kirjuta eksamiülesannet lahendades igal juhul üldkujul (1) välja. Kui võrrand on õigesti koostatud, lahendatud ja lahendid analüüsitud ja kontrollitud, selle eest küll lisapunkte ei saa, aga kui võrrandi lahendamisel (või rakendamisel) on vigu, siis saad vähemalt 1 punkti lahendi valemi tundmise eest! Eksamil käib võitlus iga punkti eest! NB! Mina jätan edaspidi ruumi kokkuhoiu mõttes valemi (1) kirjutamata.
270 Olgu I naturaalarv , siis II on . Saame võrrandi
Lahendus:
= 0,515,5
= -16 või = 15
Kuna tegemist on naturaalarvudega, siis = -16 ei sobi,
= 15
Kontroll: I arv on 15,
II arv on 15+1 =16
15
16 = 240
Vastus: need arvud on 15 ja 16
271 Olgu I arv, siis teine on
Lahendus:
= -0,5= -0,5
= -8 või
=7
Kontroll: 1) kui
= -8, siis II arv on -7
(-8)² + (-7)² = 64 + 49 =113
= -8 sobib
2) kui I arv on 7, siis II arv on 7+1=8 ja
7² + 8² = 49 + 64 = 113
ka =7 sobib
Vastus: need arvud on -8 ja -7 või 7 ja 8
272 Olgu I arv , siis II on
ja III on . Saame võrrandi
Lahendus:
= -1= -1 = -1
= -11 või = 9
= -11 ei sobi,
= 9
II arv on
= 9 +1 = 10 ja
III arv on
= 9 +2 = 11
Kontroll: 9² + 10² + 11²= 81 +100 +121 = 302
Vastus: need järjestikused naturaalarvud on 9, 10 ja 11
273 Olgu I arv x, siis II on x +1 ja III on x +2. Saame võrrandi (x +1)² = x(x +2) +1
Lahendus: x² +2x +1 = x² +2x +1
0 = 0 samasus: lahendiks sobib iga täisarv
Kontroll: 1) olgu I arv x = -4, II on siis -3 ja III on -2
(-3)² = -4(-2) +1
9 = 8 +1
2) olgu x = 5, siis II arv on x +1 = 6 ja III arv on 7 6² = 57 +1
36 = 36
Vastus: mistahes 3 üksteisele järgnevat täisarvu
274 I lahendus. Olgu üks arv x, II on siis x +6 ja
Lahendus: x(x +6) = 247
x² +6x -247 = 0
x = -3 = -3 = -3 16
x= -19 või x= 13
Kontroll: 1) kui x= -19, II arv on x +6 = -19 +6 = -13
-13 –(-19) = -13 +19 = 6 ja -19(-13) = 247
x= -19 sobib
2) kui x= 13, siis II arv on x +6 = 13 +6 = 19
19 -13 = 6 ja 13
19 = 247
Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19
274 II lahendus. Olgu arvud x ja y, vastavalt ülesande tingimustele saame võrrandisüsteemi,
mille lahendame asendusvõttega: avaldame (1) võrrandist x-i (võib ka y-i) ja asendame (2) võrrandi x-i (või y-i).
(1)
x = y +6
Asendades (2) võrrandis x-i, saame
(y +6)y = 247
y² +6y = 247
y² +6y – 247 = 0
y = -3= -3= -3 16
y= -19 või y= +13

kui y= -19, siis x= y+6 = -19 +6 = -13
Kontroll: -13(-19 = 247
arvupaar -13 ja -19 rahuldab ülesande tingimusi

kui y= 13, siis x= y+6 = 13 +6 = 19
Kontroll: 19 -13 = 6 ja 1913 = 247
ka II lahend sobib (st arvupaar 19 ja 13 rahuldab ülesande tingimusi)
Vastus: need arvud on -19 ja -13 või 13 ja 19
NB! Kumba lahendust eelistada – puhtalt maitse asi – sisuliselt viivad mõlemad ruutvõrrandini, seejärel leitakse lahendid, analüüsitakse ja kontrollitakse neid.
275 Olgu I arv x, II arv on siis x+2. Saame võrrandi:
x(x +2) = 224
x² +2x – 224 = 0
x = -1 = -1 = -1 15
x= -16 või x= 14

olgu x = -16 (st I arv), II arv on siis x +2
x +2 = -16 +2 = -14
Kontroll: -16(-14) =224

olgu x = 14 (st I arv), II arv on siis x +2
x +2 = 14 +2 = 16
Kontroll: 14
16 = 224
Vastus: need arvud on -16 ja -14 või 14 ja 16
NB! Kahe järjestikuse paarisarvu vahe on 2 (ka paaritute järjestikuste arvude vahe on 2)
276 Analüüsi 275;
x(x +2) =323; x² +2x -323 = 0 jne täpselt sama rada.
277 Olgu üks arv x, teine on siis 14-x
x² +(14 –x)² = 106
x² +196 -28x +x² = 106
2x² -28x +90 = 0/:2
x² -14x + 45 = 0
x = 7 = 7= 7
x= 5 või x= 9

kui x= 5 (üks arv), siis teine on 14 –x =14 -5 = 9
Kontroll: 9 +5 = 14
9² + 5² = 81 + 25 =106
kui x= 9 (üks arv), siis II arv on 14 -9 = 5
Näeme, et põhimõtteliselt on tegemist samade arvudega, ainult kohad on vahetunud.
Vastus: osad on 5 ja 9
278 Analüüsi 277
x² +(18 –x)² =170 jne
279 Olgu kolmnurga kõrgus h, alus on siis h+2, saame võrrandi = 40/2
h(h +2) = 80;
h² +2h -80 = 0
h = -1= -1 = -1 9
h= -10 või h = 8
h= -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0)
h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm)
Kontroll: = 40 (cm²)
Vastus: h = 8 cm
280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne
jne
281 Analüüsi 279 ja 280
jne
282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h
3hh = 108
h
3h
3h² = 108/:3
h² = 36
h =
= 6 (cm)
alus on 3h = 36 = 18 (cm)
Kontroll: 618 = 108 (cm²)
Vastus: RK alus on 18 cm ja kõrgus 6 cm
283 Olgu RK kõrgus h, alus on siis h+3
h(h+3) = 108
h²+3h -108 = 0
h = -1,5= -1,510,5
h= -12 või h= 9
h= -12 ei sobi
h = 9 cm , alus on 9+3 =12 (cm)
Kontroll: 912 = 108 (cm²)
Vastus: RK mõõtmed on 912 cm
284 Olgu rööpküliku kõrgus h, alus on siis 4h
4hh = 196
4h² = 196
h²= 49
h== 7
h= -7 ei sobi
h = 7 (cm)
alus on 4h = 47 = 28 (cm)
Kontroll: 728 = 196 (cm²)
Vastus: rööpküliku kõrgus on 7 cm ja alus 28 cm
NB! Rööpküliku teist külge me veel praeguste teadmiste juures (15. nov) ei oska leida.
285 Olgu rombi lühem diagonaal d, pikem on siis 2d
= 36
d² = 36
d =
= 6 (cm)
Pikem diagonaal on 2d = 26 = 12 (cm)
Kontroll: = 36 (cm²)
Vastus: rombi diagonaalküljed on 6 cm ja 12 cm
286 Antud: ü= 150m; S= 1400m². Leida pikkus ja laius.
Lah. Olgu laius a ja pikkus b, siis RK ümbermõõdu ja pindala valemitest saame võrrandisüsteemi
(1) võrrandist avaldame a: a=75-b
asendame nüüd
75b -b² - 1400 = 0
b² -75b + 1400 = 0
b = 37,5 = 37,5= 37,52,5
b= 35 või b= 40

kui b = 35, siis (1) a = 75 –b = 75 -35 = 40 (m)

kui b = 40, siis (1) a = 75 –b = 75 -40 = 35 (m)
Näeme, et erinevate lahendite puhul on laius ja pikkus vahetanud kohad. Kuna geomeetrias on pikkus suurem kui laius, võtame
Kontroll: Ü = 2(35+40) =275 = 150 (m)
S = ab = 3540 = 1400 (m²)
Vastus: a = 35 cm ja b = 40 cm
287 Ül. anal. 286
NB! Nagu näed, tuleb geomeetriaülesannetes teada ja rakendada vastavate geom kujundite valemeid.
288 Olgu I arv x, siis II arv on x+1 ja III arv on x+2
x² + (x +1)² = (x +2)²
x² + x² + 2x +1 = x² +4x +4
x² -2x -3 = 0
x = 1= 1=12
x= -1 või x= 3
1) kui x = -1 -1), II arv on siis 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000(I arv on -1), II arv on siis x +1 = -1 +1 =0 ja
III arv on x +2 = -1 +2 = 1 arvud -1; 0 ja 1
Kontroll: (-1)² + 0² = 1²
1 = 1
2) kui x = 3 (I arv), siis II arv on x +1 = 3 +1 = 4 ja
III arv on x +2 = 3+2 = 5 arvud on 3; 4 ja 5
Kontroll: 3² +4² = 5²
9 +16 = 25
25 = 25
Vastus: need arvud on -1; 0; 1 või 3; 4; 5
289 Olgu keskmine naturaalarv x, siis näeks arvurida välja niisugune:
x-2; x-1; x; x+1; x+2
(x-2)² + (x-1)² +x² = (x+1)² + (x+2)²
x² -4x +4 +x² -2x +1 +x² = x² +2x +1 +x² +4x + 4
ei sobi
ja arvutada oleks 10; 11; 12; 13; 14
Kontroll:
Vastus: 10; 11; 12; 13; 14
NB! Siin oleks võinud ka võtta I arvu x-i, siis oleksid arvud olnud x; x+1; x+2; x+3; x+4. Arvan, et mina sain lihtsama võrrandi.
290 Analüüsida 289
291 Olgu ruudu külg a, ristküliku pindala valemist saame võrrandi
ei sobi
II mõõde oleks siis
Kontroll:
Vastus: parkimisplatsi mõõtmed on 18 ja 24 m
NB! Sellistes ülesannetes tee kindlasti joonis, see aitab ülesandest aru saada. PS kontrolli ühikute vastavust!
292 Antud S = 88 aari; 1aar =
ristküliku pindala valemist saame ruutvõrrandi, olles enne tähistanud ruudu külje a-ga:
kuna
ei sobi
Kontroll:
Vastus:
293 Olgu ruudu külg a, siis ristküliku mõõtmed on 3a ja a+5. Ruudu pindala on , ristküliku pindala . Kuna ristküliku pindala on ruudu omast suurem, saame võrrandi
ei sobi
Kontroll:
Vastus: selle ruudu külg on
294 Olgu vana ruudu külg a, siis uue ruudu külg on
Uue ruudu külg on
Kontroll:
Vastus: uue ruudu külg on
NB! Siin koondasin ära, nii et meil polnudki enam tegu ruutvõrrandiga, aga koostamisel seda ei näe. PS. Kui oleks kohe algul tähistanud uue ruudu külje -ga, oleks võrrand:
(NB! Samaväärne)
295 Olgu plaadi külg a. Karbi põhjaks on ruut küljega a-8, karbi kõrgus on 4cm
saame võrrandi, rakendades ruudukujulise põhjaga püstprisma ruumala valemit:
kuna , siis
või
ei sobi
(cm)
Kontroll:
Vastus: metallplaat oli mõõtmetega 17cm 17cm
296 Osaliselt analüüsida ülesannet 295. Olgu metallplaadi külg esialgu a. Saame võrrandi
siin jätsin
kohe välja kui mittesobiva.
Kontroll:
Vastus: metallplaadi külg oli algul 18 cm.
297 Analüüsida 295 ja 296. Olgu äralõigatavate ruutude küljed x
või
ei sobi, sest 5 (cm)
=2 (cm)
Kontroll:
Vastus: eemaldatud ruutude küljed on 2cm
298 Analüüsida ülesandeid 297, 295
299 Olgu restis x rida. Kui 1 rida ära võeti, jäi munadega kaetud resti osa ristkülikukujuliseks külgedega
ja
või
ei sobi
Kontroll:
Munade arv on algul
Vastus: reas oli 12 muna
300 Olgu vaibaserva kaugus seinast
või
ei sobi (m)
Kontroll:
Vastus: vaiba serv on toa seinast 1m kaugusel.
301 Analüüsida ülesannet 300
302 Analüüsida ülesandeid 300 ja 301
303 Soovitav
304 Olgu tee laius x, siis tee poolt hõivatud pindala on
ja krundi pindala
või
Viimane lahend ei sobi
Kontroll:
Vastus: teede laius on 10 m
305 Olgu ristküliku laius a ja pikkus b
või
1) Kui , siis
Kontroll:
2) Kui , siis
Kontroll:
Vastus: Ristküliku mõõtmed on
või
306 Olgu hulknurga nurkade arv n, siis
või
(ei sobi)
12
Vastus: külgi on 12
Külgede arv on ka n
E 471 Olgu arvud ;
ja , saame võrrandi
Arvud on 36; 38 ja 40
Kontroll:
Vastus: need arvud on 36; 38; 40
NB! Oleksime võinud ka keskmiseks arvuks võtta x, siis
jne oleks mõnevõrra lihtsam
P.S Need pole ruutvõrrandid!
E 472; E 473; E 474; E 475; E 476 – täielik analoogia ülesannetega 269-276.
E 477 Olgu üks osa , teine osa on siis
P.S on ühe osa ruut 4 korda suurem teisest osast.
või
1) Kui , I osa,, II osa on siis
I osa on –10, II osa on 25
Kontroll:
sobivad
2) Kui , siis II osa on
Kontroll:
sobivad
Vastus: arv 15 osad on –10 ja 25 või 6 ja 9
E 478 Analüüsida ülesannet 477
E 479 Olgu üks osa , II osa on siis
või
1) Kui , siis II arv on
arvud on 17 ja 18
Kontroll:
2) Kui
ja II arv on
arvud on 18 ja 17. Sisuliselt on see sama, arvud on lihtsalt ära vahetatud .
Vastus: arvu 35 osad on 17 ja 18
E 480 Olgu osad
ja , saame võrrandi
või
1) Kui , siis II osa on I arv on 19 ja II arv on 23
2) Kui , analüüsida E 480, arvud vahetuvad
Vastus: osad on 19 ja 23
307 Olgu ruudu külg . Ruudu puhul
ja
või
ei sobi
Kontroll:
Vastus: ruudu külg peab olema
E 495 Olgu väiksem arv , suurem on siis . Kui väiksemat arvu suurendada 3 võrra, saama . Kui suuremat vähendada 10 võrra, saame
P.S
suurem arv on esialgsed arvud on 6 ja 14
Kontroll:
Vastus: esialgsed arvud on 6 ja 14
E 496 Analüüsida E 495-ga
E 497 Olgu poja vanus praegu , isa on siis . 5 aastat tagasi oli poeg,
aastat vana ja isa
aastat vana. Kuna isa oli 5 aastat tagasi pojast 3 korda vanem, siis
Kontroll: isa vanus on (aastat)
Vastus: poeg on 17 a
E 498 Analüüsige 497-ga
E 505 Olgu ruudu külg x, saadudristkülikuküljed on siis
ja
Kontroll:
Vastus: ruudu külg on 13cm
E 506 Analoogia E 505

314 Lahenda võrrandisüsteemid

314/a
Kasutame jälle asendusvõtet, avaldame teisest x-i ja asendame siis x-i esimeses võrrandis.
Asendame
või
või
Nüüd tuleb kontrollida lahendeid, mis nagu võrrandist I näha, on õige vaevarikas, sest võrrand on keeruline ja lahendid murrud. Arvan, et eksamil nii rasket süsteemi ei anta.
*) Võrrandisüsteemi kasutamine tekstülesannete lahendamisel.
1) Tüüpülesanne. Leia kaks arvu, mille summa on 13 ja korrutis 40.
Olgu need arvud
ja
(seda tüüpi võrrandisüsteemi lahendasime juba 313/a jt 313 ülesanded).
Avaldame I-st x-i (või y-i) ja asendame x-i või y-i) II –s võrrandis
või
ja
leiame valemist
ja
või
Kontroll:
1) Kui
(NB! Teksti järgi)
2) Kui
ja
Vastus: need arvud on 5 ja 8 (või 8 ja 5)
NB! Näeme, et tegemist on ühe ja sama arvupaariga 5 ja 8, ainult teisel juhul on arvude kohad vahetatud (8 ja 5). Kui me oleks algselt tähistanud, et olgu I arv x ja II arv y, siis oleksime saanud vastuolu, aga nüüd ei ole järjekord oluline.
315 Olgu arvud
ja
Avaldame x-i I-st ja asendame II-s
või
ja
leian valemist
või
Analoogiliselt eelmisele ülesandele näeme, et tegemist on ühe ja sama arvupaariga (5 ja 9). Seepärast pole eraldi lahendina 9 ja 5 välja tuua, s.t
Kontroll: ja
Vastus: need arvud on 5 ja 9
316 Täpselt analoogiline ülesanne kui 315
317 Olgu aknaava mõõtmed
ja
Võrrandisüsteemi koostamiseks kasutan ristküliku ümbermõõdu ja pindala valemeid:
Saime võrrandisüsteemi, mis on lahendatud tüüpülesandes 1.
Vastus: mõõtmed on
318 I lahendus. Olgu kolmnurga kaatetid
ja
ei sobi
Kontroll: 1)
2)
Vastus: kolmnurga kaatetid on
ja
II lahendus(vt joonis 2). Olgu kolmnurga üks kaatet x, teine on siis x+7, kolmnurga pindala
on siis , saime ruutvõrrandi x-i suhtes, kust leiamegi x-i.
või
ei sobi
II kaatet on
Kontroll: 1)
2)
Vastus: kolmunrga kaatetid on
ja
NB! Tee, kuidas sulle lihtsam tundub, mina eelistaksin II lahendust.
319 Olgu isa vanus
ja poja vanus . Nelja aasta pärast oleks isa vanus
ja poja vanus , kuna isa on 4 aasta pärast pojast 3 korda vanem, saame võrrandi . Neist kahest võrrandist saame süsteemi:
I lahendus - See on lineaarvõrrandisüsteem, mille lahendan liitmisvõttega.
-i leian I-st võrrandist
ja
Kontroll: 1)
2)
Vastus: isa on 38 ja poeg 10 aastane.
NB! Ka siin saaks ilma võrrandisüsteemita (st ainult ühe tundmatuga) hakkama.
II lahendus – Olgu isa vanus, poeg on siis , nelja aasta pärast on isa vanus , poja vanus
Poja vanus on (aastat)
Jällegi on valik Sinu, mina eelistaksin II lahendust kui lühemat.
320 Ristkülikukujulist papist tükki on võimalik lõigata, kui lähteandmetest koostatud võrrandisüsteemil on kaks lahendit või üks lahend; kui lahendid puuduvad, pole see võimalik.
Olgu ristküliku mõõtmed
ja . Koostame võrrandisüsteemi
1) Kui
ja
või
Vastus: kuna siin ei ole küsitud papitüki mõõtmeid, siis on vastus, et võib.
2) Kui
ja , näeb võrrandisüsteemist saadud
ruutvõrrand välja nii:
või
ka
ja
st
Papitükk on siis ruudukujuline , aga kuna ruun on ristküliku erijuhtum, siis
järelikult saab ka.
3) Kui
ja
, siin vahendid puuduvad, ei saa
347 Olgu üks osa , teine osa on siis
või
1) Kui üks osa on –11, siis teine osa on
2) Kui üks osa on 10, siis teine osa on
Kontroll: 1) Kui osad on –11 ja 33, siis
2) Kui osad on 10 ja 12, siis
Vastus: need osad on –11 ja 33 või 10 ja 12
357 Olgu väiksema ruudu külg , suurema ruudu külg on siis
Suurema ruudu külg on
Kontroll:
Vastus: need osad on 9 ja 11
358 Ülesande tingimuste kohaselt saame võrrandisüsteemi
järelikult võrrandil lahendid puuduvad, st et sel juhul kolmnurga pindala ei
saa olla
361 Teatavasti saab iga kahekohalist arvu esitada kujul , kus
on kümneliste arv (number) ja
on üheliste arv (number) selles arvus
ja
Asendame
või
ei sobi, kuna
ja
peavad olema naturaalarvud
-i leiame I-st:
ja otsitav arv oleks 24.
Kontroll: 1)
2)
Vastus: otsitav kahaekohaline arv on 24.
Tehted hulkliikmetega (Alg. murdude taandamine)
362 Lihtsusta avaldis :
c)
e)
m)
363 Lihtsusta avaldis
a)
c)
e)
366 Korruta ja korrasta saadud hulkliige
a)
d)
g)
368 Lihtsusta avaldis
a)
c)
372 Leia jagatis
a)
teine lahendus
f)
374 Korruta hulkliikmed ja lihtsusta avaldis
a)
c)
375/b Leia avaldise väärtus, kui
Lahendus. Enne lihtsustame avaldise
NB! Kui oleksime kohe -i asendanud, oleksime pidanud sooritama pika ja raske arvutamise.
379 Lihtsusta avaldis, kasutades hulkliikmete korrutamise valemeid.
a)
b)
f)
g)
e)
i)
j)
n)
380 Tegurda hulkliige (NB!kasutan abivalemeid)
a)
b)
d)
f)
i)
j)
n)
382 Taanda hulkliige, selleks too ühine tegur sulgude ette.
a)
b)
d)
g)
h)
j)
k)
l)