Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal IV osa (0)

Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
IV osa
Liikumisülesannetega sarnased ülesanded
© T. Lepikult, 2003
Selgituseks
Paljude protsesside puhul saab rääkida nende kulgemise
kiirusest: näitajast, mille mõõtühikuks on "kogus ajaühiku
kohta". Näiteks vee pumpamisel võime pumba "töövõimet"
(ehk võimsust) mõõta ühikutega "kuupmeetrit vett tunnis",
brigaadi tööviljakusest rääkides võib kasutada mõistet
"vahetusnormi päevas" jne.
See asjaolu võimaldab paljude levinud tekstülesannete
lahendamisel kasutada analoogiat liikumisülesannetega
ning tuntud valemit
s
v= , (1)
t
kus v tähistab protsessi kulgemise kiirust ja s, sõltuvalt
ülesandest, ajaühiku t jooksul toodetud toodangu hulka,
pumbatud vee kogust vmt.
Ülesanne 1 (1)
Ülesanne 1
Kaks töölist pidid kumbki valmistama a detaili. Esimene
tööline valmistas tunnis b detaili rohkem kui teine ning lõpetas
seetõttu töö c tunni võrra teisest varem. Mitu detaili valmistas
kumbki tööline tunnis?
Lahendus
"Kiiruseks" on seekord tööviljakus, mõõdetuna ühikutes
"valmistatud detaili tunnis".
Tähistame esimese töölise poolt ühes tunnis valmistatavate
detailide arvu tundmatuga x. Ilmselt x 0.
Teise töölise tunnitoodanguks on siis ülesande teksti kohaselt
x ­ b.
Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
a detaili valmistamiseks kulugu esimesel töölisel t tundi, siis
valemi (1) kohaselt
a a
x= tx = a t = .
t x
Teisel töölisel kulus detailide valmistamiseks c tundi rohkem
kui esimesel, seetõttu saame tema "töökiiruseks"
a
y = x -b = ( x - b)(t + c) = a
t +c
Saime mittelineaarse võrrandisüsteemi x ja t suhtes:
t = a / x
( x - b)(t + c) = a
Ülesanne 1 (3)
Lahendus jätkub ...
t = a / x
( x - b)(t + c) = a
Lahendamiseks asendame teises võrrandis tundmatu t
esimesest võrrandi abil avaldisega a / x:
a
( x - b)( + c) = a
x
Avame vasakul pool sulud:
a a ab
x + xc - b - bc = a a + xc - - bc = a
x x x
ab
cx - - bc = 0.
x
Korrutame viimase võrrandi läbi suurusega x 0 ja
saame tulemuseks ruutvõrrandi x suhtes:
cx 2 - bcx - ab = 0.
Ülesanne 1 (4)
Lahendus jätkub ...
cx 2 - bcx - ab = 0.
Rakendame taandamata ruutvõrrandi lahendivalemit:
bc ± (bc) 2 + 4cab bc ± bc(bc + 4a )
x= =
2c 2c
Näitame, et kui valida ruutjuure ette miinusmärk, siis saame
negatiivse lahendi (seega algse ülesande suhtes võõrlahendi).
Ülesande seadest järeldub, et parameetrid a, b ja c on kõik
positiivsed. Seega on ka murru nimetaja 2c > 0.
bc - bc(bc + 4a ) = bc - (bc) 2 + 4abc 0 0
Ülesanne 1 (5)
Lahendus jätkub ...
Positiivne ehk lubatav lahend on seega üksnes
bc + bc(bc + 4a )
x=
2c
Teise töölise tunnitoodanguks saame
bc + bc(bc + 4a)
x -b = -b =
2c
bc + bc(bc + 4a ) - 2bc
= =
2c
- bc + bc(bc + 4a)
=
2c
Ülesanne 1 (6)
Vastus :
bc + bc(bc + 4a)
Kiirem tööline toodab tunnis detaili ja
2c
aeglasem - bc + bc(bc + 4a ) detaili.
2c
Iseseisvaks lahendamiseks
Ülesanne :
Esimene torudest täidab basseini a tunniga, teine aga b
tunniga. Mitme tunniga täitub bassein, kui mõlemad torud
avatakse üheaegselt?
Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ...
Vastus : ab
tunniga.
a+b