Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal I osa (1)

Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
I osa
© T. Lepikult, 2003
Leida kaks arvu, ülesanne 1
Ülesanne 1
Kahe arvu korrutis on 30, nende arvude summa 11. Leida
need arvud.
Lahendus
Seda tüüpi ülesannetes vaadeldakse otsitavaid arve
tundmatutena ja ülesande tingimuste põhjal tuletatakse
võrrandisüsteem tundmatute leidmiseks.
Tähistame esimese arvu sümboliga x ja teise sümboliga y.
Tingimusest, et arvude korrutis on 30, saame esimese
võrrandi:
x y = 30
Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
Tingimusest, et arvude summa on 11, saame teise
võrrandi:
x + y = 11.
Saadud kaks võrrandit moodustavad võrrandisüsteemi
tundmatute x ja y määramiseks:
x y = 30,
x + y = 11.
NB! Võrrandisüsteem ei ole lineaarne (kuna esimeses
võrrandis esineb tundmatute korrutis!). Seetõttu ei saa
seda lahendada determinantide abil.
Ülesanne 1 (3)
Lahendus jätkub ...
Võrrandisüsteemi lahendame asendusvõttega: avaldame
ühe tundmatu (ükskõik kumma) lineaarsest võrrandist
(teisest võrrandist), asendame saadud avaldise esimesse,
mittelineaarsesse võrrandisse ja lahendame saadud
ruutvõrrandi. Teise tundmatu väärtuse saame siis juba
avaldada teisest (lineaarsest) võrrandist.
Avaldame süsteemi teisest võrrandist tundmatu y:
x + y = 11 y = 11 - x.
Asendame esimeses võrrandis tundmatu y äsjasaadud
avaldisega:
x y = 30 x (11 - x) = 30.
Ülesanne 1 (4)
Lahendus jätkub ...
Saime tundmatu x määramiseks ruutvõrrandi, mille
lahendamiseks teisendame ta esmalt sobivale kujule:
x (11 - x) = 30 11x - x = 30 11x - x - 30 = 0
2 2
x 2 - 11x + 30 = 0.
Kasutame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemit:
11 112 11 121 11 121 - 120
x= ± - 30 = ± - 30 = ± =
2 4 2 4 2 4
11 1 11 1 11 1 12 11 1 10
= ± = ± x1 = + = = 6, x2 = - = = 5.
2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
Ülesanne 1 (5)
Lahendus jätkub ...
Tundmatule x leidsime 2 väärtust. Tundmatu y väärtuste
leidmiseks kasutame teist võrrandit:
x + y = 11
1) x = 6 6 + y = 11 y = 11 - 6 = 5
2) x = 5 5 + y = 11 y = 11 - 5 = 6
Saadud kaks lahendit on sisuliselt samaväärsed: üks
otsitavatest arvudest on 5, teine 6.
Kontrollime kas, lahend rahuldab ülesande tingimusi.
1) Arvude korrutis: x y = 5 6 = 30.
2) Arvude summa: x + y = 5 + 6 = 11.
Ülesanne 1 (6)
Vastus ...
Osutus, et leitud arvud rahuldavad ülesande tingimusi ja
võime välja kirjutada vastuse:
Vastus: Otsitavad arvud on 5 ja 6.
Ülesanne 2
Kahe arvu summa suhtub nende korrutisse nagu 4 : 15,
samade arvude vahe suhtub nende summasse nagu 1 : 2.
Leida need arvud.
Lahendus
Esimest arvu tähistagu tundmatu x, teist tundmatu y.
Esimese tingimuse kohaselt
x+ y 4
= .
x y 15
Võrde põhiomaduse põhjal on see võimalik parajasti siis, kui
15( x + y ) = 4 xy, x 0, y 0. (1)
Ülesanne 2 (2)
Teise tingimuse kohaselt
x- y 1
= .
x+ y 2
Kasutame taas võrde põhiomadust ja saame võrrandi
2( x - y ) = 1( x + y )
Avame sulud ja toome kõik liikmed võrduse vasakule poolele:
2x - 2 y = x + y 2x - 2 y - x - y = 0
x - 3y = 0 (2)
Ülesanne 2 (3)
Saadud võrrandid (1) ja (2) moodustavad jällegi mittelineaarse
võrrandisüsteemi tundmatute x ja y määramiseks:
15( x + y ) = 4 xy,
x - 3 y = 0.
Teisest võrrandist avaldame tundmatu x:
x - 3y = 0 x = 3y
ja asendame esimesse võrrandisse:
15(3 y + y ) = 4 3 y y.
Ülesanne 2 (4)
Saadud ruutvõrrandi lahendamiseks avame sulud ja toome
ruutliikme vasakule poole võrdusmärki:
15(3 y + y ) = 12 y 2 60 y - 12 y 2 = 0 12 y (5 - y ) = 0.
Kuna viimases võrrandis võrdub korrutis nulliga, siis peab
vähemalt üks teguritest olema null:
1) y = 0;
2) 5- y = 0 y = 5.
Võrrandisüsteemi teisest võrrandist
x - 3y = 0
Ülesanne 2 (5)
Võrrandisüsteemi teisest võrrandist
x - 3y = 0
leiame tundmatu x:
1) x = 3 y = 3 0 = 0,
2) x = 3 y = 3 5 = 15,
x+ y x- y
Lahend x = 0, y = 0 ei sobi, kuna suhted ja
x y x+ y
jäävad sellise lahendi korral määramatuks.
Ülesanne 2 (6)
Lahend x = 15, y = 5 aga sobib kuna sel korral
x + y 15 + 5 20 4
= = = ,
x y 15 5 75 15
x - y 15 - 5 10 1
= = = ,
x + y 15 + 5 20 2
nagu ülesande seades nõutud oli.
Vastus: Otsitavad arvud on 15 ja 5.
Ülesanne 3
Kahe arvu aritmeetiline keskmine on 10 ja geomeetriline
keskmine 8. Leida need arvud.
Lahendus
Esimest arvu tähistame tähega x, teist tähega y.
Kuna ülesandes on juttu nende arvude geomeetrilisest
keskmisest, siis võime teha järelduse, et kumbki neist
arvudest on positiivne, sest geomeetriline keskmine on
defineeritud vaid positiivsete arvude jaoks:
x > 0, y > 0.
Ülesanne 3 (2)
Kuna nende arvude aritmeetiline keskmine on 10, siis saame
seose:
1
( x + y ) = 10,
2
millest järeldub, et
x + y = 20. (1)
Geomeetrilise keskmise määrangu kohaselt
xy = 8,
millest saame mõlemaid võrduse pooli ruutu võttes:
xy = 64. (2)
Ülesanne 3 (3)
Võrrandid (1) ja (2) on vaadeldavad võrrandisüsteemina
tundmatute x ja y määramiseks:
x + y = 20,
xy = 64.
Saadud süsteemi lahendamisel avaldame esimesest võrrandist
tundmatu x:
x + y = 20 x = 20 - y
ja kasutame saadud avaldist teises võrrandis:
xy = 64 (20 - y ) y = 64.
Ülesanne 3 (4)
Saadud ruutvõrrandi lahendamiseks avame sulud ja viime kõik
liikmed võrdusmärgist vasakule:
(20 - y ) y = 64 20 y - y 2 - 64 = 0 y 2 - 20 y + 64 = 0.
Ruutvõrrandi lahendamisel kasutame taandatud võrrandi
lahendivalemit:
- 20 20 2
y=- ± - 64 = 10 ± 100 - 64 = 10 ± 36 = 10 ± 6
2 4
Lahendid on: y1 = 10 + 6 = 16
y2 = 10 - 6 = 4
Ülesanne 3 (5)
Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist leiame nüüd tundmatu
x väärtused:
1) x + y = 20 x = 20 - y1 = 20 - 16 = 4.
2) x = 20 - y2 = 20 - 4 = 16.
Kontroll:
1) leitud arvude aritmeetiline keskmine:
1 1 20
( x + y ) = (16 + 4) = = 10;
2 2 2
2) leitud arvude geomeetriline keskmine:
16 4 = 64 = 8
Kontroll näitas, et arvud sobivad.
Ülesanne 3 (6)
Vastus: Otsitavad arvud on 16 ja 4.
Võrde põhiomadus
Võrdus
a c
= (b 0, d 0)
b d
kehtib parajasti siis, kui
ad = bc.
Näide
8 4
= 8 1 = 2 4.
2 1
Aritmeetiline keskmine
Arvude a1 , a2 , , an aritmeetiliseks
keskmiseks nimetatakse arvu
a1 + a2 + + an
a= .
n
Näide
Võistleja saavutas kaugushüppes tulemused 7,49m, 7,71m
ja 7,54m.
Tulemuste aritmeetiline keskmine on:
7,49 + 7,71 + 7,54
a= = 7,58 m.
3
Geomeetriline keskmine
Positiivsete arvude a1 , a2 , , an geomeetriliseks
n a a arvu
keskmiseks nimetatakse1 2 an .
Näide
Risttahuka servade pikkused sentimeetrites on 1, 2 ja 4.
Servade pikkuste geomeetriline keskmine on
r = 3 1 2 4 = 3 8 = 2 cm.
Toodud näites võib geomeetrilise keskmise leidmist
tõlgendada antud risttahukaga võrdse ruumalaga kuubi
serva pikkuse leidmisena.