Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal II osa (1)

Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
II osa
© T. Lepikult, 2003
Kahekohalised arvud
Ülesanne 1
Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Selle arvu
numbrite ümberpaigutamisel saame arvu, mis on esialgsest
18 võrra väiksem. Leida esialgne arv
Lahendus
Seda tüüpi ülesannetes tuleb otsitavat arvu vaadelda kujul
z = 10x + y , kus x näitab kümneliste arvu ja y üheliste
arvu.
Tasub tähele panna, et otsitavad x ja y peavad olema
täisarvud ning rahuldama võrratusi
0 0 y Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
Kui ülesannet lahendades peaksime saama otsitavatele
niisugused väärtused, mis neid võrratusi ja/või täisarvulisuse
nõuet rikuvad, tuleb hakata lahenduskäigust vigu otsima.
Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu
numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks
x + y = 12.
Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna
see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame
siit teise võrrandi:
x + 10 y = 10 x + y - 18 x + 10 y - 10 x - y = -18
- 9 x + 9 y = -18 x - y = 2.
Ülesanne 1 (3)
Lahendus jätkub ...
Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna
kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud
võrrandisüsteem lineaarne:
x + y = 12,
x - y = 2.
Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite
vasakud ja paremad pooled:
x + y = 12
+ x- y =2
2 x = 14
Ülesanne 1 (4)
Lahendus jätkub ...
Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega
ning saame ühe otsitava väärtuse:
x = 7.
Paneme tähele, et x Z ja 0 lahenduse algul toodud nõuded täidetud.
Teise tundmatu y saame kui ühes süsteemi võrranditest,
näiteks teises, asendame tundmatu x leitud väärtusega:
x- y = 2 y = x-2 y =7-2=5
Ka tundmatu y väärtus rahuldab lahenduse algul
kirjapandud tingimusi.
Ülesanne 1 (5)
Lahendus jätkub ...
Otsitav arv on seega 75. Tema numbrite summa on tõesti 12
ja numbrite vahetamisel saadud arv (57) on 18 võrra väiksem
kui esialgne arv.
Vastus: Otsitav arv on 75.
Ülesanne 2 (kiiruste liitmine)
Ülesanne 2
Aurik sõidab mööda jõge pärivoolu ühest sadamast teise 4
tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Leida sadamatevaheline
kaugus, kui jõe voolukiirus on 2 km/h.
Lahendus
Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud
teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost:
s
v= ,
t
millest järelduvad seosed
s = vt
s
ja t = .
v
Ülesanne 2 (2)
Samuti peame teadma, et samasuunaliste liikumiste
liitliikumisel kiirused liituvad:
v = v1 + v2 ,
vastassunaliste kiiruste korral aga lahutuvad:
v = v1 - v2 .
Antud ülesande korral tähendab see seda, et kui tähistada
laeva kiirus seisvas vees tähega v, siis pärivoolu liigub ta
kiirusega v + 2 km/h, vastuvoolu aga kiirusega v - 2 km/h.
Peale laeva kiiruse v on tundmatuks ka ülesandes küsitud
sadamatevaheline kaugus. Tähistame selle tähega s.
Ülesanne 2 (3)
Kuna teepikkus on aja ja kiiruse korrutis, siis pärivoolu
liikumisel saame sadamatevahelise kauguse leida valemi
pärivoolu sõites kulub 4 tundi
s = (v + 2)t = 4(v + 2) = 4v + 8
abil, vastuvoolu liikudes aga kasutame valemit
vastuvoolu sõites kulub 5 tundi
s = (v - 2)t = 5(v - 2) = 5v - 10.
Saime kahest võrrandist koosneva lineaarse võrrandisüsteemi:
s = 5v - 10,
s = 4v + 8.
Ülesanne 2 (4)
Võrrandisüsteemi lahendamiseks lahutame esimese võrrandi
vasakust ja paremast poolest teise võrrandi vastvad pooled:
s = 5v - 10
+
s = 4v + 8
0 = v - 18.
Saadud seosest leiame laeva kiiruse seisvas vees:
v = 18 km / h.
Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame:
s = 5v - 10 = 5 18 - 10 = 80km
Ülesanne 2 (5)
Kontrolliks leiame laeva kiiruse pärivoolu:
v p = 18 + 2 = 20 km / h,
ja pärivoolu ühest sadamast teise jõudmiseks vajaliku aja:
s 80
tp = = = 4 h.
v p 20
Vastuvoolu liikudes on kiirus ja teekonnale kuluv aeg:
vv = 18 - 2 = 16 km / h,
s 80
tv = = = 5 h.
vv 16
Leitud ajad klapivad ülesande sõnastuses antutega, seega
lahend sobib.
Vastus: Sadamatevaheline kaugus on 80 km.
Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks
Ülesanne 3
Mööda jõge pärivoolu liikuv laev läbib a kilomeetrit m tunniga;
liikudes vastuvoolu, läbib ta sama tee n tunniga. Leida jõe
voolukiirus.
Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ...
Vastus : a (n - m) km
vj = , (n > m ja m 0).
2mn h