Jadad (0)

Jadad
Aritmeetiline jada
Aritmeetilise jada üldliikme valem on
an = a1 + d(n – 1),
kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv.
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on
Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju:
.
Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi.
Geomeetriline jada
Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul
an = a1qn – 1 ,
kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige ja q jada tegur.
Geomeetrilise jada esimese n liikme summa valem on kujul
Hääbuva geomeetrilise jada summa valem on
Edasi vaatame ülesannet, kus on tegemist nii aritmeetilise kui ka geomeetrilise jadaga.
Kolm arvu, mille summa on 42, moodustavad geomeetrilise jada. Kui selle jada esimesest liikmest lahutada 2, teine jätta muutmata ja kolmandast liikmest lahutada 4, siis moodustavad saadud arvud kasvava aritmeetilise jada. Leia geomeetrilise jada viie esimese liikme summa.
Lahendus:
Geomeetrilise jada viie liikme summa arvutamiseks peame teadma tema esimest liiget ja jada tegurit. Tähistame geomeetrilise esimese liikme tähega a ja teguri tähega q, siis saame selle jada kirjutada kujul:
a, aq, aq2, ...
Kuna kolme liikme summa on 42, saame võrrandi
a + aq + aq2 = 42.
Muutes ülesande tingimuste kohaselt geomeetrilise jada liikmeid, saame arvud, mis moodustavad aritmeetilise jada:
a – 2; aq; aq2 – 4.
Kuna aritmeetilise jada iga liige, peale esimese, on oma kahe naaberliikme aritmeetiline keskmine, siis saame
Koostame võrrandisüsteemi
Lahendame selle. Toome mõlemast võrrandist a sulgude ette ning jagame esimese võrrandi teisega:
Saadud ruutvõrrandi lahendid on
q1 = 2, q2 = 0,5.
Lahendi q2 = 0,5 jätame kõrvale, kuna selle puhul saame kahaneva geomeetrilise jada ehk q öeldud , et aritmeetiline jada on kasvav ehk peab kehtima tingimus q > 0. Seega sobib lahend , kui q = 2.
Esimesest võrrandist leiame a:
Ülesande tingimustele vastav geomeetrilise jada esimene arv on 6, teine 6 . 2 = 12 ja kolmas 12 . 2 = 24.
Leiame selle jada viie esimese liikme summa:
Kontroll:
Jada kolme esimese liikme summa on 6 + 12 + 24 = 42, mis vastab andmetele.
Muutes ülesande tingimuste kohaselt kolme esimest liiget, saame arvud 4, 12, 20, mis moodustavad aritmeetilise jada (d = 8). Vastab ülesande tingimustele.
Vastus: Geomeetrilise jada viie esimese liikme summa on 186.