Aritmeetiline jada (8)

Aritmeetiline jada
-------------------------------------------------------
Aritmeetilise jada üldliikme valem
Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valem
-------------------------------------------------------
1. Leia aritmeetilise jada 2; 9; 16; ... kaheteistkümnes liige.
Lahendus:
Antud on a1 = 2; a2 = 9, millest järeldub, et vahe on d = 9 – 2 = 7; n = 12.
Leiame a12
Kasutades aritmeetilise jada üldliikme valemit , saame
2. Arvuta aritmeetilise jada n-is liige.
a) a1 = 2; d = -2; n = 12; a12 = ???
Lahendus: Kasutame aritmeetilise jada üldliikme valemit .
a12 = 2 + (12 – 1) . (–2) = 2 – 22 = – 20
b) a1 = 3-2; d = ; n = 16; a16 = ???
Lahendus:
c) a1 = 2-1; d = 0,5; n = 16; a16 = ???
Lahendus:
3. Olgu antud aritmeetiline jada -2; 1; 4; ... Mitmes jada liige on 37?
Lahendus:
Antud on a1 = -2; a2 = 1, millest järeldub, et vahe on d = 1 – (–2) = 3; an = 37.
Asendades arvud valemisse , saame
37 = –2 + (n – 1) . 3;
3(n – 1) = 39
n – 1 = 13;
n = 14.
Vastus: Arv 37 on antud aritmeetilise jada 14. liige.
4. Paiguta arvude 18 ja -10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada 5 järjestikust liiget.
Lahendus:
Antud on a1 = 18; n = 5; a5 = -10.
Asendades arvud valemisse , saame
-10 = 18 + (5 – 1)d;
4d = -28;
d = -7.
Seega arvud on 18 – 7 = 11, 11 – 7 = 4 ja 4 – 7 = -3.
Vastus: otsitavad arvud on 11, 4 ja -3.
5. Leia kõigi 5-ga jaguvate kahekohaliste naturaalarvude summa.
Lahendus:
Esimene kahekohaline arv, mis jagub 5-ga on a1 = 10 ja viimane on an = 95. Selliseid arve on kokku 18. Loe ise üle.
Kasutame aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valemit . Saame
Vastus: kõigi 5-ga jaguvate kahekohaliste naturaalarvude summa on 945.
6. Leia kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa.
Lahendus:
Esimene sajast väiksem positiivne arv, mis jagub 3-ga on a1 = 99 ja viimane on an = 3. Selliseid arve on kokku (99 – 3) : 3 + 1 = 33 ehk n = 33.
Kasutame aritmeetilise jada esimese n-liikme summa valemit . Saame
Vastus: kõigi sajast väiksemate kolmega jaguvate positiivsete arvude summa on 1683 .
7. Aritmeetilise jada kolmas liige on 8 ja seitsmes liige 18. Leia esimese üheteistkümne liikme summa.
Lahendus:
Antud on a3 = 8 ja a7 = 18. Teame, et a3 = a1 + 2d ja a7 = a1 + 6d. Saame moodustada võrrandisüsteemi:
. Lahendame selle süsteemi. Kasutame liitmisvõtet. Enne aga tuleb teine võrrand korrutada -1-ga. Saame
Asendame nüüd d = 2,5 esimesse võrrandisse. Saame
a1 + 2 . 2,5 = 8;
a1 = 3.
Saime , et a1 = 3 ja d = 2,5.
Edasi tuleb leida esimese üheteistkümne liikme summa ehk S11.
Vastus: esimese üheteistkümne liikme summa on 170,5.
8. Aritmeetilise jada kolmas liige on 5 ja kaheteistkümnes liige on -22. Leia esimese kuueteist-kümne liikme summa.
Lahendus:
Antud on a3 = 5
a12 = -22
Leida on vaja S16.
Kui vaadata valemeid, siis ei saagi nagu ülesannet lahendada, sest me ei tea jada esimest liiget ja vahet. Kuid me teame kolmandat ja kaheteistkümnendat liiget ning kuidas nad avalduvad valemi kaudu ehk
Lahendame võrrandisüsteemi asendusvõttega, kus esimesest võrrandist avaldame a1 ja asendame teise võrrandisse. Saame
a1 = 5 – 2d;
5 – 2d + 11d = –22;
9d = –27;
d = –3.
a1 = 5 – 2 . (–3) = 11.
Saime, et a1 = 11 ja d = –3.
Leiame nüüd S16.
Vastus: esimese kuueteistkümne liikme summa on 184.
9. Leia aritmeetilise jada esimene liige a1 ja vahe d, kui
a)

Lahendus:
Kasutame aritmeetilise jada üldliikme valemit
ja kirjutame kõik antud liikmed selle valemi abil lahti.
Asendame võrranditesse, koostame võrrandisüsteemi ja lahendame selle.
Kontroll:
a1 = 12 ja d = 3. Jada kolmas liige on 12 + 2 . 3 = 18; seitsmes liige 12 + 6 . 3 = 30 ja kümnes liige
12 + 9 . 3 = 39.
Esimese ja seitsmenda liikme summa on 12 + 30 = 42
kümnenda ja kolmanda liikme vahe on 39 – 18 = 21.
Vastab ülesande tingimustele.
Vastus: aritmeetilise jada esimene liige on 12 ja vahe 3.
b)
Lahendus:
Kasutame aritmeetilise jada üldliikme valemit
ja kirjutame kõik antud liikmed selle valemi abil lahti.
Asendame võrranditesse, koostame võrrandisüsteemi ja lahendame selle.
Saime kasvava aritmeetilise jada, mille esimene liige on -5 ja vahe 3 ning kahaneva jada esimese liikmega 7 ja vahega -3.
Vastus: aritmeetilise jada esimene liige on kas -5 ja vahe 3 või 7 ja vahe -3.
10. Leia aritmeetilise jada kolm järjestikust liiget, kui nende summa on 33 ning korrutis 1287 .
Lahendus:
Kõige lihtsam on võtta kolm esimest liiget, kuid ei ole keelatud ka näiteks viies, kuues, seitsmes liige võtta. Moodustame võrrandid ja lahendame siis võrrandisüsteemi.
Kolme järjestikuse liikme summa on 33 ehk
ning korrutis 1287 ehk .
Teeme asendused valemi
abil. Saame
Saime kaks aritmeetilist jada, kus
1) esimene liige on 9 ja vahe 2 ehk jada 9; 11; 13. Nende liikmete summa on 9 + 11 + 13 = 33 ja korrutis 9 . 11 . 13 = 1287. Vastab ülesande tingimustele.
2) esimene liige on 13 ja vahe -2 ehk jada 13; 11; 9. Nende liikmete summa on 9 + 11 + 13 = 33 ja korrutis 9 . 11 . 13 = 1287. Vastab ülesande tingimustele.
Vastus: Otsitavad liikmed on 9, 11 ja 13.