Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1'-5' nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, , 1'-5'. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga x×y. Om:1y×x=-x×y; 2y=x x×x=0; 3(x×y)×z=x×z+y×z; 4 (·x)×y=x×(·y)= ·(x×y). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (x×y)·z. Om: 1' (x×y×)·z=x·(y×z) 2' segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3' [xyz] 2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik
1') leidub vähemalt 1 punkt 2') igale kahele võetud punktile A ja B seatakse vastavusse üks vektor a, AB=a 3') iga punkti A ja vektori a korral leidub parajast 1 punkt B, niiet punktidele A ja B vastab vektor a 4') Kui AB=CD, siis AC=BD. Järeldused: J1: AC=BD, AB+BC=BC+CD, AB=BC=BC+AB, a+b=b+a; J2: AA=BB=0, AB=AB+BB, a=a+0 leidub 0-vektor; J3: BA=-(a), AA=AB+BA 0=a+(-a); J4: a+ (b+c)=(a+b)+c Aktsioomid 1'-4' seovad algmõistet punkt ja vektor 1*) mistahes reaalarvule ja igale vektorile a seatakse parajasti vastavusse 1 vektor b, niiet b=*a; 2*) (+)*a=*a+*a; 3*) (+a)=**a; 4*) (a+b)=*a+*b; 5*) 1*a=a J5: Kui =1, siis (-a)=-1*a; J6: =- 0*a=0; J7: *0=0; J8: (-(-a))=a eksisteerib e1, e2, e3, mistahes x korral Def: 1'-4', 1*-4*, sel korral punktide, vektorite, reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud eelmainitud aktsioomid nim kolmemõõtmeliseks afiinseks ruumiks A3. Afiinse ruumi lineaarselt sõlutmatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks
Nt. sõites autoga, auto sinu jaoks ei liigu aga puud küll. LIIKUMIST ISELOOMUSTAVAD SUURUSED 1)aeg- t (s) 2)teepikkus- s (m) 3)nihe- s-> 4)kiirus- v (m/s) VEKTORID Vektor on suunaga suurus. Vektoreid kujutatakse joonistel nooltena. Vektori pikkus on moodul (absoluutväärtus) 1) Vektorite liitmine Vektoreid liidetakse kas kolmnurga või rööpküliku reegli järgi ja ainult graafiliselt. 2) Vektorite lahutamine Vektorite lahutamiseks võib vektorile liita teise vektori vastandvektori. Lahutamiseks võib nad kanda ka ühisesse alguspunkti. Vektorite vahe viib teise lõpust esimese algusesse. Nihe on vektor, mis viib keha algasukohast lõppasukohta.
1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada.
pikkusega aga vastandsuunalised. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa. Kolmnurgareegel Rakendame liidetavad vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt on teisele vektorile alguspunktiks. Summavektor algab esimese vektori alguspunktist ja lõpeb teise vektori lõpp-punktis. Rööpkülikureegel Liidetavad vektorid on rakendatud ühisesse alguspunkti. Täiendame joonise rööpkülikuks nii, et antud vektorid on rööpküliku külgedeks. Summavektoriks on rööpküliku diagonaal, mis algab nende ühisest alguspunktist. Hulknurgareegel Selleks, et liita mitu vektorit, asetame nad nii, et esimese lõpp ühtib teise
.. ridu ei sisendi,j > max max = sisendi, j ruut_ri = i ruut_ve = j max, ruut_ri, ruut_ve Üldised parameetrid ja muutujad prk - maatriksi piirkond ridu - maatriksi ridade arv veerge - maatriksi veergude arv i - maatriksi reaindeks j - maatriksi veeruindeks sisend - etteantud maatriksile vastav massiiv valjund ja valjund2 - protseduuride käigus loodavad uued massiivid vektor - etteantud vektorile vastav massiiv Peaprotseduur Massiiv() Loeb maatriksi read ja veerud, deklareerib dünaamilised massiivid ning loeb nendesse töölehelt maat käivitab vastavalt sellele kas protseduurid Max_ül_diag, Liida, Tee_Uus ja Kir_Tab või protseduurid rist_ve - etteantud veeru järjekorranumber ristkülikmaatriksi puhul summa - leitud positiivsete elementide summa ristkülikmaatriksi etteantud veerus Protseduur Max_ül_diag(sisend, ridu)
on a * n jam is on suunatud samas suunas kui a. Vektor a ja negat skalaari korrutiseks on n vector jam is on suunatud vastas suunda kui a. Vektorite liitmine- Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese (I) vektori lõpust tõmmata teine vektor (II), II vektori lõpust kolmas (III) vektor jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud I vektori algusest viimase vektori lõppu. Vektorite lahutamine-Selleks, et lahutada ühte vektorit teisest, tuleb teisele vektorile liita esimese vastandvektor. Antud vektori vastandvektoriks nimetatakse vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja võrdne pikkus, kuid vastupidine suund. Vektori projektsioon- Vektori projektsiooniks teljele x nim telje lõigu a*b pikkust mille algus on vektori alguse projektsioon teljele ja lõpuks vektori lõpuprojektsioon teljele. Vektori projektsioon on posit kui telje lõigu sound langeb ühte telje suunaga, millele projekteeritakse vector ja minus kui need suunad on vastupidised.
Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel summavektoriks on vektor, mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus: järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega
mis haarab üha suuremaid piirkondi ,,hetkpilt". Tekib nn elektromagnetlaine, mis levib võnkuvast laengust kõikidesse suunadesse. Igas ruumipunktis muutuvat elektri- ja magnetvälja ajas perioodiliselt. Kahe lähima vaheline kaugus, milles võnkumised on samas faasis on võrdne lainepikkusega lambda. Elektirvälja tugevuse ja magnetvälja induktsiooni võnkuvate vektorite sihid on risti laine levimissihiga elektromagnetlaine on ristlaine. Kui pöörata parempoolse kruvi pead vektorilt E vektorile B, siis ühtib kruvi liikumise suund elektromagnetlaine kiiruse C suunaga. Elektromagnetlaineid kiirgavad võnkuvad laegnud. Elektromagnetvälja energia muutub ruumis antud ajahetkel vastavalt vektoritelt E ja B muutumisele. Laine kannab endaga energiat, mis levib lainelevimissuunas kiirusega c. Energia muutub mistahes ruumi osas aja jooksul perioodiliselt. Laine levimiskiirus võrdub laine pikkuse ja sageduse korrutisega: c=landbaf. §33. Elektromagnetlainete kiirgamine
= xj j Bilansi read näitavad, kuidas tarbitakse erinevate harude toodangut. Bilansi veerud näitavad, kuidas erinevate harude toodangut toodetakse. Tabelis kirjeldatut võib kirja panna ka maatrikskujul. Erinevate vahetarbimiste summa vektor, liidetuna lõpptarbimise vektorile, annab tulemuseks kogutoodangu vektori ehk: x11 + ... + x1n y1 x1 + = xn1 + ... + xnm yn xn Kui tootmistehnoloogia jääb samaks, siis ühe haru toodangu kogus, mida vajatakse teise haru toodangu ühiku tootmiseks jääb samaks. Tootmistehnoloogiat kirjeldavad kulukoefitsendid. Otsekulukoefitsent aij näitab, kui palju kulub i-nda haru toodangut j-nda haru kogutoodangu ühiku valmistamiseks: xij
Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks. Vastandjuhul nimetatakse ruutmaatriksit A singulaarseks. Pöördmaatriksi elementide 1 ~ leidmise eeskiri: A -1 = A. det A 5. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks. Vektori V pikkuseks nimetatakse arvu . Vektori pikkust tähistatakse . Olgu ja nullvektorist erinevad vektorid eukleidilisest vektorruumist V. Vektorite ja vaheliseks nurgaks NO NO nimetatakse nurka , mis on määratud võrdusega cos , = . Öeldakse, et vektorid ja
kommutatiivne. Järeldus2 AB + ( BC + CD ) = ( AB + BC ) + CD vektorite assotsiatiivsus. Järeldus3 BB = 0 AB = AB + BB on olemas null vektor. Järeldus4 BA = ( -a ) AA = AB + BA 0 = a + ( -a ) eksisteerib vastandvektor. Aksioomid 1 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega. Aksioom*1 Igale reaalarvule ja vektorile a seatakse vastavusse parajasti üks vektor b, nii et b = a. Aksioom*2 ( a ) = ( ) a Aksioom*3 ( a + b ) = a + b Aksioom*4 ( + ) a = a + a Aksioom*5 1 a = a Viimastest aksioomidest saab teha järeldused: Järeldus*1 0 a = 0 Järeldus*2 ( - a ) = ( -1) a Järeldus*3 0 = 0 Järeldus*4 [ - ( - a )] = a
com/watch?v=YCWZ_kWTB9w Hiir: Hiir on seade, mille abil saab kasutaja reaalses maailmas kahedimensionaalse liikumise abil liigutada kursorit ekraanil kasutades graafilist kasutajaliidest. Hiirel on tavaliselt 3 nuppu: Vasak, keskmine ja parem, ning rullik. Esimene hiir leiutati 1960-ndatel aastatel Douglas Engalbart-i poolt. Esimesed hiired olid mehaanilised. Nendes oli kuul, mis liikus vastavalt kasutaja hiireliigutustele. Hiires oli kaks plaati, milles olid augud. Plaadid vastasid X ja Y vektorile. Kuuli liikudes liikusid need plaadid vastavalt edasi olenevalt kuidas kasutaja hiirt liigutas. Mõlema plaadi jaoks oli infrapuna LED. Kui tuli auk plaadil, pääses valgus läbi ja saadi signaal. Kui auk lõppes, lõppes valgus ning ka signaal. Tegemsit oli pulssidega. Nii sai lugeda X ja Y vektori pulsse ning vastavalt sellele liigutati kursorit ekraanil. Optilised hiired kasutavad LED valgustust ja fotodioode, et transleerida hiire liikumine kursori liikumiseks
Kuigi selle nimi väljendab võrreldavat turvalisust juhtmega ühendusega, siis tegelikult see seda ei ole. WEP-i kohta on välja toodud väga palju erinevaid funktsionaalsusvigu, mis tänapäeval teevad selle väheturvaliseks algoritmiks. WEP kasutab konfidentsiaalsuse tagamiseks RC4 sifrit ja terviklikuse tagamiseks CRC-32 kontrollsummat. Standardne 64-bitine WEP kasutab 40 bitist võtit, mis on lisatud 24 bitisele initsialiseeritud vektorile. Sellel ajal, kui see loodi, siis olid USA-l rakendatud ranged krüptotehnoloogiate ekspordi piirangud. Selle tõttu oli esialgu võtme pikkus ka piiratud. Hiljem, kui piirangud kaotati, siis tootjad implementeerisid pikendatud 128 bitise WEP võtme, mis kasutas 104 bitist võtme suurust. Joonis . RC4 jadasiffer 64 bitine WEP võti sisestatakse tavaliselt kümne kuuteistkümnendsüsteemi sõnena, kus iga tähemärk väljendab nelja bitti. Kümme tähemärki moodustavad kokku 40bitti.
Ülesanne • Olgu meil punkt A (1;-1), punkt B(4;-2), punkt C(1;-1) ja punkt D(4;-1). • 1. Leidke vektor a=AB ja b=CD koordinaadid ning joonestage graafikule. • 2. Leidke vektorite a ja b pikkus. • 3. Leidke vektorite a ja b summa ning vahe (graafiliselt ja algebraliselt). • 4. Mis oleksid vektorite koordinaadid, kui vektorid korrutada läbi kolmega? • 5. Leidke vektorite skalaarkorrutis. • 6. Leidke vektor c = a x b, kui z-telje suunas lisanduks a vektorile koordinaat 2 (2k) ning b vektorile koordinaat -1 (-k) ning joonestage vektorid a, b ja c graafikule. Vektorid Füüsikalised objektid ja suurused • Matemaatika on teadus meid ümbritseva maailma hulgalistest, geomeetrilistest ja loogilistest omadustest, rangelt defineeritud tähendusega sümbolite keel. • Teadusi, mis kasutavad oma töökeelena matemaatikat, nimetatakse täppisteadusteks. Pikkus, kiirus ja aeg
suhtes, mida tähistatakse f ( x i … x n ) ehk f ' ' xixj (x i … x n ) . Segatuletise väärtus ei sõltu ∂xj ∂ˇxi üksikute tuletiste võtmise järjekorrast, st kehtib võrdus f ′′xixj = f ′′xjxi 18. Mis on skalaarväli ja vektorväli? n-muutuja funktsiooni nimetatakse ka n-mõõtmeliseks skalaarväljaks. Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse reaalarvu ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X ⊆ Rn vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks. 19. Defineerida skalaarvälja gradient. Mis on nabla? Olgu antud skalaarväli u = F(x). Skalaarvälja F gradiendiks kohal x nimetatakse järgmist vektorit: gradF ( ⃗x )=¿)
Kollineaarsed vektorid: vektorid, mis asuvad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). 14. Vektori korrutamine arvuga (geomeetriliselt). Vektorite liitmine ja lahutamine (geomeetriliselt). Korrutamine arvuga: vektrori korrutamisel arvuga, suureneb tema pikkus võrdeliselt (siht ei muutu). Samasuunaline kui arv > 0, vastassuunaline kui arv < 0. Liitmine: (liites vektorile selle vastand vektori, saame alati nullvektori.) vektorite summaks nim vektorit · Kolmurgareegel liidetavad vektorid ühendada järjest summavektor tõmmata esimese alguspunktist viimase lõppunkti; · Rööpküliku reegel liidetavate vektorite alguspunktid on samad, summavektor tuleb tômmata alguspunktist rööpküliku vastasnurka. Lahutamine: Kahe vektori x ja y vahe defineeritakse kui vektori x ja vektori y vastandvektori y summa st: 15
lasta sellisel juhul tuleb külastada süviti strateegia järgi. Proge antakse sisse viit puu juurele. Sorditud loendi moodustamine puu põhjal. Puu läbikäik sümmeetriliselt, aga mitte rekursiivselt. Kasutatud on stacki. Puu läbikäik(3). - läbi vaadata see näide. Kaval progeja kasutab rekursiooni ikka siis, kui ta leiab, et see talle midagi annab. Mida teha siis, kui ei ole tegemist kahendpuuga, vaid tütarde arv ei ole piiratud. Viit vektorile ning see viitab omakorda tütardele. Viidad tütardele on ühes vektoris, kui üks tütar tuleb juurde, siis tuleb seda vektorit pikendada. Ei ole kõige parem lahendus. Parem lahendus. Teha tipp selliselt, et seal on viit kirjele. Tütarde puhul on viit ainult kõige vasakpoolsemale tütrele ning temast vahetult paremale asuvale õele. Sellisel juhul on viitade arv tipus täpselt kolm ja see arv pole muutuv. Kui joonistame need viidad veidi teisiti, siis saame kahendpuu
ristreepriks. 6. (a+b)c=ac+bc Kahele vektorile seame vastavusse ühe reaalarvu, mida tähistatakse a'b', nim vektorite areaalkorrutiseks, mis võrdub nende vektorite koordinaatidest moodustatud determinandiga.
......................................................................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetilseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on
gradz s Z=(x; y) grad z=(z/x; z/y) ja s°=(cos; cos) ning z/s=grad zs° (joon) cos = gradz s gradz s cos = grad zs°=grad zcos z/s=grad zcos. Kahe muutuja f-ni z tuletis vektori s suunas on gradz võrdne selle f-ni grad-vektori projektsiooniga vektorile s. Kahe muutuja f-ni tuletis suunas mis on risti grad-ga, võrdub nulliga. (Kui =0 siis cos=1). Kahe muutuja f-ni tuletis on suurim g-vektori suunas ja arvuliselt võrdne selle g-di pikkusega. Kahe muutuja lokaalsed ekstreemumid z=(x; y) Def1: z=(x; y) on punktis P1(x1; y1) lok max kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus et iga punkti korral sellest ümbrusest on f-ni väärtus väiksem kui f-ni väärtus punktis x1, y1: (x; y)<(x1; y1) ja (x; y)(x1; y1). Def2: Öeldakse et f-ni z=(x;
= A B, kui liidame vektoriga A vektori, mis on võrdvastupidine vektoriga B. Vektorite lahutamine komponentideks. Iga vektori A võib asendada mitme vektoriga A1, A2 jne., mille summa annab vektori A. (joon.5.). Vektori projektsioon teljel. Vektori projektsioon on skalaar. Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga a koosinuse korrutisega. Vektorkorrutis. a®*b®= c® , I a®l * l b®l * sin a = l c®l, a= a®Ù b® Liikumisvõrrand- r = t(t)- kohasõltuvus ajast
Vektori projektsioon teljel: olgu meil telg x ja vektorid, mis pole paralleelsed selle teljega. Vektori AB projektsioon teljel x nim telje lõigu a1b1 pikkust, mille alguseks on vektori alguspunkt projektsioon teljel ja lõpppunkt.... Projektsioon on võetus positiivne kui lõigu suund õhtib telje suunaga, a1b1=positiivne, aga d1c1=negatiivne (suund on vastupidine telje suunaga). Projektsiooni tähistatakse PrxAB= a1b1. Teoreem vektorile projektsiooni kohta- vektori projektsioonid paralleelsete ja ühesuunalistele telgedele on võrdsed. xy, PrxAB=PryAB, a1b1= a2b2. tõestuseks lõikame neid telgi kahe paralleelse tasapinnaga. Vektori projektsioon teljele on võrdne projekteeritava vektori suuruse ja vektori ning telje vahelise nurga koosinuse korrutisega. PrxAB=Abcos, a1b1= a2b2, PryAB=PrxAB => /AB/cos. Mitme vektori geomeetriline summa projektsioon teljele on võrdne komponent vektorite projektsioonide summaga samal teljel.
Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikkus Vektori pikkuseks loetakse sellele vektorile vastava sirglõigu AB pikkust. See on mittenegatiivne reaalarv.Tähistus Kollineaarsed vektorid Vektoreid AB ja CD nimetatakse kollineaarseteks ehk samasihilisteks, kui lõigud AB ja CD asuvad kas ühel sirgel või paralleelsetel sirgetel. Komplanaarsed vektorid Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel. Samasuunalised vektorid Kui vektorid on samasihilised ning on samas suunas.
1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka
6.) Energia - nimetatakse füüsikalist suurust , mis iseloomustab keha võimet tõõd teha. Energia ühikuks on dzaul Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. (J ). Potensiaalne energia Maapinnast kõrgusel h asuva keha, mille mass on m, potentsiaalne energia Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori A ühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning Ep=mgh. Kineetiline energia ( Ek) võrdub tööga, mida tuleb teha, et panna keha massiga (m) liikuma moodul on võrdne ühega. kiirusega (v). A = ʃmvdv = mv2/2 = Ek Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a)
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus
siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu hulgas D paiknevatele punktidele (x,y) vastavate polaarkoodniaatide (,) hulk D`. Muutuja
• Rasterkujul on ruum jaotatud kindla suurusega ruutudeks e. võrgustikuks. Ühte võrgustiku elementi (ruutu) e. rakku nimetatakse piksliks. • Igal pikslil on rasterkujuliste andmete korral kindlad geograafilised koordinaadid ning atribuutide informatsioon. Vektor andmemudel: • Vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide baaride kaupa (matemaatikas: vektor suunatud sirglõik). • Sarnaselt matemaatilisele vektorile iseloomustab ka geograafiliste andmete vektorkuju algus- ja lõpp-punkt ning suund. • Atribuudi info saab “kinnitada” eraldi kaardiobjekti külge. Raster ja vektormudeli andme võrdlus: RASTER VEKTOR Andmete kogumine kiire aeglane Andmete hulk suur väike
xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu
Diferentseeruvuse ja pidevuse >0, et iga x (a, a+()) korral kehtib võrratus |f(x) - b| < . seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ ) Lause. Fun-nil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis kui iga jada { xn}, mis koondub 1. Normiks vektorruumis V nim. reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari ||u|| punktis a (xn a) korral jada { f(xn)} koondub arvuks b. R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: Omadused: u V ||u|| 0; ||u|| = 0 u= Lause. Konstantse fun-ni piirväärtuseks on see konstant, st x X(f(x) = c) limxa f(x) = c.
suunas, kuni viimase ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga. Viimases ühises punktis ongi antud ülesande maksimaalne lahend. Tavaliselt on selleks punktiks kahe sirge lõikepunkt. Lõikepunkti koordinaatide täpseks määramiseks on vaja lahendada nendele sirgetele vastavatest võrranditest koostatud süsteem. Miinimumülesande korral on vaja sirget nihutada kuni esimese ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga või nihutada vektorile vastassuunas kuni viimase ühise punktini ( sõltub piirkonna ja vektori vastastikkusest asendist). Näide: Kahte tüüpi toodete valmistamiseks on 80 kg toorainet ja 6 tundi aega. Esimese toote valmistamiseks kulutatakse igale tootele 2 kg toorainet ja aega 0,1 tundi, teisele tootele kulub toorainet 1 kg ja aega 0.12 tundi. Leida tootmisplaan ,mille korral saadav tulu oleks suurim, kui esimest toodet on võimalik turustada kuni 30 tk ja teist toodet kuni 40 tk
vektori suunas, kuni viimase ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga. Viimases ühises punktis ongi antud ülesande maksimaalne lahend. Tavaliselt on selleks punktiks kahe sirge lõikepunkt. Lõikepunkti koordinaatide täpseks määramiseks on vaja lahendada nendele sirgetele vastavatest võrranditest koostatud süsteem. Miinimumülesande korral on vaja sirget nihutada kuni esimese ühise punktini lubatavate lahendite piirkonnaga või nihutada vektorile vastassuunas kuni viimase ühise punktini ( sõltub piirkonna ja vektori vastastikkusest asendist). Näide: Kahte tüüpi toodete valmistamiseks on 80 kg toorainet ja 6 tundi aega. Esimese toote valmistamiseks kulutatakse igale tootele 2 kg toorainet ja aega 0,1 tundi, teisele tootele kulub toorainet 1 kg ja aega 0.12 tundi. Leida tootmisplaan ,mille korral saadav tulu oleks suurim, kui esimest toodet on võimalik turustada kuni 30 tk ja teist toodet kuni 40 tk
all GIS-i andmetabelid rastermudeli korral. 15 GEOINFOSÜSTEEMID Eksamiteemad Vektor andmemudel – vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide paaride kaupa. Sarnaselt matemaatilisele vektorile iseloomustab ka geograafiliste andmete vektorkuju algus- ja lõpp-punkt ning suund. Atribuudi info saab kinnitada eraldi kaardiobjekti külge. Kaardiobjektid moodustuvad vektorstruktuuri korral järgmiselt: 1. Punkt – koordinaatide paar 2. Joon – koordinaatide paaride rida 3. Polügoon – koordinaatide paaride rida, mille algus-ja lõpp-punkt on samade koordinaatidega 4. Pindobjekti iseloomustab hästi TIN mudel – trigonaalne ebakorrapärane võrgustik
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada
vektorkorrutise a × b skalaarkorrutist vektoriga c, st arvu (a × b)c Avaldis koordinaatides: omadused: Determinantide omadustest tulenevalt: kolm nullvektorist erinevat vektorit a = ( x1 ; y1 ; z1 ), b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ja c = ( x3 ; y3 ; z3 ) on komplanaarsed parajasti siis, kui nende segakorrutis on null, st rakendus: kolme vektori segakorrutist kasutatakse ruumalade arvutamisel. kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus
loetavad. ii. Sekveneeritud sai terve sisestatud insert. iii. Järjestuses on tekkinud üks punktmutatsioon, kus A on muutunud C-ks. See muudab ka aminohapet E asemel sünteesitakse A. 8.a) Kloneerimiseks tuleb vektorit ja inserti lõigata, tekitades komplementaarsed kleepuvad otsad, seejärel tuleb otsad kokku ligeerida. i. Restriktaasidest võiks kasutada EcoRI ja BamHI-d, et saada vektorile ja inserdile sobivad ,,kleepuvad otsad". Ainult EcoRI-st ei piisa, kuna inserdil on vaid üks EcoRI lõikamissait ühte otsa tuleb töödelda mingi teise restriktaasiga, BamHI sobib kõige paremini, kuna lõikab pärast kodeerivat järjestust. Kuna inserdi algus ja lõpp on erineva restriktaasiga lõigatud, siis see kindlustaks ka selle, et insert siseneb vektorisse õiget pidi. Puhvritest oleks restriktsioonil kõige optimaalsem kasutada sama firma poolt
5.Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Vektori pikkuse definitsioon. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Vektorite ristseisu tunnus. Afiinses ruumis pole võimalik arvutada nn. meetrilisi suurusi: vektori pikkust, punktide vahelist kaugust, vektorite vahelist nurka jne. Meetriliste suuruste sissetoomiseks kasutatakse skalaarkorrutise mõistet, mille üldine definitsioon on järgmine. Def. 1. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile paneb vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1° 0 iga V korral; 2° = 0 parajasti siis, kui = (nullvektor) 3° = iga , V korral (kommutatiivsus); 4° c ( ) = ( c ) = ( c ) iga c ja , V korral (homogeensus);
.., n nii, et Siis 1- 1 1+ 2- 2 2 + ...+ n- n n millest baasivektorite lineaarse sõltumatuse tõttu järeldub, et 23. Vektorite skalaarkorrutis ja eukleediline vektorruum. Eesmärgiga üldistada vektori pikkuse ja nurk vektorite vahel mõisted mistahes vektoruumile defineerime skalaarkorrutise: Definitsioon. Skalaarkorrutiseks vektorruumis nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile seab vastavusse parajasti ühe reaalarvu, mida tähistatakse ja nimetatakse vektorite ja skalaarkorrutiseks, kui on täidetud järgmised omadused 2. parajasti siis, kui ; Näited: 1) aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2; ...; xn) ja = (y1; y2; ...; yn) skalaarkorrutist saab defineerida, näiteks, järgmiselt: 2) kahemõõtmelises aritmeetilises vektorruumis kahe vektori = (x1; x2) ja = (y1; y2)
on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = Seega sin cos f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 20. Kolmekordse integraali mõiste ja tema arvutamine ristkoordinaatides Kinnises tõkestatud piirkonnas VR3 määratud pideva funktsiooni f(x,y,z)
vektorruumi V baasivektoritest 1; ...; n nimetatakse afinse ruumi (V,P) reeperiks ehk teljestikuks Omadusi: 1. vektor(AA) = A P. Tõestus: (3.) A=B=C; v(AA) + v(AA) = v(AA) |-v(AA) => v(AA) = 2. A,BP => v(AB) = -v(BA). Tõestus: C=A, siis v(AB) + v(BA) = v(AA) = |- v(BA) => v(AB) = -v(BA) 24. Skalaarkorrutise defnitsioon üldjuhul. Skalaarkorrutise näiteid. Skalaarkorrutiseks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele vektorile ja paneb vastavusse reaalarvu * nii, et on täidetud järgmised tingimused: 1. * >= 0 V 2. * = 0 <=> = 3. * = * ,V (kommutatiivsus) 4. *(+) = * + *; (+)* = * + * ,,V (distributiivsus) 5. c(*) = (c)* = *(c) cR, ,V (homogeensus) Näiteid: 1. * = ||||*||||*cos 2. V = Rn; = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn); * = aibi = a1b1 + ... + anbn 3. V = Rn; c1, ..., cn >= 0; * = ciaibi = c1a1b1 + ... + cnanbn 4. V - suvaline n-mõõtmeline vektorruum (üle R); B - fkseeritav baas; = (a1; .
OMADUSED: 1)vektorsüsteem on lin sõltuv => 2)vektorkorrutamine on kaldsümmeetriline: 3): 4) (x ) × y = ( x × y ) Vektorkorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: x2 x3 x1 x3 x1 x2 x × y =y ,- , . 2 y3 y1 y3 y1 y2 Kahele vektorile ehitatud rööpkülik: Srk ( , )= | | x2 x3 x1 x3 x1 x2 = y2 ;- ; y3 y1 y 3 y1 y2 SEGAKORRUTIS: Segakorrutis: Kolme vektori x , y, z E 3 segakorrutiseks nim. reaalarvu
|x| = x sgn x. Absoluutva¨ artuse ¨ tuletis (|x|) = sgn x. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 9 / 25 Reaalarvud ¨ Umbrused Definitsioon (Norm) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari u R, kusjuures on taidetud ¨ ¨ jargmised tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = 2 u V , R u = || u 3 u, v V u+v u + v Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0
Lühenditena vastvalt MDNK ja MKNK. Ülesanne (x1 ) ( x2 x3 ) ( x1 x2 ) 12 Leida antud loogikafunktsiooni MDNK, MKNK, TDNK, TKNK. Minimeerimine normaalkujude klassis Boole'i ruum {0,1}n all mõistame järgnevas kõikvõimalike kahendvektorite (x1 ,x2 ,...,xn ) hulka. Hüperkuupi (n-mõõtmelist kuupi) esitame kui graafi, mille iga tipp vastab üks-üheselt ruumi {0,1}n ühele vektorile ja 2 tippu on omavahel seotud, kui vastavad vektorid on ortogonaalsed (s.o. erinevad) täpselt ühe argumendi järgi ja langevad kokku ülejäänud (n-1)-s argumendis. · Intervall on vektorite (x1 ,x2 ,...,xn ) hulk, mis moodustavad teatava suurusega hüperkuubi. · Antud funktsiooni ühtede intervall on intervall, mille koosseisus olevate vektorite jaoks f(x1 ,x2 ,...,xn )=1. · Maksimaalne ühtede intervall on ühtede intervall, mis ei sisaldu üheski teises ühtede intervallis.
Lühenditena vastvalt MDNK ja MKNK. Ülesanne x x 1 2 x3 x1 x2 Leida antud loogikafunktsiooni MDNK, MKNK, TDNK, TKNK. Minimeerimine normaalkujude klassis Boole'i ruum {0,1}n all mõistame järgnevas kõikvõimalike kahendvektorite (x1 ,x2 ,...,xn ) hulka. Hüperkuupi (n-mõõtmelist kuupi) esitame kui graafi, mille iga tipp vastab üks-üheselt ruumi {0,1}n ühele vektorile ja 2 tippu on omavahel seotud, kui vastavad vektorid on ortogonaalsed (s.o. erinevad) täpselt ühe argumendi järgi ja langevad kokku ülejäänud (n-1)-s argumendis. Intervall on vektorite (x1 ,x2 ,...,xn ) hulk, mis moodustavad teatava suurusega hüperkuubi. Antud funktsiooni ühtede intervall on intervall, mille koosseisus olevate vektorite jaoks f(x1 ,x2 ,...,xn )=1. Maksimaalne ühtede intervall on ühtede intervall, mis ei sisaldu üheski teises ühtede intervallis.
on võrdvastupidine vektoriga B. Vektorite lahutamine komponentideks. Iga vektori A võib asendada mitme vektoriga A1, A2 jne., mille summa annab vektori A. (joon.5.). Vektori projektsioon teljel. Vektori projektsioon on skalaar. Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga koosinuse korrutisega. Vektorkorrutis. a*b= c , I al * l bl * sin = l cl, = a b §6.Mõõtühikute süsteemid SI ja CGS. Eksisteerib mitu süs
Kui suurused x,y, ∆x ja ∆y on fikseeritud, reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u || ∈ R, kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 2 +𝑙 2 +𝑙 2 2 +𝑙 2 +𝑙 2 √𝑙 2 +𝑙 2 +𝑙 2 √𝑙 2 +𝑙 2 +𝑙 2
lineaarset s~oltuvust. Leida astak ja mingi baasalams¨usteem. Juht- vektorid arendada baasalams¨ usteemi j¨ argi. Kontrollida arendusi. 13 Skalaarkorrutis Olgu V j¨argnevas vektorruum u ¨le R. 13.1 Skalaarkorrutise m~ oiste ¨ Oeldakse, et reaalses vektoruumis V on defineeritud skalaarkorru- tis, kui igale kahele vektorile a, b V on vastavusse seatud reaalarv (a|b) R nii, et on t¨aidetud j¨ argmised tingimused: 1) (a|b) = (b|a) (s¨ ummeetria) 2) (a + b|c) = (a|c) + (b|c) (aditiivsus) 3) (a|b) = (a|b) R (homogeensus) 4) kui V a = o, siis (a|a) > 0 (positiivsus) 32 V. Vektorruumid Reaalset skalaarkorrutisega vektorruumi nimetatakse eukleidiliseks ruumiks. 13.2 N¨ aide: skalaarkorrutis nullvektoriga Skalaarkorrutise 3
abc = b1 b2 b3 . c1 c2 c3 Omadus 13.16 Kolme vektori segakorrutise absoluutväärtus võrdub neile vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga, Vrt = |a b c|. 125 PEATÜKK 13. VEKTORID RUUMIS Omadus 13.17 Kolmele vektorile ehitatud tetraeedri ruumala on 1 Vte = |a b c|. 6 Omadus 13.18 Kolm nullvektorist erinevat vektorit on komplanaarsed (asuvad ühel ja samal tasandil) parajasti siis, kui nende segakorrutis võrdub nulliga ehk a b c = 0. Omadus 13.19 Kolme nullvektorist erinevat vektorit moodustavad parema käe kolmi- ku, kui a b c > 0 ja vasaku käe kolmiku, kui a b c < 0
annaabi.ee 
