3 KT teooria spikker (5)

Olgu hulgad V ja W vektorruumid siis 2 vektorruumi korral määratud kujutust f:V→W nimetatakse lineaarkujutuseks kui ta rahuldab tingimust f(α·ٓa+β·ۡb)= α·f(َa)+ β·f(b) J: α= β=1 f(a+b)=f(a)+f(b) J2: β=0 f(α·a)= α·f(a) J3: α= β=0 f(0)=0. Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutlust f:V→V nim selle vektorruumi V lineaarteisenduseks (ehk kujutusest vektorruumist V iseendasse tagasi. 1º  leidub või eksisteerib vähemalt üks punkt. 2º igale kahele kindlas järjekorras võetud punktide paarile (A;B) on vastavusse seatud parajasti üks vektor AB. 3º iga punkti A ja iga vektori a korral eksisteerib parajasti üks B nii et punktidele A ja B vastab vektor a. 4º rööpküliku aksioom , kui vektor AB on võrdne vektoriga CD siis AC on võrdne BD’ga. J1: AC=BD a+b=b+a. J2: AD=BD+AB a+(b+c)=(a+b)+c. J3: BB=0 a=a+0. J4: BA=(-a) a+(-a)=0  1* igale paarile (λ,a) on vastavusse seatud parajasti üks vektor λa. 2* (λ+μ)a= λa+ μa. 3* λ(μa)=( λ μ)a. 4* λ(a+b)= λa+ λb. 5* 1 ·a=a. J5: λ=a(μa)= μ · a. (-a)=-1 ·a. J6: λ ·0=0. J7: 0 ·a=0. J8: -(-a)=a. Δ leiduvad vektoridkusjuures x1·e1+x2·e2+x3·e3=0 peab paika vaid siis kui x1+x2+x3=0. Olgu rahuldatud aksioomide 1 º-4 º ja 1*-5* ja Δ nõuded, sel korral punktide hulga vektorite hulgaja reaalarvude hulga ühendamisel tekkinud hulka nim kolmemõõtmeliseks Affiinseks ruumiks. x=x1·e1+x2·e1+x3·e3=(x1;x2;x3) ; y=(y1;y2;y3) ; x=y x1=y1 x2=y2 x3=y3 ; λ·x=(λx1;λx2;λx3) ; -x=(-x1;-x2;-x3) ; x+y=(x1+y1;x2+y2;x3+y3) ; x-y=(x1-y1;x2-y2;x3-y3). Affiinse ruumi lineaarsete sõltumatute vektorite maksimaalset arvu nim selle ruumi mõõtmeks e dimensiooniks. Kolmemõõtmelises affiinses ruumis A3 on võimalik 2 vektori x ja y korral defineerida uus tehe mida nim vektorite skalaarkorrutiseks x·y=arv . 1’ y·x=x·y. 2’ x· (y+z)=x·y+x·z. 3’ (α·x)·y = x·(α·y) = α(x·y). 4’ x·x>0 x≠0 x·x=0 x=0. 5’(x,y) →x·y. Skalaarkorrutise defineerimine affiinses ruumis võimaldab seal hakata teostama mõõtmisi: dAB=|x|=√(x·x) ja cosζ=(x·y)/( √x2·√y2) ja x┴y=x·y. Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1’-5’ nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, Δ, 1’-5’. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b2-(a·b)2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue vektori millist nimetatakse lähtevektorite vektorkorrutiseks ja märgime üles sümboliga xy. Om:1۫ y´x=-x´y; 2۫ y=x x´x=0; 3۫ (x´y)´z=x´z+y´z; 4۫ (λ·x)y=x(λ·y)= λ·(xy). Ruumi kolmele vektorile seatakse vastavusse üks arv millist nim nende vektorite segakorrutiseks ja tähist sümbolitega (xy)·z. Om: 1’ (xy)·z=x·(yz) 2’ segakorrutis ei muutu tegurite tsüklilisel ümberpaigutamisel; 3’ [xyz]2... Ruumi E3 kolmele vektorile on võimalik vastavusse seada teatav uus vektor millist nimetatakse lähtevektorite topeltvektorkorrutiseks ja märgitakse sümbolitega (x´y)´z või x´(y´z), korrutamise assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F=∑Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud αij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest aij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse tulemusena viia kannoonilisele kujule , seejuures ilmneb ka et ruutvormi kannooniline kuju ei ole üheselt määratud. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse teel viia kannoonilisele kujule, ilmneb et kannooniline kuju pole üheselt määratud.