Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). x 2 4x x3 2. Arvutada y’(1), kui y ln (3 punkti). 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni x3 3. Arendada funktsioon MacLaurini ritta, kasutades kuni neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). neljandat järku tuletist: f(x) = 2-sin(2x) (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 4. Arvutada y’, kui y = (2x-3)sinx (3 punkti). 5. Arvutada järgmised piirväärtused: (2+3+3 punkti) 22 5 x 4 x 2x 4 5
Suurem eeldus pq Väiksem eeldus qz Tuletis pz Kui enne panime süllogisme sümbolites kirja nagu eelpool, siis nüüd võtame kasutusele uue viisi: [ ( p q) ( q z ) ] ( p z) Kui väiksem eeldus on kategooriline otsustus, siis on ka tuletis kategooriline: [ ( p q ) p] q SEGATÜÜBILINE HÜPOTEETILINE SÜLLOGISM Modus ponensi reegel: kui väiksemas eelduses kinnitatakse (jaatatakse) alust, siis tuletiseks on tagajärje kinnitus (jaatus). Tuletist ei anna: [( p q ) p] q [( p q ) p] ? [( p q ) p ] q [( p q ) p ] ? [( p q ) p ] q Tuletist ei anna: [( p q ) p ] ?
Teooria 2. kollokvium 1.Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓′ (𝑥)−𝑓′ (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 Kui funktsioonil 𝑓 (𝑛−1) eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 n- järku tuletiseks kohal a.
Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul Kusjuures on diferentseeruvad vahemikus ja on lõigul rangelt monotoonne ning Tõestus. Leian tuletise N. näiteks lahenda see sama asi kus x=asin(t) ja y=bcos(t) (o>t>2pii) vastuseks on ellips 0,pii korral on lõpmatu tuletis,st seal on puutuja paralleelne y-teljega. NB! Kui ilmutamata kujul funktsioon on diferentseeruv punktis x ja esitatud nt kujul F(x,(y))=0 , siis saab võtta tuletist argumendi järgi nii: N. Lause 4. Kui siis Tõestus. Lause eeldusel saame Seda lauset on hea kasutada siis kui funktsioonilogaritmi lnf(x) on lihstam diferentseerida, kui funktsiooni f(x) ennast. N. Seejärel diferentseerin(võtan tuletise) mõlemaid pooli Võib tuua veel näiteid, nagu nt (2x ln ja siis dife, kerge tegelt) 1.12.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 1. C'=0 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1
tähistatakse a n . Nimetus ,,normaalkiirendus" tuleb sellest, et see on suunatud trajektoori normaali sihis. 2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus Punktis 2.1 käsitlesime ühtlase pöördliikumise erijuhtu, kui keha pöörleb konstantse nurkkiirusega. Mitteühtlasel pöördliikumisel lisandub nurkkiirusele nurkkiirenduse mõiste. Pöörleva keha nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi: d (t ) = = (t ) . (2.16) dt Nurkkiirenduse ühikuks on radiaan sekund ruudus: [ ] = 1 rad2 . s Koos võrrandiga (2.5) moodustab (2.16) see pöördliikumise võrrandite süsteemi: (t) = (t) . (2.17) (t) = (t) Erijuhuna käsitleme veel ühtlaselt muutuvat pöördliikumist, kus = const
Üldavaldis näitab aga kuidas muutub funktsiooni graafiku tõus argumendi muutumisel. 63.Funktsiooni 2., 3. ja n-järku tuletis Olgu funktsioon y =f(x) diferentseeruv lõigul [a;b]. Funktsiooni tuletise f'(x) väärtused on üldiselt sõltuvad argumendist x, s.o. tuletis f'(x) kujutab endast x funktsiooni. Diferentseerides seda funktsiooni, saame funktsiooni f(x) niinimetatud teise tuletise. Funktsiooni teise tuletise tuletist nimetatakse kolmandat järku tuletiseks ehk kolmandaks tuletiseks ja tahistatakse y'''või f'''(x). Üldiselt, funktsiooni f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse ( n - 1)-järku tuletise tuletist ja tähistatakse kas sümboliga y (n) või f(n) (x): y(n) =[y(n-1)]' = f(n) (x). 64.Kõrgemat järku tuletiste leidmise eeskirjad Kui me soovime leida kõrgemat järku tuletist, näiteks kolmandat järku
suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne. DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest. F(n)(x)=[f(n-1)(x)]´. +LEIBNIZI VALEMI TÕESTUS ! 1.14 Funktsiooni diferentsiaalid DEF 1. Avaldist f´(x)x nim
( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )] ( ) 14.Defineerige funktsiooni y=f(x) teist ja kolmandat järku ning nulljärku tuletis arguendi x suhtes. Funktsiooni y=f(x) teist järku ehk teiseks tuletiseks nim. tema tuletist tema tuletisest ja tähistatakse sümboliga: ( ) Funktsiooni y=f(x) kolmandat järku tuletist ehk kolmandaks tuletiseks nim. tuletist tema teisest tuletisest ja tähistatakse sümbolitega ( ) Funktsiooni y=f(x) null-järku tuletise all mõeldakse funktsiooni endast so f(0)=f(x) 15.Kirjeldage näite varal kuidas on defineeritud liitfunktsiooni tuletis. Olgu antud liitfunktsioon y=f[g(x)] ehk ahela kujul y=f(x), u=g(x) Siis
ära selle osa, mis muudaks selle avaldise lahendamatuks ning seejärel asendame arvuga ja saame vastuse. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused- L'Hospitali valemit võime kasutada piirväärtuse arvutamise lihtsustamiseks ning reeglina kasutatakse seda ainult selliste piirväärtuste korral, mis sisaldavad mingisugust jagatist. L'Hospitali reegel seisneb selles, et me võtame sellest avaldisest tuletise ( iseseivalt nii ülevalt kui alt, MITTE JAGATISE TULETIST). Kui seejärel määramatus ära ei kao,siis võtame veel kord tuletist. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Teisiti öeldes on tuletis funktsiooni muutumise kiirus ning geomeetriliselt näitab funktsiooni tuletis funktsiooni tõusu punktis, mille abtsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi- TULETISTE TABEL
Olgu funktsioon y = f(x) (x ∈ X) esitatud ilmutamata kujul F(x, y) = 0. Kui hulgal X muutuja x diferentseeruv funktsioon F(x, y(x)) on samaselt null, siis on samaselt null sel hulgal ka selle funktsiooni tuletis muutuja x järgi, st ∀x ∈ X : d/dxF(x, y(x)) = 0. 11.Kõrgemat järku tuletis. Def: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks tuletiseks nimetatakse tuletist (n1)järku tuletist, s.o 12.Funktsiooni diferentsiaal. Avaldist f´(x)△x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df, st dy=f´(x)△x. Kõrgemat järku diferentsiaal: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n1)järku n n1
) asukoha määrab kohavektor, mis antakse kolme koordinaadiga (x,y,z). Need koordinaadid määravad keha asukoha kolmruumi ortonormaalse reeperi suhtes. - ortonormaalne reeper koosneb kolmest omavahel risti olevast ühikvektorist. Tähistame neid: i, j, k, peale paneme vektorimärgid. Kokku saame valemi vektorkujul mis on samaväärne kolme skalaarse võrrandiga: 2. Newtoni mehaanikas on kombeks esitada neid võrrandeid ruutpolünoomina 3. Liikumisvõrrandi esimest tuletist nimetatakse kiiruseks: ja teist tuletist kiirenduseks: Kui kiirendus on konstantne, on kõik kolm koordinaatvõrrandit samaväärsed koolifüüsikast tuntud "mitteühtlase sirgliikumise" valemitega: See, et me teame,mismoodi liikumisvõrrand välja näeb, ei tee meid targemaks. Me peame oskama teda koostada ja kasutada. Liikumisvõrrandi kasutamine. Olgu meil antud liikumisvõrrand vektorkujul: Kui see koordinaate pidi lahti kirjutada, saame kolm tavalist võrrandit:
.................................................. Suunduma - ..................................... Vilets - .......................................... Sage - ............................................. Kestma- ................................................ Mõttetu - ....................................... Kalduma - ........................................ Tõenäoliselt - ................................................. Moodusta iga alltoodud sõnaga kolm erinevat omadust väljendavat tuletist ning moodusta iga tuletise kohta lause. Kord, kivi, käsi. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ....................................................................................
S P S - väiksem termin P - suurem termin M - terminus medius (vahendaja) Reeglid: 1. Süllogismis on kolm otsustus. 2. Süllogismis on kolm terminit. 3. M+ a P- M- ; P- S+ a M- S+ a M- ----------- -------------- S+ a P- ? 4. Termin mis on eelduses täismahus (piiritlemata mahus) peaksid olema ka tuletises. Lühem variant: termini maht ei muutu. M+a P- S+e M+ -------- S+e P- 5. Kahest eitavast eeldusest ei saa tuletist Õpetaja Ilmar Lilleorg Maria Sillandi RP 121-T 6. Kui üks eeldus on eitav on tuletis eitav. 7. Kahest osalisest otsustusest ei saa tuletist. 8. Kui üks eeldus on osaline, on tuletis osaline Süllogismi moodus Selleks nimetatakse kolmetähelist kombinatsiooni mis märgib süllogismi moodustavate otsustuste vorme.
Füüsikas on vastasmõju tagajärjeks oleku muutus. Oleku all mõistame keha kirjeldavate parameetrite väärtuste (täielikku) komplekti 2. Tasakaalu tingimused Keha on tasakaalus parajasti siis, kui: a) temale mõjuvate jõudude summa on null; b) temale mõjuvate jõumomentide summa on null. 3. Kiirus; kiirendus, normaalkiirendus; tangentsiaalkiirendus Liikumisvõrrandi esimest tuletist aja järgi nimetatakse kiiruseks. See näitab, kui kiiresti liigub keha antud ajahetkel. Liikumisvõrrandi teist tuletist aja järgi (kiiruse esimest tuletist) nimetatakse kiirenduseks. Kiirendus näitab kiiruse muutumise kiirust antud ajahetkel. Liikumissuuna muutust põhjustavat kiirenduse komponenti nimetatakse normaalkiirenduseks ja ta on alati kiirusvektoriga (seega ka trajektooriga) risti.
Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks. Näide 1: Leian funktsiooni y=x2 tuletise y' suvalises punktis ( nt. x=3) (2
Liikumisseadus- Vektoriaalne määramisviis r=r(t) Koordinaatviisiline määramisviis (telef), Loomulik liikumisseadus s=f(t) Punktmass- materiaalne keha, mille mõõtmeid liikumise uurimisel ei arvestata. Punkti kiirendus- tema kohavektor esimese tuletise järgi. Kiirus- vektor, mis on suunatud piki trajektooripuutujat liikumissuunas ja isel. Kohavektori pikkuse kui ka suuna muutus. (telef) Punkti kiirendus- kiirusvektori I tuletis aja järgi ehk kohavektori II tuletist aja järgi. Kiirendus- isel. Kiiruse muutust (telef) Rööpliikumine- kui keha liigub ühest punktist teise ja sellel olevad sirged on paralleelsed. (telef) Jäiga keha selline liikumine, mille puhul iga kohaga muutumatult seotud sirge jääb kogu liikumise kestel oma algsihiga paralleelseks. Ühe punkti liikumine tähendab kogu keha liikumist. Pöörlemine- telef. Pöörleva keha punkti kiirus on risti trajektoori raadiusega, võrdeline punkti kaugustega pöörlemisteljel.
4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis Kui funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (, ) ja on lõigul [, ] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus: 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus. Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks kohal a. = Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni n-järku tuletiseks kohal a. Leibnizi valem
väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks Poissoni jaotus-Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on mingis lõplikus vahemikus ja juhusliku suuruse jaotustihedus on konstantne
Y =ψ (t) (α ≤ t ≤ β), kusjuures funktsioonid �(�)�� � (�) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja �(�) on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning �̇(�)≠0 (�∈(�,�)), siis �’ = dy y ̇ dx = x (α < t < β), täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. d Ilmutamata funktsiooni tuletis: F(x, f(x))=0 → dx F(x, f(x))=0 Rolle’i teoreem: Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y
e lõppeb t n2 Abifunktsioonid Parameeter, Jõumoment M, Nurkkiirendus mille järgi n h h Nm , ms¯² tuletist võetakse ### #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! 0 ### #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! 0 ### #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! 0 ### #DIV/0! #DIV/0! #DIV/0! 0
tegusõna Tuletised Nimisõnatuletis; produktiivsed Vene keeles on palju eesliiteid, ja ebaproduktiivsed tuletised; -sõnu. Kõiki neid saab liita tegusõnatuletis; sõnadele, moodustades mitu omadussõnatuletis; tuletist ühest sõnast. (eesti määrsõnatuletis. keelega sarnane) Vormimoodustus Käändsõnade Vene keeles vormimoodustus vormimoodustuses võib teatud arvestab lisaks soole ka seda, sõnatüüpides kolme esimese kas käänatav sõna väljendab käände vaheline erinevus elusolendit või eluta asja.
[af(x) dx]' = a' f(x) dx + a [f(x) dx]' = 0 + af(x) = af(x) (uv)'= u'v + uv' 0 af(x) = af(x) Teoreemidest tuleneb paar kasulikku reeglit: 1 Kui f(x) dx = F(x) + C , siis kahe funktsiooni korrutise puhul: = a F(ax) + C Selle tõestuseks võtame mõlemalt poolt tuletise ja vaatame, kas need on võrdsed, parema poole puhul kasutame liitfunktsiooni tuletist, sest muud ei jää üle: a=const. · [ f(ax) dx]'= f(ax) 1 1 1 1 f (ax ) a F(ax) + C = 0 + F'(ax) (ax)' = f(ax) a = = f(ax) a a a a f(ax) = f(ax) võrdle: (6x)' = 6 (ax)' = a 3
TULETIS · Tuletise moodustamine: On antud funktsioon y = f ( x) . Järgnevalt on vaja leida funktsiooni muut: y = f ( x + x) - f ( x ) Seejärel lihtsustada muudu valemit. Lõpuks on vaja leida funktsiooni piirväärtus, mis ühtlasi on ka tuletis. Tuletist märgitakse [y']-ga. y f ( x + x ) - f ( x ) y ' = lim = lim x x x x Pärast koondamist ja taandamist lähendada või panna x võrduma nulliga. Nii kaob funktsioonist x ära. Järelejäänud avaldis ongi tuletis. NÄIDE: 1 Funktsioon: y = x 1 1 Muut: y = - ( x + x ) x
r (t ) = i x(t ) + j z (t ) + k y (t ) = ( x, y , z ) . (1.1) Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid, x = x(t ) y = y(t ), (1.2) z = z(t ) kus parameetriks on aeg. Punktmassi kiirusvektoriks nimetatakse tema kohavektori ajalist tuletist: dr v= = r . (1.3) dt Rõhutame, et punktmassi kiirusvektor on alati suunatud piki tema trajektoori puutujat. Siit järeldub tuletise füüsikaline tähendus kui funktsiooni argumendiks on aeg, siis selle funktsiooni tuletis on tema muutumise kiirus ajas. Punktmassi kiirendusvektoriks nimetatakse tema kiirusvektori ajalist tuletist (kohavektori teine tuletis aja järgi):
Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum, kui leidub selline arv > 0, et 0 < | x| < y 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f' (a) = 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 12. Kõrgemat järku tuletised ja nende rakendused, joone kumerus ja nõgusus, käänupunktid. o Funktsiooni y = f (x) n- järku tuletiseks y(n) nimetatakse y(n 1) tuletist: y(n) = dny / dxn = d / dx (y(n-1)) = (y(n-1))'. o Kumer: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemalt (a, f (a))), kui leidub selline - ümbrus, et funktsiooni f
2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! ! Polünoomi nimetatakse funktsiooni Taylori polünoomiks ehk -järku lähendiks punkti
Väikese ajavahemiku jooksul läbib punkt teelõigu s ja elemnt.nihke r. Tekib suhe delta r/ delta t, mis väga väikeste t juures enam prakt. ei muutu. Saamegi punkti kiiruse r dr v = lim v= t 0 t dt Järelikult võib määrata kiirust kui liikuva punkti tuletist aja järgi . Kiiruse mooduli jaoks saame järgmise s ds valemi: v = lim = t 0 t dt Kui on teada kiiruse sõltuvus ajast t, saab arvutada tee pikkuse, mille punkt on läbinud ajahetkedel t 1...t2. Sellest tuleneb . Teepikkus avaldub siis integraalina t1 n
· moodustada suhe y/x · leida selle suhte piirväärtus eeldusel, et argumendi muut x läheneb nullile Liitfunktsiooni tuletis Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mille analüütilises avaldises funktsioon y sõltub oma argumendist x kas ühe või enama vahendaja funktsiooni kaudu. Olgu y=f(z), kus z on mingi x funktsioon z=(x), seega y=f[(x)]. Muutuja y on x funktsioon, kuid ta ei sõltu temast vahetult, vaid ühe teise funktsiooni kaudu. Liitfunktsiooni tuletist arvutatakse järgmise valemi järgi:Y´x=Y´z*Z´x Korrutise tuletis(tõestus) Kahe funktsiooni korrutise tuletis võrdub esimese funktsiooni tuletise ja teise funktsiooni korrutisega, millele on liidetud teise funktsiooni tuletise ja esimese funktsiooni korrutis. Tõestus: Olgu meil antud funktsioon y= u(x)*v(x) 1. y=u*v 2.y+y=f(x+x)=(u+u)*(v+) 3.y=(u+u)*(v+)-(u*v)=uv+vu+uv 4.y/x= uv+vu+uv/x 5.lim.y/x=lim uv+vu+uv/x=lim(uv/x)+lim(vu/x)+lim(uv/x)
Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult: Kui n=p-1 siis p=n+1 Ja siit saame, et
Liitfunktsiooni y = f[g(x)] tuletis võrdub välise funktsiooni tuletise ja seesmise funktsiooni tuletise korrutisega. y x = y u u x 11.Kõrgemat järku tuletised. Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon on diferentseeruv. Kui funktsioon on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina . Sellisel juhul saame uurida funktsiooni tuletiste olemasolu. Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon on diferentseeruv ehk funktsioonil on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni kaks korda diferentseeruvaks.
perioodiga. Pikkusühiku meetri saab määrata juba ajaühiku kaudu. Teades (relatiivsusteooriast!), et valguse kiirus on ühesugune kõigil planeetidel ja kõigis taustsüsteemides, määrataksegi meeter kui kindla aja jooksul valguse poolt läbitud tee: Meeter on vahemaa, mille valgus läbib vaakumis 1/299 792 458 sekundiga. Kiirus ja kiirendus. Liikumisvõrrandi esimest tuletist aja järgi nimetatakse kiiruseks. See näitab, kui kiiresti liigub keha antud ajahetkel. Liikumisvõrrandi teist tuletist aja järgi (kiiruse esimest tuletist) nimetatakse kiirenduseks. Kiirendus näitab kiiruse muutumise kiirust antud ajahetkel. Newtoni seadused 1.Inertsiseadus ehk Newtoni esimene seadus paneb aluse kehade liikumise kirjeldamisele inertsiaalsetes taustsüsteemides.Vastasmõju puudumisel või vastasmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. 2
Tõestus: Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f′(x) on positiivne punktis a, st , siis , täpiga tähistatakse siis leidub selline δ > 0, et 0 <|∆x|<δ∆y/∆x >0 tuletist parameetri järgi. Tõestus: Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 8. Keskväärtusteoreemid
punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik tingimus. See tingimus ei ole aga piisav, sest leidub funktsioone, mis on küll pidevad, aga mõnedel x väärtustel neil tuletist pole. Näide: Vaatleme funktsiooni y = 3 x, mille graafik on määratud ja pidev muutuja x kõigi väärtuste korral. 11 Näide
Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? ' f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a) Pn(x) = f(a) + 1 ! (x-a) + 2! (x-a ¿ + 3
c) Sõnastage r ja w kohta tingimus, mille korral L *= K * . Vihjed/vastused 1. Tasakaal (optimum) on juhul q S = q D , millest saate P* = a + c + t / 2 ja edasi q* = a P*/ 2 . Maksutulu T on maksimaalne (ikka tuletise abil), kui t* = a - c ja küsiti maksutulu maksimaalset väärtust, mis on T = t* q* = (a - c ) 2 / 4 . 2. a) Tuleb leida (Q; P ) = - 1/ a ja uurida selle absoluutväärtust. b) R = P Q marginaal MR ( Q suhtes) tähendab tuletist dR / dQ ja need tulemused vaja kombineerida nõudlusfunktsiooniga Q = P 1/a . 3. Tähtis tasakaaluvõrrand on S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate p n (mõelge x-le) ja p n+1 (mõelge y-le) suhtes. See võrrand määrab "ämblikuvõrgu" analüüsi joonisel joone I-ses veerandis, antud juhul ellipsi.
Kõiki kolme suurust siduv valem (2.10). Nurkkiirus pöördenurga tuletis aja järgi. Sagedus ajaühikus sooritatud pöörete arv. Periood ühe täispöörde sooritamiseks kulunud aeg. 16. Tuletage valem normaalkiirenduse arvutamiseks ühtlasel pöördliikumisel (2.15). 17. Tõestage, et pöörleva keha punkti joonkiirus on risti selle punkti raadiusvektoriga. 18. Nurkkiirenduse definitsioonvalem (2.16) ja ühik. Nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi 19. Mitteühtlase pöördliikumise võrrandid üldkujul (2.17). 20. Ühtlaselt muutuva pöördliikumise võrrandid (2.18), nende kehtivuse kontroll. Kontrollida iseseisvalt, et võrranditest ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolest võrrandid. 21. Normaal- ja tangentsiaalkiirenduse arvutusvalemid (2.22), kogukiirenduse valem (2.23). Joonis koos selgitustega. Joonis kujutab summaarse kiirenduse määramist kiireneva ringliikumise korral. Aeglustuva
y lähenemisel nullile. Osatuletist y järgi tähistatakse sümbolitega z'y , f'y(x,y) , . Seega: Võime osatuletiste definitsioonid formuleerida ka järgmiselt: funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks x järgi nim. tema tuletist x järgi, mis arvutatakse eeldusel, et y on konstantne. Funktsiooni z=f(x,y) osatuletiseks y järgi nim. tema tuletist y järgi, mis arvutatakse eeldusel, et x on konstantne. 7
Kulgev liikumine-kui liikumise käigus mistahes kehaga seotud sirge jääb paralleelseks.Keha kõigi punktide kiirused ja kiirendused on võrdsed. Pöörlevliikumine-kui leidub kehaga seotud sirge,mis jääb kogu liikumise keskel paigale.Pöörlemistelg.Kõik keha punktid liiguvad ringjoont mööda. 20. Nurkkiirus ja kiirendus Nurkkiirus jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje nim. keha pöördenurga esimest tuletist aja järgi keha nurkkiiruseks. Nurkkiirus näitab, kui suur pöördenurk läbitakse ajaühikus. = / t . Nurkkiiruse SI-ühik on üks radiaan sekundis (1 rad/s). Seda ühikut esitatakse lühidalt kujul 1 s-1 Nurkkiirendus-jäiga keha pöörlemisel ümber kinnistelje nim. Keha nurk kiiruse esimest tuletist aja järgi keha nurkkiirenduseks. Nurkkiirendus ß näitab, kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul. ß = ( - 0) / t . Nurkkiirenduse SI-ühik on üks
Reeglid: 1) Süllogismis on 3 otsustust. 2) Süllogismis on 3 terminit. Nt. Kõik hiired armastavad juustu. Hiir on sõna. (4terminit) Kõik suured inimesed on raskekaalulised. Makedoonia Alexander oli suur inimene.(4 terminit) Igas süllogismis on 3 terminit. Selles süllogismis on 3 terminit. (2 terminit) 3) Keskmine termin peab ühes eelduses olema täismahus. 4) Termin mis on eelduses täismahus(piiritlemata mahus) peab seda olema ka tuletises. 1) Kahes eitavast eeldusest ei saa tuletist. Nt. Ükski kellel polnud kutset nimetatud üritusele ei saanud sellest osa. Ühelgi meist ei olnud kutset nimetatud üritusele. Tuletis: Ükski meist ei saanud osaleda nimetatud üritusel. 2) Kui üks eeldus on eitav on tuletis eitav. 3) Kahest osalisest eelduses ei saa tuletis. 4) Kui üks eeldus on osaline, siis on tuletis osaline. Süllogismi figuuri reeglid: MaP SaM I figuur AAA EAE AII EIE 1. Reegel. Suurem eeldus on üldine 2
′ ∆𝑦 ∆𝑡 ∆𝑥 → 0 ↔ ∆𝑡 → 0 ∆𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi.Tõestus: 𝑦 = lim = lim ∆𝑥 = lim ∆𝑥 = ∆𝑥→0 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑦 ∆𝑦 lim 𝑦̇ ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡
funktsioon: f(x)=1/x-1 11. Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu y= f(x+ x) - f(x) ja argumendi muudu x suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile ja tähistatakse f'(x) või y'. f'(x) = lim Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni, millel on olemas tuletis punktis x (piirkonnas X), nimetatakse diferenseeruvaks punktis x (piirkonnas X). 12. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni tuletist võib antud punktis geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Puutuja võrrand on y-y0=k(x-x0), normaali võrrand on y-y0= - 1/k * (x-x0) 13. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut. Korrutist f'(x) x nimetatakse
Funktsiooni pidevus tähendab seda, et tema graafikuks on pidev joon Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läh eneb nullile (∆x→0) Milline on tuletise geomeetriline Funktsiooni tuletist võib antud punktis tähendus? geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud punktis. Funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja võrrandiks punktis (x*, f(x*) ) on y - f(x*)=f`(x*)(x - x*) Mis on funktsiooni diferentsiaal?
Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid. dy(x) = f'(x)dx d2y(x) = f'' (x)dx2 d3y(x)=f''' (x)dx3 Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n - 1 - järku diferentsiaali
võime integreerida kõiki liidetavaid eraldi. Algimpulssi p 0 lõppimpulssi p samuti komponentideks lahutades saame näiteks impulsi x-komponendi jaoks t p x = p 0 x + Fres , x dt . 0 (5.7) 1 Valemist (5.5) aja järgi tuletist võttes ja arvestades, et algimpulss on ilmselt konstant, saame integraali definitsiooni põhjal Newtoni II seaduse üldisemal kujul dp Fres = , (5.8) dt mis kehtib siis, kui keha mass pole konstantne. Konstantse massiga keha korral saame impulsi definitsioonvalemit (5.1) arvesse võttes erijuhu Fres = ma .
Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b). 23
Tänapäevasega sarnanev destilleerimiskunst jõudis Euroopasse alles 14. sajandil araablaste vahendusel. Al- kuhl tähendabki kerget, lenduvat pulbrit ning keskaegses Euroopas võtsid selle sõna pisut muudetud kujul (alkohol) kasutusele alkeemikud, kes piirituse valmistamisega tegelesid. 15. sajandil müüdi Itaalias alkoholi eluvee, Aqua Vitae nime all kui arstirohtu, selle järgi sai jook ka Poolas oma esialgse nime – okowita. Venelased ladinakeelset tuletist omaks ei võtnud ja panid nimeks eluvesi - цшчэхээрџ тюфр, hellitavalt vodka. Just sõnast vodka on tänaseks päevaks saanud viina üleilmne sünonüüm Aastat 1818. alustasid jpärisorjadest vennad Aleksejevitšid Moskvas oma alkoholiäri. Mõne aja pärast ostsid nad end viina pealt teenitud rahaga vabaks ning võtsid perekonnanime Smirnov. Pool sajandit hiljem rajas
Tasapinnalise kujundi staatiline moment telje suhtes nim avaldisi, mis seisavad lugejates st. Tasapinnalise kujundi kõigi elementaarpindade ja nende korrutiste summasid. Sy=SiXi, kujundi staatiline moment y telje suhtes Sx=SiYi - x telje suhtes. Raskuskeskme määramise meetodid: sümmeetria võte, tükeldamise võte Liikuva punkti trajektoor: joon mida mööda keha liigub Punkti kiirendus: liikuva punkti kiirenduseks antud hetkel nim. Kiiruse tuletist aja järgi. 1 m/s 2 Trajektoori puutuja ja normaalisihilised komponendid: puutekiirendus ja normaalkiirendus Puute- ja normaalikiirenduse suurused ja suunad: puutekiirenduse suurus võrdub absoluutväärtuselt kiiruse suuruse tuletisega aja järgi ja on suunatud mööda trajektoori puutujat. Normaalkiirendus on suunatud mööda trajektoori normaali tema kõverustsentri poole, tema suurus võrdub kiiruse ruudu ja trajektoori kõverusraadiuse suhtega. Dünaamika põhiseadused (Newton): 1
f(x1) f(x) f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0 Fermat' teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f'(a)=0 Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0 Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f''(x) on pidev punktis a ning f''(a)0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f''(a)0--lok max, f''(a)0--lok min Rolle'i teoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f'(c) = 0. Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g'(x) 0, siis leidub vahemikus(a;
Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.) Seos. Kui funktsioon y = f(x) on diferentseeruv punktis x, siis on ta selles punktis pidev. Kuid funktsiooni pidevust mingis punktis ei järeldu tuletise olemasolu selles punktis. Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget,
annaabi.ee 
