optimeerimine majanduses 1kt vastused variant B (1)

Optimeerimine majanduses 2011 sügis, kt nr 1 vastused/vihjed
Ülesanded
Optmajkt1B_11. 1(2p). Kui hinnaga P kauba iga ühiku q pealt makstakse aktsiisi t, siis kauba pakkumisfunktsioon on
qS = (P – t )/ 2 – c (c>0 ). Olgu nõudlusfunktsioon qD = a - P/ 2 (a>0 ). a) Leida tasakaaluhind P* ja tasakaalukogus q*, mis sõltuvad aktsiisist t. b) Leida kogu maksutulu T = t q* maksimaalne väärtus t suhtes.
2(3p). Hinnaga P kauba nõudlusfunktsioon olgu Q = P –1/a (a>0 ). a) Millise a korral on nõudlus väheelastne, ühikelastne või elastne hinna suhtes. b) Näidake, et antud nõudlusfunktsiooni korral tulukuse R = P Q marginaal MR
( Q suhtes) rahuldab seost MR = P (1 + 1/ (Q; P ) )
3(3p). Olgu nõudlusfunktsioon D n = 5 – p n2 ja pakkumisfunktsioon S n + 1 = 1 + 4 p n2 . a) Koostage hinna diferentsvõrrand. b) Leidke tasakaaluhind. c) Tehke “ämblikuvõrgu” analüüsi. Vihje: x 2 / a 2 + y 2/ b 2 = 1 on ellips .
4(6p). Käsitlege Cournot ’ duopoli mudelit juhul TCi =( c / i ) q i (i = 1, 2 ). Leidke q1*, q2*, Q*, P*. Tehke q2* võrdlevat staatikat kulumarginaali c suhtes ning sõnastage saadud tulemus.
5(6p). Monopolisti toodangule on nõudlusfunktsioon P = 4 Q –1/ 4 ja tema toodangufunktsioon on Q = L 1/3 K 2/3, kusjuures tööjõu L palgamäär on w ning kapitali K hinnamäär on r. a) Leida L * ja K *, mille korral kasum on maksimaalne. b) Kontrollida Hesse maatriksi tingimusi. c) Sõnastage r ja w kohta tingimus, mille korral L *= K * .
Vihjed/vastused

Tasakaal (optimum) on juhul q S = q D , millest saate P* = a + c + t / 2 ja edasi q* = a – P*/ 2 . Maksutulu T on maksimaalne (ikka tuletise abil), kui t* = a - c ja küsiti maksutulu maksimaalset väärtust, mis on
T = t* q* = (a - c ) 2 / 4 .

a) Tuleb leida (Q; P ) = - 1/ a ja uurida selle absoluutväärtust. b) R = P Q marginaal MR ( Q suhtes) tähendab tuletist dR / dQ ja need tulemused vaja kombineerida nõudlusfunktsiooniga Q = P –1/a .

Tähtis tasakaaluvõrrand on S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate p n (mõelge x-le) ja p n+1 (mõelge y-le) suhtes. See võrrand määrab “ämblikuvõrgu” analüüsi joonisel joone I-ses veerandis, antud juhul ellipsi. Kui diferentsvõrrandis n -> , siis p n -> p* (kui see eksisteerib !) ja ka p n+1 -> p* . Nii saate p* = 0.894…

Firma i kasum on Π i = TR i - TC i = (a – b (q 1 + q 2)) q i - ( c / i ) q i (i = 1, 2). Mõlemal juhul kirjutage eraldi välja. Tuletis d Π 2 /d q 2 = 0 annab vastumõju võrrandi (R 2) , antud juhul q 2 = (a – b q 1 – c / 2 ) / ( 2 b) .Analoogiliselt saate (R 1) . Ühise tasakaalukoguse leidmiseks tuleb lahendada süsteem (R 1) , (R 2) . Ei pea tingimata maatrikseid kasutama. Lihtsaim, kuid vist töömahukaim on asendusmeetod. Süsteemi lahendades saate q 2* =a / (3 b ) ja
q 1* =(2 a –3 c ) / (6 b ) . Edasi, Q* = q 1* + q 2* , P* = a - b Q* , kuhu on tehtud vastavad asendused. Kogus
q 2* =a / (3 b ) on konstant c suhtes, seega “kulumarginaali c muutmine ei muuda teise firma optimaalset tootmiskogust q 1* ”.
5. Monopolisti toodang mõjutab turuhinda P nõudlusfunktsiooniga P = 4 Q –1/ 4 . Monopolisti kasum on
Π = TR - TC = P Q – w L – r K = [pärast asendusi ]=4 L 1 / 4 K 1 / 2 – w L – r K . Kasumi Π maksimeerimine on mat-se analüüsi II keeles lokaalse ekstreemumi leidmine. Osatuletiste nulliga võrdsustamisel saate võrrandisüsteemi
K 1 / 2/ L 3 / 4 = w , 2 L 1 / 4/ K 1 / 2 = r . Saadud süsteem on peaaegu alati teatud mõttes sümmeetriline, mis võimaldab kasutada erivõtteid, näiteks võrrandite jagamist/korrutamist. Antud süsteemi on lihtne lahendada vahetu asendusmeetodiga (jagamisel/korrutamisel tuleb lõpuks ka asendada !). I-st saame K 1 / 2 = w L 3 / 4 ning asendades II-e saame 2 L 1 / 4= r w L 3 / 4 , millest L = L* = 4 / (r2 w 2 ). Vahetulemusest K 1 / 2 = w L 3 / 4 saame
K* = 8 / (r 3 w ). Hesse maatriksit tuleb tegelikult uurida punktis (L*, K* ), kuid vahel on praktilisem alustada üldkujul. Siin ülemine nurgaelement on (- 3/ 4) K 1 / 2 L - 7 /4 ja det H = (1/ 2) K - 1 L - 3 / 2 > 0 ja seega tõesti maksimum . Tingimus L *= K * kehtib, kui r = 2 w .