nimtatakse planimeetriaks ja ruumis paiknevaid kujundeid uurivat haru nimetatakse vastavalt stereomeetriaks.Elementaargeomeetria lähtub kolmest põhikujundist: punktist, sirgest ja tasandist. Punkte tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A, B, C jne), sirgeid väikeste ladina tähtedega (a, b, c jne), tasandeid väikeste kreeka tähtedega (α, β, γ jne). Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib kujundite omadusi, mis on invariantsed topoloogiliste teisenduste suhtes. Kujundi all mõeldakse topoloogias punktihulka, mille alamhulgad rahuldavad teatud aksioome. Neid kujundeid nimetatakse topoloogilisteks ruumideks. Topoloogia on nn kõige üldisem geomeetria. Topoloogia peamine ülesanne on tuua välja ja uurida ruumide selliseid topoloogilisi omadusi, mis ei muutu topoloogilistel teisendustel - topoloogilisi invariante. Tähtsaimate topoloogiliste invariantide hulka kuuluvad näiteks sidusus, kompaktsus, mõõde,
Neid teisendusvalemeid nimetatakse Lorentzi teisendusvalemiteks. Lorentzi teisendus (hollandi füüsiku Hendrik Lorentzi järgi) on aegruumi teisendus erirelatiivsusteoorias, millega seotakse kahe erineva inertsiaalses taustsüsteemis paikneva vaatleja mõõtmistulemused.[1] Sarnaselt klassikaliste Galilei teisendustega Newtoni füüsikas sisaldavad Lorentzi teisendused ruumi pöördeid (koordinaattelgede pööramine alguspunkti ümber). Fundamentaalne erinevus Galilei ja Lorentzi teisenduste vahel seisneb selles, kuidas viimastes teineteise suhtes erineva kiirusega liikuvaid vaatlejaid kirjeldatakse: relatiivsusteoorias on ajaühikud, ruumilised pikkused ning sündmuste ajaline järjestuski erinevate kiirustega liikuvate vaatlejate jaoks erinevad. Viimane tuleneb asjaolust, et valguse kiirus kõigi vaatlejate jaoks alati ühesugune on. Kiiruste korral, mis valguse kiirusest tunduvalt väikesemad on, kattuvad Lorentzi teisendused hästi vastavate Galilei teisendustega
leiduvad alternatiivsed lahendid? Kuidas seda hinnata graafilise lahendusmeetodi puhul, kuidas simpleksmeetodiga lahendades? Graafiliselt on ühene siis, kui parim nivoojoon omab lubatava hulgaga ainult ühte ühist punkti; Graafiliselt on mitmene siis, kui parim nivoojoon omab aga lubatava hulgaga rohkem kui ühe ühise punkti, siis on olemas ka alternatiivsed optimaalsed lahendid Simpleksmeetodiga on mitmene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist süsteemi maatriksi ridade arv (ehk süsteemi lineaarselt sõltumatute võrrandite arv) on väiksem muutujate arvust. Simpleksmeetodiga on ühene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist süsteemi maatriksi ridade arv (ehk süsteemi lineaarselt sõltumatute võrrandite arv) on võrdne muutujate arvuga 12. Mida tähendab, et lineaarse planeerimise ülesanne on tõkestamata? Kuidas lugeda simplekstabelist välja, et ülesanne on tõkestamata?
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5
seadustele.-Kui maailm oleks ideaalselt sümmeetriline, siis oleks see igavesti muutumatu ja ühetaoline, kus oleks kõik üheselt ette määratud.-Kui maailm oleks ideaalselt asümeetriline, puuduksid selles igasugused seaduspärasused ja poleks midagi säilivat.-sümmeetriat ja asümeetriat ühendab paratamatuse ja juhuslikkuse seaos, sümmeetriamõiste oluliseks tunnuseks on:1.jäävus2.nähtuste või objektide ühisosa olemasolu3)lubatud teisenduste piiratus. LISA:1)Energia jäävuse seadus: Energia ei teki ega kao vaid muundub ühest liigist teise või kandub ühelt kehalt teisele.2)impulsi jäävuse seadus- suletud süsteemis moodustavate kehade impulsside summa ei muutu vastastikmõju tulemusel. 2 VALEMIT:1) F=Gm1m2/r2 2)F=kq1q2/r2 Relativistlik maailmapilt -vaatleja peab olema konkreetses taustsüsteemis. Dialooog loodusega on võimalik vaid siis, kui oleme ise looduses, mitte sellest väljaspool, kõrvalseisjana positsioonil
Liikumine ehk mehaaniline liikumine on füüsikas (mehaanikas) kehade või osakeste asukoha pidev muutumine ajas (aja jooksul). Lokaalselt iseloomustab liikumist kiirus ja globaalselt saab seda kirjeldada trajektoori abil. Masspunkti liikumine piirdub asukoha muutumisega. Jäiga keha või kehade süsteemi puhul lisandub massikeskme asukoha muutumisele (kulgliikumine) keha või kehade osade vastastikuse asendi muutus (pöördliikumine). Liikumine võib seisneda ka keha mõõtmete ja kuju alalises muutumises. Mehaaniliseks liikumiseks nimetatakse keha asukoha muutumist teiste kehade suhtes. Mehaanilise liikumise kirjeldamiseks kasutatakse mitmeid mõisteid: 1. Trajektoor. 2. Teepikkus. 3. Ajavahemik ehk aeg. 4. Kiirus. Trajektooriks nimetatakse joont, mida mööda liigub keha punkt. Trajektoori kuju järgi saab liikumist liigitada sirgjooneliseks ja kõverjooneliseks. Punktmassi sirgjoonelisel liikumisel võivad muutuda kiirusvektori mo...
lõppevad paarisarvud. Seega kuuluvad hulkade A ja B ühisosasse 0-ga lõppevad ja 5-ga jaguvad täisarvud, st 10-ga jaguvad täisarvud(arvud, mis annavad 10-ga jagamisel jäägi 0): VV {YÉY X { 2. Kujutan Venni diagrammil C = A B Et A C = (AC) (CA), siis · (AC) kujutub järgmiselt: · (CA) järgmiselt: Nende ühendiks on hulk B: Sama tulemuseni on võimalik jõuda ka aritmeetiliste teisenduste teel: { { { {{ { { {{ { = { { { { { { { { { {{ { { {{ { { { { { { V Vastus: V V V 3. Väide $ $ $ on VÄÄR Põhjendus: Üldjuhul sisaldab A B rohkem elemente, kui igas hulgas on eraldi. Arvutades võrduse
Selle asemel kasutatakse Albert Einsteini relatiivsusteooriat. Väikeste kiiruste puhul jääb relatiivsusteooria ja klassikalise füüsika vaheline erinevus mõõtmisvea piiresse, mistõttu kasutatakse Newtoni mehhaanikat, mille arvutused on lihtsamad. Valguse kiirusest palju väiksemate kiiruste korral võib liikuva keha massi ja pikkust lugeda konstantseks. Valguse kiiruse lähedaste kehade (näiteks elektronide) liikumist kirjeldab erirelatiivsusteooria. Mass ja pikkus muutuvad Lorentzi teisenduste järgi. Liikumise põhjused Liikumise iseloomu muutumise põhjustena vaadeldakse füüsikas jõude. Liikumise põhjustega tegelev mehhaanika haru on dünaamika. Kinemaatika uurib liikumist põhjustele tähelepanu pööramata. Liikumise tüüpe Kulgliikumine Sirgjooneline liikumine Ühtlane sirgjooneline liikumine Ühtlaselt kiirenev sirgjooneline liikumine Mitteühtlane liikumine Mitteühtlane sirgjooneline liikumine Lihtne harmooniline liikumine Kõverjooneline liikumine Ringliikumine
reavektor , CR , C 2) maatriksi A mingit reavektorit korrutatakse mingi arvuga C , CR , C seda tähistatakse A Maatriksi veergude elementaarteisendamieks 1) , CR , C, CR , C Kasutatakse lineaarvõrrandite süsteemide, maatriksvõrrandite lhendamiseks ja pöördmaatriksi leidmiseks.Maatriksi astaku r(A) leidmiseks on 2 meetodit.selle aluseks on elementaarteisendamine A .1) kui m.A on saadud teisenduste 1)ja 2) abil m.B A siis on nende astakud r(A)=r(B). Iga (m*n) maatriksit võib teisendada nii et tekib antud maatriksi vastav K-järku ühikmaatriks,kõik ülejäänud elemendid on nullid.siit atak r(A)=K 9. Lineaarvõrrandite süsteem ja selle maatriks kuju. .lineaarne võrrand süsteemiks on maatriksi lõplikust arvust lin.võrrandist koosnevat süsteem.. aij (i-m,j-n)-süsteemi kordajad,b-süsteemi vabaliikmed,x-tundmatud.arvud mis
0 väärtuse puhul? Millise loogikaväärtusega konjuktsioon ei muuda avaldise väärtust? 1 väärtuse puhul? Milline on disjunktsiooni tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 1? Tulemuseks on 1 Milline on konjuktsiooni tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 0? Tulemuseks on 0. Mitme muutuja jaoks on DeMorgani seadus laiendatav? Piiramatult suurele muutujatearvule. Milleks loogikaseadusi rakendatakse? Et saada formaalsete teisenduste abil valemitest uusi, esialgsega samaväärseid valemeid. Mida võiks veel meelde jätta: Liitlause koosseisu kuuluvat lauset nimetatakse ka osalauseks. Formaalse esituse eelised: Sõltumatus lingvistilisest keelest, kompaktsus ja võimalus loogikaseaduste abil teisendada lausearvutusvalemeid muule loogiliselt samaväärsele kujule. Loogikatehete definitsioonid määravad nende resultaadid kõikide operandiväärtuste kombinatsioonide korral.
Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi: 1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem Võrrandisüsteemist (3) lõpliku arvu teisendustega 1) ja 2) saadud võrrandisüsteem on samaväärne esialgsega. Gaussi meetod Teoreemist selgub, et teisenduste 1) ja 2) rakendamine võrrandisüsteemile on samaväärne võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi ridade elementaarteisendustega. On lihtne näha, et kui võrrandisüsteemi maatriks A on nullmaatriks, siis peab tema lahenduvuseks olema ka vabaliikmete maatriks b nullmaatriks. Sel korral on lahendiks suvaline n-mõõtmeline aritmeetiline vektor. 1 0 0 0 1 0 Maatrikseid käsitleval loengul
kui liituvad Kuu ja Päikese mõjud või kui Kuu asub Maale kõige lähedamas punktis oma orbiidil ehk perigees. Minimaalsed on looded Kuu esimese ja viimase veerandi ajal, sest sel ajal vastab Kuu põhjustatud tõus Päikese mõõnale. Loodejõud ja loodete tugevus See jõudude erinevus, millega Kuu (või mis iganes massiga keha) Maa (või mille iganes massiga keha) eri sügavuses olevaid osasid tõmbab nimetatakse loodejõuks. Teisenduste käigus tekib seos, et loodejõud on pöördvõrdelises seoses kehadevahelise kauguse kuubiga ja sellest pöördkuupseosest saamegi tõestust väitele, et Kuu poolt põhjustatud loodejõud on u 2 korda suurem kui Päikese poolt põhjustatud loodejõud. Tõusu kõrgus või mõõnalangus on väga koha-spetsiifiline, sõltudes kaldajoone ja merepõhjaprofiilist. Avamerel on tõusuvee kõrgus poolemeetri ringis ja suureneb oluliselt lehtrikujulistesse lahtedesse ja jõgede suudmetesse
Väikeste kiiruste puhul jääb relatiivsusteooria ja klassikalise füüsika vaheline erinevus mõõtmisvea piiresse, mistõttu kasutatakse Newtoni mehhaanikat, mille arvutused on lihtsamad. Valguse kiirusest palju väiksemate kiiruste korral võib liikuva keha massi ja pikkust lugeda konstantseks. Valguse kiiruse lähedaste kehade (näiteks elektronide) liikumist kirjeldab erirelatiivsusteooria. Mass ja pikkus muutuvad Lorentzi teisenduste järgi. Liikumise põhjused Liikumise iseloomu muutumise põhjustena vaadeldakse füüsikas jõude. Liikumise põhjustega tegelev mehhaanika haru on dünaamika. Kinemaatika uurib liikumist põhjustele tähelepanu pööramata. Sirg- ja kõverjooneline liikumine Punktmassi sirgjoonelisel liikumisel võivad muutuda kiirusvektori moodul ja suund, kuna siht jääb
PLM Product Lifecycle Management; CAT Computer Aided Testing; CAPP Computer Aided Process Planning; CAD Computer Aided Design; MRP Material Requirements Planning; CAQ Computer Aided Quality Assurance; CAx Computer Aided anything; ERP Enterprise resource planning; CRM Customer Relationship Management; DMU Digital Mock-Up; MRP II- Manufacturing resource planning. Topoloogia matemaatika haru, mis uurib kujundite omadusi, mis on invariantsed topoloogiliste teisenduste suhtes. Geomeetria on matemaatika haru, mis tegeleb ruumisuhetega ja uurimisobjektideks on kujundid. Top-Down modelleerimine asmeline disain, süsteemi osadeks jagamine, et saada ülevaade alamsüsteemidest (väiksed osad liidetakse tervikuks) Bottom-Up modelleerimine süsteemide kokku panemine, et saada suuremaid süsteeme (ühe osa ümber liidetakse teised) Liidesed: IGES, SET, PDDI, PDES, STL Võimaldavad siduda erinevaid
(0)=s(0)+s(1)+s(2)+s(3), S4 (1)=s(0)-s(2)-j(s(1)-s(3)), S4 (2)= s(0)+s(2)-(s(1)+s(3)), S4 (3)=s(0)-s(2)+j(s(1)-s(3)). Siin saame tehete arvu vähendada , kasutades a=s(0)+s(2), b=s(0)-s(2), c=s(1)+s(3), d=s(1)-s(3) ja z=-jd. Komponendid avalduvad järgmiselt S 4 (0)=a+c, S4 (1)=b+z, S4 (2)=a-c, S4 (3)=b-z .Saadud tulemus tuleb normeerida. Selline algorit nõuab vähem tehteid ja neid nimetatakse kiireteks Fouriere teisenduste algoritmideks (FFT). DFT puhul signaali realisatsiooni pikkuse N suurenemine toob kaasa summeerimis ja korrutamistehete kasvamise ruudus. Viiese perioodiga DFT 4 2 Siin N on võrdne viiega. Kasutame valemit S 5 (k ) = s (n) exp(- j nk ),0 k 4 . Sellel juhul on
See kõver annab igati sileda pinna ja on planning, ; CRM-Customer Relationship Management; DMU- sobiv aerodünaamiliste profiilide konstrueerimisel 19. NURBS digital mock-up ; MRP 2- Material Requirements Planning (Non-uniform rational basis spline) Suurem B-spline üldistus 5. Topoloogia on matemaatika haru, mis uurib kujundite kirjeldamaks peaaegu kõiki jooni ja kujusid. Paindlikkus ja omadusi, mis on invariantsed topoloogiliste teisenduste suhtes. täpsus lubab NURBS mudeleid kasutada paljude "downstream" Geomeetria on matemaatika haru, mis tegeleb ruumisuhetega. protsesside juures. Lubab sõlmpunkte mitte-ühtlaselt paigutada Geomeetria peamisteks uurimisobjektideks on kujundid. 6. 20.Tolerantside mudel, Funktsionaalne mudel, Füüsikaline Kasutaja graafiline sisend/väljundseade Liidesed teiste mudel 21. n järku kõveraid saab üldistada kontrollpunktide abil.
Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa (superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi Y(s)=H(s)U(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis U(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Seejärel leitakse väljundmuutuja kujutis nt osamurdudeks lahutamise teel. Originaalile üleminek toimub Y(s)'i nö tagasiteisendamisega y(t)-ks Laplace'i teisenduste abil. Impulss- ja hüppekajad: Süsteemi karakteristikud on testsignaalid, mille tulemusena saame süsteemi reaktsioonid kahele teadaolevale signaalile, milleks on hüppekaja ja impulsskaja: Hüppekaja g(t) – reaktsioon ühikhüppelisele sisendile: u(t) = 1(t) (1 kui t >=0 ja 0 kui t < 0) ehk
- D dS = dV - Gaussi teoreem vektori D jaoks; r r r r dD r r - H dl = ( j + )dS - vektori H tsirkulatsiooniteoreem; dt r r r - B dS = 0 - Gaussi teoreem vektori B jaoks. Maxwelli võrrandid on lineaarsed, sisaldavad voolu pidevuse võrrandit, on invariantsed Lorentzi teisenduste suhtes, on mittesümmeetrilised elektri- ja magnetväljade suhtes. Maxwelli võrranditega kirjeldatav elektromagnetväli on võimeline iseseisvalt eksisteerima ja levima ruumis elektromagnetlainete kujul. Need on ristlained, mis levivad c r r kiirusega v = (valguse levimiskiirus vaakumis), kus vektorid E ja B on µ
Isomorfism on struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Esimese süsteemi igale elemendile vastab ainult üks teise süsteemi element ja ühe süsteemi igale seosele ainult üks seos teises - ja vastupidi. nt. kaks graafi on isomorfsed, st. omavad ühesugust struktuuri vaatamata erinevale välimusele. Homomorfism on kujutus ühest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad seosed. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks. Invariantsed on näiteks liikumisseadused elementaarosakeste teooriates, klassikalises mehaanikas. Kui teisendus ei muuda ühtki objekti omadust, siis on tegu invariantide süsteemiga ja see on täielik invariant. Nt. isomorfsete graafide täielik invariant on nende ühine struktuur. Variant on invariandi vastand, see on teisend, keeleüksuse (keelendi) esinemiskuju. 7. ,,Tähestik" ja ,,grammatika". Sünkroonia ja diakroonia.
8. Galilei teisendused ja relatiivsusprintsiip. Taustsüsteeme, kus kehtib Newtoni I seadus, nim. inertsiaalseteks taustsüsteemideks. Kõik taustsüsteemid, mis liiguvad antud inertsiaalse taustsüsteemi suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt, on samuti inertsiaalsed. Galilei teisendus on Newtoni mehaanika reegel, mille abil saab siduda punktmassi koordinaate vaadelduna erinevates inertsiaalsetes taustsüsteemides. Iga Galilei teisendus on esitatav järgnevate teisenduste kombinatsioonina: · ruumi nihe, kus nihutatakse koordinaatide alguspunkti; · aja nihe, kus nihutatakse ajatelje nullpunkti; · ruumi pööre, kus pööratakse kõiki koordinaattelgi mõne telje ümber; · ruumi peegeldus, kus peegeldatakse kõiki koordinaate mõne tasandi suhtes; · kiiruse nihe, mis seovad vaatluseid teineteise suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuvas inertisaalses taustsüsteemis.
b) kantregressioon; c) "bootstrap" regressioon; d) üldistatud vähimruutude meetod; e) tehisnärvivõrgud; f) tugivektorid; andmekaeve (data mining) meetodid Mittestandardsed ökonomeetrilise mudeli koostamise meetodid: a) regressioonianaüüsi peamiste komponentide meetodil- (väga mahukas) meetodi olemus- esialgsed sõltumatud muutujad X1, X2,Xn teisendatakse lineaarse teisenduse abil tinglikeks suurusteks ehk komponentideks. Nende teisenduste käigus toimub sõltumatutes muutujates X1,X2,...Xn oleva info ümberpaiknemine esimestesse komponentidesse (millede varieeruvus on suurim). Ülejäänud komponendid sisaldavad esialgsete sõltumatute muutujatega võrreldes vähem infot ja edasine analüüs toimub esimeste e. peamiste komponentide baasil. Komponentide arv m. Kui m on suur, st läheneb sõltumatute muutujate arvule n, siis info kadu on minimaalne ning minimaalne on ka nihke suurus. Kui m on väike, siis on info kadu
inimese kõne, üksikud lausungid, üksik kõneakt. Surnud keelt ei ole olemas, selles keeles puudub lihtsalt parole. Keeles on märgid, kõnes on nende märkide realisatsioonid. Isomorfism on struktuuri säilitav üks-ühene vastavus objektide vahel. Homomorfism on kujutus ühest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad seosed. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks. Kui teisendus ei muuda ühtki objekti omadust, siis on tegu invariantide süsteemiga ja see on täielik invariant. Variant on invariandi vastand, see on teisend, keeleüksuse esinemiskuju. 9. ,,Tähestik" ja ,,grammatika". Sünkroonia ja diakroonia. Tähestik ja grammatika on omavahel süntaktilises seoses. Omamoodi on ,,tähestik" ehk märgid ja ,,grammatika" ehk märkide loogiline järjestus mistahes märgisüsteemil (noodikiri).
nt. kaks graafi on isomorfsed, st. omavad ühesugust struktuuri vaatamata erinevale välimusele. Parim näide on keemia isomeerid. Isomorfismist saab rääkida ainult selliste objektide puhul, mille on struktuur – st on määratletud komponendid ja nende vahelised seosed. Homomorfism on kujutus ühest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad seosed. Isomorfism on üks homoformismi vorm. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks. Invariantsed on näiteks liikumisseadused elementaarosakeste teooriates, klassikalises mehaanikas. Kui teisendus ei muuda ühtki objekti omadust, siis on tegu invariantide 6 süsteemiga ja see on täielik invariant. Nt. isomorfsete graafide täielik invariant on nende ühine struktuur. Variant on invariandi vastand, see on teisend, keeleüksuse (keelendi) esinemiskuju.
divD = D rotH = j + t divB =0 9 Materjalivõrrandid D = 0 E B = µµ0 H j = ( E + E*) Maxwelli võrrandid on lineaarsed võrrandid, millest tuleneb superpositsiooni printsiip; sisaldavad pidevuse võrrandeid; võrrandid on invariantsed Lorentzi teisenduste suhtes ehk valguse lähedastel kiirustel ei muutu Maxwelli võrrandid üleminekul inertsiaalsetes taustsüsteemides; võrrandid on mittesümmeetrilised elektri- ja magnetväljade suhtes; nendest võrranditest järeldub elektromagnetlainete olemasolu 4.3. Elektromagnetlained, nende levimiskiirus ja omadused Elektromagnetväli on võimeline iseseisvalt eksisteerima ja levima ruumis elektromagnetlainete kujul. Omadused:
Üleminek ühest inertsiaalsest süsteemist teisesse: Galillei teisendus: keha koordinaate arvestades,et aeg külgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi. x=x'+V0*t x-I süsteem y=y' x'-II süsteem z=z' t=t' Keha kiirus on esimeses süsteemis: V=V'+V0 Dünaamika võrrandid ei muutu üleminekul Ist inertsiaalsest taustsüsteemist teisesse,see tähendab,et nad on invariantsed koordinaatide teisenduste suhtes. 1.1.2.Ühtlane sirgliikumine Keha liikumise tegelik tee on trajektoor. Nihkvektoriks s¯ nimetame keha liikumise trajektoori alg-ja lõpppunkti ühendavat vektorit.Olgu nihe S¯ ajavahemikku t jooksul,siis kiirusvektor: V¯=lim S¯/t=dS¯/dt Kui kiirus ajas ei muutu,siis diferentsiaale ei kasutata ning vektorseosed kattuvad skalaarseostega,sest on tegemist sirgjoonelise liikumisega.Järelikult on ajaühikus läbitud teepikkus võrdne kiirusega ühtlasel sirgliikumisel: V=S/t
Pindala: 4 * 1.5 +8 * 2.0 + 1 * 2.5 + 4 * 2.0 + 1 * 2.5 + 2 * 2.0 = 39 Kriitiline tee 8.0 Juht 1 võrreldes pindala suurenes, kriitiline tee vähenes. Juht 2 võrreldes pindala vähenes, kriitiline tee jäi samaks. Optimeerimine Esialgu proovin optimeerida varianti #1, sest selle suurus oli parem kui tuumadega variandil (#2). Eesmärgiks on lahti saada kallitest elementidest – invertorid, AND ja OR elemendid. Ning NAND on parem kui NOR. Teisenduste aluseks on DeMorgani ja topelteituse seadused: (x’ + y’) = (x y)’, (x’y’) = (x+y)’ ja (x’)’ = x. Üldjoontes toimub teisendus selliselt, et nii AND kui ka OR elemendid muudetakse NAND elementideks – xy + wz = ((xy)’ (wz)’)’. Sisendmuutujate inverteerimisest lahti saamiseks sobivad järgmised teisendused (otse- ja inverteeritud väärtuste kombinatsioonid): a) x y z' = ( x y ) z' = ( ( x y )' + (z')' )' = ( ( x y )' + z )' b) x y' z' = x ( y' z' ) = x ( y + z )'
Näide 1 3x = -9 on lineaarvõrrand x(x + 2) - 6 = x2 on lineaarvõrrand, sest peale lihtsustamisi omandab see kuju: 2x = 6 (x2-ga liikmed koonduvad välja) a2 = 25 ei ole lineaarvõrrand, sest tundmatu suurim astendaja on 2. (x+1)/x + x = 4 ei ole lineaarvõrrand, kuna esineb muutujaga jagamine. Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: Tegevuste järjekord 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele . 4
Keelt (langue) ja kõnet (parole) hakkas eristama Saussure, kes oma teosega mõjutas kogu 20-nda sajandi keeleteadust. Ta väitis, et langue on kogu keele märgilistest erinevustest koosnev süsteem ning parole on 22inimese kõne, üksikud lausungid, üksik kõneakt. Surnud keelt ei ole olemas, selles keeles puudub lihtsalt parole. Keeles on märgid, kõnes on nende märkide realisatsioonid. Invariant on objekti omadus, mis jääb vaadeldavate teisenduste korral muutumatuks. Kui teisendus ei muuda ühtki objekti omadust, siis on tegu invariantide süsteemiga ja see on täielik invariant. Variant on invariandi vastand, see on teisend, keeleüksuse esinemiskuju. Invariantsus on suuruse-võrrandi muutumatus matemaatilise teisenduse suhtes. Variantsus on muutuvus teisenduse suhtes. Teksti luuakse kui invarianti, aga tekst funktsioneerib variantides. Püsivuse ja muutumise küsimus. Tekst
7. Muutujate vahetus kolmekordses integraalis: muutuja vahetuse jakobiaan ning vastav valem (25.3); kolmekordne integraal silinderkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal); kolmekordne integraal sfäärkoordinaatides (vastava valemi tuletamine valemi (25.3) põhjal). Seame eesmärgiks teisendada kolmekordne integraal üle piirkonna V xyz-koordinaadistikus kolmekordseks integraaliks üle piirkonna V' uvw-koordinaadistikus teisenduste (25.1.) abil. Eeldame, et kolme muutuja u,v ja w funktsioonid x,y ja z on ühesed ja võrrandisüsteem (25.1.) on üheselt lahenduv muutujate u,v ja w suhtes. Siis vastab igale piirkonna V' punktile üks punkt piirkonnast V ja vastupidi. Lisaks eeldame funktsioonide (25.1.) kohta, et need on pidevad ja neil on pidevad osatuletised kõigi kolme muutuja järgi piirkonnas V'. Muutuja vahetuse jakobiaan on kolmandat järku determinant:
Kui sündmused toimuvad ühes ja samas punktis, sisi nende samaaegsus ei olene taustsüsteemi valikust. Samaaegsete sündmuste asukohaline kokkulangevus ei olene taustsüsteemi valikust. 26. Lorentzi teisendused. mis asendavad galilei. Lorentzi teisendus on aegruumi teisendus erirelatiivsusteoorias, millega seotakse kahe erineva inertsiaalses taustsüsteemis paikneva vaatleja mõõtmistulemused. Fundamentaalne erinevus Galilei ja Lorentzi teisenduste vahel seisneb selles, kuidas viimastes teineteise suhtes erineva kiirusega liikuvaid vaatlejaid kirjeldatakse: relatiivsusteoorias on ajaühikud, ruumilised pikkused ning sündmuste ajaline järjestuski erinevate kiirustega liikuvate vaatlejate jaoks erinevad. Viimane tuleb sellest, et valguse kiirus on kõigi vaatlejate jaoks alati ühesugune. y’=y z’=z β=v/c √ √ 27
Üleminek ühest inertsiaalsest süsteemist teisesse: Galillei teisendus: keha koordinaate arvestades,et aeg külgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi. x=x'+V0*t xI süsteem y=y' x'II süsteem z=z' t=t' Keha kiirus on esimeses süsteemis: V=V'+V0 Dünaamika võrrandid ei muutu üleminekul Ist inertsiaalsest taustsüsteemist teisesse,see tähendab,et nad on invariantsed koordinaatide teisenduste suhtes. 1.1.2.Ühtlane sirgliikumine Keha liikumise tegelik tee on trajektoor. Nihkvektoriks s nimetame keha liikumise trajektoori algja lõpppunkti ühendavat vektorit.Olgu nihe S ajavahemikku t jooksul,siis kiirusvektor: V=lim S/t=dS/dt Kui kiirus ajas ei muutu,siis diferentsiaale ei kasutata ning vektorseosed kattuvad skalaarseostega,sest on tegemist sirgjoonelise liikumisega.Järelikult on ajaühikus läbitud teepikkus võrdne kiirusega ühtlasel sirgliikumisel: V=S/t
2 l- keha pikkus liikuvas süsteemis, l0 -seisvas süsteemis. 25.Lorentzi teisendused. Lorentzi teisendus on aegruumi teisendus erirelatiivsusteoorias, millega seotakse kahe erineva inertsiaalses taustsüsteemis paikneva vaatleja mõõtmistulemused. Fundamentaalne erinevus Galilei ja Lorentzi teisenduste vahel seisneb selles, kuidas Lorentz teineteise suhtes erineva kiirusega liikuvaid vaatlejaid kirjeldab: relatiivsusteoorias on ajaühikud, ruumilised pikkused ning sündmuste ajaline järjestus erinevate kiirustega liikuvate vaatlejate jaoks erinevad. Viimane tuleneb asjaolust, et valguse kiirus on kõigi vaatlejate jaoks alati ühesugune. x −vt t −βx /c x'= t' =
Kuna Fs=Fcos(alfa), siis saab eelnevale töö valemile anda järgmise kx 2 kuju- A=Fscos(alfa). Vedru venitamise puhul A = . Vedru kokkusurumisel x võrra 2 tehakse samasugune hulk tööd, nagu tehti vedru väljavenitamisel. SI-süsteemi järgi on töö ühikus dzaul(J). Töö avaldise võib esitada ka jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Teisenduste järel saame tulemuse- A = Fds f . Kui jõu suurus ega suund ei muutu, siis võib s valemis tuua vektori F integraali märgi ette, mille tulemusena töö avaldis võtab kuju- A = F ds = Fs = Fs F , kus s on nihkevektor ja sf tema projektsioon jõu suunal. Võimsus A
Mõõtkavat ei ole, sest kaarti on võimalik suurendada ja vähendada ning koordinaate on võimalik ülitäpselt sisestada. Mõõtkava on olemas, sest koordinaadid on mõõdetud teatud täpsusklassiga, mis vastab ALATI mingile mõõtkavaklassile; on määratud lähtematerjalide TÄPSUSEGA; on määratud generaliseerimisastmega, mis tuleneb omakorda mõõtkavaklassist. Nimetatakse objektidevahelise asendi omadusi, mis jäävad muutumatuks pidevate teisenduste korral (suurendused, vähendused, generaliseerimine, konverteerimine, transformeerimine). 24. Mis on topoloogia? Defineerib kaardistatud objektide vahelisi loogilisi suhteid. Nimetatakse objektidevahelise asendi omadusi, mis jäävad muutumatuks pidevate teisenduste korral (suurendused, vähendused, generaliseerimine, konverteerimine, transformeerimine). 25. Milliste parameetritega topoloogiat defineeritakse?
suhteliselt õhuke ja sügavamal asub praktiliselt · s2 - roomest põhjustatud vajum sulundseinad; - süvendid pinnases; - sillasambad; kokkusurumatu kaljupinnas. - vajum dreenimata olekus, nn algvajum s 0, mis ei - pinnastammid ja muud mullatööd; - tunnelid Bussineq ülesande lahendamisel ja teisenduste ole põhjustatud pinnase mahu vähenemisest, vaid kõvas, riketeta kaljupinnases ilma eriliste tegemisel saame ühtlaselt jaotatud koormusega ainult nihkedeformatsioonist ja toimub nõueteta veetiheduse suhtes. Kategooria 3 eriti ristkülikulise pinna keskpunkti vajumi samaaegselt koormuse suurenemisega keerukad või rasketes geotehnilistes tingimustes
mittestabiilses muutujad võivad kasvada piiramatult.Lineaarses süsteemis on algtingimustest tingitud siirdeprotsessi vabakomponent ning sisenditest tingitud sundkomponent selgesti eristatavad. Protsess tervikuna on nende komponentide summa (superpositsioon). Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi y(s)=H(s)u(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis u(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel 3.5 Impulss- ja hüppekaja- Impulskaja h(t) u(t)=(t)=> y(t)=h(t)-Orienteeritud süsteemi reaktsioon väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss (t). Impulsskaja kasutatakse lineaarse süsteemi dünaamiliste omaduste iseloomustajana (nn. ülekandekarakteristikuna). On küllalt lühikese impulsi kasutamisel sisendis piisavalt täpselt eksperimentaalselt mõõdetav
Soome). Joonis23. Malekorras liigutatavate restielementi- dega kolle TRF, Rootsi firma KMW ENERGI AB, kuni 10 MW. Puude jalamil, maapinnal oksaraagude ja varisenud lehtede all kihab elu. Metsaaluse ühelt hektarilt võib leida rohkem elusolendeid, kui on inimesi kogu maakeral. 18 P raktilisi näiteid Puitkütuse tootmises vajalike teisenduste näiteid Võimalus puitu kütteks varuda tekib juba Järgnevates tabelites (Tabel 9 kuni 12) valgustusraiel, kogused suurenevad veel- mõned näited, kui palju võiks metsaraiel gi harvendus- ja uuendusraiel. Andmed saada küttepuitu ja tööstuses kasutatavat tar- Lõuna-Soome metsade kohta näitavad, et bepuitu. Aluseks on võetud keskmised näi- kogu raieringi jooksul võib koguda raie- tajad, hinnangu andmiseks mõne konkreetse
Saadud võrrandi mõlemaid pooli integreerime vastavalt lõikudel 0- ja - : | 20. On antud Galilei teisendused. Joonistage nendele teisendustele vastavad taustsüsteemid ja leidke seos kiiruste vahel. Punkti asend taustsüsteemis : ( ). asend taustsüsteemis : ( ). Antud Galilei teisenduste diferent- seerimisel aja järgi saab leida kiiruse: { { { 21. Kujutage joonisel, kus on kujutatud ringjooneline trajektoor, järgmised suurused: kohavektor, joonkiiruse vektor, pöör- denurk, pöördenurga vektor, nurkkiiruse vektor:
tasakaaluasendist välja viiakse ning millisel ajahetkel lahti lastakse. Võnkumisseadus on sinusoidaalsest keerulisem. 40. Ristsihiliste, harmooniliste vônkumiste liitmine: faasivahe 0, /2 ja korral. Ristsihilised võnkumised on väikeste hälvete juures mõlemad harmoonilised ning keha liikumise võib kirjutada parameetrilisel kujul: x = Ax sin ( x t + x ) y = Ay sin ( y t + y ) Keha tegelik liikumine on x ja y sihiliste liikumiste summa. Kui vabaneda võrrandisüsteemis teisenduste kaudu parameetrist t, saame seose x ja y vahel - trajektoori võrrandi: 2 2 x y + - 2 xy cos( x - y ) = sin 2 ( x - y ) . Ax Ay Ax Ay See on üldine ellipsi võrrand, mille kuju oleneb faasivahest x -y . Erijuhud on: 1) Samas faasis liitumine x - y = 2 n 2) Vastasfaasis liitumine x - y = (2n + 1) 3) x -y = ± 2 41
. Vahelduvvoolu puhul juhtmesoone eritakistus suureneb ristlike suurenedes pinnaefekti tttu. Sel juhul arvutatakse lubatud pidevvool jrgmiselt: , kus I1 - lubatud pidev alalisvool ristlikepindalas 1 mm2, ja µ on tegur, mis sltub juhi liigist ja selle paigaldusest ning normaaljuhtudel on piirides 0,6 µ 0,7. Nagu lubatud voolutihedust vib ka soojuslikku ajakonstanti vljendada ristlikepindala s kaudu. Prast mitmesuguste teisenduste teostamist saame: , kus - juhtmesoone materjali tihedus,kg/m3. Voolu mju tavaliselt ei ole psiv vaid materjal soojeneb ja jahtub pidevalt vastavalt voolule. Thtsaks suuruseks on veel isolatsiooni eluiga. Seda vib arvutada valemiga: , kus T - absoluutne temperatuur ning A ja B on isolatsioonimaterjali iseloomustavad tegurid. Rakenduslikus elus kasutatakse veel valemit: , kus L0 - isolatsiooni eluiga temperatuuril 0oC; - isolatsiooni temperatuur, oC;
m J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 30 Diferentsiaalvõrrandid on küll leitud, kuid sellisel kujul neid lahendada ei saa. Asi on nimelt selles, et meil on siin kahe võrrandi jaoks tervelt 4 ajast sõltuvat funktsiooni: x (t ) , y (t ) , v (t ) ja (t ) . Kaks funktsiooni on siin üleliigsed, neist tuleb teisenduste abil lahti saada. Selleks vaatleme kiirusvektorit v vaadeldavas trajektoori punktis (joonis 4.6). v v sin = v y = y v cos = v x = x Joonis 4.6 Leiame selle projektsioonid x- ja y-teljele. Joonise 4.6 põhjal
Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! ! Võtame 2 mistahes punkti x1,x2 Q ja moodustame: x= x1+x2Q. Kuna kõik Qi on kumerad, siis x1,x2 kuuluvad igasse Qi-sse.
3) a jab korrutis a *b =a * b * sin 4) a * b = a * b * cos skalaarkorrutis Taustsüsteemi, milles kehtib Newtoni I seadus, nimetatakse inertsiaalseks. Iga taustsüsteemi, mis liigub inertsiaalse suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt, nimetatakse samuti inertsiaalseks. Üleminek ühelt inertsiaalsest süsteemist teise on võimalik Galilei teisenduste abil. Olgu keha asukoht määratud mistahes kordinaatidega: x;y;z. Aeg kulgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi. x=x'+Not ( x- kordinaat ; No- kiirus I suhtes ; t- aeg ) y=y' z=z' t=t' Keha kiirus esimeses süsteemis: N -Keha kiirus teises taustsüsteemis:
a m Definitsioon 4. Maatriksit, mille ridadeks on algmaatriksi veerud ja veergudeks algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 , A = A= 0 7 - 2 7 . Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega 2. Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij ) Näide 1:
algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 A = , A = . 0 7 - 2 7 Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega · Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij )
(erirelatiivsusteooria esimene postulaat)
253. Mis on Galilei teisendused?
Kahes eri inertsiaalsüsteemis vaadeldava sündmuse ruumi- ja ajakoordinaatide
vahelised seosed (kehtivad ainult väikeste kiiruste korral, st v<
Vastupidise võrrandite sümmeetria kaalutlustest. protsessi esile kutsumiseks on vaja väljaspoolt tulevat mõjutust Tänapäeval on termodünaamika suuresti ajalugu; (gaas tuleb tagasi pumbata). teoreetilistes uuringutes toetutakse rohkem molekulaarfüüsikale koos kvantteooria elementidega. Et aga termodünaamika lubab lihtsate teisenduste abil arvestada ka keemilist energiat, on paljud siinsed meetodid leidnudki tee keemiasse. Aga see on juba rohkem, kui üldfüüsikale kohane. "Tõenäoseim jaotus" ja entroopia. Kujutame kahest võrdsest poolest koosnevat anumat, milles asub osakest. Tõenäosus, et mingi osake asub näiteks vasakpoolses ruumiosas, on 1/2. Sarnaste osakeste korral saame tõenäosuse, et vasakus pooles asub osakest, arvutada binoomjaotuse abil (nagu "kulli-kirja" probleemi puhul.
a. Puudub sest: saab zoomida, on võimalik koordinaate ülitäpselt sisestada. b. On sest: koordinaatide täpsus=mõõtmise täpsus, on määratud lähtematerjalide täpsusega, on määratud generaliseerimisastmega, mis tuleneb mõõtmiste klassist. 37. Mis on topoloogia? a. Defineerib kaardistatud objektide vahelisi loogilisi suhteid. b. Nimetatakse objektidevahelise asendi omadusi, mis jäävad muutumatuks pidevate teisenduste korral (suurendused, vähendused, generaliseerimine, konverteerimine, transformeerimine). 38. Nimetage topoloogia parameetrid. a. Reeglid (defineerivad kaardistatud nähtuste vahel lubatud suhteid) i. Geomeetrias (pinnad ei tohi kattud, ei tohi olla auke, ei tohi ristuda, peab puutuma, peab olema täielikult pinna sees, ei tohi olla topeltobjekte) ii
Protsess tervikuna on nende komponentide summa. Siseakumulatsioonide puudumise nõude tõttu on süsteemi nullise sisendsignaali korral alghetkel tasakaaluolukorras ning väljundsuurus on samuti olnud püsivalt null. Sisendsignaali rakendamisel tekkiva väljundsignaali arvutamine toimub valemi y(s)=H(s)u(s) alusel. Eelduseks on ülekandefunktsiooni tundmine. Antud sisendsignaalile u(t) leitakse kujutis u(s) Laplace'i teisenduste tabeli alusel. Järgnevalt leitakse väljundmuutuja kujutis. Originaalile üleminek toimub y(s) avaldise lahutamisega osamurdudeks. 2.5.Impulss- ja hüppekajad Impulsskaja on orienteeritud süsteemi reaktsioon väljundsignaalina, kui sisendisse nullajahetkel antakse delta-impulss 8(t). Ideaalne impulss moodustub piirväärtusena lühikesest impulsist selle kestuse lähendamisel nullile nii, et impulsi pindala säilib ühikulisena
kvantitatiivselt, so arvude abil); x soovitavat taset piiravad kitsendused (esineb üks või mitu); x otsustamiseks on vaja alternatiive; x sihtfunktsioone ja kitsendusi väljendatakse kas võrrandite või võrratustena. Võimalikud lahendusmeetodid: x graafiline - kasutatakse lineaarse planeerimise õppimisel, see võimaldab paremini mõista probleemi olemust. Saab kasutada vaid 2 tundmatu korral; x simpleksmeetod - järkjärguliste teisenduste abil otsitakse suurima (väiksema) sihifunktsiooniga lahendit. Lineaarse planeerimise puhul on sihifunktsioon ja kitsendused lineaarsed. 2. Mittelineaarne planeerimine. Majandusprobleemi detailsem ja sügavam analüüs toob sageli välja vajaduse mõned kitsendused või sihifunktsioon esitada mittelineaarselt. Sellist majandusmatemaatika osa nimetatakse mittelineaarseks planeerimiseks. x Tinglik ekstreemum; x Lagrange`i meetod.
annaabi.ee 
