Füüsika eksamiks (7)

I.1. Mehhaanika

1.1.Kinemaatika

1.1.1. Inertsiaalne taustsüsteem

Liikumise kirjeldamine peab toimuma ajas ja ruumis.Ruumis määratakse keha asukoht taustsüsteemi suhtes.Taustsüsteemis kehtib Newtoni 1 seadus.Iga taustsüsteemi,mis liigub inertsiaalse suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt,nimetatakse samuti inertsiaalseks.
Üleminek ühest inertsiaalsest süsteemist teisesse:
Galillei teisendus : keha koordinaate arvestades,et aeg külgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi.
x=x'+V0*t
x-I süsteem y=y'
x'-II süsteem z=z'
t=t'
Keha kiirus on esimeses süsteemis:
→ → →
V=V'+V0
Dünaamika võrrandid ei muutu üleminekul Ist inertsiaalsest taustsüsteemist teisesse,see tähendab,et nad on invariantsed koordinaatide teisenduste suhtes.

1.1.2.Ühtlane sirgliikumine

Keha liikumise tegelik tee on trajektoor .
Nihkvektoriks s¯ nimetame keha liikumise trajektoori alg-ja lõpppunkti ühendavat vektorit .Olgu nihe ∆S¯ ajavahemikku ∆t jooksul,siis kiirusvektor:
V¯=lim ∆S¯/∆t=dS¯/dt
Kui kiirus ajas ei muutu,siis diferentsiaale ei kasutata ning vektorseosed kattuvad skalaarseostega,sest on tegemist sirgjoonelise liikumisega.Järelikult on ajaühikus läbitud teepikkus võrdne kiirusega ühtlasel sirgliikumisel:
V=S/t
Ja aja t jooksul läbitud teepikkus on siis vastavalt S=Vt.
SI süsteemis on kiiruse mõõtühikuks m/s.

1.1.3.Ühtlaselt muutuv sirgliikumine

Olgu ∆t ajavahemik ,mille jooksul kiirus muutus ∆V¯,siis kiirendus
a¯=lim ∆V¯/∆t=dV¯/dt
ja differentsiaalne kiiruse muut vastavalt
dV¯=a¯dt
Kui kiirendus on const . ja liikumine sirgjooneline ,siis kiirus,ajahetkel t.
Tähistame algkiiruse vastavalt V0¯,siis olgu kiirusvektori moodul:
V¯=∫adt=at
Tähistame algkiiruse vastavalt V0,siis kiirus ajahetkel t,ühtlaselt kiireneval liikumisel:
V=V0+at
Ühtlaselt aeglustuva liikumise puhul on kiiruse muut negatiivne kiirendus ka negatiivne ning kiirus ajahetkel t vastavalt
V=V0-at
Kuna elementaarne ds¯=V¯dt,siis juhul a=const on teepikkus ühtlaselt muutuval sirgliikumisel
S¯=∫V¯dt=∫V0¯dt+∫a¯tdt=V0¯t+at²/2
Juhul V0¯=0 on S=a¯t²/2

1.1.4.Ühtlaselt muutuv ringliikumine

Kui ringliikumise joonkiirus ühtlaselt muutub,siis on tegemist tangensiaalkiirusega a¯(τ -all),lisaks normaalkiirendusele:
a¯(τ -all)=lim∆V¯/∆t=dV¯/dt
Skalaarselt:
a(τ -all)=lim∆(ωR)/ ∆t=Rlim∆ω/∆t=R(dω/dt)=Rε
Nurkkiirendus defineeritakse ,kui nurkkiiruse muut ajaühiks,see tähendab ε=dω/dt
Kasutades raadiusvektorit r¯ ja nurkkiiruse vektorit ε¯=dω¯/dt võime tangensiaalkiirenduse kirja panna vektorkorrutisena
a¯ (τ-all)= ε¯*r¯
Vektorkorrutise moodul a(τ-all)= εrsinα=εR ja R=rsinα on trajektoori raadius.Leiame kogukiirenduse vektori:
a¯=a¯(n-all)+a¯(τ-all) ja selle mooduli:
a²=a(n-all)²+a(τ-all)²
a= √(a(n-all)²+a(τ-all)²= √((V²/R)² + (εR)²)

1.2.Dünaamika

1.2.1.Newtoni seadused

I seadus:
Iga keha püsib paigal,või on ühtlases sirgjoonelises liikumises seni,kuni teiste kehade mõju ei sunni seda liikumisolekut muutma;
II seadus:
Rakendades kehale,massiga m,jõu F¯ saab keha kiirenduse a¯,a¯=F¯/m(F=ma).
Arvestades,et keha mass on const,siis jõu ja kiirenduse vektorite moodulite suhe m=F/a=const.
Järelikult keha mass on inertsuse mõõt ja näitab,kui suurt jõudu on vaja keha liikumisoleku muutmiseks.
III seadus:
Kaks keha mõjutavad teineteist suuruselt võrdsete ja vastassuunaliste jõududega.
F12¯= - F21¯
Jõu mõõtühikuks SI süsteemis on njutoon(N),CGS-süsteemis düün(dyn).
1N=1kg*1m/S²=10³g* 10cm /S² =10^5dyn
SI-kg,m,s
CGS-cm,g

1.2.2.Raskusjõud ja keha kaal

Maa külgetõmbe mõjul liiguvad kõik vabalt langevad kehad Maa pinnale kiirendusega g=9,81m/S².Igale kehale Maa pinnal ja selle läheduses mõjub raskusjõud P¯=mg¯.Raskusjõud loetakse rakendatuks raskus keskmesse ehk inertsikeskmesse,mille all mõeldakse mõttelist punkti kehal,mida läbib keha kõigile punktidele mõjuvate paralleelsete raskusjõudude resultant .Raskuskese ühtib sümmeetriakeskpunktiga,kui massi jaotus on konstantne kogu keha ruumala ulatuses.
Keha kaal on jõud,millega keha mõjutab tuge või riputit,millele ta on asetatud.Kui see tugi või riputi liigub Maa suhtes vertikaalses raskuskiirendusega võrreldava kiirendusega a¯,siis keha kaal
σ¯=m(g¯±a¯)
Kus "+" märk vastab juhule,kui tugi või riputi liigub vertikaalselt üles "-" vastab liikumisele vertikaalselt alla.Igal muul juhul on keha kaal võrdne raskusjõuga.
Maa raadius R=6400 km,mass m=5,98*10^24 kg,siis ülemaailmne gravitatsiooni const. y=6,67*10^-11 m³/kg*S²,raskuskiirenduse Maa pinnal g=9,81m/S².

1.2.3. Impulss ja impulssi jäävuse seadus

Newtoni II seadus ütleb,et jõud f¯,kui ta mõjutab keha,massiga m annab talle kiirenduse f¯=m*dv¯/dt,kuna m=const,siis d(mV¯)/dt=f¯,tähistame selles seoses korrutise mV¯=p¯,ning nimetame keha,massiga m,impulsiks.Keha,massiga m,impulss on vektor ,mille suund ühtib kiiruse suunaga ja moodul keha massi ja kiiruse korrutisega.
Järelikult võime Newtoni II seaduse kirja panna ka impulsi mõistet kasutades f¯=dp¯/dt .
Olgu meil süsteem,mis koosneb N kehast,siis süsteemi kuuluva suvalise keha kohta kehtib
dp¯/dt=Σf ¯(1k-all)+F ¯(i-all) juhul i=1....n,kui k=1...n.Ning k≠i suvalise i-nda keha impulss,f¯(ik-all)-jõud,millega süsteemi sisesed kehad mõjuvad i-ndale kehale F¯(i-all)-süsteemi valiste jõudude resultant,mis mõjutab i-ndat keha.Kui süsteem on mehhaniliselt isoleeritud,siis süsteemi mõjutavate välisjõudude resultant
ΣF¯(i-all)=0.
Sel juhul süsteemi sisesed kehad,vastavalt Newtoni III seadusele mõjutavad paarikaupa teineteist suuruselt võrdsete ja vastassuunaliste jõududega ning
Σf¯(tk-all)=0
Süsteemi kui terviku impulsi ajaline tuletis on siis võrdne nulliga
dp/dt=0
Nii oleme tõestanud impulsi jäävuse seaduse:
Mehhaaniliselt isoleeritud süsteemi impulss on konstantne
p¯=const
Kui süsteemi mõjutavate väliste jõudude summa on F¯,siis süsteemi impulssi ajaline tuletis
dp/dt=F¯

1.2.4.Jõumoment ja impulssmoment

Leiame jõu f¯ momendi,masspunkti m,pöörlemisel ümber fikseeritud pöörlemistsentri O.Jõu õlaks nimetame siin jõu mõjusirge ja pöörlemistsentri vahelist kaugust.
M¯=r¯*f¯
Vektor r¯ pn raadiusvektor algusega punktis O ja lõppunktiga masspunkti asukohas .Skalaarselt M=rsin af=fR,kus R on jõu f õlg ja a on nurk raadiusvektori ja jõu mõjusirge vahel.Jõu f¯ moment masspunkti pöörlemisel ümber telje z.
M¯=R¯*f¯
M2¯=R¯*f
Vektor R¯ on suunatud masspunkti asukohta ja pikkuselt võrdne jõu õlaga pöörlemistelje suhtes.Eelnevas seoses jõu f¯ all mõeldakse masspunkti m trajektoori puutuja suunalist komponenti,kuna telje z sihiline jõu komponent jõumomenti ei anna panust,samuti trajektoori raadiuse suunaline komponent.Jõumomendi vektori suund on pöörlemistelje sihiline ja määratud vektorkorrutise reegliga.Jäiga keha puhul on jõu f¯ õlg võrdne jõu rakenduspunkti ja pöörlemistelje (või pöörlemistsentri ja jõu mõjusirge vahelise kaugusega).Defineerime pöörleva masspunkti impulsmomendi L¯,kui liikumine toimub ümber fikseeritud tsentri O nii,et masspunkti raadiusvektor on r¯ ja tema impulss p¯
L¯=r¯*p¯
Skalaarselt L=rpsinα=Rp,kus R=rpsinα ja α on nurk raadiusvektori ja trajektoori joonkiiruse vektori vahel.Kuna p=mv(v on masspunkti joonkiirus ringsel trajektooril),siis
L=mvR.
Fikseeritud telje z suhtes L2¯=m(R¯*v¯).Selles seoses vektor R¯ on masspunkti raadiusvektor,mis oma pikkuselt on võrdne kaugusega pöörlemisteljest.Leiame seose jõumomendi ja impulssmomendi vahel.Kuna a¯=dv¯/dt,siis dL¯/dt=r¯* m*dV¯/dt=r¯¯*f¯=M¯
Kui süsteemi väliseid jõude ei mõju,on nende jõudude moment võrdne nulliga ja süsteemi impulssmoment konstantne. Niisiis ,kui M¯=0,siis L¯=const.Seda seadust nimetatakse mehhaniliselt isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduseks.

1.2.5. Impulssmomendi jäävuse seadus

Leiame seose jõumomendi ja impulssmomendi vahel.Kuna a¯=dv¯/dt,siis dL¯/dt=r¯* m*dV¯/dt=r¯¯*f¯=M¯
Kui süsteemi väliseid jõude ei mõju,on nende jõudude moment võrdne nulliga ja süsteemi impulssmoment konstantne.Niisiis,kui M¯=0,siis L¯=const.Seda seadust nimetatakse mehhaniliselt isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduseks.

1.2.6. Inertsmoment ja pöördliikumise dünaamika põhivõrrand

Teades,et kehtib seos Lz¯=m*(R ¯*V ¯)masspunkti,massiga m,impulssmomendi kohta,pöörlemisel ümber z telje.Teades,et pöördliikumise joonkiirus V¯ ja nurkkiirus ning ω ¯ pikkuselt ringse trajektoori raadiusega võrdne vektor R¯ on seotud valemiga
V ¯= ω ¯*R ¯.Võime impulssmomendi Lz ¯ kirja panna nii:
Lz ¯=m[R ¯*( ω ¯*R ¯)]=mR ² ω ¯
Iz =mR ²,kus R on masspunkti kaugus teljest z.
Masspunkti impulssmomendi telje z suhtes L2¯ kasutades avaldada järgmiselt
Lz¯=Iz* ω ¯
Pöörlemine nurkkiirenduse ε ¯ korrutisega:
Mz ¯=dLz ¯/dt=d(Iz* ω ¯)/dt=Iz*d* ω ¯/dt=Iz* ε ¯
Masspunktide isoleeritud süsteemi impulssmomendi jäävuse seaduse võime kirjutada ka teisel kujul.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude moment telje z suhtes
Mz=0,siis süsteemi impulssmoment Lz ¯=I ω ¯=const.
Steineri lause järgi keha inertsmoment suvalise pöörlemistelje suhtes,mis ei läbi raskuskeset on järgmine:
I=I0+ma²
Masspunkt -m,pöörleb ümber z,ringne trajektoor,raadius R,joonkiirus V,nurkkiirus ω => V= ωR
I0 inertsmoment telje suhtes ,mis läbib raskuskeset ja on tegeliku pöörlemisteljega paralleelne, α on kaugus keha raskuskeskmest pöörlemisteljeni ja m on keha mass.

1.2.7.Pöörleva keha kineetiline energia

T=mV²/2=mR²ω ²/2=Iω ²/2
Kui masspunkt m pöörleb ümber telje z,siis tal on ringselt
T=mV²/2
Kui keha ka pöördub,siis tema kineetiline energia
T=mVc²/2+Iω ²/2
Vc-raskuskeskne külgliikumise kiirus
I-keha inertsmoment telje suhtes,mis läbib raskuskeset
ω –keha,massiga m,pöörlemise nurkkiirus
Inertsi peatelk -inertsikeset ehk raskuskeset läbivad omavahel risti asetavad teljed.
∆T+ ∆U=0
∆T=mV ²/2+I ω ²/2
∆U0, ∆l/l>0
Surve puhul ε