Digisignaalidetöötlemine kontrolltöö 1 materjalide kokkuvõte (2)

Signaalid
Regulaarsed ja juhuslikud – kas signaali elemendid on determineeritud või mitte.
Pidevad või diskreetsed- kas signaali argument on pidev või diskreetne .
Analoog ja kvanteeritud- kas signaali amplituud on pidev suurus või diskreetne e kvanteeritud.
Digitaalsignaalid- kvanteeritud diskreetsignaalid mille kvanteeritud nivoode väärtused esitatakse kodeeritud kujul arvkoodis.
Lisaks jaotatakse signaalid reaal ja komplekssignaalideks, lõpliku ja lõputu kestvusega ning perioodilisteks.
Sümmeetria alusel eristatakse paaris ja paaritu sümmeetriaga signaale.
Signaalitöötluse põhiprotseduurid
signaali tekitamine- pidevsignaali eeltöötlus – diskreetimine ja kvantimine- digisigaali töötlus- digisignaal muundamine pidevsignaaliks- pidevsignaali järeltöötlus.
Pidevsignaali diskreetimine
On signaalist kindlatel ajahetkedel valimite võtmine. Saame signaali, mis on tükeldatud erinevateks diskreetideks. Spektri saamiseks tuleb teha diskreeditud signaalile Fouriere teisendus . Diskreetse signaali spekter on algsignaali spektri perioodiliste korduste summa. Kui tahetakse sooritada vastupidis protsessi (Spektrist-Algsignaali siis peavad olema täidetud teatud tingimused: 1)algsignaali spektri kordused ei tohi kattuda. See on täidetud siis kui diskreetimise sagedus ületab kahekordselt lähtesignaali spektri maksimaalse sageduse. Kui tingimus on täidetud võime kasutada Furiere pöördteisendust. Algsignaal taastub kui filtreerida diskreetsignaali spektrist välja lõik , mis vastab algsignaali spektrile, ilma selleta tekib spektris parasiitsagedus, kuna kõrgem sagedus transformeeib madalale. Ülediskreetimine on kui sagedus on palju suurem kui kahekorde kõrgeim sagedus. Seda kasutatakse ära mürade vähendamiseks ja ülekattumise vältimiseks.
Signaali taastamine diskreetsete väljavõtete järgi
Eelduseks on , et diskreetimissagedus peab olema kaks korda suurem kui maksimaalne sagedus. Saame kasutada madalpääsfiltrit, mis eraldab diskreeditud signaali perioodilisest spektrist algsignaali osa. Filtri ergutamisel diskreetsete hetkväärtustega moodustab selle väljundis analoogsignaal. See taastamine ei ole realiseeritav, kuna pole ideaalset madalpääsfiltrit, deltaimpulssi või võimalust alustada protsessi ajahetkest –lõpmatus.
Kvanteerimine
Kvanteerimine on diskreetsignaali väärtuste võrdlemine kvaneerimiskvandi ja täisarvu korrutisega. Täisarv määratakse mitmel viisil:
Alladimensioneeritud- käitub kui allapoole ümardamine. Kõik väärtused, mis on allapool ülemist nivood ümardatakse alla.
Üledimensioneeritud - käitub kui ülespoole ümardamine. Kõik väärtused, mis on ülevalpool alumist nivood ümardatakse üles.
Need kaks varianti on võrdväärsed, kuna on võrdsed süstemaatilised vead ja võrdsed vigade ruuthälbed.
Balansseeritud- ümardamine kvandi poolse väärtuse suhtes. Kvantimisvahemik jagatakse pooleks ja otsustatakse kummas suunas on kasulikum liikuda . Selle puhul võidame vigade keskväärtuses (kuna see = 0) . Keskmine ruuthälve jääb aga samaks.
Kvantimisnivoode arv ja laius on määratud bittide arvuga ja pingevahemikuga, mida kujutatakse. Kvanteerimisel ei pääes kvanteerimisveast.
Digisignaali dünaamiline diapasoon
Kvanteerimsie tulemusena saime digisignaali esituse täisarvuliste suurustega(nivoode väärtused). Neid väärtusi võib esitada erinevais arvsüsteemides. Digisignaali puhul on selleks kahendsüsteem. Dünaamiline diapasoon on suurimate ja vähimate väärtuste arvu suhe, millega oleks võimalik signaali edastada .
Fikseeritud koma formaat – erineva väärtusega signaalid esitataks kodu dünaamilises diapasoonis ühesuguse absoluutse veaga (tingib suure vea väikeste väärtuste korral) . Seega signaali suuremaid väärtusi tuleks kvanteerida suurema kvandiga, väiksemaid väiksega. See aga suurendab määramispiirkonda oluliselt.
Ujuvkoma formaat – absoluutne viga on parem. Väärtuste saamiseks kasutatakse mingi kindla numbri „kaalumist“ eksponendiga.
Digikoossiinus
On koossiinussignaal diskreeditud kujul. Erinevatel diskreetimissammudel on erinevad omadused ja neid kasutatakse kindlatest müradest ja töötlusest lähtudes.
Kui diskreetimissamm on T/4. Informatiivsed on ainult parisaarvulistel diskreetidel olevad suurused. Paarituid ei ole mõtet arvutada.
Digisiinus
On siinussignaal diskreeditud kujul. Kui diskreetimissamm on T/4, siis saame paarisaadresside väärtusteks nullid. Informatiivsed on ainult paaritutel aadressidel olevad diskreedid. Digisiinusest on võimalik teha digikoossiinus , kui me nihutame ajaarvamise alguse ühe sammu võrra.
Digisiinuse ja digikoosiinuse summa
On lihtne liitmistehe. Kui valime dikreetimissammuks T/4, siis saame erinevad admevood paaris ja paaritutel aadressidel. Paaris aadressidel muutub siinuse komponent nulliks, koosiinus aga omab väärtusi. Paaritutel aadressidel muutub aga koosiinus nulliks ja siinus komponent omab kindlaid väärtusi. Andmevoo tükeldamisel jooksva aadressi järgi paaris ja paarituteks saame sõltumatud kvadratuurkomponentide nivood mille järgi saame arvutada nii amplituudi kui algfaasi.
Kvaasiharmooniline digisignaal
Kvaasiharmooniline signaal on signaal, mis võib olla kas amplituud või nurkmoduleeritud(faasmoduleeritud). Kui diskreetida seda singaali sammuga T/4 ja moodustades andmenivood nii paaris kui paaritutel aadressidel saame , et paaris ajamomentidel muutub siinus komponent nulliks ja paaritutel ajamomentidel muutub komponent koossiinus nulliks. Selle tulemusena saame koossiinuse paarisarvulised väljavõtted ja siinuse paarituarvulised väljavõtted. Et arvutada faasi ja amplituudi on ka vaja koosiinuse paarituarvulisi ja siinuse paarisarvulisi komponente. Nende hinnangud saame interpolatsiooni käigus. Kui signaal ei ole moduleeritud, siis pole selleks vajadust kuna paaris ja paaritu komponent on võrdsed.
Komplekssignaali diskreetne Fourier teisendus(DFT)
Kasutatakse signaali spektri saamiseks. Tegeletakse kindlate väärtustega kindlatel ajahetkedel. Teisendus tehakse kindla perioodi ulatuses. Valemid on järgmised:
Eelnevates valemites N on signaali kestvus diskreetides. Erinevus pidevsignaalidega tulebki selles, et integreerimine asendub summeerimisega.
Kahese perioodiga DFT
Siin N on võrdne kahega. Signaali ühe perioodi kestvus on kaks diskreeti. Esmalt viime spektri avaldise normeerimata kujule S(k)=NS(k). Spekter arvutatakse järgnevalt
, siit saame ,et
ja
. Saadud tulemused tuleb normeerida, st jagada läbi N-iga. Nii saame kahese perioodiga DFT
Kolmese perioodiga DFT
Siin N on võrdne kolmega. Kasutame valemit . Erinevate spektrikomponentide puhul tekivad erinevad pöördekoefitsendid. Neid tähistatakse
. Selle tehte teostamiseks läheb vaja küllalt palju tehteid. Seega hakkab kannatama tehte sooritamise kiirus. Saadud tulemus tuleb normeerida.
Neljase perioodiga DFT
Siin N on võrdne neljaga. Kasutame valemit ,
kust saame S4 (0)=s(0)+s(1)+s(2)+s(3), S4 (1)=s(0)-s(2)-j(s(1)-s(3)), S4 (2)= s(0)+s(2)-(s(1)+s(3)), S4 (3)=s(0)-s(2)+j(s(1)-s(3)). Siin saame tehete arvu vähendada , kasutades a=s(0)+s(2), b=s(0)-s(2), c=s(1)+s(3), d=s(1)-s(3) ja z=-jd. Komponendid avalduvad järgmiselt S4 (0)=a+c, S4 (1)=b+z, S4 (2)=a-c, S4 (3)=b-z .Saadud tulemus tuleb normeerida. Selline algorit nõuab vähem tehteid ja neid nimetatakse kiireteks Fouriere teisenduste algoritmideks (FFT). DFT puhul signaali realisatsiooni pikkuse N suurenemine toob kaasa summeerimis ja korrutamistehete kasvamise ruudus .
Viiese perioodiga DFT
Siin N on võrdne viiega . Kasutame valemit . Sellel juhul on pöördekoefitsent mõtekas kohe välja arvutada, kuna tehteid tuleb korrata ja ei ole ratsionaalne seda koguaeg uuesti arvutada. Hea on esitada pöördekoefitsendid kahemõõtmelise massiivina WN(n,k) maatriksina. See annab meile hea ülevaate (on sümmeetriline algusest lähtuva peadiagonaali suhtes). Algoritmi miinuseks on ,et selle korral tuleb sooritada palju lisatehteid (kompleksarvude korrutamine ).
Komplekssignaali kiire Fourier teisendus(FFT)
Kahese alusega FFT
Selleks , et DFT algoritmi kiirendada peab teisenduse periood N olema esitatud kahe (või enama) täisarvu korrutisena. Näiteks (N=4=2x2). Algoritmid on realiseeritavad siis kui N=2c , c≥0. Sagedusala tükeldatakse kaheks. Paaris ja paarituteks spektrikomponentiteks. Saame valemid
Nendes valemites exp funktsioon on perioodiline f-n perioodiga N/2. See tähendab, et n≥N/2 korral hakkavad tema väärtused korduma. Tänu sellele väheneb korrutustehete arv kaks korda. Taandame protsessi kaks korda lühema DFT protseduurile. Saame järgmised valemid
Mida suurem on signaali pikkus N , seda effektiivsem on FFT võrreldes DFT-ga.
FFT maatriksalgoritm
Eeldame , et signaali kestvus N on esitatav kahe arvu korrutisena N=FT , kus jagame sagedusala F osakuks. Edastame signaali kahemõõtmelise massiivina S(n,p). Sellest tabelist lähtudes teeme Furiere teisendusse tabeli veerge pidi.
, kus i tähendab massiivi rida mis esitab sagedust. Kui algmassiiv on kahemõõtmeline, siis FFT võime sooritada kolme etapiga : 1)Furiere teisendus veerge pidi 2) Tulemuse korrutamine pöördekoefitsendiga 3) Furiere teisenudus piki ridu. FFT maatriksalgoritm realiseerub 2 korda väiksema korrutustehete arvuga. Tulemus tuleb normeerida !