Olulisuse nivooks valime 0,05. Funktsioontunnuseks on okka pikkus. Faktoriks on väetamise variant, milles on 4 taset: N, P, NPK ja kontroll. Nullhüpoteesiks on väide, et kõigi nelja väetamise variandi korral on poogendite okka pikkuste ke Sisukaks hüpoteesiks on väide, et vähemalt ühe väetamise variandi korral on okka pikkuse kesk Dispersioonanalüüsi protseduur käivitatakse menüüst: Andmed, Data Analysis, Avova: S F-statistiku väärtus: 31.567282322 F-statistiku kriitiline väärtus: 2.8662655509 Olulisuse tõenäosus: 3.49680E-015 Vastus: Kuna F-statistiku väärtus on suurem kui F-statistiku kriitiline väärtus, siis võime lugeda tõestatuks, et erinevate väetamisvariantide korral on vähema ühe variandi poogendite keskmine okka pikkus teistest erinev. Sama tulemust võime väita ka p-väärtuse (olulisuse tõenäosuse) põhjal.
xxxx 6. Konstrueerin samas teljestikus: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafiku 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,16 < 0,238 ja seega võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi , kasutan selleks
ligikaudsed koordinaadid. Esmalt teostame vaba tasanduse (DataAdjustFree adjustment with translation and rotation) ning seejärel lisaks seotud tasanduse (DataAdjustStrict adjustment). Saadud tasandusaruannete abil teostame F-testi. Koostame hüpoteesid: S 21 =1 või S 21 = S 22 H0: S 22 S 21 ≠1 või S 21 ≠ S 22 HA: S2 2 suurem dispersioon F- statistiku leiame F= väiksem dispersioon kaudu. Kuna tasandusaruannetes olevad dispersioonid on vaba tasanduse puhul 0,0841 ja seotud tasanduse puhul 0,09. F- statistiku väärtuseks saame 1,07. Statistilisest kalkulaatorist saame vastavalt vabadusastmete arvudele (v=380 ja v=377) Fkriitiline = 1,18. Nullhüpoteesi ümberlükkamise kriteeriumiks on F> Fkriitiline. Praegusel juhul jääb nullhüpotees kehtima ning kahe tasanduse kaaluühiku dispersioonid on statistiliselt võrdsed.
Seda teen kasutades Exceli funktsiooni: Dispersiooni 90%-line usalduspiirkond on (536,45 ; 1410,64) Keskväärtuse usaldusvahemik: Keskväärtuse 90%-line usalduspiirkond on (35,08 ; 54,60) 3. Küsimus Kontrollida järgmisi hüpoteese: Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0,1 alternatiiviga 4 Studenti funtktsioon: t(0,1;24) = 1,711 Hüpotees vastab tõele, kuna ja 0,90 < 1,711 Võtan vastu H0 hüpoteesi. alternatiiviga 2 statistiku vasak kriitiline piir: 2 statistiku parem kriitiline piir: , siis on tingimus täidetud ning hüpotees kehtib. Võtan vastu H0 hüpoteesi. a.i. 4. Küsimus Leida valimile vastav empiiriline histogramm võrdlaiade vahemikega 0-20, 20-40, 40-60, 60-80 ja 80-100 Intervalli Vahemik Elemente Tõenäosus Intervalli nr keskmine 1 0-20 7 0.28 9.86
f = N 1 = 24 t0.95(24) = 1.711 = 9.51 Keskväärtuse usaldusvahemik arvutatakse valemiga: P(34,77 < < 53,79) = 90% Dispersiooni usaldusvahemiku leidmiseks kasutatakse 2-statistikut f = N 1 = 24 P (509,10 < 2 < 1338,75) = 90% 3. Kontrollime hüpoteese keskväärtuse ja dispersiooni kohta, eeldades üldkogumi normaaljaotust, ja kasutades usaldusnivood = 0.10 3.1 H0: = 50; H1: 50 Kontrollimiseks kasutame t-statistikut: f = N 1 = 24 Kriitiline t-statistiku väärtus t0.95(24) = 1.711 Kuna t < , siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 3.2. H0: 2 = 800; H1: 2 800 Kontrollimiseks kasutame 2-statistikut: Kriitilised väärtused: 20.05(24) = 13.848 20.95(24) = 36.415 Et hüpotees vastu võetaks peab jääma kahe kriitilise punkti vahele seega hüpotees võetakse vastu. 4. Leida valimile vastav empiiriline histogramm võrdlaiade vahemikega 0-20, 21-40, 41-
5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 6. Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0.10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: DN=0,13 DN=max[Femp(Xi)- F0(Xi)] Hüpotees vastu võtmiseks, peab DNDkr, siin on 0,13<0,238 ja seega võetakse hüpotees vastu. 8. Moodustada valimist kolm alamvalimit/osa, igaüks mahuga 3 arvu (võttes osaks/rühmaks 1.-3.arvu, 11.-13.arvu ja 21.-23.arvu). Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: µ1 = µ2 = µ3 , kasutades
Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Log- log mudeli kordaja on konstantne. Lin-log ja log-lin mudel 29) Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel (loneg 2 vbl) 30) Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine q=79-0,54p+0,19p+u Kui p1 tõuseb 1 ühiku võrra ja teised tunnused jäävad konstantseks, siis q väheneb 0,54 võrra 31) ANOVA tabel, F-statistiku arvutamine ANOVA tabel analüüsib varieeruvust. Ruutude summasid näeb ANOVA tabelis, peale mudeli hindamist F- statistiku empiirilist väärtust võrreldakse F-jaotuse kriitilise väärtusega (või empiirilisele väärtusele vastavat olulisuse tõenäosust p võrreldakse olulisuse nivooga Q) F statistik on keskruutude jagatis. Allub Fisheri ehk F- jaotusele. Võib olla väga suur, piire pole. Väärtus ei ole nii hästi tõlgendatav. On seotud determinatsioonikordajaga
Ülesanne 1. Analüüsime regressioonimudelit Yi 800 0.93 X i 50 Di 0.01Di X i uˆ i , i 1,2,..,100 , (t ) (22.54) (2.34) (0.56) R 2 0.82, F 15.342 ( p 0.001) kus Y – küsitletu tarbimine eurodes, X – küsitletu sissetulek eurodesning D – küsitletu sugu (D = 1, kui mees ning D = 0, kui naine); t – statistiku kriitiliseks väärtuseks on t 0.025,96 1.99 . Vastake järgmistele küsimustele ning põhjendage vastuseid a) kas mudel on statistiliselt oluline olulisuse nivool 0.05; mida saate öelda mudeli kirjeldatuse taseme kohta. b) millised muutujad on statistilised olulised olulisuse nivool 0.05; c) Leida muutuja X ees oleva kordaja 95% usalduspiirid. Lahendus. a) Mudel on statistiliselt oluline olulisuse nivoo 0.05 korral, kuna F-testi olulisuse tõenäosus p 0
leian - jaotuse täiendkvantiilid. Seda teen kasutades Exceli funktsiooni: Dispersiooni 90%-line usalduspiirkond on (679 ; 1791) Keskväärtuse usaldusvahemik: Keskväärtuse 90%-line usalduspiirkond on (47,38 ; 69,34) 3.Kontrollida järgmisi hüpoteese: (Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks = 0,1) alternatiiviga Studenti funtktsioon: t(0,1;24) = 1,711 Hüpotees vastab tõele, kuna ja 1,3 < 1,711 Võtan vastu H0 hüpoteesi. alternatiiviga 2 statistiku vasak kriitiline piir: 2 statistiku parem kriitiline piir: Kuna , siis on tingimus täidetud ning hüpotees kehtib. Võtan vastu H0 hüpoteesi. 4.Valimile vastav empiiriline histogramm võrdlaiade vahemikega Vahemi km ni Pi 0-20 4,00 0,16 20-40 5,00 0,20 40-60 1,00 0,04 60-80 7,00 0,28 80-100 8,00 0,32 25,00 1,00
- Sarnasus mõne meile seni teada oleva jaotusega Tihti on vaja jaotusi võrrelda -Omavahel -Mõne teadeoleva jaotusega Hii-ruut-statistik Kas kõrvalekalle 1,04 on ok? Olulisuse tõenäosus: kui suur on tõenäosus, et selline kõrvakalle on tekkinud juhuslikkusest (enamasti meil on tegemist valimiuuringutega, kus võib tekkida juhuslik viga)? Olulisuse nivoo: maksimaalne endale lubav viga Kui meie poolt leitud hii-ruut-statistiku väärtus on suurem tabelis näidanud hii-ruut.statistiku väärtuses, siis - järelikult ei ole erinevus tulnud lihtsalt juhuslikkusest - võime väita, et meie tunnus ei ole vastava jaotusega - saame võtta alternatiivhüpoteesi (H1) Hüpoteesid hii-ruut-statistiku puhul - H0: tegemist on samasuguse jaotusega - H1: on (statistuiliselt oluline) erinevus võrdlusalusest jaotusest (valitud olulisuse nivool) Hii-ruut.test Sammud hii-ruut-testil 1
8) Kui olulisuse tõenäosus on väiksem kui valitud olulisuse nivoo (ehk maksimaalne eksimise tõenäosus, mida me endale lubame), siis on sisukas hüpotees tõestatud. 9) Kui olulisuse tõenäosus on suurem kui olulisuse nivoo, siis jääb hüpotees tõestamata. Hüpoteeside kontrollimisel ei ole mõtet: · kõikse uuringu korral · juhul, kui valim ei ole esindav ja tema disain ei ole teada Hüpoteeside kontrollimine hii-ruut statistiku puhul: · Hii-ruut-statistiku puhul on teada, kuhu piirkonda peaksid nullhüpoteesi kehtimisel tema väärtused jääma. · Kui hii-ruut-statistiku väärtus on sellest piirist suurem, võib arvata, et ka üldkogumil on vaadeldud tunnuste vahel seos olemas. 11) T-test keskmiste võrdlemiseks. Valemis: m keskmine, s standardhälve, n vastanute arv Teststatistikute (ka T-statistiku) kohta on teada, missuguses vahemikus peaksid olema nende
9622 3937.9591 -374.568 3.02E-07 6.03E-08 2.00E-07 1.64E-07 7.43E-09 5.62E-07 4 5 -2391.9619 2416.6132 605.7164 1.94E-06 6.19E-07 1.64E-06 9.74E-07 8.19E-07 5.99E-06 6 7 543.935 738.0963 -475.8055 6.08E-08 1.40E-08 9.62E-09 3.24E-08 2.81E-08 2.10E-07 6 5 -577.0674 -783.2557 504.4713 2.69E-07 7.27E-08 2.70E-07 1.97E-07 -4.92E-08 1.11E-06 Tasanduse tulemusena saame tasandusjärgse kaaluühiku S0 väärtuseks 27,4. Tehes testi v∗S20 ja leides χ2-statistiku valemi χ2= σ 20 kaudu, kus v on mõõtmiste arvu ja 2 tundmatute parameetrite arvu vahe ning σ0 on a priori võetud võrdseks 1. Vabadusastmete arvuks on praegusel juhul 12. Saame χ 2= 9009,12. χ2-statistiku ülemine 2 2 χα χ α
-15. 38 16 58 7 24 28,6 399,8 262,44 16.-20. 19 82 1 40 38 36 912,5 77,44 21.-25. 35 87 51 1 69 48,6 1086,8 14,44 Kokku 224 3994,6 713,52 Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , antud juhul on 0,22 < 2,87, seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi.
Parameeter r on kasvumäär. Ln yt=b+rt+u 33. Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine. · Reaalses elus võib tunnusele Y mõjuda aga mitmeid erinevaid tegureid. Parameetrite arv on k. Regressorite arv on k-1. Kui x2 suureneb ühiku võrra ja ülejäänud seletavad tunnused x3 , ... xk jäävaks samaks, siis y muutub b2 võrra. · Ceteris paribus: kõik muu jääb samaks. 34. ANOVA tabel, F-statistiku arvutamine. 35. Regressioonmudeli statistilise olulisuse kontrollimine F-testiga. Mudeli statistilise olulisuse kontrollimiseks kasutatakse F - testi H0 kõik seletavate tunnuste kordajad on nullid, b2=b3=... =bk =0 H1 vähemalt üks kordaja b2 , b3 ...., bk on nullist erinev. Nullhüpotees: Y on määratud oma keskväärtusega. F- statistiku empiirilist väärtust võrreldakse F jaotuse kriitilise väärtusega (või empiirilisele
Üldised protsendid: mitu % selle tabeli inimestest kuulub ühte või teise lahtrisse. 13) Hii-ruut-statistik, selle kasutamine seose uurimiseks risttabelis, Crameri V Tunnuste vahel on statistiline seos siis, kui ühe tunnuse käitumine sõltub teise tunnuse väärtustest. Näiteks kui inimese valimiseelistus sõltuks tema soost. Uurides seost nominaaltunnuste vahel võetakse appi risttabel. Seost risttabelis mõõdetakse hii- ruut-statistiku (c²-statistiku) abiga. Hii-ruut statistiku arvutamisel võrreldakse omavahel tegelikku tabelit ja seda tabelit, milles seost pole. Kui nende tabelite erinevus on suur, siis on ka hii-ruut-statistik suure väärtusega. Kui need tabelid on täpselt ühesugused, on hii-ruut-statistiku väärtuseks 0. Seega: leitakse, kui palju tegelik jaotus erineb hüpoteetilisest jaotusest. Crameri V: Kui tunnused on sõltumatud, siis 0; tugevaim seos 1. Saab kasutada sagedustabeli kuju ja kogumi suurust arvesse võtmata.
Risttabeli elementideks on read, veerud ja lahtrid, mille järgi nimetatakse ka tabelisse märgitavaid protsente. · Rea protsendid: mitu % selle rea inimestest kuulub ühte või teise veergu. · Veeru protsendid: mitu % selle veeru inimestest kuulub ühte või teise ritta. Üldised protsendid: mitu % selle tabeli inimestest kuulub ühte või teise lahtrisse 13) Hii-ruut-statistik, selle kasutamine seose uurimiseks risttabelis, Crameri V · Hii-ruut statistiku arvutamisel võrreldakse omavahel tegelikku tabelit ja seda tabelit, milles seost pole. · Kui nende tabelite erinevus on suur, siis on ka hii-ruut-statistik suure väärtusega. · Kui need tabelid on täpselt ühesugused, on hii-ruut-statistiku väärtuseks 0. Seega: leitakse, kui palju tegelik jaotus erineb hüpoteetilisest jaotusest. · Tunnuste vahel on statistiline seos siis, kui ühe tunnuse käitumine sõltub teise tunnuse väärtustest
11.-15. 95 10 71 0 79 51,0 1850,5 16.-20. 24 86 91 96 5 60,2 1813,3 21.-25. 40 85 69 82 39 63,0 496,5 Kokku 291,6 5920,3 Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. 22 96 91 75 74 75 25 79 12 38 95 10 71 0 79 24 86 91 96 5 40 85 69 82 39 Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatud
keskmist, standardhälvet, mõõtmiste arvu, usaldusnivood ja üldkogumi keskmist (hetkel kalibraatori pikkus). Usaldusnivoo tuleb võtta 0.025, sest tegemist "kahe sabaga". Programmi sisestatud suurused ja neile vastavad tulemused on näidatud järgneval joonisel (Joonis 1). Tulemused tulid samad, mis praktikumitunnis arvutatud. Ka programm lükkas nullhüpoteesi tagasi ehk mõõdetud joonepikkus ei võrdu etaloni pikkusega. 1 Joonis 1. t-statistiku kasutamine hüpoteeside kontrollimisel. Ülesanne 2: Tabeli 2 mõõtmisseeria joonepikkused (m) on mõõdetud valguskaugusmõõturiga, mis tehase spetsifikatsiooni kohaselt mõõdab täpsusega ±(5 mm + 5 ppm). a) Püstitage hüpoteesid? Nullhüpotees: mõõtmistulemustest arvutatud dispersioon langeb kokku tehase andmetest leitud dispersiooniga. Alternatiivne hüpotees: mõõtmistulemustest arvutatud dispersioon on suurem kui tehase
( x −μ0 ) = √ ( 44,84−50 ) =|−0,9043|≈|−0,90| Studenti funtktsioon: t(0,1;24) = 1,7109 Hüpotees vastab tõele, kuna |t|>t 1−∝ /2 (f ) ja |−0,90| < 1,7109 H0 hüpotees vastu võetud. 2 2 3.2 H 0 : σ =800 alternatiiviga H 0 : σ ≠ 800 s2 ( 2 28,532 χ = 2 N −1 = ) ∙ 24=24,42 χ2 statistiku vasak kriitiline piir: σ0 800 χ 21−∝/2=chiinv ( 0,95 ; 24 )=13,8 χ2 statistiku parem kriitiline piir: χ 2∝/2 =chiinv ( 0,05; 24 )=36,4 Kriitiline piirkond χ2 < 13,848 , χ2 > 36,415 H0 hüpotees vastuvõetud, sest 13,848 < 24,42 < 36,415 4. Valimile vastav empiiriline histogramm võrdlaiade vahemikega m nm pm 0-20 7 0,28
=44,28 Leian üldise rühmasisese dispersiooni: k 1 s 20= ∑ ( N −1 ) s 2i = 4 ∙25−5 N−k i=1 i 4248,5 =849,7 Leian rühmadevahelise dispersiooni: k 1 2 s A= ∑ ( ´y − ´y )2= 309,008 k−1 i=1 i 4 =77,252 Leian F-statistiku: s2A 77,252 F= = =0,091 s 20 849,7 Leian F-statistiku kriitilise väärtuse (tabelist): F kr=F 1−α ( k−1, N−k )=F 0,95 ( 4,20 )=2 , 87 Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , antud juhul on 0,091 < 2,87, seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks. 9. Käsitlen valimit A aegreana pikkusega N= 25 ning kontrollin olulisuse nivoo
determinatsioonikordaja sisu on paremini mõistetav, aga ei näita seose suunda. 26. Mudeli korrektne esitamine. Regressioonanalüüsi põhitulemuste esitamisel esitatakse ● parameetrite hinnangud; ● parameetrite standardvead; ● determinatsioonikordaja R2 ; ● valimi maht n (lugeja jaoks vajalik, kui soovib t-testi läbi viia) VARIANT 2: Mõnikord esitatakse parameetrite all sulgudes standardvigade asemel vastavad t-statistiku väärtused. See võimaldab lugejal neid kohe võrrelda vastava kriitilise väärtusega. VARIANT 3: Mõnikord esitatakse sulgudes vastavad olulisuse tõenäosused. Sellisel juhul ei pea lugeja arvutama kriitilist väärtust, võib kohe võrrelda olulisuse nivooga ja hinnata, kui võimsalt on mingi tunnuse mõju tõestatud. Variandid 2 ja 3 on vastuvõetavad vaid siis, kui huvi pakub vaid koefitsientide erinevus nullist. 27. Regressioon läbi nullpunkti.
Võrdsete dispersioonide eeldusel Pooled Variance arvutatud ühine dispersioon Hypothesized_Mean_Difference Oletatav keskmiste erinevus df Vabadusastmete arv t Stat t-statistiku empiiriline väärtus Olulisuse tõenäosus ühepoolse P(T<=t) one-tail hüpoteesi korral t-statistiku kriitiline (tabeli) t Critical one-tail väärtus etteantud olulisuse nivoo
-15. 81 73 74 52 79 71,8 133,7 400 16.-20. 45 14 70 2 71 40,4 1001,3 129,96 21.-25. 48 79 77 39 19 52,4 656,8 0,36 Kokku 259 4951,3 688,16 Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , antud juhul on 0,17 < 2,87 Seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisuse nivoo α = 0.05 juures selle aegrea juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi.
f = N 1 = 24 t0,95(24) = 1,7109 = 8,88 (poollaius) P(35,24 < < 53) = 0,9 Dispersiooni jaoks kasutame 2-statistikut f = N 1 = 24 20.95(24) = 36,415 20.05(24) = 13,848 P (443,9 < 2 < 1167,15) = 0,9 3. Kontrollime hüpoteese keksväärtuse ja dispersiooni kohta, eeldades üldkogumi normaaljaotust, ja kasutades usaldusnivood = 0,10 3.1 H0: = 50; H1: 50 Kontrollimiseks kasutame t-statistikut: t = 1,1329 f = N 1 = 24 Kriitiline t-statistiku väärtus t0,95(24) = 1,711 Kuna t < tkr, siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 3.2. H0: 2 = 800; H1: 2 800 Kontrollimiseks kasutame 2-statistikut: 2 = 20,2033 Kriitilised väärtused: 20,05(24) = 13,848 20,95(24) = 36,415 Kuna 20,05(24) < 2 < 20,95(24), siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 4. Konstrueerime valimi histogrammi Vahemikud: 0-20, 20-40, 40-60, 60-80, 80-100 (konstrueerides võtan nii, et ülemine piir kuulub vahemikku, aga alumine mitte) m nm pm
3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik 5.5 Kõik ühes teljestikus 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 6.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 Parameetritega , ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega , ühtlane jaotus (võttes , st testi statistiku D N kriitiliseks väärtuseks on ). Et hüpotees vastu võetaks peab seega hüpotees võetakse vastu. 8. Kontrollida moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks . rühm 1 2 3 4 5 1.-5. 8 34 90 44 80 51,2 1137,2 29,59 6.-10
piiriks keskväärtuse hinnangu ja poollaiuse summa. Dispersiooni usaldusvahemiku leidmiseks leidsin tabelist väärtused kvantiilidele 2/2(f) ja 21-/2(f), f=N-1. Alumiseks piiriks on f korrutis dispersiooni hinnanguga, jagatuna 21-/2(f)-ga, ja ülemiseks piiriks f korrutis dispersiooni hinnanguga, aga jagatuna 2/2(f)-ga. 3. Eeldades, et kogum on normaaljaotusega ja et =0,10, kontrollisin hüpoteesi H 0: =50. Selleks arvutasin t-statistiku, jagades keskväärtuse hinnangu ja antud keskväärtuse vahe standardhälbe hinnanguga ja korrutades saadu ruutjuurega valimi mahust. Tabelist võtsin kriitilise kvantiili t1-/2(f), f=N-1, ja kuna t tkr, võetakse nullhüpotees 16 vastu. Kontrollimaks hüpoteesi H0: 2=800, leidsin 2-statistiku, korrutades f dispersiooni hinnanguga ja jagades saadu antud dispersiooniga
16.-20. 28 68 30 47 15 37,6 418,3 73,96 21.-25. 7 75 53 42 2 35,8 960,7 108,16 kokku: 239,5 4682,5 474,45 Üldine rühmasisene dispersioon: Üldkeskmine: Rühmadevaheline dispersioon: 118,61 F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks. 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Lähterid Märgirid Käänupunkti Järjestatu a a d d rida 32 - k 0
Empiiriline ja ühtlane jaotusfunktsioon 1 0.8 Empiiriline jaotus 0.6 Ühtlane jaotus 0.4 0.2 0 0 20 40 60 80 100 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 (võttes a = 0.10, st testi statistiku Dn kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). i Xi F0(Xi) di+ di- di 1 2 0,02 0,02 0,02 0,02 2 4 0,04 0,04 0,00 0,04 3 7 0,07 0,05 0,01 0,05 4 8 0,08 0,08 0,04 0,08 5 9 0,09 0,11 0,07 0,11 6 13 0,13 0,11 0,07 0,11 7 18 0,18 0,10 0,06 0,10
-10. 75 22 11.-15. 81 73 16.-20. 45 14 21.-25. 48 79 Kokku y= 51.8 Üldine rühmasisene dispersioon Üldkeskmine Rühmadevaheline dispersioon F-statistik F-statistiku kriitiline väärtus tabelist: Fkr = F1-α (k-1, N-k) = F0,95 (4;20) Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr : nii see on (0,17 < 2,87). Seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpotees 9. Lähterida Järjestatud rida Märgirida 1 1 - 2 2 -
11.- 19 15 33 88 37 38,4 -14,84 220,2256 853,8 15. 16.- 87 94 49 18 85 66,6 13,36 178,4896 1044,3 20. 21.- 43 43 41 62 81 54 0,76 0,5776 301 25. 266,2 406,032 3726,6 F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 7 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 3) => H0 3=Lmax<3
seosega") andmed juhuslikult P(valim|H0); 25. Punkthinnangud. 26. Vahemikhinnangud. 27. F-testi ja t-testi vastuse lugemisoskus. T-testi kasutatakse juhul, kui on vaja võrrelda kahe arvulise tunnuse keskmisi väärtusi või kahe grupi (nt meeste ja naiste) ühe arvulise tunnuse keskmisi väärtusi. T-test põhineb t- statistikul, mille väärtus arvutatakse välja, kasutades gruppide keskmisi ja standardhälbeid ning võttes arvesse ka vastajate arvu grupis (vt valemit ). T-statistiku väärtused võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed. T-statistiku absoluutväärtus on suur, kui gruppide keskmiste erinevus on suur. 28. Milleks kasutatakse regressioonanalüüsi? Regressioonanalüüs võimaldab luua matemaatilise mudeli kirjeldamaks tunnuste vahelisi seoseid. Regressioonanalüüsi puhul vaatleme üht tunnust kui sõltuvat1 ning püüame leida tunnuseid, mille põhjal oleks võimalik kirjeldada ning ühtlasi ka prognoosida selle sõltuva tunnuse väärtusi. 29
k
1 403, 4
s A2 = ( yi - y ) 2 = = 100,9
Rühmadevaheline dispersion: (k - 1) i =1 4
s 2 100,9
F = A2 = = 0,1073
F-statistik: s0 940, 6
F-statistiku kriitilise väärtuse leian tabelist: Fkr = F1-(k-1;N-k)=2,87
Selleks, et nullhüpoteesi vastu võtta, peab F
Õpetaja toetus 1,41 0,191 Kodused õppimist toetavad vahendid -0,40 0,768 Distsiplineeriv keskkond -3,80 0,003 Vabaliige 199,9 0,000 Lineaarne regressioonimudel N=1554, R²=0,006 Determinatsioonikordaja R² näitab, kui suure ulatuse sõltuva muutuja variatsioonist antud sõltumatu muutuja ära seletab. Antud sobivusastet näitava statistiku väärtus on 0,006, mis tähendab, et seos sõltuva ja sõltumatute tunnuste vahel on väga nõrk. Ka mudeli statistilise olulisuse kontroll dispersioonanalüüsi ANOVA abil (F=3,26) näitab, et tegemist ei ole testi keele õppimisele kuluva aja prognoosimiseks kõige sobilikuma mudeliga. Kuna antud mudeli puhul on olulisuse tõenäosus 0,02 väiksem kui 0,05 (p< 0,05), võib öelda, et sõltumatute tunnuste mõju sõltuvale tunnusele on nõrk aga statistiliselt olulise tõenäosusega.
p = 35 = 7 Üldkogumi osakaalu 95% ligikaudne usaldusvahemik on: Antud valemit kasutades 95% usaldusvahemik (0,14 , 0,44). 3) Hüpoteeside paar: H0 : 12=0 [naiste ning meeste kesk palk võrdne] H1 : H1: 120 [keskmine palk erinev] Kasutame 2 jaotuse keskväärtuste võrdsuse kontrollimise valemeid: Statistiku leidmine: x[ meeste.kesk . palk ] = 7071,88 y[ naiste.kesk . palk ] = 3100,60 2 X[val.dispers.mehed ] =115045342,20 Y2 [val.dispers.naised ] = 2840081,16 n[ meeste.arv] = 25 m[ naiste.arv ] =10 Siit saame =1,80 Kus: Kasutame sümmeetrilist kriitilist hulka, ning kriitilise hul ga määrame
punkti E koordinaate. Lisaks saame kaaluühiku dispersiooni S 02, mille väärtuseks on 1,07605 ning S0= 1,037. Tabel 5. Maatriks X punkti E koordinaatidega - 1589221.2 7 - 4307629.6 8 4415024.0 1 2 v∗S 0 Nüüd saame arvutada χ2 statistiku, mille leiame valemi χ2= 2 σ0 abil. Vabadusastmete (v) arv kujuneb mõõtmiste (m) arvu ja tundmatute arvu (n) vahena. Vabadusastmete arvuks praegusel juhul on 21. χ2 statistiku väärtuseks saame 22,597. Leiame statistiliste jaotustabelite järgi vastavalt olulisuse nivoole α=0,05 ja 2
6. Konstrueerida samas teljestikus: 6.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 Parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik 1.2 1 0.8 0.6 Ühtlane jaotus F(X) Empiiriline jaotus Fn(x) 0.4 0.2 0 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st test-statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238. Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: D N =0 , 1 D N =max |F emp ( x i )−F 0 ( xi )| x Et hüpotees vastu võetaks, peab DN ≤ Dkr 0,1 <0,238 Seega võetakse hüpotees vastu, üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. H 0 : μ 1=μ2=μ3=μ 4=μ 5 8
15 0.1 0.08 0.07 0.05 0 0-14 15-29 30-44 45-59 60-74 75-89 90-104 hüpoteetilise normaaljaotuse jaoutusfunktsioon 8. Kontrollida Kolomogorovi-Smirnovi ja x2 testi abil hüpoteesi, et kõik põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0 ja b = 100 ristkülikujaotus, võttes olulisuse nivooks = 0,05, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,265. D N =max|F emp ( x i )-F ( xi ) rk| F(xi) emp max = 1 F(xi)rk max = 0,97 DN = 1 0,97 = 0,03 Dkr = 0,265 Et hüpotees kehtiks, peab DN Dkr, antud arvutustes kehtib võrratus 0,03 < 0,265 Osa B - Dispersioonanalüüs 9. Jagan valimi viieks võrdse mahuga osaks. Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H 0 : 1=2=3= 4= 5
mõõtmistulemsued, seda suurem on tasandusjärgne standardhälve. Kontrollimaks kaaluühiku dispersiooni vastavust a priori väärtusele 1, kasuame selleks χ2-testi olulisuse nivool α=0,05. Testi sooritamiseks püstitame hüpoteesid: H0: Tasandusjärgsete kaaluühikute standardhälve on 1; HA: Tasandusjärgsete kaaluühikute standardhälve ei ole 1. 2 v∗S 0 χ2 statistiku leiame valemi χ2= σ 0 , kus v on mõõtmiste arvu ja tundmatute 2 2 parameetrite arvu vahe ning σ0 on a priori võetud võrdseks 1. Saame χ2= 3,37*10-9. Vastavalt olulisuse nivoole α=0,05 ja vabadusastmete arvule v=1, leiame statistilistest 2
osaautokorrelatsioonikordajad (PAC) nii arvuliselt kui graafiliselt tärnidega. Joonis 1 USA agregeeritud tarbimise (1966-2007, kvartaalsed andmed) esimeste diferentside korrelogramm. Stohhastilise protsessi kirjeldamiseks kindlasti on vaja teha, kas mingi k Ta osutub, et juhul kui nullhüpotees kehtiks, siis mõlemad statistikud on asümptootiliselt Seega, kui statistik on suurem tabelis antud kriitilisest väärtusest, siis lükkame nulli tagasi. Väikeste valimite jaoks on Q- statistiku kasutamine praktikas eelistatavam, kuna testi võimsus on Box-Pierce testi omast suurem. Tarkvarapaketi EViews korrelogrammil on Ljung-Boxi testi statistik ning testi olulisuse tõenäosus. Kui olulisuse tõenäosus m-ndas reas on väiksem kui etteantud olulisuse nivoo (mis tavaliselt on kas 0.05 või 0.10), siis lükkame nulli, et kõik kuni m-ndat järku autokorrelatsioonikordajad on nullid, tagasi. Kui Ljung-Boxi testi korral on olulisuse tõenäosus mistahes m korral suurem olulisuse
sammudest: *valitud intervallipiiride järgi leitakse empiiriline histogramm, kus nm on m-ndasse intervalli sattunud vaatluste arv *leitakse hüpoteetilise jaotusseaduse parameetrite hinnangud *leitakse hüpoteetilisele jaotusele vastavad intervallidesse sattumise tõenäosused pm ja vastava hüpoteetiline histogramm,kasutades lõiku sattumise tõenäosuse valemit ja seost sageduse p ja vastava vaatluse arvu n vahel *leitakse teststatistiku väärtus *järelduste tegemine. Kui leitud statistiku väärtus ei ületa kriitilist kvantiili, siis nullhüpotees võetakse vastu Kolmogoroivi-Smirnovi test kasutab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotusfunktsiooni vahel. Nullhüpoteesi kontrolli sammud on järgmised: *moodustatakse valimi variatsioonrida *leitakse empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus DN *leitakse DN kriitiline väärtus Dkr vastavatest tabelitest sõltuvalt valimi mahust N ja valitud olulisuse nivoost alfa.
E(efekt)/Z(kulud)=max, ehk saadav efekt kulude suhtes peaks olema maksimaalne 4. MIDA NÄITAB DURBIN-WATSONI KRITEERIUMI SUUR VÄÄRTUS? Durbin-Watsoni statistikut kasutatakse 1. järku autokorrelatsiooni avastamiseks. Valemist on näha, et autokorrelatsiooni olemasolu korral on kriteeriumi väärtus väike. DW statisiku kasutamise eeldused: 1) regressioonimudel peab sisaldama konstantset liiget 2) mudel ei sisalda sõltuva muutuja viitajaga liikmeid. D- statistiku väärtus alati 0 d 4. Vähem kui 1,5 on positiivne autokorrelatsioon, 1,5-2,5 autokorrelatsioon puudub, suurem kui 2,5 on negatiivne autokorrelatsioon Ehk siis suurim väärtus, mis peaks võimalik olema peaks olema 4 ja see tähendab negatiivset autokorrelatsiooni. St järjestikuse vea erinevused on suured. Negatiivne autokorrelatsioon näitab et positiivne viga ühel vaatlusel suurendab võimalust negatiivse vea tekkimiseks teisel vaatlusel nind negatiivne viga ühel
5 3,7 13,10 0,72 2,04 1,47 0,52 Kokku 14,9 55,30 0,00 0,00 29,91 9,19 keskmine 2,98 11,06 2,297 r= 0,9416771824 d= 0,8867559159 Korreleerimatuse kontroll: t-statistiku abil: t= 4,846798 Seega>3,182 võib H0 tagasi lükata ja x ja y luged korreleeritud suurusteks. .
2,98 11,06 9,188 109,772 2,22E-15 0 29,906 194,7 Korrelatsiooniteguri leidmiseks kasutasin Exceli funktsiooni CORREL ja sain väärtuseks r = 0,94. Determinatsioonotegur d=r2 = 0,89 Korreleerimatuse kontroll: T-statistik: (Tp = 2,13) (a) t-statistiku abil 0,44 2,13 => H1 Z-statistik: (Zp = 1,6449) (b) z-statistiku abil 1,65 => H1 11. Leida uhefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1 x ja analuusida selle tapsust (vottes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks a = 0.05): 11.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1 (xi-x Xi Yi )^2
PMYYK – piima müük lehma kohta aastas, € TOETUS – toetus 1 kg piima tootmiseks, senti KHIND – piima kokkuostuhind, senti Sõltuv muutuja on Y_PKT_ha. Sõltumatud muutujad: x1_TASU; x2_ SOOT; x3_HP; x4_PMYYK; x5_TOETUS; x6_KHIND. Mudel sisaldab ka vabaliiget (a0 = const). Kui muutujad on valitud, vajutada OK. Genereeritakse vastav aruanne. Parameetri t-statistiku Parameetri t- hinnangute olulisuse hinnangud statistikud standardvead tõenäosus p
pärast suurendab laste arv. Ilmselt on kõige rohkem turvalisusega rahul Tähtvere, Ihaste ja Karlova elanikud, kõige vähem rahul aga Annelinna inimesed. Analüüs Soo lõikes erinevusi ei esinenud. Meeste keskmiseks turvalise hinnanguks on 3,68 punkti ning naistel 3,69 punkti (p= 0,94), seega on nii mehed kui ka naised linna turvalisusega keskmiselt rahul. Haridustaseme ja turvalisuse rahuolu vahel on nõrk seos olemas, kuna hii-ruut-statistiku väärtuseks on 53,82 (df=30, p=0,005) ja Crameri V= 0,113. Jooniselt on näha, et kõige 1 kõrgemaks hindavad turvalisust lõpetamata kõrgharidusega inimesed (3,75 punkti) ning kõige madalamaks kutseharidusega inimesed (3,48 punkti). (Joonis 1.) Joonis 1 Hinnang turvalisusele vastavalt haridustasemele Vanuse ja turvalisuse hinnangu välja toomiseks koostasin neli vanusegruppi. Rahuolu paremaks
Normaaljaotust saab hinnata ka visuaalselt- histogrammi, karpdiagrammi, tõenäosuspaberi jne abil. Meil on valim, mille abil tahame uurida keskväärtust üldkogumis. Testime hüpoteeside paari. H0 µ = µ0 üldkogumi keskväärtus vastab mingile standardile H1 µ µ0 üldkogumi keskväärtus ei vasta sellele standardile Kui eeldused on kontrollitud ja testitavad hüpoteesid on paigas, võime asuda t-testi läbiviimise juurde. Selleks tuleb meil välja arvutada t-statistiku väärtus(valemiga). Näiteks soovitakse kontrollida, kas noored, kes pärast ülikooli tööle lähevad, töötavad keskmiselt 40 tundi nädalas (kasutame testitava väärtusena 40, sest täisajaga ilma ületundideta töönädala pikkus peaks olema just 40 tundi) või erineb nende keskmine töötatud tundide arv olulisel määral 40 tunnist. 1)Eeldused on täidetud 2) H0: on 40 H1: ei ole 40 Leidsime tabelis andmete abil t-statistiku väärtuse,mis on 4.15
histogrammi graafik 5.4 hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. 6 Konstrueerida (samas teljestikus) järgmised graafikud: 6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik 6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik. 7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil ... hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes = 0.10, st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0.238). Võib kas väärtust otse lugeda graafikult (et kui palju erinevad empiiriline ja ühtlane kõige rohkem) või siis arvutada. Kui Dn on suurem kui Dkr siis jaotus ei ole ühtlane (hüpotees ei pea paika). Kuna graafikult ei ole väga hästi välja näha siis arvutan: DN = max(abs ( Femp ( xi ) - Füht ( xi ))) DN = 0,24 Arvutasin Excelis, kuna seal on korralikud tabelid olemas ning valemit saab otse sisestada (ülemine ongi Excelis kasutatud valem)
Kuna ka selles mudelis on meeste osakaal jätkuvalt ebaoluline, eemaldati mudelist ka nimetatud muutuja. Lõplik mudel, kus kõik muutujad on statistiliselt olulised, on toodud lisas 9. Vähimruutude meetodiga leitud parameetrite hinnangute olulisusetõenäosused näitavad, et kõik mudelisse jäänud parameetrid on statistilised olulised. Saadud mudeli statistilist olulisust näitab F-statistik ning selle olulisusetõenäosus (p = 2,53x10-21). Kui F- statistiku empiiriline väärtus on suurem selle tabeliväärtuseset, siis saab vastu võtta sisuka hüpoteesi. F-statistiku empiiriline väärtus (72,86) on suurem kui F-statistiku kriitiline väärtus (2,53969) kohal kus vabadusastmete arvud on vastavalt n1=55 ning n2=4. Edasise analüüsi viivad autorid läbi sellesama mudeli kohta, kus sõltuvaks muutujaks on brutopalk ning sõltumatuteks muutujateks kõrgharitute osakaal ning fiktiivsed muutujad erinevate aastate kohta (vt lisa 9)
vaatluste arv leitakse hüpoteetilise jaotusseaduse parameetrite hinnangud leitakse hüpoteetilisele jaotusele vastavad intervallidesse sattumise tõenäosused p m ja vastava hüpoteetiline histogramm,kasutades lõiku sattumise tõenäosuse valemit ja seost sageduse p ja vastava vaatluse arvu n vahel leitakse teststatistiku väärtus järelduste tegemine. Kui leitud statistiku väärtus ei ületa kriitilist kvantiili, siis nullhüpotees võetakse vastu Kolmogoroivi-Smirnovi test kasutab erinevust hüpoteetilise ja empiirilise jaotusfunktsiooni vahel. Nullhüpoteesi kontrolli sammud on järgmised: moodustatakse valimi variatsioonrida leitakse empiirilise ja hüpoteetilise jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus DN leitakse DN kriitiline väärtus Dkr vastavatest tabelitest sõltuvalt valimi mahust N ja valitud olulisuse nivoost
16.-20. 31 70 75 10 2 37,6 1130 74 21.-25. 96 46 68 29 0 47,8 1343 3 Kokku 231 4758 359 Rühmade keskväärtused: Rühmade dispersioonid: Üldkeskmine: Üldine rühmasisene dispersioon: Rühmadevaheline dispersioon: F-statistik: F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist): Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr: nii see on (0,38 < 2,87). Seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks. Osa B 9. Leida ühefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1x ja analüüsida selle täpsust (olulisuse nivool = 0,05) 9.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1. Veerg1 xi yi Veerg2 (x_i-x )^2
annaabi.ee 
