Nivelleerimisvõrgu tasandamine (0)

Praktikum nr 5. Nivelleerimisvõrgu tasandamine .

Ülesanne 1. Tabelis 1 on antud lahtise nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Lähtepunktide kõrgused  on HA=34,286  m ja HB= 41,522 m. Koostada mõõtmistulemuste võrrandid ja maatriksid ning leida tundmatute punktide kõrgused ja standardhälbed ning mõõtmistulemuste parandid vähimruutude meetodil. Koostada tasandustulemuste koondtabel (Tabel 10).
Tabel 1.Nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed.
Vastavalt lähteandmetele koostame parameetrilised võrandid geomeetrilise nivelleerimise prototüüpvõrrandi Hj-He=ΔHej+eeskujul. Vastavalt saame neli parameetrilist võrrandit:
H1-HA=2,179+v1
H2-H1=3,243+v2
H3-H2=-3,797+v3
HB-H3=5,608+v4
Järgnevalt leiame mõõtmistulemuste kaalud w=, kus r on reeperite vahekaugus nivelleerimiskäigus. Leitud kaaludest moodustame kaalumaatriksi W (Tabel 2).
Tabel 2. Kaalumaatriks W.
0.0013
0
0
0
0
0.0016
0
0
0
0
0. 0012
0
0
0
0
0.0021
Lisaks moodustame plaanimaatriksi A (Tabel 3), mis koosneb parameetrilistes võrranites olevate muutujate H1, H2 ja H3 kordajatest ning mõõtmistulemuste maatriksi L (Tabel 4), mis koosneb parameetrilistes võrandites paremale poole võrdusmärki viidud väärtustest.
Tabel 3. Plaanimaatriks A.
1
0
0
-1
1
0
0
-1
1
0
0
-1
Tabel 4. Mõõtmistulemuste maatriks L.
36.465
3.243
-3.797
-35.914
Eelpool leitud maatrikseid kasutades leiame tundmatute parameetrite maatriksi X. Maatriks X (Tabel 5) leitakse valemi
abil, kus on maatriksi A transponeeritud (read ja veerud vahetatud ) maatriks ja on maatriksi
pöördmaatriks . Samuti saame leida mõõtmistulemuste parandite (hälvete) maatriksi V= AX-L (Tabel 6).
Tabel 5. Tundmatute parameetrite maatriks X.
36.466
39.710
35.913
Tabel 6. Mõõtmistulemuste parandite maatriks V.
0.00084
0.00071
0.00092
0.00053
Järgnevalt leiame tasandusjärgse kaaluühiku standardhälbe S0 ning kasutame selleks valemit , kus VT on mõõtmistulemuste parandite maatriksi V transponeeritud maatriks, m mõõtmiste arv ning n on otsitavate tundmatute arv. Praegusel juhul on mõõtmisi 4 ja tundmatuid 3. Tehes vastavad arvutused, siis saame tasandusjärgse kaaluühiku standardhälbeks S0=0.000058. Tasandusjärgse kaaluühiku standardhälve annab infot mõõtmistulemuste täpsuse kohta. Mida ebatäpsemad on olnud mõõtmistulemsued, seda suurem on tasandusjärgne standardhälve.
Kontrollimaks kaaluühiku dispersiooni vastavust a priori väärtusele 1, kasuame selleks χ2-testi olulisuse nivool α=0,05. Testi sooritamiseks püstitame hüpoteesid :
H0: Tasandusjärgsete kaaluühikute standardhälve on 1;
HA: Tasandusjärgsete kaaluühikute standardhälve ei ole 1.
χ2 statistiku leiame valemi χ2= , kus v on mõõtmiste arvu ja tundmatute parameetrite arvu vahe ning
on a priori võetud võrdseks 1. Saame χ2= 3,37*10-9. Vastavalt olulisuse nivoole α=0,05 ja vabadusastmete arvule v=1, leiame statistilistest tabelitest χ2 kriitilised väärtused. Esmalt = 5,02389, mille abil hindame kas saadud S0 on suurem kui 1 ning = 0,00098, mille abil hindame kas saadud S0 on väiksem kui 1. Näeme, et tasandusjärgse kaaluühiku standardhälve on statistilises mõttes 1st oluliselt väiksem ning sellega lükkame ümber nullhüpoteesi, mis väitis, et tasandusjärgse kaaluühiku standardhälve on võrdne 1ga.
Arvutatud kõrguste standardhälvete leidmiseks on meil esmalt vaja leida parameetrite kofaktormaatriks (Tabel 7). Kõrguste standardhälbed leiame valemist , kus
on parameetrite kofaktormaatriksi Qxx i-nda rea ja i-nda veeru element ning S0=0.000058 tasandusjärgse kaaluühiku standardhälve. Tehes vastavad arvutused, siis saame ,
ja .
Tabel 7. Tasandatud kõrguste kofaktormaatriks.
539.326
362.360
132.022
362.360
666.742
242.921
132.022
242.921
387.266
Järgnevalt saame leida tasandatud kõrguskasvude standardhälbed. Selleks on meil vaja mõõtmistulemuste kofaktormaatriksit (Tabel 8), mis avaldub kujul . Tasandatud kõrguskasvude standardhälvete leidmiseks kasutame valemit , kus qjj on mõõtmistulemuste kofaktormaatriksi Qjj diagonaalelement.
Tabel 8. Mõõtmistulemuste kofaktormaatriks.
539.326
-176.966
-230.337
-132.022
-176.966
481.348
-193.483
-110.899
-230.337
-193.483
568.165
-144.345
-132.022
-110.899
-144.345
387.266
Tasandatud kõrguskasvude standardhälveteks saame , ,
ning .
Standardiseeritud hälbed leitakse jämedate vigade tuvastamiseks hälvete kofaktormaatriksi Qvv (Tabel 9) diagonaalelemendi qvv ja arvutatud mõõtmistulemuse hälbe vi kaudu. Valemina väljendades . Siinkohal tuleb silmas pidada, et kui standardiseeritud hälve on suurem kui 3,29*S0= 0,0019, siis on see mõõtmistulemus 99,7% tõenäosusega jämeda veaga ning tuleks mõõtmistulemuste seast eemaldada. Praegusel juhul eemaldatakse mõõtmistulemus juhul kui . Arvutuste tulemusena saame standardiseeritud hälveteks , ,
ning . Nagu näeme, siis on kõik standardiseeritud hälbed väiksemad kui ette antud kriteerium . Seega praegustes mõõtmistulemustes jämedad vead puuduvad.
Tabel 9. Hälvete kofaktormaatriks.
210.674
176.966
230.337
132.022
176.966
148.652
193.483
110.899
230.337
193.483
251.835
144.345
132.022
110.899
144.345
82.734
Tabel 10. Nivelleerimiskäigu tasandamise koondtabel.
Reeper
ri (km)
ΔHmood (m)
vi
ΔHparand(m)
H
SH
A
34,286
0,75
2,179
0,00084
5,8*10-5
2,179
0,0013
1
34,465
0,0013
0,63
3,243
0,00071
5,8*10-5
3,243
0,0013
2
39,708
0,0015
0,82
-3,797
0,00092
5,8*10-5
-3,797
0,0014
3
35,911
0,0011
0,47
5,608
0,00053
5,8*10-5
5,608
0,0011
B
41,522
Ülesanne 2. Tasandada Tabelis 3 toodud nivelleerimisvõrk programmiga ADJUST . Lähtepunktide C ja I kõrgused on vastavalt HC= 61,459 m ja HI= 54,535 m.
Programmi ADJUST kasutamiseks tuleb nivelleerimiskäigu mõõtmisandmetest koostada sobiv lähtefail. Faili esimesel real peab olema ülesande selgitus. Järgnevalt lähtepunktide-, mõõtmiste- ja kogu punktide arv. Kolmandast reast alates on lähtepunktide kõrgused ja peale neid mõõdetud kõrguskasvud ning kõrguskasvude standardhälbed. Standardhälvete asemel võivad olla ka lõikude pikkused või jaamade arv. Ülesande lähtefail on toodud järgnevalt.
PR5 ylesanne2
2 38 14
C 61.459
I 54.535
A B 2.904 0.00332
B C 2.097 0.004
C D -2.578 0.00265
D E -1.978 0.00265
E F -5.848 0.00347
F G -1.586 0.00374
G H 4.34 0.00316
H I 0.723 0.00283
I J 1.178 0.00245
J K 1.957 0.00224
K L 0.261 0.003
L A -1.474 0.00245
I M -4.225 0.00224
M N 6.531 0.00245
N C 4.618 0.00245
B N -2.516 0.00173
N D 2.038 0.002
G M 0.836 0.00265
M K 7.357 0.00245
B A -2.899 0.00332
C B -2.096 0.004
D C 2.581 0.00265
E D 1.978 0.00265
F E 5.845 0.00347
G F 1.579 0.00374
H G -4.32 0.00316
I H -0.724 0.00283
J I -1.174 0.00245
K J -1.953 0.00224
L K -0.255 0.003
A L 1.465 0.00245
M I 4.226 0.00224
N M -6.53 0.00245
C N -4.616 0.00245
N B 2.513 0.00173
D N -2.04 0.002
M G -0.84 0.00265
K M -7.36 0.00245
Nivelleerimiskäigu tasandamiseks vastavalt lähtefailile tuleb programmis valida Programs Least Squares Adjustment Differential leveling. Avanevas aknas tuleb teha valikud nagu on näidatud joonisel 1. Jämedate vigade leidmiseks tuleks sisse lülitada Data Snooping.
Joonis 1. Tasandamise määrangud programmis ADJUST.
Programm annab meile tasanduse tulemusena väljundfaili, kus on ära näidatud lähtepunktid ( Benchmark stations) koos neile lähtefailis omistatud kõrgustega. Järgnevalt mõõdetud kõrguskasvud ning nende standardhälbed. Data snooping testi põhjal võivad jämedad vead esineda kui mõõtmistulemuse standardiseeritud hälve (Std.Res) on suurem kui 0,252. Tasandamise käigus leiab programm uued kõrguskasvud ning neile vastavad standardhälbed. Samuti arvutatakse igale punktile kõrguskasuvde kaudu kõrgus ning kõrguse standardhälve. Praegusel juhul esineb mõõtmistulemustes jäme viga punktide H ja G vahelises kõrguskasvus. Eemaldame selle esialgsest failist ja laseme uuesti tasandada.
Eemaldatud mõõtmistulemusega tasandusfailis näeme, et muutus jämedate vigade avastamise kriteerium. Nüüd võib esineda jämedaid vigu kui standardiseeritud hälve (Std.Res) on suurem kui 0,175. Natuke muutusid ka tasandatud kõrguskasvud, kuid mitte oluliselt. Muutusid ka punktide lõplikud kõrgused, kuid jällegi mitte väga (muutus jääb üldiselt 2-3 mm juurde). Tasandatud kõrguskasvude ja punktide kõrguste standardhälbed muutusid väiksemaks, seega saame öelda, et mõõtmistulemuste täpsushinnangud muutusid reaalsemaks- saame suurema täenäosusega väita, kuhu vahemikku mõõtmistulemuse tõeline väärtus jääb.
Esimese tasanduse tulemusena saadud tasandusjärgse kaaluühiku S0 väärtuseks on 0,076. Peale jämeda vea eemaldamist mõõtmistulemustest ja uue tasanduse tegemist on S0 väärtuseks 0,053. Näeme, et jämeda vea eemaldamise tulemusena on tasandusjärgne kaaluühik muutunud väiksemaks. Teame, et mida ebatäpsemad on olnud mõõtmistulemused, seda suurem on S0. Seega erimi eemaldamine muutis mõõtmistulemused tervikuna usaldusväärsemaks.
χ2- testi tulemus esimese tasanduse puhul andis statistiku väärtuseks 0,15. Teise tasanduse tulemusena oli see aga poole väiksem- χ2= 0,07. Esimese tasanduse χ2 alumine ja ülemine kriitiline väärtus olid vastavalt
ning . Teise tasanduse puhul olid need
ning . Võrreldes teststatistiku väärtust vastavate kriitiliste väärtustega, siis näeme, et mõlemal korral on leitud S0 väärtused statistilises mõttes 1st väiksemad ehk tasandusjärgsete kaaluühikute standardhälve ei ole 1.