Rakendusstatistika kodune töö 2012 (0)

Xxxxx xxxxx
xxxx
MHT 0031
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ
Osa A
1.
1) Keskväärtus
=46,20
2)Dispersioon
=867,92
3)Standardhäve
=29,46
4)Mediaan
Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral.
Me=46
5) Haare
R = xmax – xmin = 99 – 0 = 99
2. Leian keskväärtuse μ usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo  = 0,10:
tα, N-1 arvutasin Exceli TINV funktsiooniga ( on ka leitav Studenti tabelist): 1,711
Leian dispersiooni usaldusvahemiku eeldusel, et põhikogumi jaotus on normaaljaotus ja olulisuse nivoo  = 0,10 ning põhikogumit moodustavate mõõdiste arv n = 25:
ja
arvutasin Exceli CHIINV funktsiooniga, vastavalt: 36,415 ja 13,848
3. Kontrollin järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks α = 0,10)
3.1 H0: μ = 50 alternatiiviga H1: μ  50
Hüpoteesi vastu võtmiseks peab tkr > t; 1,711 > -0,645, seega võtan nullhüpoteesi vastu.
3.2 H0: σ2 = 800 alternatiiviga H2: σ2  800
Hüpoteesi H0 vastu võtmiseks peab
jääma kahe kriitilise väärtuse vahele: 13,85 .
4. Leian valimile vastava empiirilise histogrammi võrdlaiade vahemikega 0-20, 20-40, 40-60, 60-80 ja 80-100.
Intervalli nr
Vahemik
Elemente
Tõenäosus
Intervalli keskmine
1
0-20
5
0,20
6,80
2
20-40
6
0,24
30,33
3
40-60
6
0,24
47,17
4
60-80
5
0,20
73,40
5
80-100
3
0,12
96,33
Histogramm :
Kontrollin kolme hüpoteesi põhikogumi jaotuse kohta Pearsoni χ2 - testi abil; olulisuse nivooks kasutan α = 0.10
4.1 Põhikogumi jaotiseks on normaaljaotus (mille parameetrid
ja σ tuleb hinnata valimi järgi)
Keskväärtuse hinnang:
Dispersioonihinnang:
Katsed
Vahemik
xm
t
ni
Ф(t)tabelist
pi
ni’
1
20
-0,89
5
0,187
0,187
4,675
0,023
2
40
-0,21
6
0,417
0,230
5,753
0,011
3
60
0,47
6
0,681
0,264
6,595
0,054
4
80
1,15
5
0,875
0,194
4,858
0,004
5
100
3
1,000
0,125
3,128
0,005
Summa:
1,00
25
0,096
vabadusastmete arv f = k – h –1 = 5 – 2 –1 = 2. ( h = 2, kuna normaaljaotusel on kaks parameetrit μ ja σ)
Et nullhüpotees vastu võetaks peab
. Seega võin nullhüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on normaaljaotus.
4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus, mille parameeter on .
Eksponentjaotuse parameeter:
Katsed
Vahemik
xm
F0(m)
ni
pi
ni'
1
20
0,351
5
0,351
8,784
1,630
2
40
0,579
6
0,228
5,698
0,016
3
60
0,727
6
0,148
3,696
1,437
4
80
0,823
5
0,096
2,397
2,826
5
100
1,000
3
0,177
4,425
0,459
 
1,000
25,000
6,368
vabadusastmete arv f = k – h –1 = 5 – 1 –1 = 3. ( h = 1, kuna eksponentjaotusel on üks parameeter λ).
Et nullhüpotees vastu võetaks peab
. Antud andmete kohaselt ei saa seega nullhüpoteesi vastu võtta ning võin järeldada, et üldkogumi jaotuseks ei ole eksponentjaotusjaotus.
4.3 Põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100.
Katsed
Vahemik
xm
F0(m)
ni
pi
ni'
1
20
0,2
5
0,2
5,0
0,0
2
40
0,4
6
0,2
5,0
0,2
3
60
0,6
6
0,2
5,0
0,2
4
80
0,8
5
0,2
5,0
0,0
5
100
1,0
3
0,2
5,0
0,8
25,0
1,0
25,0
1,2
vabadusastmete arv f = k – h –1 = 5 – 1 –1 = 3. ( h = 2, kuna ühtlasel jaotusel on kaks parameetrit a ja b).
Et nullhüpotees vastu võetaks peab
Seega võin nullhüpoteesi vastu võtta ning järeldada, et üldkogumi jaotuseks on ühtlane jaotus.
5. Konstrueerin samas teljestikus järgmised graafikud :
5.1 Empiirilise jaotise histogrammi graafik :
5.2 Hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik:
5.3 Hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik:
5.4 Hüpoteesile 4.3 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik:
6. Konstrueerin samas teljestikus:
6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafiku
6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku
7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo  = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238).
Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus:
Et hüpotees vastu võetaks, peab DN
Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,16 võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus.
8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi , kasutan selleks dispersioonanalüüsi metoodikat ja võtan olulisuse nivooks α = 0,05:
Leian rühmade keskväärtused:
Leain rühmade dispersioonid :
Excelis tehtud arvutused esitan tabelina:
i
1
2
3
4
5
ȳi
s2i
(ȳi -ȳ)2
1.-5.
32
75
53
42
94
59,20
633,70
169,00
6.-10.
7
0
47
30
31
23,00
368,50
538,24
11.-15.
96
2
70
28
10
41,20
1629,20
25,00
16.-20.
29
15
99
32
47
44,40
1060,80
3,24
21.-25.
68
48
46
75
79
63,20
234,70
289,00
Kokku:
231,00
3926,90
1024,48
Leian üldkeskmise:
Leian üldise rühmasisese dispersiooni:
Leian rühmadevahelise dispersiooni:
Leian F-statistiku:
Leian F-statistiku kriitilise väärtuse (tabelist):
Kuna F (0,33) kr, siis võtan nullhüpoteesi vastu ning loen hüpoteesi põhjal keskväärtused homogeenseteks.
9. Käsitlen valimit A aegreana pikkusega N= 25 ning kontrollin olulisuse nivoo α = 0,05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi.
Moodustasin esialgse aegreapõhjal märgirea:
32
75
53
42
94
7
0
47
30
31
96
2
70
28
10
29
15
99
32
47
68
48
46
75
79
Kontrollin mediaanikriteeriumi esimest võrratust:
Lmax3,3(log N + 1)
N =25
Lmax = 4
4 3,3(log 25 + 1)
4
Kontrollin mediaanikriteriumiteist võrratust:
Ns > 0,5 (N+1-1,96)
Ns= 6
6 > 0,5 (25 +1-1,96)
6 > 8,20 ; seega teine võrratus ei kehti ning mediaanikriteeriumi kohaselt ei saa antud aegrida juhuslikuks lugeda.
Kontrollin käänupunktide kriteeriumi:
Leidsin Exceli programmiga käänupunktide arvu: p = 16
p > (2 (N-2) – 1,96
16 > (2 (25-2) – 1,96
16 > 11,35 ; seega käänupunktide võrratus kehtib ning aegrea saab käänupunktide kriteeriumi kohaselt juhuslikuks lugeda.
Osa B
10. x ja y seose korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur . x ja y korreleerimatus t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks α = 0.05.
i
Xi
Yi
Xi-x̅
yi-y̅
(Xi-x̅)*(yi-y̅)
(Xi-x̅)^2
(yi-y̅)^2
Xi*Yi
1
1,2
1,30
-1,88
-1,86
3,50
3,53
3,46
1,56
2
4,3
4,60
1,22
1,44
1,76
1,49
2,07
19,78
3
4,9
8,80
1,82
5,64
10,26
3,31
31,81
43,12
4
2,8
0,70
-0,28
-2,46
0,69
0,08
6,05
1,96
5
2,2
0,40
-0,88
-2,76
2,43
0,77
7,62
0,88
Kokku
15,4
15,80
0,00
0,00
18,64
9,19
51,01
67,30
keskmine
3,08
3,16
 
 
 
 
 
 
Determinatsioonitegur d = r^2 = 0,74
Korreleerimatuse kontroll:
t-statistiku abil. t=2,93 z-statistiku abil. z0 = 1,83 > 1,65
Kehtib vaid üks kontrollvõrratus, seega ei ole x ja y korreleeritud suurused.
11. Leian ühefaktorilise lineaarse regressioonimudeli y = b0 + b1 x ja analüüsin selle täpsust (võttes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks α= 0.05)
11.1 Leian mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1.
xi
1,2
4,3
4,9
2,8
2,2
yi
1,3
4,6
8,8
0,7
0,4
11.2 Leian mudeli parameetrite hinnangute b0 ja b1 usaldusvahemikud.
= 5
Leian t-statistiku tabelist: f = 6 (korduskatsete sarja pikkus minus 1)
t1-α/2(f) = t0.975(6) = 2.447
Leian hinnangu b0 usaldusvahemiku:
Leian hinnangu b1 usaldusvahemiku:
11.3 Kontrollin mudeli liikmete olulisust:
11.4 Kontrollin mudeli adekvaatsust:
Selleks leian F-statistiku, mis näitab selle mudeli poolt prognoositud ja tegelike y väärtuste erinevust.
Fkr > F (4,53 > 1,59), seega null-hüpotees on vastuvõetav ehk mudel on adekvaatne.
11.5 Leian mudeli poolt prognoositava väljundi usaldusvahemikud punktides x=1, x=3, x= 5.
Leian t-statistiku tabelist: f = 6 (korduskatsete sarja pikkus minus 1)
t1-α/2(f) = t0.975(6) = 2.447
Esitan Excelis leitud arvutuste väärtused tabelina:
x
1
3
5
s(ŷ)
1,18
0,65
1,12
Δŷ
2,89
1,58
2,73
ŷ – Δŷ
-3,95
1,42
4,32
ŷ
-1,06
3,00
7,05
ŷ + Δŷ
1,83
4,58
9,79
11.6 Joonistan regressioonimudeli graafiku koois katsepunktide ja eelmises punktis leitud usaldusvahemikega: