Planimeetria kordamine (3)

PLANIMEETRIA KORDAMINE
NELINURGAD
RÖÖPKÜLIK
Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed
Vastasnurgad on võrdsed
Diagonaalid poolitavad teineteist
Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks
Lähisnurkade summa on 180º
Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga :
Ümbermõõt.
Pindala:
ROMB
On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused.
Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad,
Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed.
Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt
Ümbermõõt:
Pindala:
RISTKÜLIK
Ristkülik on rööpkülik, mille lähisküljed on risti (nurgad on täisnurgad).
Ristküliku diagonaalid on võrdsed
Diagonaalide lõikepunkt on ümberringjoone keskpunkt
Ümbermõõt:
Pindala:
RUUT
Ruut on võrdsete külgedega ristkülik või romb mille nurgad on täisnurgad.
Ruudul on kõik rööpküliku, ristküliku ja rombi omadused.
Ümbermõõt:
Pindala:
TRAPETS
Trapets on nelinurk , mille kaks külge on paralleelsed (alused) ja kaks mitteparalleelsed ( haarad ).
Trapetsi kesklõik
on alustega paralleelne ning võrdub aluste poolsummaga.
Ümbermõõt:
Pindala:
Võrdhaarset trapetsil

• Aluse lähisnurgad on võrdsed
  
• Diagonaalid on võrdsed
  
• On ümberringjoon.
  

KORRAPÄRANE HULKNURK
korrapärase hulknurga küljed
on võrdsed ja sisenurgad
on võrdsed.
Sisenurk :
kus n on hulknurga nurkade arv
Korrapärasel hulknurgal on ühise keskpunktiga sise- ja ümberringjoon.
Siseringjoone raadiuseks on keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik ehk apoteem
Ümberringjoone raadius on keskpunktist tippu tõmmatud lõik.
Pindala:
Korrapärane kuusnurk
Külg võrdub ümberringjoone raadiusega
RINGJOON JA RING
Ringjooneks nimetatakse tasandil antud punktist (ringjoone keskpunktist) jääval kaugusel (ringjoone raadius) asetsevate punktide hulka.
Ring on tasandi osa mida piirab ringjoon.
Ümbermõõt
Pindala:
Ringjoone kõõl on lõik, mis ühendab kaht punkti ringjoonel.
Kõõluga ristuv raadius poolitab kõõlu.
Kui kaks kõõlu lõikuvad, siis ühe kõõlu lõikude korrutis võrdub teise kõõlu lõikude korrutisega
Ringjoone puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega.
Ringjoone sektori kaare pikkus: , kus x -nurga suurus radiaanides
r – kaare raadius
Sektori pindala:
Piirdenurk on ringjoone mingist punktist lähtuva kahe kõõlu vaheline nurk, mis toetub nurga haarade vahele jäävale kaarele.
Kesknurk on ringjoone keskpunktist tõmmatud kahe raadiuse vaheline nurk, mis toetub kaarele.
Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast.
Ühele ja samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed.
Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk.
NURGAD
Kahe sirge lõikamisel tekkinud kõrvunurkade summa on
ning tippnurgad on võrdsed.
Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikamisel kolmanda sirgega tekkinud

• Kaasnurgad on võrdsed
  
• Põiknurgad on võrdsed
  
• Lähisnurkade summa on
  

KIIRTETEOREEM : kui nurga haarasid lõigata paralleelsete sirgetega, siis ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised teise haara vastavate lõikudega
Pöördteoreem. Kui sirged lõikavad nurga haarasid nii, et ühel haaral tekkinud lõigud on võrdelised vastavate lõikudega nurga teisel haaral, siis need sirged on paralleelsed.
KOLMNURGAD
Sisenurkade summa on
Kolmnurga kesklõik (q) on paralleelne ühe küljega ja võrdub poolega sellest
ja
Siinusteoreem:
Koosinusteoreem .
Kolmnurga ...

• kõrgused lõikuvad ühes punktis.
  
• nurgapoolitajad lõikuvad ühes punktis, mis on siseringjoone keskpunktiks.
  
• külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on ümberringjoone keskpunkt.
  
• mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 1:2, kusjuures üks kolmandik jääb külje poole ja kaks kolmandikke tipu poole.
  
• nurgapoolitaja jaotab vastaskülje võrdeliselt lähiskülgedega
  

Kolmnurgas on võrdsete külgede vastas võrdsed nurgad ja võrdsete nurkade vasta võrdsed küljed.
Kolmnurgas on pikema külje vastas suurem nurk ja suurema nurga vastas pikem külg.
Pindala:
Heroni valem
, kus
KOLMNURKADE KONGURENTSUSE TUNNUSED (VÕRDSUSE)

KNK- kaks kolmnurka on kongurentsed, kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga .

NKN- kaks kolmnurka on kongurentsed, kui ühe kolmnurga külg ja selle lähisnurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külje ja selle lähisnurkadega

KKK kaks kolmnurka on kongurentsed, kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega

KKN kaks kolmnurka on kongurentsed, kui ühe kolmnurga kaks külge ja neist pikema külje vastasnurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja neist pikema külje vastasnurgaga.
KOLMNURKADE SARNASUSE TUNNUSED
Kaht kolmnurka nimetatakse sarnasteks, kui ühe kolmnurga nurgad on vastavalt võrdsed teise kolmnurga nurkadega , ja võrdsete nurkade lähisküljed on võrdelised.

KNK

NN

KKK

KKN
Kolmnurga lõikamisel küljega paralleelse sirgega tekib esialgsega sarnane kolmnurk .
Sarnaste kolmnurkade ümbermõõdud suhtuvad nagu vastavad küljed
Sarnaste kolmnurkade pindalad suhtuvad nagu vastavate külgede ruudud
TÄISNURKNE KOLMNURK
Pythagorase teoreem . Täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga .
Eukleidese teoreem: Täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub selle kaateti hüpotenuusil oleva projektsiooni ja hüpotenuusi korrutisega.
ja
Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest: täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile joonestatud kõrgus on võrdne katetite projektsioonide geomeetrilise keskmisega.
Ümberringjoone raadius.
Pindala:
VÕRDHAARNE KOLMNURK
Võrdhaarse kolmnurga alusele (a) tõmmatud kõrgus (h) on kolmnurga sümmeetriateljeks, mediaaniks , tipunurga poolitajaks ja aluse keskristsirgeks.
Alusnurgad on võrdsed.
VÕRDKÜLGNE KOLMNURK
Võrdkülgse kolmnurga iga kõrgus on ka selle kolmnurga sümmeetriateljeks, mediaaniks, nurgapoolitajaks ja külje keskristsirgeks.
Võrdkülgses kolmnurgas sise- ja ümberringjoone keskpunktid ühtivad.
6/6