Kolmnurga mediaanid Lõik AM on kolmurga ABC üks mediaanidest. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Tõestus: Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et 1. AD on mediaan, st. BD = DC ja 2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF) Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik. Tõestame ära väite esimese osa, st
docstxt/14581517463234.txt
külje keskpunkte, nim. selle kolmnurga kesklõiguks. ¤Kolmnurga kesklõigu teoreem- Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. ¤Trapetsi kesklõik- Leitud haarade keskpunktid ja need omavahel ühendatud. ¤Trapetsi kesklõigu teoreem- Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. ¤Mediaan- Aluse keskpunktist vastastippu tõmmatud lõik. ¤Mediaani teoreem- Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. ¤Raskuskese- Kolmnurga mediaanide lõikepunkt nim. ka kolmnurga raskuskeskmeks.
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed.
DE = 0,5AB 9. TRAPETSI KESKLÕIK * Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. * Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja trapetsi kõrguse korrutisega. S = k * h Teoreem: Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega ( poolsummaga ) . Eeldus: EF on trapetsi ABCD kesklõik: AE = ED ja BF = CF Väide: 1. 2. EF || AB || DC 10. KOLMNURGA MEDIAANID * Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Eeldus: AE ja CD on kolmnurga ABC mediaanid, mis lõikuvad punktis O Väide: AO = 2OE, CO = 2OD ja kolmas mediaan läbib punkti O .
·° Korrapärane hulknurk: sisenurk on Kolmnurk: On määratud, kui ; , . Sisenurkade summa on 180°, välisnurkade summa on 360°. Mediaanide lõikepunkt raskuskese, jaotab mediaanid lõikudeks suhtes : . Nurgapoolitajate lõikepunkt siseringjoone keskpunkt, .
Kolmnurga kesklõik Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse selle kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Trapetsi kesklõik Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga. Kolmnurga mediaanid Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.
Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub selle külja poolummaga. Kolmnurga kesklõigu arvutamise valem: 7.trapetsi kesklõik Lõikku, mis ühendab trapetsi harade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks.Trapetsi pindala võrdub trapetsi kesklõigu ja kõrguse korrutisega: s =hk. Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja kesklõigu pikkus võrdub aluste poolsummaga 8. kolmnurga mediaanid Kolmnurga mediaan on kolmnurga küljepoolitaja. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.
· Põiknurgad on võrdsed parajasti siis, kui lähisnurkade summa on 180 . · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad. · Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad lähisnurgad, mille summa on 180 . · Kui nelinurgas on üks paar võrdseid ja paralleelseid vastaskülgi, siis see nelinurk on rööpkülik. 6.Kolmnurga sisenurkade summa, kesklõik ja mediaanid. Välisnurgaks nimetatakse kolmnurga nurga kõrvunurka. Igal kolmnurgal on 6 välisnurka, mis on paarikaupa võrdsed kui tippnurgad. · Kolmnurga sisenurkade summa on 180 . · Kolmnurga välisnurk võrdub temaga mitte kõrvu olevate sisenurkade summaga. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte. · Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
Naiste keskmine vanus on suurem Meeste vanused on rohkem koondunud ümber oma grupi keskmise vanuse Meeste keskmine vanus on suurem Küsimus 11 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Tudengite eksamihinded on: 1 2 2 3 3 5 Millised väited on õiged? Vali üks või enam: Eksamihinnete mood on 2,5 Eksamihinnete jaotusel on kaks moodi: 2 ja 3 Eksamihinnete mediaan on 2,5 Eksamihinnete mediaanid on 2 ja 3 Küsimus 12 Pole veel vastatud Võimalik punktisumma 5'st Märgista küsimus Küsimuse tekst Tudengite eksamitulemused olid järgmised: mehed: 1 2 3 4 5 naised: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Millised järgnevatest väidetest on õiged? Vali üks või enam: Naiste tulemuste standardhälve on suurem, kuna naisi on rohkem Naiste tulemuste standardhälve on väiksem, kuna naisi on rohkem Meeste ja naiste eksamihinnete standardhälbed on võrdsed
Planimeetria Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2. külgede
aritmeetilise keskmise suhtes. The correct answer is: Üksikud väga suured sissetulekud suurendavad aritmeetilist keskmist, kuid ei mõjuta oluliselt mediaani. Question 3 Tudengite eksamihinded on: 1 2 2 3 3 5 Millised väited on õiged? Incorrect Mark 0.0 out of 5.0 Select one or more: Eksamihinnete mediaanid on 2 ja 3 Eksamihinnete mediaan on 2,5 Eksamihinnete mood on 2,5 Eksamihinnete jaotusel on kaks moodi: 2 ja 3 Paarisarvulise rea korral on mediaan järjestatud rea keskmiste elementide poolsumma: (2+3)/2 = 2,5 . Mood
Kui liikmeid on paaritu arv, siis keskmine liige. Kui liik 3.3 Kvartiilid Kv - alumine kvartiil ehk tunnuse väärtus, millest väiksemaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioon Kv - ülemine kvartiil ehk tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on variatsioonr Kvartiilid on variatsioonrea alumise ja ülemise poole mediaanid. Kvartiilid on iseenesest asendik Kvartiilid on variatsioonrea alumise ja ülemise poole mediaanid. Kvartiilid on iseenesest asendik 3.4 Mood Mo - variatsioonrea kõige suurema esinemissagedusega liige 3.5 Dispersioon Dispersioon - hälvete ruutude aritmeetiline keskmine. Tähis 2 ( kreeka täht sigma).(dispersio - lad. keeles 3.6 Standardhälve
Kolmnurki liigitatakse külgede järgi: erikülgsteks, võrdhaarseteks ja võrdkülgsteks ja nurkade järgi:tervanurkseteks,nürinurkseteks, täisnurkseteks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse tipuks vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku või selle pikkust.Kolmnurga külge, millele on tõmmatud kõrgus, nimetatakse kolmnurga aluseks. Kolmnurga mediaaniks nim. Kolnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga raskuskese. Kolmnurga külje keskristsirgeks nim. Sirget, mis läbib külje keskpunkti ja on selle küljega risti. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. Kolmnurga iga nurga poolitaja jaotab nurga vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu lähisküljed. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad ühes ja samas punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunkt. Kolmnurga kesklõiguks nim
Mood, kus tunnusel on vähe erinevad väärtusid. 2. Pikkuse järgi kasvavalt reastatud koolipoiste reas näitab kolmas kvartal? Selle poisi pikkust, kellest vasemale jääb 75% kogureast selle poisi pikkust, kellest paremale jääb 25% kogu reast. 3. Mitu % andmetest jääb ülemise, alumise kvartiili vahele? 50% 4. Tudengite eksamitulemused olid järgmised: Mehed: 1 2 3 4 5 Naised: 11 22 33 44 55 Väited õiged: Meeste, naiste eksamihinnete mediaanid on võrdsed. Meeste, naiste keskmised eksamitulemused olid võrdsed. Naiste tulemuste standardhälve on väiksem, kuna naisi on rohkem. 5. Millised väited on korrektsed? Keskväärtus võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine. Mood on alati reaalne väärtus uuritud valimi väärtuste hulgast. Mediaan võib olla ka selline väärtus, mida reaalsete vastuste hulgas ei esine. 6. Tudengite eksamihinded on 1 2 2 3 3 5
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R .
25.Kolmnurga kesklõigu omadus - Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest 26.Trapetsi kesklõigu omadus - Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alusega ja võrdub asluste aritmeetlise keskmisega (poolsummaga) 27.Kolmnurga mediaanide omadus - Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks koeda pikem küljepoolsest osast
m-külgtahu kõrgus, moodustaja Trapets P= a + b + c + d Kolmnurga Kolmnurga Kiirteteoreem Kolmnurkade sarnasustunnused: b ( a + b) h kesklõik mediaanid u v OA AC OC Kaks kolmnurka on sarnased, kui… S= C = = 2 OB BD OD
3000-3499 30% Mediaan 6,5 Haare 2600 Kodune ülesanne 1.3 Koduelektroonikat müüval kauplusel on 10 nädala andmed reklaami avaldamise kordade ja müügi suuruse kohta: Leida nii reklaami avaldamise kordade kui ka müügi aritmeetilised keskmised, mediaanid, dispersioonid, standardhälbed, haarded. Kas reklaami avaldamise ja müügi vahel on seos? Joonistada hajusdiagramm ja arvutada Pearsoni korrelatsioonikordaja. Nädal Reklaame Müük 1 2 50 2 5 57
küljest. 1Mis on trapetsi kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem trapetsi kesklõigust. Trapetsi kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ning on paralleelne alustega ja võrdub nende aritmeetilise keskmisega. 1Mis on kolmnurga mediaan? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem mediaanide lõikepunkti kohta. Kolmnurga mediaaniks nimetatakse lõiku, mis ühendab tipu vastaskülje keskpunktiga. Igal kolmnurgal on kolm mediaani. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipu poolne osa on kaks korda pikem, kui küljepoolne osa. 1 Mis on kõõl? Tee selgitav joonis. Kõõluks nimetatakse ringjoone kaht punkti ühendavat lõiku. Pikim kõõl on ringjoone diameeter. 1Mis on kesknurk? Tee selgitav joonis. Kesknurgaks nimetatakse ringjoone kahe raadiuse vahelist nurka. 1Mis on piirdenurk? Tee selgitav joonis.
Hajuvusmõõdud Tihti on vaja hinnata, kui palju andmed erinevad "tüüpilisest" väärtusest (ehk teisiti: kui palju andmed hajuvad). Enamasti vaadeldakse erinevust keskväärtusest. Saab tõestada, et tunnuse väärtused paiknevad kõige tihedamini keskväärtuse ümber. Kuidas hajuvust arvuliselt kirjeldada? Seda uurimegi. Vaatleme kahte erinevat valimit. Üks neist on esitatud sagedustabeliga, teine jaotustabeliga. Leiame kummagi valimi jaoks keskväärtuse, mediaani ja moodi. 1. valim: xi 7 8 9 10 11 12 13 fi 1 3 5 10 5 3 1 17 38 59 10 10 511 312 113 x 10 28 Me = 10 Mo = 10 2. valim: xi 7 8 9 10 11 12 13 pi 0,...
329 2 2534 3368,888 128,102 55,56386 7186,19 1062,33 0 8070,120 3401,70 2321,692 37 883 46 63 6 82 330 2 2534 7744,091 0 0 968,954 1602,02 304,075 0 2195,42 0 03 88 429 2 4 2. Aritmeetilied keskmised, mediaanid, kvartiilid, minimaalne ja maksimaalne väärtus, standarthälve. V03C V34C Keskmine 10920,1 6197,09 4 Mediaan 9976,65 5798,32 Kvartiil (alumine) 7392,17 4205,52 Kvartiil (keskmine) 9976,65 5798,32 Kvartiil (ülemine) 13500,2 7510,58 9
Vanaema Milvi 40 95 165 Vanaisa Neeme 41 80 170 vend Marko 47 69 196 3. Statistilised näitajad 1.1 Mahu ja asendikeskmised Jala number Kaal kg Kasv cm Aritmeetiline keskmine 41,5 72,9 175,6 Mediaanid 41 72 171 Mood 41 58 - 1.2 Variatsioonnäitarvud Jala number Kaal kg Kasv cm Min 39 58 165 Max 47 95 196 Rea amplituud? 8 37 31 1.3 Variatsioonrida
Alumine kvartiil: (Kv ) = 3 Ülemine kvartiil: (Kv ) = 4 Kvartiilide vahe: 4-3= 1 Sektordiagramm (kinga numbrid) Sektordiagramm (matemaatika hinded) Tulpdiagramm (kinga numbrid) Tulpdiagramm (matemaatika hinded) Korrelatsioon Järeldus Kinga numbrite keskmine on suurem kui matemaatika hinnete keskmine. Kinga numbri ja matemaatika hinde moodid on väga erinevad. Kinga numbri hajuvus on väiksem ja matemaatika hinde hajuvus on suurem. Matemaatika hinde ja kinga numbri mediaanid on väga erinevad. Selle uurimuse põhjal järeldan, et matemaatika hinne ja kinga number pole kuidagi omavahel seotud. Korrelatsiooni joonise juures aga näeme, et matemaatika hinne ja kinga number on omvahel seotud.
x + y b 4 b2 - 4 12. - 2 : 2 b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud
kesklõiguks. Kolmnurga mediaan Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem kolmnurga kesklõigust Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. Teoreem trapetsi kesklõigust Trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Teoreem kolmnurga mediaanist Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. 5-ga jaguvuse tunnus Kui arv lõpeb nulli või viiega, siis arv jagub viiega.
M 25-34 19533,53844 15968,37 381559124 254988840,5 311918769,2 M 25-34 11451,13076 22707,036 131128395,7 515609483,9 260021238,4 M 25-34 6165,83562 24843,54 38017528,89 617201479,7 153181183,9 M 25-34 11890,29348 26364,6 141379079 695092133,2 313482831,5 2. Leian toidukulude ja eluaseme kulude aritmeetilised keskmised, mediaanid, kvartiilid, minimaalne ja maksimaalne väärtus, ja standrardhälve selles valimis. x̅= 10389,5525 y̅= 7800,824171 MeX= 9899,71287 MeY= 5779,0024 Toidukulude haare= 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 17019,29821 Eluaseme kulude haare = 𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 25896,552 Kvartiilid X Keskmine kvartiil Q= 9899,71287
Trapetsi kesklõik k, kõrgus h, pindala S Leida puuduv suurus 2 k=4,4dm=44cm S=1584cm 2 S=kh h=S:k h=1584cm :44cm=36cm 34.Kolmnurga mediaanid - lõik, mis Vaata joonist siin ühendab kolmnurga tippu vastaskülje Ül.850 keskpunktiga; võrdhaarse kolmnurga Võrdhaarne kolmnurk ABC; punkt O alusele tõmmatud mediaan on ühtlasi mediaanide lõikepunkt; teada on alusele tõmmatud kõrguseks ja tipunurga kolmnurga alus AB ja kõrgus CD; arvutada poolitajaks; võrdkülgse kolmnurga väikse kolmnurga ABO ja nelinurga ACBO mediaanid on ühtlasi kõrgusteks ja pindala
Selle põhjal ei saa me veel järeldusi teha, et nende tunnuste vahel on seos. Füüsika ja matemaatika hinnete standardhälve põhjal võib juba hakata oletama, et nende tunnuste vahel võib olla seos. Füüsika hinnete standardhälve on 0,7 ja matemaatika hinnetel 0,8. Mõlemal tunnuse variatsioonikordaja on umbes 0,2, mille tõttu võime arvata, et mõlema tunnuse keskväärtuse ja standardhälve vahel on seos. Füüsika ja matemaatika mediaanid ja moodid pole küll sarnased, kuna füüsika hinded on kõrgemad, kui matemaatika hinded. Füüsika hinnetel on mediaaniks ja moodiks hinne viis, kuid matemaatikal mediaaniks hinne neli ja moodiks hinne 3. Korrelatsioonivälja põhjal on kõige kergem leida, kas tunnused on üksteisest sõltuvuses või mitte. Korrelatsioonivälja põhjal saame kindlalt järeldada, et siiski matemaatika hinded ja füüsika hinded on mingil määral sõltuvuses.
S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2
Trapetsi paralleelseid külgi nim trapetsi aluseks. Trapetsi aluste kaugust nim trapetsi kõrguseks. Trapetsi liigid: võrdhaarne trapets, täisnurkne trapets, trapets Trapetsi kesklõiguks nim lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte. Omadus 1: trapetsi kesklõik on paralleelne trapetsi alustega. Omadus 2: trapetsi kesklõigu pikkus võrdub poolega aluste poolsummaga. Trapetsi P= a+b+c+d Trapetsi S= a+b/2*h S= k*h Traaketsi kesklõik k= a+b/2 · Kolmnurga mediaanid Def: kolmnurga mediaaniks nim lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu selle vastasküle keskpunktiga. Omadused: mediaanide lõikepunkt jaotab iga mediaani suhtes 2:1, iga mediaan jaotab kolmnurga kaheks pindalalt võrdseks ehk pindvõrdseks kolmnurgaks. · Kolmnurga sise- ja ümberringjoon Kolmnurga siseringjooneks nimetatakse ringjoont, mis puutub ringjoone külgi. Tema keskpunkt asub külgedest ühekaugusel, see tähendab et ristlõigud keskpunktist iga küljeni on võrdsed.
S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes punktis ja see lõikepunkt jaotab mediaani osadeks, mis suhtuvad nagu 2:1, lähtudes tipust) ja nurgapoolitaja (k on lõik, mis poolitab sisenurga ja nurgapoolitaja iga punkt asetseb nurga haaradest võrdsel kaugusel) 6. Kolmnurga sisenurga poolitaja omadus (Kolmnurga sisenurga poolitaja jaotab vastaskülje osadeks, mis suhtuvad nagu selle nurga lähisküljed ) 7. Kolmnurga sise-ja ümberringjoone keskpunkti leidmine(1. nurgapoolitajate lõikepunkt, 2
Arvurada võrdhaarse kolmnurga kõrgus. 19. Võrdhaarse kolmnurga alusele ja haarale joonestatud kõrgused on vastavalt 3 cm ja 4 cm. Arvutada kolmnurga küljed ja pindala. 20. Arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala, kui ta alus on 12 cm ja aluselejoonestatud kõrgus võrdub aluse ja haara keskpunkte ühendava lõiguga. 21. Võrdhaarse kolmnurga kahe mittevõrdse kõrguse summa on m ja tipunurk A. Avaldada kolmnurga haar. 22. Võrdahaarse kolmnurga haar on a ja haaradele joonestatud mediaanid on teineteisega risti. Avaldada koomnurga pindala. 23. Võrdhaarse kolmnurga alusnurga poolitaja on võrdne haaraga. Leida alusnurk. 24. Võrdhaarse kolmnurga kõrgus on 20 cm ning aluse suhe haaraga 4:3. Arvutada siseringjoone raadius. 25. Võrdhaarse kolmnurga haar on 2 cm ja tipunurk 120°. Arvutada ümberringjoone diameeter. 26. Võrdhaarse kolmnurga alusnurk on A. Leida sise ja ümberringjoone raadiuste suhe. 27. Ringi ümber on joonestatud võrdhaarne kolmnurk tipunurgaga 120°
Lahendused ja vastused 1. Kokku on 13 lõiku. Lõigud on kolmnurgal ABC 3 külge, BD, AE, AD, DC, BE, EC, BO, OD, AO ja OE. SEE SIIS LAHENDUS 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 2. 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 3. 4. Ruut on jaotatud 9-ks väikeseks ruuduks, neist 4 on träniga, mille kogupindala 36 cm². Seega on on ühe ruudu pindala 36 : 4 = 9 cm² ning selle külg 3 cm. Tärniga tähistatud ruutude ümbermõõt on seega 10 · 3 = 30cm 5. 1) 1 = 3 -3 : 3- 3 : 3 6) 6 = 3 · 3 · 3 : 3- 3 2) 2 = 3 · 3 : 3- 3 : 3 7) 7 = 3 · 3- 3 + 3 : 3 3) 3 = 3 + 3 + 3- 3- ...
m-külgtahu kõrgus, moodustaja Trapets P= a + b + c + d Kolmnurga Kolmnurga Kiirteteoreem Kolmnurkade sarnasustunnused: b ( a + b) h kesklõik mediaanid u v OA AC OC Kaks kolmnurka on sarnased, kui... S= C = = 2 OB BD OD
a b c Siinusteoreem: = = = 2R sin sin sin Koosinusteoreem. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos Kolmnurga ... · kõrgused lõikuvad ühes punktis. · nurgapoolitajad lõikuvad ühes punktis, mis on siseringjoone keskpunktiks. · külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis on ümberringjoone keskpunkt. · mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 1:2, kusjuures üks kolmandik jääb külje poole ja kaks kolmandikke tipu poole. b c · nurgapoolitaja jaotab vastaskülje võrdeliselt lähiskülgedega = b c Kolmnurgas on võrdsete külgede vastas võrdsed nurgad ja võrdsete nurkade vasta võrdsed küljed.
variatsioonreas 25% ( ). Tähis Kv . 4 Ülemine kvartiil tunnuse väärtus, millest suuremaid (või võrdseid) väärtusi on 1 variatsoonnreas 25% ( ). Tähis Kv . 4 Kvartiilid on variatsioonrea alumise ja ülemise poole mediaanid. Kvartiilid on iseenesest asendikeskmised, mis iseloomustavad tunnuse paiknevust. Alumise ja ülemise kvartiili vahele jäävad pooled tunnuse väärtustest. Kvartiilide erinevus näitab tunnuse hajuvust (st kvartiilihaare on ühtlasi hajuvuse karakteristikuks) . Vahel kasutatakse statistikas ka detsiile. Detsiilide abil jaotatakse variatsioonrida kümneks osaks
Trapetsi kesklõik on AB + DC paralleelne alustega ja on võrdne poolega aluste summast. EF = 2 Trapetsi pindala võrdub kesklõigu ja kõrguse korrutisega : S = k *h .Lõik EF on kesklõik. 32.Kolmnurga mediaan Kolmnurga mediaaniks nimetatakse kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku. Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis. 33.Kesknurk Kesknurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringi keskpunktis ja mille haarad lõikavad ringjoont. Kesknurka mõõdetakse kraadides. AOB on kesknurk 34.Ringjoone kaar Ringjoone kahe punkti vahele jäävat osa nimetatakse ringjoone kaareks. Kaart mõõdetakse kraadides. Kaks punkti jaotavad ringjoone kaheks kaareks. AB on kaar. 35.Ringjoone kõõl Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti
20. Trapetsi kesklõik, selle omadused. Lõiku, mis ühendab trapetsi haarade keskpunkte, nimetatakse trapetsi kesklõiguks. Trapetsi kesklõik on paralleelne alustega ja võrdub aluste aritmeetilise keskmisega. Trapetsi pindala on võrdne kesklõigu ja kõrguse korrutisega. 21. Kolmnurga mediaan. Mediaanide lõikepunkti omadus. Kolmnurga kõrgus. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tipu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik mediaanid lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust selle tipu vastasküljele või selle pikendusele tõmmatud ristlõiku ja samuti selle ristlõigu pikkust. 22. Ringjoon, ring. Ringjoon on punktide hulk, mille kaugused ringjoone keskpunktist on võrdsed. Ring on ringjoonega piiratud tasandi osa. 23. Kesknurk, ringjoone kaar, kõõl. Kesknurk on nurk, mille tipp asetseb ringjoone keskpunktis ja haaradeks on raadiused.
osakeste raskusjõudude resultant keha mistahes asendi puhul ruumis. 82.Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense ruumilise keha korral. 83.Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense tasapinnalise keha korral. 84.Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense varraskonstruktsiooni korral. 85.Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Homogeense kolmnurga raskuskese asetseb mediaanide lõikepunktis, mis jaotab mediaanid osadeks vahekorras vastavalt ja . Tema leidmise valemid on:
Kõrguste lõikepunkti juurde tekib 6 nurka, mis on paari kaupa võrdsed kui tippnurgad. Iga kürguse joonestamisel jaotub antud NB võrdkülgse kolmnurga puhul lõikuvad kolmnurk kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, samas punktis nii kõrgused, nurgapoolitajad, mille üks teravnurk on kolmnurga nurk ja küljepoolitajad kui ka mediaanid teine terav nurk on osa kolmnurga mingist nurgast. Kolmnurga kolmas nurk 180°-70°-30°=80°. 90°-80°=10° 70°-10°=60°, 30°-10°=20° Otsitavad nurgad on 90°-60°=30°,
· Efektiivne hinnang on nihketa vähima dispersiooniga hinnang kõigi nihketa hinnangute seas. Mõlemad hinnangfunktsioonid on nihketa. · Hinnangute dispersioone tasub võrrelda vaid nihketa Valimite mediaanid hajuvad rohkem. hinnangute korral, kuna hinnangu väike dispersioon ei ole eesmärk omaette. Demo: hinnangu efektiivsus
asjast: presbycusis ja sociousis. Presbycusis on kuulmise kaotuse protsess normaalse vananemise käigus. Sociousis puudutab kuulmise kaotust põhjustatuna mitte tööst põhjustatud müra läbi nagu majapidamismüra, televiisor, raadio, liiklus jne. Loomulikult võib ühe inimese mittetöine müra olla teise inimese jaoks tööst põhjustatud. Ühesõnaga välistab sociousis regulaarse liigsele valjule mürale alistumise. Joonisel 3 on näidatud meeste ja naiste kuulmise kaotuse mediaanid erinevatel vanustel. Kuulmise kaotamise mõõtmine Kuulmise kaotust mõõdetakse, et kindlaks määrata inimese kuulmisvõimet. Sellistes testides mõõdetakse inimese kuulmist eri sagedustega et kindlaks määrata nende kuulmise kaotus iga sagedusega. Üldine kuulmise kaotus hinnatakse eri sageduste tulemuste põhjal. Joonis 3. Meeste ja naiste kuulmise kaotus vanusest sõltuvalt. (1, lk 596) Kuulmise kaotus kutsehaigusena
81 125 122 126 132 122 106 119 102 136 124 112 129 123 80 116 143 85 152 153 83 95 127 133 147 146 123 168 120 95 92 126 99 122 135 128 114 98 144 111 134 110 119 146 103 152 96 134 154 125 147 86 117 133 127 122 90 91 108 140 120 116 96 118 114 98 106 105 106 111 89 123 125 95 113 125 174 131 130 104 124 94 105 117 115 101 97 111 114 124 119 138 98 130 98 65 200 N3 NÄIDE Mediaani leidmine Leitud on antud arvukogumite mediaanid 1 1 25 3 3 5 4 Paaritu arvu 4 Paarisarvu 2 Excelis ei pea mediaani 5 elementide korral 4 elementide korral 5 leidmiseks arve eelnevalt
Kõrguste lõikepunkti juurde tekib 6 nurka, mis on paari kaupa võrdsed kui tippnurgad. Iga kürguse joonestamisel jaotub antud NB võrdkülgse kolmnurga puhul lõikuvad kolmnurk kaheks täisnurkseks kolmnurgaks, samas punktis nii kõrgused, nurgapoolitajad, mille üks teravnurk on kolmnurga nurk ja küljepoolitajad kui ka mediaanid teine terav nurk on osa kolmnurga mingist nurgast. Kolmnurga kolmas nurk 180°-70°-30°=80°. 90°-80°=10° 70°-10°=60°, 30°-10°=20° Otsitavad nurgad on 90°-60°=30°,
a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R .
a 5. PLANIMEETRIA 40 5.1 Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o, 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c 2R .
korral. xc = A x A yc = A y A 90.Kirjutada valemid raskuskeskme leidmiseks homogeense varraskonstruktsiooni korral. 10 xc = l x l yc = l y l zc = l z l 91.Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Kolmnurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis, mis jaotab mediaanid osadeks vahekorras 1/3 ja 2/3. 92.Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on pidev joon, mille joonistab liikuv punkt antud taustsüsteemi suhtes. 93. Mis on punkti liikumise trajektoor ja kuidas seda leida juhul, kui liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Punkti liikumise trajektoor on pidev joon, mille liikuv punkt joonistab antud taustsüsteemi suhtes. Descartes'i ristkoordinaatide korral: x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 94
ha aha bhb chc Pindala S = 2 = 2 = 2 a 1 1 1 ha : hb : hc =a : b : c . Mediaanid ehk küljepoolitajad C 1. lõikuvad ühes punktis 2. BO:OF = CO:OD = AO:OE = 2 : 1 3. Mediaan jaotab kolmnurga kaheks pind- võrdseks osaks, näiteks SADC = SDBC F ma 4
kulutatakse. Kui lugejate hulk näitab ajalehtede populaarsust, siis lugemisele kuluv aeg näitab selle kvaliteeti ja põhjalikkust. Loomulikult on need näitajad lugemise põhjalikkuse kohta järelduste tegemiseks vaid üheks võimalikuks variandiks. Eri vastajagruppide tulemuste mediaane võrreldes selgus ootuspäraselt, et vanemate klasside õpilased loevad ajalehti kauem: kui 5. klassis olid poiste ja tüdrukute vastuste mediaanid vastavalt 13 ja 20 minutit, siis 11. klassis olid need juba 20 ja 28 minutit. See tähendab, et kuigi vanematest õpilastest loeb ajalehti väiksem osa kui noorematest, siis suuremaks saades loetakse kauem ning seega põhjalikumalt. Tüdrukutest ei loe ajalehti nii suur osa kui poistest, kuid tüdrukud loevad kauem. 2.2.3. Küsimus 4.2. Erinevate ajaleherubriikide populaarsus Ajalehtede lugejate hulk ja lugemise keskmine aeg iseloomustavad ajalehelugemist küll hästi,
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
