Kolmnurga sisenurkade summa (Teoreem) Koostaja: Egert Kruberg 2011 Kui suur on siis kolmnurga sisenurkade summa? Teoreem: Kolmnurga sisenurkade summa on 180(Kraadi). Eeldus:On antud ABC sisenurkadega (alfa; beeta ja gamma) Väide: alfa + beeta + gamma = 180(Kraadi) Tõestus Tõmbame läbi tipu C küljega AB paralleelse sirge. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Seejärel pikendame külgesid AC ja BC üle tipu C. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Sellisel viisil tekivad tekivad tipu C juurde nurgad: Alfa; Beeta ja Gamma. Click to edit Master text styles Second level ...
docstxt/14581517463234.txt
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 500000000...
Põhikooli matemaatikakursuse põhivalemid Tehe Valem 1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine ...
Matemaatika 8 klass Kõrvunurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille üks haar on ühine ja teised moodustavad sirge. Kõrvunurkade omadus: kõrvunurkade summa on 180kraadi. Tippnurkadeks nimetatakse kahte nurka, kus ühe haarad on teise haarade pikendused üle ühise tipu. Tippnurki on alati kaks paari! Tippnurkade omadus: tippnurgad on võrdsed. Põiknurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on teine teiselpool lõikajat ja mille haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Lähisnurkadeks nimetatakse kahte nurka, mille sisepiirkonnad on ühel ja samal pool lõikajat ning haarad lõikajal on suunatud teineteisele vastu. Kui põiknurgad on võrdsed, siis lähisnurkade summa on 180kraadi ja sirged on paralleelsed. Kui põiknurgad ei ole võrdsed, siis ka lähisnurkade summa ei ole 180kraadi ja sirged ei ole paralleelsed. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. Rööpkülikuks ...
Nelinurgad Nelinurk Omadused Ümbermõõt Mõiste Joonis Pindala Ruut 1. Kõik küljed on võrdsed. P= 4a Ruuduks nimetatakse ristkülikut, mille kõik küljed on 2. Vastasküljed paralleelsed. S= 4² võrdsed. 3. Kõik nurgad 90°. 4. Lähisnurkade summa 180°. 5. Diagonaalid poolitavad teineteist ja on risti. 6. Sisenurkade summa 360°. ...
Defineerimine ja tõestamine. Planimeetria elemente. Kordamine Matemaatika 8.klass Rita Punning Krootuse Põhikool Kordavad teemad ehk millest täna räägime: Defineerimine, teoreem, eeldus, väide, pöördteoreem; Kõrvu-, tipp-, kaas-, põik-, lähisnurgad; Sirgete paralleelsus; Rööpkülik, kolmnurk; Kolmnurga ja trapetsi kesklõigud; Kolmnurga mediaanid. 2 Defineerimine Mõiste täpset ja lühidat määratlemist nimetatakse selle mõiste defineerimiseks. Mõisted, mida ei defineerita, nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. ...
Defineerimine ja tõestamine Raudvara 1. Hulgad Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites: A B Näide: Olgu meil hulgad A = {1;5;7;4} ja B = {5;7;6}, siis A B = {5;7} Kui x A B, siis see tähendab x A ja x B. Sümbolites: x A x B Moodustades kahest hulgast A ja B uue hulga, millesse kuuluvad kõik hulga A ja B elemendid kordusteta saame hulkade A ja B ühendi. Sümbolites: A B (hulkade A ja B ühend) Näide: Olgu meil samad hulgad A ja B, siis A B ={1;4;5;6;7} Kui x A B, siis see tähendab, et x A või x B. Sümbolites: x A x B - kuuluvuse märk - ühisosa märk - sidesõna ,,ja" - ühendi märk - sidesõna ,,või" - 2. Defineerimine Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist. Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näitek...
Raudvara ptk.3 Defineerimine ja tõestamine Hulkade ühisosa ja ühend Kui kahes hulgas on ühiseid elemente, siis öeldakse, et need elemendid moodustavad hulkade ühisosa. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühisosa on c, d ja e. Ühend on kahe hulga kõik elemendid kokkupandult. A = {a; b; c; d; e} B = {c; d; e; f} Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja ...
TEOREEMID 1. Kahega jaguvuse tunnus - Arv jagub 2-ga siis, kui arvu üheliste number on paarisnumber, vastasel juhul mitte 2. Kolmega jaguvuse tunnus - Arv jagub 3-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 3-ga, vastasel juhul mitte 3. Viiega jaguvuse tunnus - Arv jagub 5-ga siis, kui arvu üheliste number lõppeb 0 või 5-ga, vastasel juhul mitte 4. Üheksaga jaguvuse tunnus - Arv jagub 9-ga siis, kui arvu ristsumma jagub 9-ga, vastasel juhul mitte 5. Kümnega jaguvuse tunnus - Arv jagub 10-ga siis, kui arvu üheliste numbes lõppeb 0-ga, vastasel juhul mitte 6. Tippnurkade omadus - Tippnurgad on võrdsed 7. Kõrvunurkade omadus - Kõrvunurgad on kõrvuti nind need on võrdsed 8. Võrdhaarse kolmnurga alusnurkade omadus - Alusnurgad on võrdsed 9. Võrdhaarse kolmnurga kõrguse omadus - Kõrgus poolitab aluse 10. ...
Uued mõisted · Asendusvõte 1. Avaldan ühest võrrandist ühe tundamatu 2. Asendan saadud avaldise teise võrrandisse avaldatud tundmati kohale 3. Lahendan saadud võrrandi 4. Asendan saadud tundmatu väärtuse ühte võrrandisse 5. Teen kontrolli esialgse võrrandi süsteemi põhjal 6. Kirjutan vastuse · Defineerimine ja tõestamine 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse kolmnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis läbib ringjoone keskpunkti ja ühendab ringjoone kaht punkti. 5. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis poolitab ringjoone. 6. Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmanurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalar...
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiiv...
RAUDVARA 3. PEATÜKK DEFINEERIMINE JA TÕESTAMINE 1. HULKADE ÜHISOSA JA ÜHEND *Kui kahes hulgas A ja B on ühiseid elemente, siis öeldakse, et need elemendid moodustavad hulkade A ja B ühisosa. Sümbolites : A B *Ühendi saame siis, kui võtame mõlemast osapooles olevad arvud või tähed. Märk tähendab sidesõna ,,ja" Märk tähendab ,,ühisosa" Märk U tähendab ,,ühend" Märk V tähendab sidesõna ,, või" 2. DEFINEERIMINE * Defineerimine Küsimusele vastamine on mõistele definitsiooni andmine. * Algmõiste Mõiste alguses olev mõiste. * Definitsioon Annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele ,,Mida nim?Mis on...? 3. TEOREEM * Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda teoreemiks. * ...
TÄISNURKSE KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Täisnurkse kolmnurga teravnurkade summa on . Pythagorase teoreem: täisnurkses kolmnurgas kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenussi ruuduga. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on selle nurga vastaskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on selle nurga lähiskaateti ja hüpotenuusi suhe. Täisnurkse kolmnurga teravnurga tangens on selle nurga vastaskaateti ja lähiskaateti suhe. Täisnurkse kolmnurga pindala võrdub kaatetite poolkorrutisega või hüpotenuusi ja sellele joonestatud kõrguse poolkorrutisega MIS TAHES KOLMNURGA TRIGONOMEETRIA Kolmnurga sisenurkade summa on . Kolmnurga külgede pikkused on võrdelised vastavate vastasnurkade siinustega. Kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede ja nendevahelise nurga koosinuse kahekordne korrutis. Mis tahes k...
Matemaatika 9.klass 1.Ühenimeliste murdude summa on murd,mille nimetajaks on murdude ühine nimetaja ja lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutj...
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahut...
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk + + = 180 o 2. Siinusteoreem a b c = = = 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin a +b +c S= ; S= ; S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) ; p= ; 2 2 2 abc S = pr ; S= 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaanid lõikuvad ühes...
PLANIMEETRIAKURSUSE KORDAMINE GÜMNAASIUMI LÕPUEKSAMIKS. KOLMNURGAD 1. Kolmnurga sisenurkade summa on sirgnurk 180 o 2. Siinusteoreem a b c 2R sin sin sin 2. Koosinusteoreem a 2 b 2 c 2 2bc cos b 2 a 2 c 2 2ac cos c 2 a 2 b 2 2ab cos 4. Pindala valemid. ch ab sin abc S ; S ; S p ( p a )( p b)( p c) ; p ; 2 2 2 abc S pr ; S 4R 5. Kolmnurga kõrgus (h on ristlõik külje ja selle vastastipu vahel) , mediaan (m on lõik külje keskpunkti ja selle vastastipu vahel. Mediaan...
Kolmnurga kesklõik DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest. EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB) VÄIDE: 1) 2) 1) DE = EF , CE =EB, , (tunnus KNK) BF = DC BF = DC ja DC = AD BF =AD. põiknurgad võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik. ABFD on rööpkülik, siis on 2) DF = AB (rööpkülik) Järelikult on siis Eukleidese teoreem Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Peame näitama, et ja , kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid. , sest mõlemad on . Analoogsel põhjusel on Kolmnurga s...
Planimeetria kordamiseks Kõrvunurgad 2 nurka, millel on üks ühine haar ja teised haarad moodustavad sirge. 180° Tippnurgad nurgad, mis on ühe ja sama nurga kõrvunurkadeks. Tippnurgad on võrdsed. Kahe sirge lõikamine kolmandaga kaasnurgad, põiknurgad, lähisnurgad. Kahe paralleelse sirge lõikamisel kolmandaga: 1. kaasnurgad võrdsed; 2. põiknurgad võrdsed; 3. kahe lähisnurga summa on 180°. Kiirteteoreem: Nurga haarade lõikamisel paralleelsete sirgetega on ühel haaral tekkinud lõigud võrdelised teisel haaral tekkinud vastavate lõikudega. ...
Kolmnurk P=a+b+c Kolmnurga liigid Nurkade järgi: 1. täisnurkne kolmnurk Täisnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on 90°. 2. nürinurkne kolmnurk Nürinurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille üks nurk on suurem kui 90°. 3. teravnurkne kolmnurk Teravnurkseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik nurgad on kõik väiksemad kui 90° Külgede järgi: 1. erikülgne kolmnurk Erikülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on ebavõrdsed 2. võrdhaarne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kaks külge on võrdsed. 3. võrdkülgne kolmnurk Võrdkülgseks kolmnurgaks nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed. · Kolmnurga kõrguseks nimetatakse ristlõiku kolmnurga tipu ja külje vahel. (...
PLANIMEETRIA Kolmnurk Kolmnurga sisenurkade summa on 180o , + + = 180o . Kolmnurga kõrgused lõikuvad ühes punktis. Kolmnurga nurgapoolitajad lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga siseringjoone keskpunktiks (raadius r on keskpunkti kaugus küljest). Kolmnurga mediaanid (küljepoolitajad) lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani suhtes 2:1 vastavast tipust arvates. Kolmnurga külgede keskristsirged lõikuvad kõik ühes punktis, mis on kolmnurga ümberringjoone keskpunktiks (raadius R on keskpunkti kaugus kolmnurga tipust). Siinusteoreem: kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ehk a b c = = = 2R . sin sin sin Koosinusteoreem: kolmnurga ühe külje ruut on võrdne ülejäänud külgede ruutude summaga, millest on lahutatud ...
3.ptk Defineerimine ja tõestamine 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkade ühisosa - ühised elemendid; Ül.564 tähis ; NB tehe hulkadega 2.Hulkade ühend - hulk, millesse kuuluvad Ül.567 ühe hulga kõik elemendid ja teise hulga need elemendid, mis esimesse hulka ei kuulunud; tähis ; NB tehe hulkadega 3.Matemaatilised sümbolid - hulkade ühisosa matemaatikale iseloomulik hulkade ühend nn.kokkuleppeline keel, et teksti lühidalt element kuulub hulka kirja panna (võit ajas ja ruumis) element ei kuulu hulka sidesõna "ja" sidesõna "või" hulga osahulk, "ei ole osahulk" kriipsutatakse sama tähis läbi ...
Eukleides Eukleides oli kreeka matemaatik , keda tuntakse ka geomeetria isana. Tema elust ei teata muud, kui et ta tegutses ja õpetas Aleksandrias 3. sajandi alguses enne meie ajaarvamist. Ta on esimeste peaaegu täielikult säilinud matemaatikaalaste teoste autor. Tema tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev ,,Elemendid", sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetriat ehk geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata uuritakse lihtsamate kujundite põhilisi omadusi. See teos oli ilmumisajast kuni 20. sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, opti...
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pikk...
ISESEISEV TÖÖ nr. 2 Rööpkülik · Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paralleelsed. · Joonis nr. 1. · Vastasküljed on võrdse pikkusega, 2 paari paralleelselt ja võrdse pikkusega külgi. · Vastasnurgad on võrdsed. A=C B=D Reeglina 1 paar teravnurgad ja 2 paar nürinurgad. Rööpküliku lähisnurkade summa on 180°. Lähisnurgad on 1 külje erinevaes otstes olevad nurgad. A+C=180° A+D=180° D+B=180° B+C=180° · Rööpküliku diagonaalid poolitavad teineteist. Joonis nr. 2. BE= DE AE=CE · Ristkülikut, mille üks nurk on 90°, nimetatakse ristkülikuks. · Joonis nr. 3. a) JAH, B+C=180° b) JAH, A+C=180° A= 90° B=90° C=90° D=90° · Rööpküliku ümbermõõtu arvutatakse valemiga P= 2(a+b). Rööpküliku pindala saab arvutada kahe valemiga. (Laius korrutada kõrgusega). 1) S=ah1 2) S= ah2 Joonis nr 4. · Vaatlen joonist nr. 4. Leian rööp...
Pärnu Niidupargi Gümnaasium Koostas: KAJA ORAV Töölehed VIII klassile 2002/2003 õppeaasta Antud elektroonilised töölehed on mõeldud VIII klassi matemaatika mõistete, geomeetria ülesannete ning tehete kohta üks-ja hulkliikmetega kursuste iseseisvaks kordamiseks või teadmiste kontrollimiseks. Iga küsimuse lõpus oleva rohelise kastikese täitmine õige vastuse ees oleva tähega annab järgmisele reale liikumise korral tulemuseks ÕIGE. Kui Te ei leidnud esimesel korral õiget vastust, siis võite uuesti proovida. JÕUDU TÖÖLE! Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) tundmatuteks; e) eeldusteks. Lauseid, mida pole keegi tõestanud, aga mille tõesuses pole põhjust kahelda nimetatakse a) algmõisteteks; b) teoreemideks; c) aksioomideks; d) eeldusteks; e) Thaleese teoreemideks. Kolmnurga mediaan on kolmnurga a) nurg...
VanaKreeka matemaatik Pythagoras U. 569 eKr- 475 eKr Kertu Saaroja Pythagorase elust Sündis Samoses (Kreekas). Isa Mnesarchus oli kaupmees, tuli Tyre'st. Ema Pythaisi sünnikohaks oli Samos. Lapsepõlv Samoses, kuid rändas isaga ringi. Rännates õppis ta paljude õpetlaste käe all, omandas hea hariduse. Oskas mängida lüüral, tundis poeesiat. Tee matemaatika juurde leidis ta Thales'i ja tema õpilase Anaximanderi kaudu Oli mõned aastad Egiptuses, kus ta külastas paljusid templeid ja pidas preestritega diskussioone. U. 520 eKr naasis ta Samosesse, kus asutas kooli mida nimetati Semicircle'ks (poolringiks). Uskumuste kohaselt suleti see kool paari aasta pärast raskete õpetamismeetodite tõttu Koolis tegeldi · matemaatikaga · filosoofiaga · loodusteaduste · poliitikaga · muusikaga Kool...
GEOMEETRIA Eksam 9.klass 1. (1996) Võrdhaarse kolmnurga haar on 1,3 dm ja alusele tõmmatud kõrgus 0,5 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt. 2. (1996) Täisnurkse trapetsi teravnurk on 71° ning alused 35 cm ja 28 cm. Arvuta trapetsi pindala. 3. (1997) Ristküliku diagonaal on 25 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 650. Arvuta ristküliku ümbermõõt. 4. (1997) Ristküliku diagonaal on 15 cm ja ta moodustab ristküliku ühe küljega nurga 350. Arvuta ristküliku pindala. 5. (1997) Täisnurkse kolmnurga kaatetid on 2,4 cm ja 3,2 cm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 6. (1997) Täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on 1,5 dm ja kaatet 1,2 dm. Arvuta kolmnurga ümbermõõt ja pindala. 7. (1998) Kahe sarnase ristküliku ümbermõõdud on 54 cm ja 10,8 cm. Suurema ristküliku üks külg on 10 cm. Arvuta väiksema ristküliku pindala. 8. (1998) Võrdhaarse kolmnurga...
Lõikuvad sirged Sirged, millele on üks ühine punkt. Ristuvad sirged Sirged, mi,s lõikuvad 90 kraadise nurga all. Kolmnurga kõrgus Lõik, mis on joonestatud kolmnurga tipust vastasküljeni ja mis on sellega risti. Ruut Nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad ja küljed on võrdsed. Ringjoone diameeter Lõik, mis läbib kahte punkti ringjoonel ja keskpunkti. Täisnurkne kolmnurk Kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk. Algarv Arv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga. Kordarv Arv, millel on rohkem kui kaks tegurit. Liigmurd Murd, mille lugeja on nimetajast suurem Lihtmurd Murd, mille nimetaja on lugejast suurem Sirgnurk Nurk, mis on 180 kraadi Paralleelsed sirged Sirged, millel puudub ühine punkt Romb Nelinurk, mille küljed on võrdsed. Naturaalarvu tegur Arv, millega naturaalarv jagub Naturaalarvu kordne Arv, mis jagub naturaalarvuga. Taandamine Lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. Laiendamine...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge. ...
Mõisted ja valemid 1. Kaht sirget, millel on ainult üks ühine punkt, nimetatakse lõikuvateks sirgeteks. 2. Kolmnurga tipust vastasküljeni tõmmatud ristlõiku nimetetakse kolnurga kõrguseks. 3. Ruuduks nimetatakse võrdsete lähiskülgedega ja võrdsete lähisnurkadega nelinurka. 4. Ringjoone diameetriks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti ja mis peab läbima ringjoone keskpunkti. 5. Ringjoone kõõluks nimetatakse lõiku, mis ühendab ringjoone kaht punkti. 6. Kolmnurka, mille üks nurk on täisnurk nimetatakse täisnurkseks kolmnurgaks. 7. Algarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on ainult kaks tegurit. 8. Kordarvuks nimetatakse naturaalarvu, millel on enam kui kaks tegurit. 9. Hariliku murdu, mille lugeja on nimetajast suurem, nimetatakse liigmurruks. 10. Sirgnurgaks nimetatakse nurka, mille haarad moodustavad sirgjoone. 11. Paralleelseteks sirgeteks nimetatakse sirgeid, millel ühised punktid ...
Platoni arvates on olemas meeleline maailm, mida me näeme, saame käega katsuda jne, kuid on olemas ka ideede maailm, mida on võimalik "näha" ainult mõistusega. Tõeliselt on olemas ainult see, mis ei teki, ei muutu ega hävi. Meelelise maailma asjad on kunagi tekkinud, nad muutuvad ja hävivad kunagi. Meelelises maailmas pole midagi püsivat, jäävat. Seega pole meelelise maailma objekte tõeliselt olemaski. Aga mis siis on tõeliselt olemas? Tõeline on Platoni järgi ideede ehk eidoste (kr eidos) maailm. Ideed on muutumatud. Neid ei saa hävitada. Neid ei teki juurde. Näiteks võib inimene nooruses olla ilus, kuid muutuda inetuks vanas eas või siis mingi haiguse tagajärjel. Lk35 Inimeste teadmised nähtuste kohta üha laienevad, kuid inimene ei saa tunnetada asja iseeneses sellisena, nagu ta tegelikult on, s.t väljaspool tunnetuse aprioorseid vorme. Analoogia võiks siin olla näiteks selline: kuiinimestel oleksid ees värvilised prillid ja nad ei s...
GEODEESIA EKSAMI KOKKUVÕTE 1. Geodeesia on teadusharu, mis vaatluste ja mõõdistamiste tulemusena määrab terve maakera kuju ja suuruse, objektide täpsed asukohad ja ka raskusjõu väärtused ja selle muutused ajas. Teiste erialadega on seotud: füüsika, matemaatika, geograafia, geofüüsika, astronoomia, kartograafia jne. 2. Geoid- keha, mille pinnaks on merede ja ookeanide rahulikus olekus pind, mida on mõtteliselt laiendatud mandrite alla ning mille raskuskiirenduse väärtused on kõikides punktides ühesugused. Ekvaatoriaal-pooltelg 6 378 137m Polaartelg 6 356 752m Ekvatoriaal P 40 075 km Keskmine R 6 371 km 3. Laiuskoordinaat (j) on nurk ekvaatori ja antud punkti läbiva paralleeli vahel. Ekvaatorist põhja poole jäävad laiused on põhjalaiused (muutuvad ekvaatorilt 0° kuni põhjapooluseni 90°N) ja lõuna poole jäävad on lõunalaiused (0°...90° S). Pikkuskoordinaat (l) on kokkuleppelise nullmeridiaani ja...
Antsla Gümnaasium DEVIA PAAP MARILIN NIILUS 8A klass KOLMNURKADE LIIGITAMINE Referaat Juhendaja: õpetaja SIGNE KINNAS Antsla 2008 1 Sisukord Sissejuhatus..........................................................................................................................................3 1. Kolmnurk..........................................................................................................................................4 1.1. Kolmnurga nurgad.........................................................................................................................5 1.2. Kolmnurga küljed..........................................................................................................................6 2. Täisnurkne kolmnurk.....................................
PLANIMEETRIA KORDAMINE NELINURGAD RÖÖPKÜLIK Vastasküljed on paralleelsed ja võrdsed Vastasnurgad on võrdsed Diagonaalid poolitavad teineteist Diagonaal jaotab rööpküliku kaheks pindvõrdseks kolmnurgaks Lähisnurkade summa on 180º ( Diagonaalide ruutude summa on võrdne külgede ruutude summaga: d 12 + d 22 = 2 a 2 + b 2 ) Ümbermõõt. P = 2( a + b ) Pindala: S = ah S = a b sin ROMB On võrdsete külgedega rööpkülik, seega on rombil kõik rööpküliku omadused. Lisaks on rombi diagonaalid risti ja poolitavad rombi nurgad, Rombi kõrgused on pikkuselt võrdsed. 1 Rombi diagonaalide lõikepunkt on siseringjoone keskpunkt r = h 2 d 12 + d 22 = 4a 2 Ümbermõõt: P = 4a Pindala: S ...
3.5 KOLMNURGA LAHENDAMINE Kolmnurk on üheselt määratud järgmiste andmetega, mis ühtlasi määravad ära ka sobivaimad lahendusvõtted: · kaks külge ja nendevaheline nurk lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · üks külg ja selle lähisnurgad lahendame siinusteoreemi abil; · kolm külge lahendamist alustame koosinusteoreemi abil; · kaks külge ja pikema külje vastasnurk lahendamist alustame siinusteoreemiabil. Lisaks siinus- ja koosinusteoreemile tuleb arvesse võtta järgnevat: · kolmnurga sisenurkade summa on 180o; · kolmnurga kahe lühema külje summa on suurem kolmnurga kolmandast küljest; · suurema külje vastas asub suurem nurk. Kui ülesanne on lahendatud, tuleb kontrollida, kas need tingimused on täidetud. Näide 1. Lahendame kolmnurga, kui a = 3 cm, b = 5 cm ja = 40o. Antud: a = 3 cm b = 5 cm = 40o Leia c, , ja S, a b = ...
Paljud inimesed on üksikud, sestehitavad sildade asemel seinu Me elame üksteisega külg-külje kõrval ja võime kogeda, et püüdlus eraklikule eluviisile on saanud üpris võimatuks. Me sünnime maailma olles üldjuhul ümbritsetud rohkearvulisest toetajaskonnast, kellest osa aastaid meie eest, meile endile sõnagi andes, distsiplineeritult hoolt kannavad. Ometi kasvades ja arenedes jõuame ühel hetkel mõistmiseni, et meid on jäetud ihuüksinda, õigemini me oleme seda alati olnud ja oleme edaspidigi ning kõige kohutavam avastus on, et see üksindus, millest me vabaneda soovime on tervenisti meie endi süü. Läänekultuurses maailmas, kus me elame, on psühholoogilisel tasandil enamjaolt rõhk pandud välisele elukvaliteedi edendamisele ning individuaalsele arengule. Ühiskond ei ole andnud meile piisavaid võimalusi oma seesmiseks arenguks ja ega suurem hulk inimesi neid tõenäoliselt ka otsima ei lähe, kui just päris kätte ei tooda. Võimalik, et sel...
Andrus Tool / Klassikaline saksa filosoofia / FLFI.01.020. 2. teema: puhta matemaatika võimalikkuse tingimused. (“Prolegomena …”: §§ 6-13 ja lk. 46-55) Probleemsituatsioon. Puhas matemaatika on üldise ja paratamatu kehtivusega teadmine, seetõttu peab ta eelduste kohaselt, millest Kant lähtub, olema aprioorne teadmine. Samas on Kanti veendunud, et matemaatika on mitte analüütiline ja diskurssiivne, s.t. mõistetest tulenev teadmine, vaid sünteetiline – kaemusele toetuv intuitiivne teadmine. Seletamist vajabki siin nüüd see, kuidas saab üks ja sama teadmine olla ühtaegu nii aprioorne kui ka kaemusele toetuv? Tundub enesestmõistetav, et need kaks iseloomustust välistavad teineteist. Lisaks vajab seletamist ka see, kuidas saab matemaatika kui aprioorne teadmine siiski leida loodus- teadustes edukat rakendamist empiiriliste loodusnähtuste kirjeldamiseks? Newtoni füüsika on reaalselt olemasolev, empiirilist rakendust omav teadus ja ühtlas...
1. Teoreemid ja mõisted kolmnurgast 2. Mediaanlõik - Kolmnurga mediaaniks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga tipust vastaskülje keskpunkti tõmmatud lõiku või selle pikkust. Kolmnurgal on kolm mediaani. Kõik nad lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse mediaanide lõikepunktiks. Jaotab tipupoolse osa suhtes alumise osaga 2:1. 3. Kesklõik - Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks. Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.Nende ristumiskoht on kolmnurga ümberringjoone 4. Nurgapoolitaja – nurgapoolitajaks nimetatakse tipust lähtuvat kiirt, mis poolitab nurga kaheks võrdseks nurgaks. Nende ristumiskoht on siseringjoone keskpunkt. 5. Hüpotenuus - Hüpotenuus on täisnurga vastaskülg täisnurkses kolmnurgas. 6. Kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi. 7. Kolmnurgal on kolm nurka ja kolm külge....
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn a>0 d = 2r r= a = a = - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn 0, kui a = 0 (a...
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r= a = a = ⎨ - a, kui a p 0 2 2 (a-b)(a+b)=a2-b2 (ab)n=an bn ...
Ülesanne 1 Aksioom (kreeka keeles axima 'see, mis on vääriline') tähendab üldkeeles väidet, mille tõesuses pole kahtlust. Algarvuks nimetatakse ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid arvuga 1 ja iseendaga. Algarvude hulk on lõpmatu. Sajast väiksemad algarvud ((100) = 25) on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ja 97. Kaksikuteks nimetatakse selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunkt...
NB!!!!! kõik piltidel valitud vastused ei pruugi olla 100% õiged ja teemade sisuküsimused koos vastustega on enesetestide vastused, mida saab peamiselt kasutada 3 punktilistes testides (kui on kaks ei ole õiget ja kolmas on ?-siis ?=õige) ja 6 punktilistes, 8-stes testides tuleb otsida pdf õppematerjalidest. Küsimuste variante on erinevaid ja siin ei pruugi olla kõiki olemasolevaid variante. I TEEMA 1. Ratsionalismi seisukoht on, et A Õige! tõsikindel teadmine ei pärine kogemusest. B vale! kõik teadmised pärinevad mõistusest enesest. vale! kogemus ei mängi tunnetuses olulist rolli. 2. Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada kogemuse põhjal. C ? 2+3=5 D Õige! Pooled tudengitest käivad tööl. ? Poisid on meessoost 3. John Locke'i arvates ("Essee inimmõistusest") pärinevad aistingutest näiteks järgmised ideed: E Õige! kollase, külma ja magusa ideed F...
filosoofia 1. Enesetest 1 Millise väite paikapidavuse üle saab otsustada kogemuse põhjal. a Õige! Pooled tudengitest käivad tööl. 2 Ratsionalismi seisukoht on, et a Õige! tõsikindel teadmine ei pärine kogemusest. 3 Leibnizi arvates ("Uued esseed inimmõistusest" Eessõna) a Õige! on mõned tõed sünnipäraste printsiipide alusel tõestatavad 4 Bertrand Russelli arvates sarnaneb filosoofia teadusega, sest a Õige! Mõlemad tunnistavad inimmõistuse autoriteeti. 5 Matemaatika eksamil kirjutab üks tudeng teise pealt ülesande lahenduskäigu maha, tehes mahakirjutamisel paar näpuviga. Vastus on mõlemal õige. Kas mahakirjutaja teab õiget vastust? a Õige! Mahakirjutaja teab õiget vastust vaid siis, kui ta lahenduskäigust aru saab ning on võimeline näpuvead üles leidma 6 Milline järgmistest väidetest väljendab empiirilis...
5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk 8.klass Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk. kolmas täht vahele) ja tõmmatakse kohale joonestada kõõlude otspunktidesse raadiused kaareke; mõõdetakse kaarekraadides; kõõl: tekivad kaks võrdkülgset kolmnurka ringjoone kaht punkti ühendav lõik, kõige iga nurk on 60° pikem kõõl on ringjoone diameeter kõõlude vahele jääb kaks sellist nurka seega kõõlude vaheline nurk on 2 60°=120° NB kesknurk suurusega 1° toetub kaarele, mis moodustab ringjoonest 2.Kesknurk - ring...
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü ...
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus ...
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 ...
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kapa Χ χ hii Λ λ lam...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
