Nivelleerimisvõrgu tasandamine. Ülesanne 1. Tabelis 1 on antud lahtise nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Lähtepunktide kõrgused on HA=34,286 m ja HB= 41,522 m. Koostada mõõtmistulemuste võrrandid ja maatriksid ning leida tundmatute punktide kõrgused ja standardhälbed ning mõõtmistulemuste parandid vähimruutude meetodil. Koostada tasandustulemuste koondtabel(Tabel 10). Tabel 1.Nivelleerimiskäigu mõõtmisandmed. Vastavalt lähteandmetele koostame parameetrilised võrandid geomeetrilise v nivelleerimise prototüüpvõrrandi Hj-He=ΔHej+ ΔH eeskujul. Vastavalt saame neli ej parameetrilist võrrandit: H1-HA=2,179+v1 H2-H1=3,243+v2 H3-H2=-3,797+v3 HB-H3=5,608+v4 1 Järgnevalt leiame mõõtmistulemuste kaalud w= r , kus r on reeperite vahekaugus nivelleerimiskäigus
Täisprogrammi küsimustik Selle küsimustiku järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B variantideks. Küsimustik on koostatud õppejõu konspekti põhjal. Kontrolltöödes ei küsita konspektis toodud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Mitmemõõtmeline ruum. Punktid ja nende koordinaadid. Kaugus ja selle omadused. Polaarkoordinaadid ja nende seosed ristkoordinaatidega. 2. Parameetrilised jooned mitmemõõtmelises ruumis. Vektori parameetrilised võrrandid. Vektori pikkus ja koordinaadid. Mitmemõõtmeline ruum kui afiinne ruum. Samasuunalised ja vastassuunalised vektorid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy- Schwartzi võrratus. 3. Lahtised ja kinnised kerad. Punkti ümbrus. Sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidus hulk. Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond.
1. (2,3 xy + 1,5 x y ) = 2 2 2 2.2. 3) Soorita tehted ja arvuta 0 -0 , 5 -1, 5 -4 3.2. (0,75 ) - 7,5 4 - (-2) + 81 = 0 , 25 3.1. (1,7 x y - 2,3xy ) = 2 2 2 4) Lahenda parameetrilised võrrandid küsitud -0 , 5 -2 -0 , 5 -1 3.2. 100 0,1 + 6,25 0,01 5 = 0 parameetri suhtes 4) Lahenda parameetrilised võrrandid 1 1 1 - = ;y = küsitud parameetri suhtes 4.1. x y k 1 1 1 v - v0 + = ;x a= ;v0 = 4.1
Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral. Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi võrrand ruumis: Ax + By + Cz + D = 0 Saadakse: (M0X)*n = 0 nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0. 25. Ellips (mõiste, kanooniline võrrand, tähiste selgitused).
Ühikvektor, kahe vektori vaheline nurk. Meetriline maatriks, vektorite skalaarkorrutise leidmine analüütilisel kujul. Ortogonaalsete vektorite süsteemid Ortogonaalsete vektorite süsteemide lineaarne sõltumatus. Ristbaas. Suunakoosinused. Vektorite vektorkorrutis ja segakorrutis Vektorite vektorkorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge esitamine kahe tasandi lõikejoonena. Tasandi normaalvõrrand, punkti kaugus tasandist Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest
a x b · c=skalaar. Segakorrutise omadused: 1)segakorrutis ei sõltu korrutise võrmise järjekorrast 2)kui segakorrutises 2 vektori järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised
Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 y - y1 z - z1 = = sx sy sz s = (sx ; s y ; sz ) sihivektor : Sirge parameetrilised võrrandid: Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja sihivektor x = x1 + ts x s = (sx ; s y ; sz ) y = y1 + ts y : z = z1 + ts z Kahe sirge vastastikused asendid On antud 2 sirget s ja t
kolmnurga omadus. 19) Kahe vektori vektorkorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. Vektorite a ja b vektorkorrutist tähistatakse a × b. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise tulemuseks on kolmas vektor c = a × b.Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. Vektorte vektorkorrutist võib esitada ka maatrikskujul: 20) Kolme vektori segakorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. 21) Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanooniline võrrand. 22) Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja üldvõrrand. 23) Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. 24) Analüütilise geomeetria ülesannete lahenadmine vektorkujul. 6.13. Ruumigeomeetria ülesannete lahendusi vektorkujul, lk.215 - 218. 25) Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Kanooniline võrrand tuletada. Ellipsi optiline omadus kirjeldavalt.
Nimetatakse lüli mille väljund on võrdeline sisendiga,mis esines nivoo(nii palju kui füüsikalisi suurusi,sisendi järgi)2.väljund suuruse järgi. ajavahemikul . y(t)=kx(t- ) elektrilise väljund suurusega.3.pneumaatilised, väljund suuruseks õhurõhk. Tagasiside liigid?-Neg tagasiside .Tagasiside signaal on sisendsignaaliga vastas Elektrilise liigitatakse veel omakord kahte suurde rühma: 1.parameetrilised, faasis.pos tagasiside-Signaalid samas faasis,tugevndab signaali.Teatud tugevuse sisendsuuruse toimel muutub elektriahela parameeter (takistus,mahtuvus, korral põhjustab genereerimist.Jäik tagasiside-mõjub nii staatilise kui ka induktiivsus)2.generaator andur,väljundsuuruseks emj. termopaarid. Seadist, mis dünaalilises reziimis.Elastne .Mõjub ainult siis kui väljund signaal muutub.St muundab mõõdetava füüsikalise suuruse(nt. rõhu, kiiruse vms
dokumentatsioon,tolerantsimudel,visuliseerimine, väljalõikamisel (lahutamisel) teise solidi pinnast; kahe solidi simulats.mudelid,füüsiline mudel 42.Geomeetria mudelid: 2D kokkupuutepinna ühisosa saamiseks. joonised,3D traat-karkass, 3D pinna mudelid,3D solid models, 55. CSG (Constructive Solid Geometry) Keerulised solidid on parameetrilised mudelid. 43. 2D mudel on objektide kujutamine kujundatud primitiivide puuna, mis on ühendatud Boole 2-dimensionaalsete vaadete ja lõigetega (kujutava objekti operaatorite abil. Detaili on võimalik kujundada erinevate puude 3mõõtmelist mudelit tuleb 2 mõõtmeliste vaadete kaudu abil. kujutada; vaated koosnevad 2Dpunktide,joonte,ringjoonte,kaarte 56. Voxel (Volumetric pixel) - kolmemõõtmeline väikseim
Võnkesüsteem saab energiat juurde väljastpoolt süsteemi. Seda võnkumist põhjustavat perioodiliselt muutuvat jõudu nimetatakse sundivaks jõuks. olenevalt sellest, millistele mõjudele on allutatud võnkuv süst.: 1)vabad e omavõnkumised-toimuvad süsteemis pärast seda kui süst. On saanud algtõuke ja jäetud siis omapead(niidi otsa viidud raskus) 2)ise-e autovõnkumised-sundvõnkumine, mille puhul võnkuv süst. Ise reguleerib oma võnkumist 3)parameetrilised võnkumised-sundvõnkumine, välismõju muudab perioodilidelt süsteemi mingit parameetrit · Elastsujõu mõjul toimuvad võnkumised: vedrupendliks nim. Horisontaalsel vardal hõõrdevabalt vedru elastsusjõu mõjul toimuvaid võnkumisi(füüsikaline pendel) Vastavalt hook´i seadusele on elastsusjõud suunatud tasakaaluasedi poole, max kaugus tasakaaluasendist on amplituut(A) Võrdetegur k on arvuliselt võrdne Fe=-k*deltax Fe=m*a -k*deltax=m*a a=-k*(delta)x/m
70. Kahe kiivsirge vaheline kaugus d = prn P1 P2 = s1 × s 2 Teist järku jooned. 71. Teist järku joone üldvõrrand: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 72. Ringjoon. x 2 + y 2 = R 2 Keskpunkt punktis K ( a; b ) ( x a ) 2 + ( y b) 2 = R 2 Teist järku joone üldvõrrand esitab ringjoont, kui A = C ja B = 0. 73. Ringjoone parameetrilised võrrandid x = R cos t; y = R sin t 74. Ellips on tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest antud punktist ( fookustest ) on konstantne x2 y2 suurus ( 2a ) ja on suurem fookuste vahelisest kaugusest ( 2c ). 2 + 2 = 1 ,mis on ellipsi kanooniline a b võrrand.
70. Kahe kiivsirge vaheline kaugus d = prn P1 P2 = s1 × s 2 Teist järku jooned. 71. Teist järku joone üldvõrrand: Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 72. Ringjoon. x 2 + y 2 = R 2 Keskpunkt punktis K ( a; b ) ( x a ) 2 + ( y b) 2 = R 2 Teist järku joone üldvõrrand esitab ringjoont, kui A = C ja B = 0. 73. Ringjoone parameetrilised võrrandid x = R cos t; y = R sin t 74. Ellips on tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest antud punktist ( fookustest ) on konstantne x2 y2 suurus ( 2a ) ja on suurem fookuste vahelisest kaugusest ( 2c ). 2 + 2 = 1 ,mis on ellipsi kanooniline a b võrrand.
Solid Edge Solid Works Autodesk Dassault Systemes PTC UGS 3.Järjesta CAD mudelid võimsuse kasvamise järjekorras 2D mudel 2,5D mudel 3D traatmudel 3D pinnamudel 3D tahkekeha mudel Funktsionaalne mudel Tolerantsi mudel Füüsiline mudel 4.Milleks kasutatakse CAD mudeleid tootearenduses? Dokumentatsioon Tolerantsimudel Visualiseerimine Simulatsiooni mudelid Füüsiline mudel 5.Loetleda geomeetria mudelite tüübid. 2D joonised 3D traatmudel 3D pinnamudelid 3D solid mudelid Parameetrilised mudelid 6. 2d ja 2,5D mudeli erinevus 2D objektide kujutamine 2-dimensionaalsete vaadete ja lõigetega, kujutatava objekti 3 mõõtmelist mudelit tuleb 2 mõõtmeliste vaadete kaudu kujutada 2,5D objektide kujutamine 2-dimensionaalsete lõigetega ja lisaks andmed ruumilisest asukohast 7. 3D mudelite tüübid Traatmudel Pinnamudel Tahkekeha mudel 8.3D traatmudeli iseloomustus Objektide kujutamine keha servade abil
mugavamas punktis või ääres nagu võib teha "rumala" 3D-mahtmudeli puhul. Parameetriliste mahtmudelite puhul peab kasutaja arvestama iga liigutuse tagajärgi. 7 3 Tehnoloogia Algselt arendati raalprojekteerimise tarkvara programmeerimiskeeltes nagu Fortran, aga objektorienteeritud programmeerimise meetodite arenguga on see radikaalselt muutunud. Tüüpilised moodsad parameetrilised tunnusepõhised modelleerijad vabakäe pinna süsteemid on ehitatud kasutades erinevaid C-keele mooduleid nende oma rakendusliidestega. CADi süsteemi võib vaadelda kui interaktsiooni graafilise kasutajaliidese, mitteühtlase ratsionaalse B-splaini ja/või kirjeldava mahtgeomeetria andmete vahel geomeetrilise modelleerimise kerneli kaudu. Nende seoste ootamatud võimed on loonud võimaluse digitaalseteks prototüüpideks, mis
2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9
sõltuv lahend, mis rahuldab järgmist tingimust: parameetritele arvuliste väärtuste omistamise teel on võimalik saada ainult antud LVS.i kõiki lahendeid. LVS-i lahendid, mis on saadud üldlahendist parameetritele ( kõigile või osale parameetritest) arvuliste väärtuste omistamise teel, nimetatakse antud LVSi erilahendiks. 73. Sirge võrrandid tasandil ja ruumis Sirge võrrand tasandil ruumis Parameetrilised võrrandid x ¿ s 1 t+ x0 { x ¿ s 1 t+ x0 koordinaatidest s: y ¿ s2 t + y0 S: { y ¿ s2 t + y 0 z ¿ s 3 t+ z 0 Kanooniline võrrand x−x 0 y− y 0 S: S: =
Vektorkorrutise × pikkus × on arvuliselt võrdne vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga. Kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi vektorite , ja segakorrutiseks nimetatakse vektorite ja vektorkorrutise × skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on risti vektoritega ja , mille pikkus ühtib vektoritele ja ehitatud rööpküliku pindalaga ning mille suund on antud kruvireegliga. 7. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. x1 = c1 + s1t Parameetriline: x = c + s t Kanooniline: x1 - c1 = x 2 - c 2 = ... = x n - c n Kolmemõõtmelise ruumi tasand: 2 2 2 s1 s2 sn .......... . xn = c n + s n t
Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste punktide hulk, millised rahuldavad tingimust |CM|=r, kus M(x;y) on ringjoone meelevaldne punkt. Niisuguse ringjoone võrrand on (x-a)² + (y-b)² = r² Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn)
1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. · Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, ..., an). · Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, ..., an) süsteemi A=( a1, a2, ..., an). · Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, ..., an) ja B=( b1, b2, ..., bn) siis |AB|= (a1-b1)+ (a2-b2)+ ...+ (an-bn)
3), millest lastakse kus F=l/T - põhisagedus valiku protsessi keeruliseks. määratud kui pikkuse mõju, ülekate, nullide lisamine 16. Parameetrilised meetodid: AR, Burg, nende lähtesignaali x(n) ja tulemuseks saadakse Üheks põhiliseks meetodiks signaali võimsuse väljundsignaali y(n)
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . .
x taustsüsteem r - punktmassi kohavektor vaadeldavas taustsüsteemis. v - punktmassi kiirusvektor vaadeldava taustsüsteemi suhtes. Punktmassi koordinaadid tema kohavektori komponendid (projektsioonid). r (t ) = i x(t ) + j z (t ) + k y (t ) = ( x, y , z ) . (1.1) Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid, x = x(t ) y = y(t ), (1.2) z = z(t ) kus parameetriks on aeg. Punktmassi kiirusvektoriks nimetatakse tema kohavektori ajalist tuletist: dr v= = r . (1.3) dt Rõhutame, et punktmassi kiirusvektor on alati suunatud piki tema trajektoori puutujat.
maailm/keskkond. VR jälgimissüsteemid mehaaniline; optiline süsteem; ultraheliandurid; elektromagneetilised CAD süsteemid: Solidworks, Solid Edge, Autodesk inventor, NX, TurboCAD, CATIA, AutoCAD, Creo Elements/Pro CAD mudeleid kasutatakse tootearenduses: dokumentatsiooniks, tolerantsmudelid, visualiseerimine, simulatsiooni mudelid, füüsiline mudel Geomeetria mudelite tüübid 2D mudel; 3D traatmudel; 3D pinnamudel; 3D solid mudel; parameetrilised mudelid 2D ja 2,5D mudeli erinevus 2D-s kujutatakse 2-dimensionaalsete vaadete ja lõigetega, 2,5D-s lisaks sügavusmööde. Saab kujutada ainult lihtsaid 3D kehasid. 3D traatmudel objektide kujutamine keha servade abil. Kujutamine punktide või joontega. Võimalik kujutada 3D mudeleid, mis on defineeritavad mittekõverpindadega. Ei ole võimalik siduda CAMi FEMiga jne. Mitmeti interpreteeritavad. Võib luua mõttetuid 3D kujutisi
40. Järjestada CAD mudelid võimsuse kasvamise järjekorras. 2D mudel; 2 1/2D mudel; 3D traatmudel;3D pinnamudel; 3D tahkekehamudel; funktsionaalne mudel; tolerantsimudel; füüsilised mudelid 41. Milleks kasutatakse CAD mudeleid tootearenduses? Dokumentatsiooniks, tolerantsimudel, visualiseerimine, simulats.mudel, füüsiline mudel 42. Loetleda geomeetria mudelite tüübid. 2D joonised, 3D traat-karkass, 3D pinna-mudelid, 3D solid models, parameetrilised mudelid 43. 2D mudeli ja 2½D mudeli erinevus. 2 ½ D mudelil saab erinevad vaated omavahel ühendada ja luua lihtsaid 3D kehasid, aga 2D puhul ei saa 44. 3D mudelite tüübid. Traatmudel, pinnamudel, tahkekeha mudel 45. 3D traatmudeli iseloomustus. Selle mudeli abil on võimalik kujutada 3D kehasid, mis on def mitte kõverpindade abil. CAM'i, FEM'i jms siduda ei saa. Pindade ja ruumi info puudub. Saab luua mõttetuid 3D kujutisi 46. 3D pinnamudeli iseloomustus.
kui kristalle mehaaniliselt deformeeritakse (surutakse kokku, venitatakse välja), tekib vastasmärgiline elektrilaeng. (vastupidiselt toimub ka nende kristallide deformeerumine välise magnetvälja toimel). Kuna genereeritava elektrilaengu suurus on proportsionaalne rakendatud deformeerivale jõule, annab see võimaluse anduri kasutamiseks rõhu, koormuse ja kiirenduse mõõtmiseks. 8.Elektrilised andurid. Parameetrilised andurid. Generaatorandurid. Elektrilisi andureid, mis muudavad oma elektrilisi parameetreid (takistust, mahtuvust, induktiivsust) vastavuses mõõdetavate mitteelektriliste suuruste muutusele nimetatakse parameetrilisteks anduriteks. Elektrilised andurid, mis muundavad mitteelektrilised suurused ekvivalentseks EMJ või pinge väärtuseks nimetatakse generaatoranduriteks. 9.Elektrilised andurid. Selsüünid. Termoelektrilised andurid.
tavaliselt t, mida nim. parameetriks. Igat funktsiooni, mis on kujul y = f(x), saab esitada parameetri abil. Vastupidi ei pruugi see nii olla. Parameetrilise esituse eeskuju on: Olgu y = x2+2, parameetriline kujul { y=tx=t+2 2 Tsükloid tekib, kui ringjoon, millel on märgitud nn kinnispunkt, veereb mööda sirget. Alguses kinnispunkt asub nullpunktis. Ringjoone veeremisel mööda sirget joonistab kinnispunkt tsükloidi kaari. Tsükloidi parameetrilised võrrandid: Joonis 6. Paaris- ja paaritufunktsioon Olgu funktsioonil f (x) 0-punkti suhtes sümmeetriline määramispiirkond ehk –a < x < a. f(-x) = f(x) – paarisfunktsioon f(-x) = -f(x) – paaritufunktsioon Joonis 7. Nt. (-x)2 = x2, paarisf. (-x)3 = -x3, paarituf. sin(-x) = -sinx, paarituf, cos (-x) = cosx, paarisf, tan (-x) = -tanx, paarituf, arcsin (-x) = -arcsinx, paarituf. arctan(-x) = -arctan, paarituf, arccos(-x) , ei ole paaritu ega paarisf. Perioodiline funktsioon
nimetame sirge s parameetriliseks vektorvõrrandiks. Suurust t selles võrrandis nimetame parameetriks. Sirge parameetrilise vektorvõrrandi võime üles kirjutada ka kujul s = {X| AX = ts, t R}. Sirge parameetriline vektorvõrrand punktide kohavektorite kaudu - Sirge s võrrandit kujul s : = a + ts, t R nimetatakse sirge parameetriliseks vektorvõrrandiks punktide kohavektorite kaudu. Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides - Sirge s võrrandeid kujul s : x1 = a1 + ts1 x2 = a2 + ts2, t R, x3 = a3 + ts3 nimetatakse sirge s parameetrilisteks võrranditeks koordinaatides. Sirge kanoonilised võrrandid - Sirge s võrrandeid kujul nimetame sirge kanoonilisteks võrranditeks. Sirge üldvõrrand - Sirge s võrrandit kujul s : A1x1 + A2x2 + A3 = 0 nimetatakse sirge üldvõrrandiks tasandil ehk lühidalt sirge üldvõrrandiks.
Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus. Sirge sihivektor sirge sihiline vektor (suund ja pikkus pole olulised). Sirge vôrrand tasandil: Ax + Bx + C = 0; (x x2) / (x2 x1) = (y y2) / (y2 y1); y y1 = k(x x1); y = kx + b; (x x1) / sx = (y y1) / sy. Sirge tôus k = tan = f'(x) ( on nurk sirge ja x-telje pos. suuna vahel.) 21. Sirge kanoonilised ja parameetrilised x = svõrrandid ruumis. Kahe sirge vastastikused asendid. x t + x1 Sirge kanoonilised vôrrandid: (x-x1)y /= ssx t=+(y-y y 1 ) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. y 1 z = s t + z
korrutamist) A=(V,P)-kus on eukleideline vektrruum-on euklideline ruum,vektorruumi mõõde V on ka eukleideline mõõde. Reeper-on xy teljestik,suunalised ühikvektorid on y-teljel ja x-teljel on baasivektorid. Kaugus-on vektorite pikkus,seda tähistatakse (A,B).omadused- A,B,CA=(V,P)eukleidil.siis: 1) (Q(A,B)0; 2 ) (Q(A,B)=0 kui A=B; 3) Q(A,B)=Q(B,A); 4) Q(A,B)Q(A,C) +Q(C,B) -on kolmnurga omadus. 25. Sirge afiinses ruumis.sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Iga kahe erineva punkti p.A ja p.B korral afiinses ruumis leidub parajasti üks sirge u, millel asuvad need punktids.o. (Au, Bu). Sirgeks läbi p.A ja sihivektoriga nim. kõigi selliste punktide PP hulka u mille korral ( ) mingi AR Seda tähistatakse lühidalt: U=PP, iga 26. Sirge 2-mõõtmelises eukleidilises ruumis.sirge üldvõrrand,normaalvektor. Kahemõtmelises eukleidilises ruumis kasutame tuntud x,y-teljestiku.Siin tähistatakse
· Stabiliseeritavast suurusest lähtuvalt (pinge- või voolustabilisaator) · Voolu või pinge liigist lähtuvalt (alalispinge või vahelduvpinge) · Väljundsuuruse suhtelise stabiilsuse järgi · Tööpõhimõtte järgi Liigitus väljundsuuruse suhtelise stabiilsuse järgi: · Madala stabiilsusega stabilisaator · Keskmise stabiilsusea stabilisaatorid · Kõrge stabiilsusega stabilisaatorid · Täppisstabilisaatorid Liigutus tööpõhimõtte järgi · Parameetrilised stabilisaatorid · Kompensatsioonsabilisaatorid Pingestabilisaatorid. Üldist. Põhiparameetrid. Vt.joonist pingestabilisaatorid. Parameetrid · Pinge stabiliseerimistegur tingimusel, et koormusvool on muutumatu e. konstantne · Sisetakistus e. väljundtakistus sisendpinge peab olema muutumatu · Silutegur iseloomustab muutusi kiiretele muutustele. · Stabiliseerimistegur iseloomustab stabilisaatori reaktsiooni aeglastele muutustele
koguvalimit mõõta on liiga kallis ja mahult võimatu. Statistilise analüüsi jaoks peab olema vähemalt 60-100 vastust. Vastuseid peab olema muutujatest vähemalt viis korda rohkem. Kvantitatiivne andmeanalüüs: · Statistilised andmetöötlusprogrammid, näiteks SPSS · Atribuudid o sõltumatu atribuut - manipuleeritav atribuut o sõltuv atribuut - see, mida mõõdetakse · Eeldused (normaaljaotus) · Andmeanalüüsid o Parameetrilised testid (peavad vastama eeldustele) o Testid muutujate vaheliste seoste leidmiseks (pideva atribuudi keskväärtuste võrdlemine) Korrelatsioon - seose tugevus kahe pideva atribuudi vahel Regressioon - millisel määral sõltumatud atribuudid mõjutavad sõltuvat atribuuti, mängitakse läbi erinevad kombinatsioonid Faktoranalüüs - lubab vähendada atribuutide arvu vähemaks hulgaks faktoriteks
2.2 Kui parameetrilisel kujul antud joonel x xt t , y yt on olemas pidevad tuletised x t ja y t , t , , siis 2 2 s x t y t dt Näide 15. Leiame ringjoone pikkuse, kui tema raadius on R. Ringjoone parameetrilised võrrandid on x R cos t , t 0, 2 . y R sin t Seega 2 2 s R 2 sin 2 t cos 2 t dt R dt 2 R. 0 0 3. Pöördpinna ruumala
naalmuundurist. Tavaliselt toimub andurites signaalide muundamine kahes etapis. Tajurid, mida nimetatakse ka primaarmuunduriks, muudavad signaali liiki, näiteks mehaanilist suurust elektriliseks. Sekundaarmuundurid viivad muundatud signaali standardsele kujule. Nad kujutavad endast erinevaid seadmeid nagu näiteks või-mendeid, analoog-digitaalmuundureid, digitaal-analoogmuundureid jms. Andurid jagunevad parameetrilisteks ja generaatoranduriteks. Parameetrilised andu-rid muundavad mõõdetavat mitteelektrilist suurust anduri mingiks parameetriks – ta-kistus, induktiivsus või mahtuvus, mille mõõtmiseks on vaja toiteallikat. Gene-raatorandurites muundatakse mõõdetav mitteelektriline suurus elektromotoorjõuks [6]. 2.1. Temperatuur Temperatuur on kõige laiemini mõõdetav ja reguleeritav tehnoloogilise protsessi muutuja. Temperatuuri mõõtmist ei tule ette mitte üksnes tööstuses. Temperatuur mõ-jutab kõiki meie
tasandil ning siis võib olla funktsioon kahe muutuja funktsioon. Omadused 1) Kui integreerimistee AB suund muutub BA-ks, siis II liiki joonintegraalid muudavad märki. VALEM 2) Kui joon AB on risti x-teljega, siis ʃABfdx=0. Samuti toimib teiste telgedega. 3) II liiki joonintegraalid on aditiivsed ʃABfdx+gdy+qdz=ʃACfdx+gdy+qdz + ʃCBfdx+gdy+qdz 4) II liiki joonintegraalid on lineaarsed, s.t. suvaliste konstantide k ja l jaoks. VALEM Arvutamine Kui on antud parameetrilised võrrandid, siis J=ʃABfdx+gdy+qdz = ʃαß{f[x(t);y(t);g(t)]x’+g[...]y’+q[...]z’}dt Kui tasandiline joon on antud võrrandiga y=y(x) xЄ[a;b], siis ʃABf(x,y)dx=ʃabf[x,y(x)]dx 13. II liiki joonintegraali sõltumatus integreerimisteest, näide II liiki joonel on üks omadus veel - olgu üks tasandiline joonintegraal J=ʃLfdx + gdy, mis ühendab punkte M ja N, siis joonintegraal ei sõltu integreerimisteest, kui J = ʃLfdx + gdy = ʃMQNfdx + gdy = ʃMPNfdx + gdy
jääb kõrvalekalle , mida nimetatakse staatiliseks veaks.). b) Astaatiline (Nendel süsteemidel staatiline viga puudub ja süsteem taastab endise parameetri täpselt.) 3) Jaotatakse kontuuride arvu järgi a) Ühe kontuurilised süsteemid (ainult peatagasisidega) b) Mitme kontuurilised süsteemid. (siin on juba sisse viidud kohalik tagasiside ja neid võib ka rohkem kui üks olla) 4) Reguleerimisparameetrite arvu järgi a) Ühe parameetrilised b) Mitme parameetrilised 1) Mittesidestatud (Sel juhul regulaatorid ei ole omavahel sidestatud ja töötavad sõltumatult. Seos on ainult objekti kaudu.). 2) Sidestatud süsteemid. Tänu sellele regulaatorite kiiretoimelisus suureneb ja reguleerimisvead vähenevad. Teine süsteem teatab esimesele süsteemile, et hakkab tööle. 5) Reguleerimistoime muutumise järgi aja vältel. a) Pideva toimega süsteemid
jääb kõrvalekalle , mida nimetatakse staatiliseks veaks.). b) Astaatiline (Nendel süsteemidel staatiline viga puudub ja süsteem taastab endise parameetri täpselt.) 3) Jaotatakse kontuuride arvu järgi a) Ühe kontuurilised süsteemid (ainult peatagasisidega) b) Mitme kontuurilised süsteemid. (siin on juba sisse viidud kohalik tagasiside ja neid võib ka rohkem kui üks olla) 4) Reguleerimisparameetrite arvu järgi a) Ühe parameetrilised b) Mitme parameetrilised 1) Mittesidestatud (Sel juhul regulaatorid ei ole omavahel sidestatud ja töötavad sõltumatult. Seos on ainult objekti kaudu.). 2) Sidestatud süsteemid. Tänu sellele regulaatorite kiiretoimelisus suureneb ja reguleerimisvead vähenevad. Teine süsteem teatab esimesele süsteemile, et hakkab tööle. 5) Reguleerimistoime muutumise järgi aja vältel. a) Pideva toimega süsteemid
sqrt(*) = sqrt(a12 + a22 + ... + an2) Punktide A(a1; ...; an) ja B(b1; ...; bn) vaheline kaugus (A,B) avaldub ortonormaalse reeperi korral kujul (A,B) = ||v(AB)|| = sqrt((b1-a1)2 + ... + (bn - an)2) 30. Sirge ja tema võrrandid. Sirge võrrandid kahemõõtmelises eukleidilises ruumis. = (V,P) - n-mõõtmeline eukleidiline ruum. Sirgeks läbi punkti A ja sihivektoriga nimetatakse punktide hulka u = {P | v(AP) = t mingi tR korral} uP <=> tR ... v(AP) = t = (ts1; ...; tsn) <=> parameetrilised võrrandid: x1 = a1 + s1t; ...; xn = an + snt elimineerime parameetrilisest võrrandist t: kanooniline võrrand (x 1 - a1) / sn = ... = (xn - an) / sn (=t) Vaatame juhtu n=2. x1 = x; x2 = y; a1 = x0; a2 = y0; s1 = sx; s2 = sy parameetrilised võrrandid x = x0 + sxt; y = y0 + syt kanooniline võrrand (x - x0) / sx = (y - y0) / sy -> sy(x-x0) = sxy-sxy0 -> syx - sxy + (-syx0 + sxy0) = 0 -> sirge üldvõrrand ax + by+c=0 y - y0 = k(x - x0); k = tan = sy/sx 31
ja tähistataxe dim V. n-mõõtmelise vektorruumi V^n suvalist n lineaarset sõltumatute vektorite hulka B = {e1,e2,..,en} nim vektor baasix. Iga vektor x V^n avaldub üheselt baasivektorite ei lineaarkombinatsioonina x= SUM(i=1;n) (xi *ei). Kordajad xi( i= 1,2,..,n) nim vektori x koordinaatidex antud baasil ja tähistataxe x=( x1,x2,....,xn). Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand nim vek) x= x0+ ts, kus t kuulub R => (x,y,z ) = (x0,y0,z0) +t(sx,sy,sz) =>parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid => (x,y,z) = ( x0+tsx, y0+ tsy, z0+ tsz) => { x= x0+tsx; y= y0+tsy; z= z0+tsz: => avaldame t saame lõpux kanooniline võrrand => x-x0/sx= y- y0/sy=z-z0/ sz. Tasandi üldvõrrand Ax+by+Cz+ D= 0 Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine.*paneme kirja tasandi üldvõrrand -> kust Ax+By+Cz =>
parabool, hüperbool, polünoom, logaritmfunktsioon, eksponentfunktsioon, astmefunktsioon) Vähimruutude meetodil tasandamisel läbitakse järgmised 3 etappi: Valitakse sobiv tasandusjoon; Nn. normaalvõrrandite süsteemi või sellest tuletatud lihtsustatud võrrandisüsteemi abil leitakse empiirilist kõverat tasandava teoreetilise joone parameetrilised hinnangud, Leitakse teoreetilise joone punktide arvväärtused ning konstrueeritakse tasandusjoon(matemaatiline joon). Joon tehakse nii, et hälbed oleks minimaalsed. Võetakse joon, mille R on suurim. Matemaatiline joon- arvutad joone valemi järgi välja, asendad sinna x-d. · Interpoleerimine aegrea puuduvate elementide arvväärtuste leidmine
Vektorruumi mõõde ehk dimensioon. Vektori koordinaadid 15. Skalaarkorrutise definitsioon vektorruumis. Eukleidiline vektorruum. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon. Ortogonaalsed vektorid, ortogonaalne baas, ühikvektor. Ortonormaalne baas. Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel
kahe sirge vastastikused asendid ruumis: Kiivsirged kolm vektorit a, b ja AB ei ole komplanaarsed Lõikuvad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, sihivektorid a ja b ei ole kollineaarsed Paralleelsed sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, ainult sihivektorid a ja b on kollineaarsed Ühtivad sirged kolm vektorit a, b ja AB on komplanaarsed, vektorid on paarikaupa kollineaarsed 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0
Olenemata sellest, kuulevad tänapäeval mitmed sõnast BIM esimest korda. BIM ajalugu Eestis 2005 hakkavad Eesti projekteerimisettevõtted üha rohkem BIM-i panustama 2007. september – esimene avalik loeng Kari Ristolainen, Senate Properties 2008-2009 – Riigi Kinnisvara AS (RKAS) loob BIM projekteerimise juhendi 2009 – IT klaster ärgitab ehitusvaldkonda ellu kutsuma klastri initsiatiivi (TRAH), parameetrilised tootekataloogid 2010 kaitstakse TTÜ-s esimene oluline BIM-i käsitlev lõputöö teemal „How are 3D and BIM Changing the Design, Fabrication and Construction of Complex Steel Structures?" (Tanel Friedenthal) 2010 esimene BIM projekteerimise hange Narva Politsei ja Piirivalveameti ühishoone projekteerimistöödele (korraldaja RKAS) 2011 loodi MTÜ Eesti BIM kompetentsikeskus, tegemistest kirjutatakse www.cadfoorum.ee
skalaarkorrutist vektoriga , s.t. arvu ( × ) . Paragrahvis 2 toodud teoreemi ja võrduse (3) tõttu on vektorite , ja segakorrutise absoluutväärtus võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga. Valem (3) annab eeskirja segakorrutise arvutamiseks. Peale rööptahuka ruumala arvutamise võib segakorrutist kasutada ka kahe mitteparalleelse sirge vahelise kauguse arvutamiseks kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis 7.Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Kolmemõõtmelise ruumi tasandi võrrand, tasandi normaalvektor. Defineerime sirge mõiste mis tahes afiinses ruumis nii, et et erijuhuna saaksime sirge, mida tunneme kooligeomeetriast. Selleks vaatleme mis tahes sirget u tasandil. r r
võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid :
Sirge ax + by + c = 0 normaalvektoriks on n = { a, b} Nivoojoone puutuja normaalvektoriks on seega f f z z n= ; = ; = grad z P x P y P x P y P Järelikult grad z on risti puutujaga ja seega ka nivoopinnaga. 2) Vaatleme kolme muutuja funktsiooni oni u = f ( x, y, z ) ja selle nivoopinda f ( x, y , z ) = c . Võtame nivoopinna punkti P ja kõverjoone L, mis asub nivoopinnal ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) . Olgu joone L parameetrilised võrrandid x = u ( t ) L : y = v(t ) z = w( t ) ning u ( t 0 ) = x 0 , v( t 0 ) = y 0 , w( t 0 ) = y 0 ? ? Siis vektor r?( t 0 ) on joone L puutujasuunaline r?( t 0 ) = { x?( t 0 ) , y?( t 0 ) , z?( t 0 )} Vaadeldes joone L punkte kui nivoojoone punkte, mis rahuldavad L võrrandeid, saame ühe muutuja t liitfunktsiooni. f ( u ( t ) , v( t ) , w( t ) ) = c Leiame selle funktsiooni tuletise täistuletise valemi järgi
Punktmass keha, mille mõõtmed võib kasutatavas lähenduses arvestamata jätta (kahe linna vahel liikuv auto, mille mõõtmed on kaduvväikesed linnadevahelise kaugusega; ümber päikese tiirlev planeet, mille mõõtmed on kaduvväikesed tema orbiidi mõõtmetega jne.). Punktmassi koordinaadid tema kohavektori komponendid (projektsioonid). Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid x=x(t), y=y(t), z=z(t). Punktmassi kiirendusvektoriks nimetatakse tema kiirusvektori ajalist tuletist (kohavektori teine tuletis aja järgi): a(vektor)=v(vektor) tuletis=r(vektor) teine tuletis Kiiruste liitmine-et leida punktmassi kiirust paigaloleva taustkeha suhtes, tuleb liita selle punktmassi kiirus liikuva taustkeha suhtes ja liikuva taustkeha kiirus paigaloleva taustkeha suhtes. Vaba langemine-keha liikumist juhul, kui talle mõjub ainult raskusjõud. See tähendab, et ka
parameetrilisteks võrranditeks. Esituse (*) korral öeldakse, et funktsioon on antud parameetriliselt võrranditega (*) ehk funktsioon on antud parameetrilisel kujul (*). Parameetrilisest esitusest ei selgu, kumb muutujatest x ja y on argument ja kumb on funtksioon. Vajaduse korral märgitakse seda eraldi. x = t Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t ) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Definitsioon: Kui võrrand F ( x, y ) = 0 määrab iga x X korral arvu y, siis öeldakse, et ta määrab funktsiooni y = f ( x ) , x X ilmutamata kujul. 6
13 Valemi (5.14) j¨argi saame kruvijoone esimese keerme pikkuseks 2 s= a2 + b2 dt = 2 a2 + b2 . 0 Olgu joone kaareks polaarkoordinaatides esitatud funktsiooni = () graafik, kui [; ]. Asendades ristkoordinaatidelt polaarkoordinaatidele u ¨lemineku valemites (5.6) muutuja tema avaldisega kaudu, saame joone parameetrilised v~orrandid x = () cos y = () sin , kus parameetriks on polaarnurk . Kaare pikkuse valemi tuletamiseks kasutame valemit (5.13). Selleks leia- me x = () cos - () sin ja y = () sin + () cos ning x 2 + y 2 = 2 () cos2 - 2 () cos () sin + 2 () sin2 + 2 + () sin2 + 2 () sin () cos + 2 () cos2 = 2
annaabi.ee 
