DV võrrandid 1 kontrolltöö Spikker (0)

Hariliku Dv Def. – Olgu F-n F(x,y,z) määratud xyz ruumi piirkonnas G. Vahemikus (a,b) määratud funktsioon y=y(x) nim. Võrrandi F(x,y,y`)=0 lahendiks , selles vahemikus, kui ta on pidevalt dif-uv ning (x,y(x),y`(x)) kuulub hulka G ja F(x,y(x),Y`(x))=0
Cauchy ülesanne 1-järku võrrandi jaoks seisneb sellise lahendi y(x) leidmises, mis rahuldab algtingimust
Peano teoreem – Olgu f(x,y) pidev kahemuutuja f-n piirkonnas D. Siis läbi iga punkti (x0,y0)D kulgev vähemalt 1 DV integraalkõver. On tuntud ka Dv lahendi olemasomu teoreemina.
Cauchy teoreem - Olgu f(x,y) pidev piirkonnas D ning olgu tal selles piirkonnas olemas pidev osatuletis . Siis läbib igat punkti (x0,y0) kuulub hulka D kulgeb parajasti üks DV integraalkõver. On tuntud DV lahendi ühesuse teoreemina.
Kasvamine ja kahanemine – tüüpiline võrrand kujul dx/dt=kx, kus otsitav on x=x(t), tema tuletis dx/dt, t sõltumatu muutuja (tavaliselt aeg) ja k võrdetegur.
Eraldatud muutujatega DV – M(x)dx+N(y)dy=0, kus M(x) ja N(y) on antusd funktsioonid (N: x+lny=0)
Teoreem – Olgu M(x) pidev vahemikus (a,b), N(y) pidev vahemikus ning korral st vähemalt 1 kordaja on nullist erinev), siis sellisel juhul on võrrandi üldlahendiks
(2) e. (2`)
Kus (x0,y0) on suvaline fikseeritud punkt piirkonnas D. Seosed (2) ja (2`) on samaväärsed.
Eralduvate muutujatega DV – M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0, kus
M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) on antud F-d. Sellest F-st saame tuua mittesobivad liikmed sulgude ette, ning saame
Et korrutis oleks 0 peab 1 tegurites olema =0 seega N1(y)=0 ja M2(x)=0, võo kant sulgudes olev avaldis.
Homogeenne DV Def1 – F-ni F(x,y) nim. -astme homogeenseks F-ks, kui kehtib seos , alfa võib olla suvaline R-arv, ka 0
Def2 – DV y`=f(x,y) nim. homogeenseks, kui f(x,y) on 0-astme homogeenne f-n:
F(tx,ty)=f(x,y), t>0
HDV y`=f(x,y) taandub muutujate (x,u) suhtes eraduvate muutujatega DV asendusega u=y/x. Saab kasutada ka asendust v=x/y, siis on muutujad (y,u)
Lineaarve DV – DV nim. Lineaarseks, kui ta on lineaarne otsitava f-I ja selle tuletise suhtes. Esimest järku lineaarse DV üldkuju on A(x)y`+B(x)y+C(x)=0.
Siin A(x) ja B(x) on võrrandi kordajad ning C(x) on vabaliige. Tuletisega liige on võrrandi pealiige. Kui A(x) ei 0 0-ga, siis võime võrrandi mõlemad pooled pealiikme ees oleva kordajaga läbi jagada. y`(x)+B(x)/A(x)*y+C(x)/A(x)=0
Kui asendame B(x)/A(x)=p(x) jaC(x)/A(x)=-q(x) saame võrrandi viia kujule
Y`+p(x)y=q(x), kui q(x)=0, siis on tegu LDV (võrrandi puudub vabaliige), kui aga q(x) ei=0, siis tuleb LmitteHDv
Bernoulli võrrand – y`+p(x)y=q(x)ya kus . Kuivõi , siis on tegi L võrrandiga. Seega eeldame et Toome ya sulgude ette, siis
ning , kui a>0, siis y=0 on üheks lahendiks. Kui teeme sulus muutujavahetuse z=y1-a ja saame z-i suhtes lineaarse võrrandi z`+(1+a)p(x)z=(1-a)f(x)
Riccat- võrrand – y`+p(x)y+q(x)y2=r(x) Saame lahendada, kui teada üks konkreetne lahend y* sellisel juhul saab asendusega u=y-y*. Riccat võrrand teisendada Bernoulli võrrandiks.
Eksaktne DV – M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 nim. Eksaktseks e. täisD-ga võrrandiks, kui leidub f-n u=u(x,y) nii, et täisD on kujul du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy st.
,Eksaktse DV lahendamine taandub sobival kujul f-i u määramisele. Eelame, et M(x,y) ja N(x,y) ning nende osatuletised on pidevad piirkonnas D=((x,y)/a