Matemaatiline analüüs II, I teooriakusimused 2013 (0)

Matemaatilise analüüsi (II) I  osaeksami  teooriaküsimused 2013 
 
1.  Kahe  muutuja  funktsiooni 
väärtuspaaride (x; y) hulka, mille puhul 
definitsioon. Määramispiirkond. 
funktsioon z = f (x; y) on määratud, 
Kahe muutuja funktsiooni 
nimetatakse selle funktsiooni 
geomeetriline kujutamine. 
määramispiirkonnaks. 
Kui kahe teineteisest sõltumatu 
muutuva suuruse x ja y igale 
väärtuspaarile (x; y) mingisugusest 
nende muutumispiirkonnast D vastab 
suuruse z väärtus, siis öeldakse,  
et z on kahe sõltumatu muutuja x ja 
y funktsioon, mis on määratud 
piirkonnas D. Argumentide x ja y 
 
 
2.  Kahe muutuja funktsiooni 
, saame z uue muudu ∆z, mida 
osamuudu  ja täismuudu mõisted 
nimetatakse funktsiooni z 
(kujutada ka joonisel). 
täismuuduks ja mis on määratud 
Et y väärtus sellel tasandil on 
valemiga: ∆z = f(x+∆x,y+∆y) – f(x,y). 
konstantne, siis muutub z  joonel  PS 
ainult sõltuvalt argumendi x 
muutumisest.  Andes  sõltumatule 
muutujale x muudu  ∆x , saab z muudu, 
mida nimetatakse z osamuuduks x 
järgi ja tähistatakse sümboliga ∆x z 
(joonisel lõik SS′):   ∆xz = f(x+∆x,y) – 
f(x,y). Andes nüüd argumendile x 
muudu ∆x ja argumendile y muudu  ∆y 
 
 
3.  Kahe muutuja funktsiooni 
osatuletiste  mõiste ja geomeetriline 
interpretatsioon (joonis). 
Funktsiooni z = f(x,y) osatuletiseks x 
järgi nimetatakse vastava osamuudu 
∆xz ja muudu  ∆x suhte piirväärtust  ∆x 
lähenemisel  nullile . 
 
 
4.  Kahe muutuja funktsiooni 
sümboliga dz või df . 
täisdiferentsiaali  avaldis  
f
∂
f
∂
dz =
dx +
dy . Täis diferentsiaali 
(tuletamiseta) ja täisdiferentsiaali 
x
∂
y
∂
kasutamine ligikaudsetes arvutustes 
kasutamine ligikaudses arvutustes: 
(valem). 
f
∂ (x, y)
f
∂ (x, y
( + ∆ , + ∆ ) ≈
( , ) +
∆ +
) ∆
Funktsiooni muudu lineaarset osa 
f x
x y
y
f x y
x
y
x
∂
y
∂
nimetatakse funktsiooni 
 
täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse 
 
5.  Kahe muutuja ilmutamata 
F
∂
F
∂
funktsiooni  osatuletised  (valemid). 
x
∂  
∂  
z′ =
y
′ =
x
z
F
∂
y
F
∂
z
∂
z
∂
6.  Nivoopinnad ja nivoojooned 
nivoopindadeks. Kui funktsioon u on 
(mõisted). 
kahe muutuja funktsioon:  u = u(x, y) , siis 
Need punktid moodustavad 
on nivoopindadeks  u(x, y) = c , mis on 
mingisuguse pinna. Kui konstant c saab 
tegelikult xy-tasandi jooned, mida 
teise väärtuse, siis saame teise pinna. 
nimetatakse nivoojoonteks. 
Neid pindu nimetatakse 
 
7.  Tuletis antud suunas (arvutamise 
u
∂
u
∂
u
∂
u
∂
 
cosα +
cos β +
cosγ
valem). 
s
∂
x
∂
y
∂
z
∂
 
8.  Gradient.  Teoreem  gradiendist ja 
väärtused selles punktis: u
∂
u
∂
u
∂  
suunatuletisest (tõestusega). 
x
∂
y
∂
z
∂
Gradiendi omadused. 
väärtused selles punktis: 
Vaatleme  funktsiooni 
u r
∂
u r
∂
u r
∂
gradu =
. Seda  vektorit  
i +
j +
k
u = u(x, y, z) määramispiirkonna D 
x
∂
y
∂
z
∂
nimetatakse funktsiooni 
igas punktis vektorit, mille  
u(x, y, z) gradiendiks. Öeldakse, et 
projektsioonideks koordinaattelgedel 
on selle funktsiooni osatuletiste 
piirkonnas D on  
määratud gradiendi vektorväli. 
 
9. 
Taylori valem kahe muutuja funktsiooni 
f ( x, y) = f (a, b) + f ′(a, b)( x − a) + f ′ (a, b)( y − a) +
x
y
puhul (juhul n=2, koos jääkliikmega, 
+ 1 [f ′′(a, b)( x −
2
a) + f ′′(a, b)( x − a)( y − b) + f ′ (a, b)( y −
2
b)
xx
xy
yy
tuletamiseta). 
2
 
 f ′′ (ξ , b)( x −
3
a) + f ′
′ (ξ , b)( x −
2
a) ( y − b) + f ′
′ (ξ , b)( x − a)( y − b)
1
xxx
1
xxy
2
xyy
3
         Taylori valem juhul kui n=2 

3 
3
+ f ′′ (a,η )( y − b)
yyy
1
 
Jääkliikmega valem: 
 f ′′ (ξ ,b)(x − 3
a) + f ′
′ (ξ ,b)(x − 2
a) ( y − b) + f ′
′ (ξ ,b)(x − a)(y − 2
b) +
xxx
xxy
xyy
R = 1 
1
2
3

2
3 + f ′′ (a,η )(y − 3
b)
yyy
1



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Mitme muutuja funktsiooni 
kui  f (x ; y )   f (x, y) kõigi punktile 
0
0
osatuletis võrdub nulliga või puudub. 
(x ; y ) küllalt lähedaste ja temast 
0
0
Tõestus. Anname muutujale y kindla 
erinevate punktide  f (x, y) puhul. 
väärtuse, nimelt  y = y . Siis 
0
Öeldakse, et funktsioonil 
f (x, y ) on ühe muutuja x funktsioon. 
0
z = f (x, y) on punkti  M (x ; y )  (s.o. 
0
0
0
Et punkt x = x on tema 
0
x = x  ja  y = y  korral) miinimum, 
0
0
ekstreemumkohaks 
(maksimum- või miinimumpunktiks), 
 z
∂ 

et 
 kas võrdub nulliga või 
z
∂ 


∂
siis järelikult
 y x=x


võrdub nulliga 
0

 y
∂
y= y
x= x
0
0
 y=y0
puudub. 
või puudub Analoogselt saab tõestada, 
 
11. Kahe muutuja funktsiooni 
funktsiooni f (x, y) osatuletised kuni 
ekstreemumi  piisavad  tingimused 
kolmanda järguni (kaasa arvatult) 
(tõestuseta). 
pidevad; peale selle olgu punkt 
Funktsiooni uurimiseks kriitilistes 
M (x ; y ) funktsiooni 
0
0
0
punktides esitame tõestuseta teoreemi, 
f (x, y) kriitiliseks punktiks, s.t. 
milles on kahe  
muutuja funktsiooni ekstreemumi 
∂f (x , y )
∂f (x , y )
0
0
= 0 , 
0
0
= 0
piisavad tingimused.  
∂x
∂y
Olgu mingis 
punkti M (x ; y ) sisaldavas piirkonnas 
0
0
0