1. Millist funktsiooni nimetatakse lineaarfunktsiooniks ja mis on selle graafikuks? Lineaarfunktsioon on funktsioon y=ax+b, kus a ja b on mistahes reaalarvud. Selle graafikuks on sirgjoon 2. Mida nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks? Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse selliseid argumendiväärtuseid, mille korral on reaalne funktsiooni väärtus olemas 3. Millised võimalused on funktsiooni esitamiseks Valemina, tabelina, graafiliselt, järjestatud arvupaaridena, nool diagrammidega 4. Mida nimetatakse funktsiooni null kohaks ja mida negatiivsus piirkonnaks? Funktsiooni null koht on selline x väärtus kui graafik lõikab x telge. y = null. Negatiivsuspiirkonna moodustavad need argumendi väärtused, mille korral on funktsiooni
MIS ON JADA? Jada on matemaatikas kujutus, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N või selle mõni alamhulk. Määramispiirkonna fikseeritud elemendi kujutist nimetatakse selle jada elemendiks ehk liikmeks. Kui kujutuse määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk või selle mõni lõpmatu alamhulk, siis räägitakse lõpmatust jadast. Lõpliku määramispiirkonna korral räägitakse lõplikust jadast ehk järjendist. Lõplike jadade puhul on võimalik kõnelda jada pikkusest ehk selle jada liikmete arvust. Jada pikkusega n määramispiirkonnaks valitakse sageli hulk {1,2,3,...,n} Tähistused: Lõplikke jadasid pikkusega n tähistatakse loetlemise teel või lühemalt pealiikme kaudu või .
Funktsiooni mõiste Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y = f (x) Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Hulka f(X)={yY: leidub x X nii, et f (x) = y} Nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. ·Olgu meil hulk X, elementidega x1, x2, x3, .... · ja hulk Y, elementidega y1, y2, y3, .... ·Igale elemendile hulgast X seatakse vastavusse üks element hulgast Y Hulk Y Hulk X y2 x2 y2 = f (x2) y3
Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii). Arvu m arkussiinuseks nimetatakse vähimat nurka, mille siinus on m.
öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõikab ringoone kahes punktis. 3. Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna leidmiseks tuleb kindlaks äärata need argumendi x väärtused, mille korral on võimalik funktsiooni väärtust arvutada. Määramispiirkonna leidmisel arvestame:
Ruutfunktsioon Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool.
on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn Funktsiooni graafiline esitusviis y = f (x) 0 x 3 Funktsiooni analüütiline esitusviis
oonid I y=ax+b a <0 II ja IV veerand Ruutfunktsioon (parabool) Jada on funktsioon, mille y=ax+bx+c määramispiirkonnaks on positiivne naturaalarvude hulk Parabooli haripunkti saab arvutada: Funktsiooni määramispiirkond - Xh=-b/2a või Xh=(X1*X2)/2 valemina antud funktsiooni x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik
Funktsiooni määramispiirkonnaks nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral saab leida f-ni väärtust. Funktsiooni muutumispiirkonnaks nim. funktsiooni väärtuste hulka. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni nullkohaks nim. argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus võrdub 0-ga. y = 0 Funktsiooni positiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. y > 0 Funktsiooni negatiivsuspiirk. nim. argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooniväärtused on negatiivsed. y < 0 ____________________________________________________________________________________________ Funktsiooni pöördfunktsiooni leidmiseks tuleb a.) vahetada muutujad x ja y b.) saadud avaldisest avaldada y Funktsiooni graafik ja tema pöördfunktsiooni graaf...
Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral
1. Olgu meil kasutada predikaadid ISA(x,y), EMA(x,y) ja MEES(x) mis tähendavad vastavalt, et x on y isa, x on y ema ja x on meessoost. Predikaatmuutujate määramispiirkonnaks on kõigi inimeste hulk. Väljendada predikaatarvutuse abil sugulussidemed: a) õed - x ja y on õed kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬(MEES(x) MEES(y))). või x on y-i õde kui xy (ÕDE(x,y) z (ISA(z,x) & ISA(z,y)) & u (EMA(u,x) & EMA(u,y)) & ¬MEES(x)) lugesin õigeks ka nö. kasuõdede variandi. (25% õigeid vastuseid) b) vanatädi - x on y-i vanatädi kui
Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafikuks nim punktihulka Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühe muutuja funktsoon, kui aga hulga X igale elemendile on vastavusse seotud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis hulgal X on määratud mitmene funktsioon
Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10
Võrdeline seos muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 I & III a<0 II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0)
1) Funktsiooni määramispiirkonnaks (X) nim. argumendi (x) väärtuste hulka, mille korral funktsiooni (y) väärtust saab leida. 2) Funktsiooni muutumispiirkonnaks (Y) nim. funktsiooni väärtuste hulka. 3) Funktsiooni nullkohtadeks (Fo) nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Leidmine: tuleb panna 0-ga võrduma ehk funktsioon (y) asendatakse 0-ga. 4) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (F+) nim. argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on positiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 5) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks (F-) nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on negatiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 6) Funktsiooni kasvamisvahemikuks nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral x-i väärtuste kasvades y-i väärtused kasvavad. Tunnus: f´(x)>0 7) Funktsiooni kahanemisvahemikuks nim. Ar...
Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mitte-negatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi: |x|=-x, kui x<0 |x|=x, kui x>=0 Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus. Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x). Funktsiooni muutumispiirkonnaks nimetatakse vastavalt määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y.
Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 16 48 0 48 48 3 3) Kontroll. Kuna graafikujoonise peal on koonuse kõrguseks 4 ühikut ja raadiukseks 1, r 2h 12 4 4
3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, väärtuste piirkond. Funktsiooni erinevad esitusviisid (näide).Loomulik määramispiirkond. Mitmene funktsioon (näide) Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni erinevad esitusviisid. Funktsioone saab esitada mitmel erineval viisil ning kõige enam kasutatakse kolme järgmist esitusviisi: tabelina, graafikuna, analüütiliselt. Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel. Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. 4. Paarisfunktsioon, paaritu funktsioon (näide)
134) 9. Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab funkts. Väärtust arvutada 2. Fni mutuumispiirkonnaks Y nim. Funktsiooni kõigi väärtuste hulka 3. Fniks nimetatakse seost, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavasse sõltuvusse muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 4. Fni nullkohtadeks X0 nim. Argumendi x kõigi väärtuste hulka ille korral fni väärtus on null (y=0) 5
x a Mõnikord võrratusesüsteem esitatakse ahelvõrratuse kujul a x b . x b 2x 4 1 Näiteks, 1 2 x 4 5 . Lahendame antud ahelvõrratuse: 2 x 4 5 1 4 2 x 5 4 3 2 x 1 : 2 1,5 x 0,5 x (1,5; 0,5] . Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse muutuja x kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y = f(x) väärtust saab arvutada. Tähistatakse tähega X. Meenutame tingimusi, mille koral eksisteerivad järgmised matemaatilised operatsioonid: a murd eksisteerib, kui b 0 ; b paarisaste juur 2n a eksisteerib, kui a 0 ; murd, kus b 2 n a eksisteerib, kui a 0 ;
Lineaarsete võrratuste süsteemid © T. Lepikult, 2003 Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendamine Võrratuste süsteemi lahendamisel tuleb lahendada iga süsteemi kuuluv võrratus eraldi. Süsteemi lahediks on saadud arvuhulkade ühisosa. Näide x > 3 Võrratuste süsteemi x < 6 lahendiks on vahemik (3; 6), kuna vaid sellesse vahemikku kuuluvad arvud rahuldavad mõlemat süsteemi kuuluvat võrratust. Vastuse võib esitada kujul x (3; 6) või 3 < x < 6. Näide 1 Lahendame võrratuste süsteemi 3 x - 1 - 13 - x < 7 x - 11( x + 3) 3 7 3 6 2 x + 7 < 3 x - 5 + 8 + 10 - 3 x 3 7 5 Lahendus Süsteemi lahendamiseks tuleb leida eraldi kummagi võrratuse lahendihulk ja siis nende hulkade ühisosa. ...
Koosinusfunktsioon M. Kallasvee DEFINITSIOON FUNKTSIOONI Y=COS X NIMETATAKSE KOOSINUSFUNKTSIOONIKS. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON ON PAARISFUNKTSIOON, S.T. koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. COS(-X)=COSX OMADUSED FUNKTSIOONI FUNKTSIOONI y=cos x y=cos x määramispiirkonnaks muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude on lõik [-1;1]. hulk. X=R Y=[-1;1] OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x on perioodiline funktsioon. KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x perioodiks on 2. GRAAFIK y=cosx 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 y=cosx -0,5 1,5 y-telg -0,76604 1 -0,93969 -1 0,5 -0,93969
või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad logaritmitava mittepositiivseks
võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon- funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui
Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil 15. Tõestada jada piirväärtuse omadused vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on V:1)Konstantse jada piirväärtuseks on see constant, sest Xn=c -> Xn->c defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Tõestus: Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. 2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1) Muutumispiirkonna mõiste Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka Tõestus: nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on 3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2
Järgnevas on muutuv suurus selline suurus, mis võib omandada mitmesuguseid reaalarvulisi väärtusi. Nende väärtuste hulka nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsioon f on eeskiri, mis seab ühe muutuva suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast X vastavusse teise muutuva suuruse y kindla väärtuse selle muutumispiirkonnast Y. Arvu x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja hulka X funktsiooni f määramispiirkonnaks, arvu y nimetatakse funktsiooni väärtuseks ehk sõltuvaks muutujaks ja hulka Y funktsiooni väärtuste hulgaks. Loetleme siinkohal üles põhilised elementaarfunktsioonid: 1) konstantne funktsioon y = c ; 2) astmefunktsioon y = x , kus on reaalarv; 3) eksponentfunktsioon y = a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ; 4) logaritmfunktsioon y = log a x , kus a on ühest erinev positiivne arv ( a > 0, a 1) ;
Erinevad piirkonnad, piirkonna rajajoon. Tõkestatud piirkond. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x;y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Kahe muutuja funktsiooni z märgitakse kujul z=f(x,y). Argumentide x ja y väärtuspaaride (x;y) hulka, mille puhul funktsioon z=f(x,y) on määratud, nim. selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Kui x ja y iga väärtuspaari kujutada xy-tasapinna punktina M(x;y), siis funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasapinnal. Ka seda punktide hulka nim. funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni määramispiirkonnaks võib olla ka kogu tasapind. Edaspidi tegeleme peamiselt niisuguste piirkondadega, mis kujutavad jootega piiratud tasapinna osi. Antud piirkonda piiravat joont nim. piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nim
P=(x1,x2,...xm) või P(x1,x2,...xm). Arbe x1,x2,...xm nim. punkti P koordinaatideks. Def.2 Sellist m-mõõtmelist ruumi, kus on määratud iga kahe punkti d(A,B) seosega d(A,B)=( i=1m(ai-bi))1/2 nim m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähist. Rm Def.3 Kui hulgs D igale punktile P=(x1,x2,...xm) on vastavusse seatud üks kindel reaalarv w, siis öeldakse, et hulgal D on määratud w- muutuja funktsioon w=f(x1,x2,...xm), hulka D nim funi w=f(x1,x2,...xm) määramispiirkonnaks, suurusi x1,x2,...xm nim funi argumentideks (funil on m argumenti) Def.4 Punkti ARm ümbruseks nim iga lahtist kera S(a,r) (erijuhud: m=2 A ümbruseks lahtine ring S(a,r), m=1 A ümbruseks sümmeetriline vahemik) Def.5 Öeldakse, et hulk D on lahtine ruumis Rm kui iga tema punkt on sisepunkt. Öeldakse, et hulk D on kinnine, kui ta sisaldab kõiki oma rajapunkte. Def.6 Punkti A nim jada (Pn) piirpunktiks ja tähist limnP=A kui limn-d(Pn,A)=0 Def
Kordamisküsimused aines "Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon. Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y. Funktsiooni määramispiirkond. Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsiooni y muutumispiirkonnaks Y nimetatakse funktsiooni väärtuseid, mis vastavad kõigile argumendi väärtustele piirkonnas X. Funktsioonide liigid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab
või y=y(x) Sõltumatu – element x (argument) Sõltuv – element y Mis on funktsiooni Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul määramispiirkond, saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt muutumispiirkond? eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Kui määramispiirkonda ei ole antud, siis määramispiirkonnaks on funktsiooni loomulik määramispiirkond (kõik
Matemaatilise analüüsi (II) I osaeksami teooriaküsimused 2013 1. Kahe muutuja funktsiooni väärtuspaaride (x; y) hulka, mille puhul definitsioon. Määramispiirkond. funktsioon z = f (x; y) on määratud, Kahe muutuja funktsiooni nimetatakse selle funktsiooni geomeetriline kujutamine. määramispiirkonnaks. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x; y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Argumentide x ja y 2. Kahe muutuja funktsiooni , saame z uue muudu z, mida osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel)
n siis nimetatakse vastavat logaritmi naturaal- ehk loomulikuks logaritmiks ja tähistatakse ln x. Näited ln 20 = 2,9957... ln e = 1 / 2, sest e1/ 2 = e algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1. a log a x = x Sealhulgas e ln x = x, 10log x = x : 2. Logaritmid eksisteerivad vaid positiivsetel arvudel (logaritmfunktsiooni määramispiirkonnaks on positiivsete reaalarvude hulk). 3. log a xy = log a x + log a y x 4. log a = log a x - log a y y 5. log a x n = n log a x 7. log a 1 = 0 1 6. log a n x = log a x 8. log a a = 1 n algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1 9
Tähist vaata lk 162 kõige ülemine osa. Mis on funktsiooni mitteoluline muutuja? N-muutuja loogikafunktsiooni mingi muutuja on funktsiooni mitteoluline muutuja, kui sellele omistatav loogikaväärtus ei mõjuta kuidagi funktsiooni väärtust. Millisele kujule on mitteoluliste muutujatega loogikaavaldis alati teisendatav? On alaati teisendatav kujule, kus mitteolulised muutujad puuduvad. Milline loogikafunktsioon on osaliselt määratud? Osaliselt määratud funktsioon on funktsioon, mille määramispiirkonnaks on ainult osa lähtehulga elementidest. Lähtehulgaks olev Boole Ruumis leidub selliseid argumentvektoreid, mille jaoks pole rangelt määratud, kumba loogikaväärtue 0 või 1 funktsioon nende korral omandama peab. Mis on funktsiooni määramatuspiirkond? Kuidas seda tähistatakse? Määramatuspiirkonna moodustavad argumentvektorid, mille jaoks pole pole määratud, kas nad omandavad väärtuse 1 või 0. vt. Tähist lk 163
3*(Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funkt)Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y=f(x). *Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määraud ühene funktsioon f. *Hulka X nimetatalse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(x) = {y | x X y = f (x )} Y muutumispiirkonnaks. *Funktsiooni, mille määramispiirkond on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui : f(-x)=f(x) ja paarituks funktsiooniks, kui : f(-x)=-f(x). * Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T =/= 0, et iga x X korral ka x ± T X ja f (x + T) = f (x) ja antiperioodiliseks, kui leidub T, nii et f(x+T)=-f(x) korral. 4*(Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid
Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X Bolzano-Cauchy teoreem: Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalsete on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse kas y= f(x) (x ∈ X) voi x (f →) y. väärtuste vahel. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk pidevuse seos. sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks muutujaks Funktsiooni y = f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y = f(x) muudu ∆y ja argumendi
2. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). DEF. Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus. Asjaolu, et y on x-i funktsioon, tähistatakse y = f(x) • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks (ehk argumendiks). • Muutujat y nimetatakse sõltuvaks muutujaks. • Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis
Määramispiirkond, muutumispiirkond. Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. Pöördfunktsioonid. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Funktsioon - Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ( ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y = f(x) (x ∈ X). Määramispiirkond ja muutumispiirkond - Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Paaris funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = f(x). Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x).
y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka Y = { f ( x )||x ∈ X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on n lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis
3. Funktsiooni mõiste. Funktsiooni määramispiirkond, väärtuste piirkond. Funktsiooni erinevad esitusviisid (näide). Loomulik määramispiirkond. Mitmene funktsioon (näide) Funktsiooni mõiste: Kui hulga X igale elemendile x on mingi eeskirja abil vastavusse seatud üks kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ja kirjutatakse y=f(x). Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni erinevad esitusviisid. Funktsioone saab esitada mitmel erineval viisil ning kõige enam kasutatakse kolme järgmist esitusviisi: tabelina, graafikuna, analüütiliselt. Näitena suvaline x ja y väärtustega tabel. Loomulik määramispiirkond. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. Mitmene funktsioon
Määramispiirkond. Muutumispiirkond. Funktsiooni graafik. Definitsioon Kui igale arvule x : ∈ X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y ,siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f (x) ja kirjutatakse: y=f(x), x∈X. Hulka X nimetatkase funksiooni määramispiirkonnaks. Hulka Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Definitsioon : Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktide (x;y) hulka {(x;y)ㅣy=f(x),x∈X} xytasandil. 5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid). 1. Esitus ilmutatud kujul. Esitatakse valemiga y=f(x), mis näitab, millised tehted tuleb teostada argumendiga, et saada funktsiooni väärtus
argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määaramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x vääartus millele vastab mitu y väärtust. Argumendi, sõltuva muutuja, määramispiirkonna ja
Funktsiooni f on pidev kohal a parajasti siis kui iga jada {xn} n =1 korral, mis koondub elemendiks a piirväärtus limn-> f(xn)=f(a) f (xn) = f (a). 3. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Määramispiirkond, mutumispiirkond, nivoojooned(-pinnad). Definitsioon Kui hulga (külliliU) Rn igale punktile P(x1; .....; xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktsioon. Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks
see võrdus kehtib, nim. funktsiooni y = f(x) perioodiks. (kõik trigonomeetrilised funktsioonid) 6. Paaris funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paaris funktsiooniks kui f(-x) = f(x). Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes ( cos ) 7. Paaritu funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon - olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y
muutumispiirkonnaks. Def. Olgu antud kaks muutujat x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Kirjutatakse y=f(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutatakse sümbolit x. Hulka Y={ f(x) || x X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul
Funktsioonid Olgu ja mittetühjad hulgad. Seost × nimetatakse funktsiooniks ehk kujutuseks hulgast hulka , kui iga jaoks leidub täpselt üks selline , et (,) . Seosest võib seega mõelda kui eeskirjast, mis seab hulga igale elemendile vastavusse hulga kindla elemendi. Kui on funktsioon hulgast hulka , siis kirjutatakse kohta ka: või Kui (,), siis kasutatakse kirjutist =() või :. Hulka nimetatakse funktsiooni lähtehulgaks ehk määramispiirkonnaks ja hulka nimetatakse funktsiooni sihthulgaks. Elementi nimetatakse väärtuseks ehk elemendi kujutiseks, elementi nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk elemendi originaaliks. Funktsiooni asemel räägitakse abstraktsemate hulkade korral ka operaatorist või kujutusest. Kujutust : nimetatakse hulga teisenduseks. Funktsiooni mõiste hulgateoreetiline käsitlus samastab funktsiooni tema graafikuga, nagu me
y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Muutumispiirkond? Hulga X elementide x kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks, muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Eeskirja kohaselt
muutumispiirkonnaks. Def. Olgu antud kaks muutujat x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Kirjutatakse y=f(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutatakse sümbolit x. Hulka Y={ f(x) || x X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul
C) lugeja aste on suurem, kui nimetaja aste, siis murru piirväärtus on Funktsioonid y=ax , kus a-tõus ,,a" iseloomustab, millise nurga sirge moodustab, mida suurem on a seda suurem on x-telje ja sirge vaheline nurk. Kui a on positiivne, siis on tõusev sirge I ja III veerandi suunaline. Kui a on negatiivne, siis on II ja IV veerandi suunaline langev sirge. Funktsionaalsed seosed: y=ax võrdeline seos y=a/x pöördvõrdeline seos y=ax+b lineaarne seos y=ax² ruutfunkts. Seos Funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtusi saab leida. Tähistatakse X. y-väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Tähistatakse Y Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtuste hulk on positiivne Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtuste hulk on negatiivne + X -positiivsuspiirkond - X -negatiivsuspiirkond
lihtmurruks, kui m
f(a); limxa f(x); limxa f(x) = f(a). 2. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et Tähistatakse f(x) C(a). hulgal X on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y= f(x), x X. Def. Fun-ni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a Hulka x nim. fun-ni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x X y = f(x)} Y fun-ni f nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. muutumispiirkonnaks. Elementi x nim. fun-ni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a elementi y sõltuvaks muutujaks. eksisteerivad funktsiooni f (x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused.
annaabi.ee 
