Funktsioonid ja nende graafikud (0)

Funktsioonid ja nende graafikud
© T. Lepikult, 2010
Funktsioon
Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema
muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis
öeldakse, et y on x funktsioon.
Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse
y = f(x).
Näited:
Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt
läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on
tõmbejõu funktsioon jne.
Funktsiooni argument
Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e.
argumendiks.
Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y
väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni
määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni
väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks.
Näide
Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon
S = r 2 ,
kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle
funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk.
Funktsiooni määramispiirkonna
osahulgad
Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral
funktsiooni väärtus on null:<
Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille
korral funktsiooni väärtus on positiivne:<
Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille
korral funktsiooni väärtus on negatiivne:<
(määramispiirkonda ei kuulu
arvu /2 paarituarvkordsed)
Arkusfunktsioonid
Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid
y
y y = arccos x
y = arcsin x
/2
/2
-1 0
1 x
0
-/2 -1 1 x
1. Määramispiirkond: -1 x 1 1. Määramispiirkond: -1 x 1
2. Muutumispiirkond: 2. Muutumispiirkond:
-/2 x /2 0 x .
3. Kasvav funktsioon. 3. Kahanev funktsioon.
Arkustangens
y
/2
/4 y = arctan x
0
1 x
-/2
1. Määramispiirkond: - x
2. Muutumispiirkond:
-/2 x /2
3. Kasvav funktsioon.
Ülesanne
Antud on joonisel kujutatud ristküliku B
küljed AB = 8 cm, BC = 6 cm ja AP = BQ A P
= CR = DS = x cm.
1) näidake, et kujundi PQRS pindala esitab Q
funktsioon
2) Leidke, millise x väärtuse korral on S
kujundi PQRS pindala minimaalne;
3) Arvutage kujundi PQRS minimaalne D R C
pindala.
S ( x ) = 2 x 2 - 14 x + 48.
Lahendus
Sirglõigud PQ, QR, RS ja PS lõikavad ristkülikust välja neli
paarikaupa võrdset täisnurkset kolmnurka.
Lahendus (II)
x 8-x
Sirglõigud PQ, QR, RS ja PS lõikavad A
ristkülikust välja neli paarikaupa võrdset P B
täisnurkset kolmnurka: Q
6-x
APS = CRQ ja BPQ = DRS
S
Esimese kolmnurkade paari korral on R C
x
kaatetite pikkusteks x ja 8 - x, teise paari D
korral aga x ja 6 - x,
Kujundi (lihtne on näidata, et rööpküliku) pindala saame, kui
ristküliku ABCD pindalast lahutada nelja kolmnurga pindalad:
1 1
S ( x) = 8 6 - 2 x(6 - x) - 2 x(8 - x) = 48 - 14 x + 2 x ,
2
2 2
mida oligi tarvis tõestada.
Lahendus (III)
Pindalafunktsiooni miinimumkoha määramiseks märgime, et
funktsiooniks on ülespoole avanev ruutparabool, mille miinimumkoha
leidmiseks tuleb funktsiooni diferentseerida ja leida seepeale
tuletisfunktsiooni nullkoht:
S ' ( x) = -14 + 4 x = 0,
millest
7
4 x = 14 x = = 3,5.
2
Uurimaks, kas leitud kriitilises punktis on miinimum, leiame ka
funktsiooni S(x)teist järku tuletise:
S ' ' ( x ) = (-14 + 4 x)' = 4.
Teist järku tuletis osutus kriitilises punktis positiivseks ja seega on
tõesti funktsioonil S(x) sellel kohal miinimumkoht.
Lahendus (IV)
Pindala minimaalseks väärtuseks saame:
S (3,5) = 48 - 14 3,5 + 2 (3,5) 2 = 48 - 49 + 24,5 = 23,5 cm 2
Vastus Kujundi pindala on minimaalne, kui x = 3,5 ja sellele
vastab pindala S = 23,5 cm2.
3. Joonestage funktsiooni
y = x | x -1 |
graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad.
Ülesanne 2
Ülesanne 2.
Joonestage funktsiooni y = x | x -1 |
graafik lõigul [-3; 3] ja leidke nullkohad.
Lahendus
Kuna
x - 1, kui x - 1 0 ( x 1),
| x - 1 |=
- ( x - 1) = - x + 1 kui x - 1 siis
x ( x - 1), kui x 1,
y = x | x - 1 |=
- x ( x - 1) kui x Seega tuleb funktsiooni graafik joonestada eraldi kahes piirkonnas:
piirkonnas, kus x Lahendus (II)
Kummaski piirkonnas on graafikuks ruutparabool, esimesel juhul alla ja
teisel juhul üles avanev. Ka paraboolide nullkohad on samad:
x = 0 ja x = 1. y
Parabooli kuju täpsustamiseks
leiame funktsiooni
z = x(x ­ 1) väärtused 6
argumendi täisarvuliste
3
väärtuste korral x
x z y
-3 -2 0 1 2 3
-3 12 -12 -3
-2 6 -6
-6
-1 2 -2
0 0 0 -9
1 0 0
2 -12
2 2
3 6 6