Matemaatiline Maailmapilt (0)

Seosed
Seoseks (ehk vastavuseks, sageli ka relatsiooniks või suhteks) hulkade 𝐴 ja 𝐵 vahel nimetatakse otsekorrutise 𝐴×𝐵 mistahes osahulka.
Seega, seos hulkade 𝐴 ja 𝐵 vahel on järjestatud paaride (𝑎,𝑏) hulk, kus 𝑎∈𝐴 ja 𝑏∈𝐵. Teisiti öeldes, seos on mingi osahulk 𝑅⊆𝐴×𝐵. Paari (𝑎,𝑏)∈𝑅⊆𝐴×𝐵 korral öeldakse, et elemendid 𝑎 ja 𝑏 on seoses 𝑹 ning tähistatakse ka 𝒂𝑹𝒃. Mõnikord öeldakse osahulga 𝑅 kohta, et see on seose graafik.
Kui 𝐴=𝐵, ehk kui 𝑅⊆𝐴×𝐴, siis räägitakse seosest hulgal 𝑨.
Näide 1. Olgu 𝐴 ja 𝐵. Siis 𝑅 on binaarne seos hulkade 𝐴 ja 𝐵 vahel. Samade hulkade 𝐴 ja 𝐵 korral võime vaadelda veel palju teisi seoseid , näiteks seost 𝑅2, mis on antud tingimusega, et see koosneb paaridest (𝑎,𝑏), millede korral 𝑏 jagub arvuga 𝑎. Siis 𝑅.
Näide 2. Olgu hulgaks 𝐴 kõigi naturaalarvude hulk ℕ ning seoseks 𝑅 osahulk hulgas ℕ×ℕ, mis koosneb kõikidest paaridest (𝑎,𝑏), mille korral arv 𝑎 on arvu 𝑏 jagaja. Seega 𝑅. Seda seost 𝑅 nimetatakse jaguvusseoseks.
Näide 3. Olgu 𝐴 mistahes hulk ja 𝑅. Mistahes elementide 𝑎,𝑏∈𝐴 korral (𝑎,𝑏)∈𝑅 parajasti siis, kui 𝑎=𝑏. Seda seost 𝑅 nimetatakse võrdusseoseks hulga 𝐴 elementide vahel.
Ülesanne 1. Olgu täisarvude hulgal antud järgmised seosed: 𝑅, 𝑅, 𝑅, 𝑅, 𝑅, 𝑅.
Millised seosed sisaldavad paare (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, −1) ja (2, 2)?
Lahendus. Paar (1, 1) kuulub seostesse 𝑅1, 𝑅3, 𝑅4 ja 𝑅6. Paar (1, 2) kuulub seostesse 𝑅1 ja 𝑅6. Paar (2, 1) kuulub seostesse 𝑅2, 𝑅5 ja 𝑅6. Paar (1, −1) kuulub seostesse 𝑅2, 𝑅3 ja 𝑅6. Paar (2, 2) kuulub seostesse 𝑅1, 𝑅3 ja 𝑅4.
Kui palju erinevaid seoseid saab olla hulgal, milles on 𝑛 elementi? N^2
Seoste esitusviise
Seoseid võib esitada väga mitmel viisil.
i. Kui hulgad 𝐴 ja 𝐵 on lõplikud ja ei sisalda väga palju elemente, siis võib seost 𝑅 määrata lihtsalt temasse kuuluvate elemendipaaride loetelu teel (vt näiteid 1 ja 2). Seost võib kujutada ka tabelina. Seos 𝑅1 näites 1 esitub tabelina järgmiselt:
A
2
2
3
3
B
2
3
1
5
ii. Kui otsekorrutist 𝐴 × 𝐵 kujutada ristkülikuna, siis seost hulkade 𝐴 ja 𝐵 vahel võime kujutada ükskõik millise kujundina selle ristküliku sees. .
iii. Maatriksesitus. Olgu 𝐴 ja 𝐵 ning 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵. Seame seosele 𝑅 vastavusse maatriksi 𝑀𝑅 = (𝑚𝑖𝑗), kus 𝑚𝑖𝑗 = 1, kui (𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ) ∈ 𝑅 ja 𝑚𝑖𝑗 = 0, kui (𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ) ∉ 𝑅, kus 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 ja 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚.
iv. Seoseid võib kujutada ka mitmesuguste nooldiagrammide abil. Kui element on seoses iseendaga , siis seda väljendab ringnool algus- ja lõpp- punktiga sama elemendi juures.
v. Eespool oli juba mainitud , et seost võib määrata ka sõnaliselt , mingi omaduse või tingimuse abil, valemina jms.
Seoste omadused
Binaarset seost 𝑅 hulgal 𝐴 nimetatakse:
– refleksiivseks, kui iga element on iseendaga seoses, s.o iga 𝑎∈𝐴 korral (𝑎,𝑎)∈𝑅;
– antirefleksiivseks, kui ükski element ei ole endaga seoses, s.o iga 𝑎∈𝐴 korral (𝑎,𝑎)∉𝑅;
– sümmeetriliseks, kui elemendid on vastastikku seoses, s.o iga 𝑎,𝑏∈𝐴 korral, kui (𝑎,𝑏)∈𝑅, siis (𝑏,𝑎)∈𝑅;
– asümmeetriliseks, kui elemendid tohivad olla seoses vaid ühes järjestuses, s.o iga 𝑎,𝑏∈𝐴 korral, kui (𝑎,𝑏)∈𝑅, siis (𝑏,𝑎)∉𝑅;
– antisümmeetriliseks, kui iga 𝑎,𝑏∈𝐴 korral (𝑎,𝑏)∈𝑅 ja (𝑏,𝑎)∈𝑅 vaid siis, kui 𝑎=𝑏;
– transitiivseks, kui iga 𝑎,𝑏,𝑐∈𝐴 korral, kui (𝑎,𝑏)∈𝑅 ja (𝑏,𝑐)∈𝑅, siis (𝑎,𝑐)∈𝑅;
– lineaarseks, kui iga 𝑎,𝑏∈𝐴 korral (𝑎,𝑏)∈𝑅 või (𝑏,𝑎)∈𝑅.
Tehted seostega
Kuna formaalselt on seos hulk, siis rakenduvad hulgateoreetilised tehted ka seostele. Näiteks saab rääkida seoste ühendist, ühisosast, vahest või täiendist.
Olgu antud seosed 𝑅⊆𝐴×𝐵 ja 𝑆⊆𝐴×𝐵, kus 𝐴 ja 𝐵 on hulgad.
Seoste 𝑅 ja 𝑆 ühendiks nimetatakse seost 𝑅∪𝑆, mille korral 𝑎(𝑅∪𝑆)𝑏 ⇔ 𝑎𝑅𝑏 ∨𝑎𝑆𝑏.
Seoste 𝑅 ja 𝑆 ühisosaks ehk lõikeks nimetatakse seost 𝑅∩𝑆, mille korral 𝑎(𝑅∩𝑆)𝑏 ⇔ 𝑎𝑅𝑏 ∧𝑎𝑆𝑏.
Seose 𝑅 täiendiks nimetatakse seost 𝑅′, mille korral 𝑎𝑅′𝑏 ⇔ ¬(𝑎𝑅𝑏).
Nii defineeritud tehetele kanduvad mõistagi üle kõik suvaliste hulkade ühendi, ühisosa ja täiendi omadused. Universaalse hulga rollis on siin universaalne seos 𝑈=𝐴×𝐵.
Näiteks seose 𝑅 täiendiks hulgal ℝ on seos 𝑅′={(𝑎,𝑏) | 𝑎