1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga kül
kohad esialgse funktsiooni m¨a¨ aramispiirkond ja v¨a¨artuste hulk. Olgu x = g(y) u¨ ks¨ uhese funktsiooni y = f (x) p¨o¨ordfunktsioon. Siis funkt- sioonid f ja g kompenseerivad teineteist j¨argmises m~ottes. Fikseerime mingi x v¨a¨artuse ja arvutame f (x). Seej¨arel arvutame g[f (x)], st funktsioon g kohal f (x). Tulemusena saame esialgse x v¨a¨artuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f [g(y)] saame y v¨a¨artuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f (x)] = x , f [g(y)] = y . (1.2) Kui g of funktsiooni f p¨o¨ordfunktsiooni, siis f on g p¨o¨ordfunktsioon. Funktsiooni y = f (x) ja tema p¨o¨ordfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellep¨arast, et funktsioonid y = f (x) ja x = g(y) m¨a¨aravad u¨ hed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka u ¨hed ja samad punktid P = (x, y) tasandil
Mat. analüüsi eksami küs. vastused: OSA 1 1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X? Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X 2. Tooge hulkade kohta 2 näidet! y fx () Reaalarvude-, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite-, kaubahalli kauba hulk. 3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatri
Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R \{(2k + 1)/2 * || k Z},Y = R, y = cot x : X = R \ {k || k Z}, Y = R. Graafikud. Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2 ning y = tan x ja y = cot x perioodiga . Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris. 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Logaritmfunktsioon ja tema määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x)
funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos: Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st funktsioon g kohal f(x). Tulemusena saame esialgse x väärtuse tagasi. Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. See on nii sellepärast, et funktsioonid y = f(x) ja x = g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x, y), seega ka ühed ja samad punktid P = (x, y) tasandil. Erinevus neis kahes funktsioonis seisneb ainult selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i.
kohad määramis- ja muutumispiirkond. g[ f(x) ] = x, f[ g(y) ] = y Kui g on f-ni f pöördfunktsioon, siis f on g pöördfunktsioon. Nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes (peegelduvad). Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon, sest x-teljega paralleelne sirge läbib eksponentfunktsiooni y = graafikut maksimaalselt ühes punktis. Kuju: , kus a on logaritmi alus. Kehtivad seosed: ja . Kuna pöördfunktsiooni võtmisel vahetavad määramispiirkond ja väärtuste hulk kohad, siis f-ni määramispiirkond ja väärtuste hulk on vastavalt: X=(o,) ja Y = R. Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 erinev. Arkusfunktsioonid trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Trigonomeetrilised f-nid pole kogu oma määramispiirkonnas üksühesed ja nende
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv�
1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. 10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x 1, x2, x3, ... Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rtust, millest alates
Kõik kommentaarid