Loogika ülesanded 2 (4)

Eesti Ettevõtluskõrgkool Mainor - Filosoofia - Loogika

3 HALB

Olgu meil kasutada predikaadid ISA(x,y), EMA(x,y) ja MEES(x) mis tähendavad vastavalt, et x on y isa, x on y ema ja x on meessoost. Predikaatmuutujate määramispiirkonnaks on kõigi inimeste hulk. Väljendada predikaatarvutuse abil sugulussidemed:

õed - x ja y on õed kui
xy (ÕDE(x,y)  z (ISA(z,x)  ISA(z,y))  u (EMA(u,x)  EMA(u,y))  (MEES(x)  MEES(y))).
või
x on y-i õde kui
xy (ÕDE(x,y)  z (ISA(z,x)  ISA(z,y))  u (EMA(u,x)  EMA(u,y))  MEES(x))
lugesin õigeks ka nö. kasuõdede variandi. (25% õigeid vastuseid)

vanatädi - x on y-i vanatädi kui
xy (VANATÄDI(x,y)  zuvw((EMA(z,y)  ISA(z,y))  (EMA(u,z)  ISA(u,z))  EMA(v,u)  EMA(v,x)  ISA(w,u)  ISA(w,x)  mees(x))
siin seega z on y-i ema või isa, u on vanaema või vanaisa ja x on viimase õde.
(7% õigeid vastuseid)

Kui mu abikaasa mind petab , siis jätan ta maha või hakkan ka ise teda petma. Kui ma oma abikaasat petan, jätan ta varem või hiljem igal juhul maha. Kui abikaasa peakski mind petma, võin siiski talle andestada ja teda mitte maha jätta.
Tõestada lausearvutuse tuletusreegleid kasutades järgmine arutluse kehtivus või vastuolulisus.
Tähistame:
Mu abikaasa petab mind - A
Ma jätan ta maha - M
Hakkan ka ise teda petma - I

A(MI)

IM

AM

A - eeldus

MI 1), 4), MP

M 3), 4), MP

I 5), 6), DS

M 2), 7), MP

MM 6), 8), conj - VASTUOLU
(71% õigeid vastuseid)

Kontrollida, kas järgmised lausepaarid on loogiliselt ekvivalentsed:

A B  C ja (ABC)  (CAB)
Tehete järjek. 
1.
F
1.
2.
F
3.
4.
A
B
C
A

B

C
(A

B

C)

(C

A

B)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
Vastus. EI OLE EKVIVALENTSED
(70% õigeid vastuseid)

A (BA) ja A B
Teh jk. 
F
2.
1.
1.
F
A
B
A

(B

A)
A

B
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
Vastus: ON EKVIVALENTSED
(96% õigeid vastuseid)

poolvennad - x ja y on poolvennad kui
xy (POOLVENNAD(x,y)  z (ISA(z,x)  ISA(z,y)  EMA(z,x) & EMA(z,y))  MEES(x)  MEES(y))
Selline konstruktsioon peaks garanteerima, et on tegemist nimelt poolvendadega kuna z ei saa olla korraga isa ja ema realiseerib see sisuliselt XOR tehte .
(23% õigeid vastuseid)

onutütar - x on y-i onutütar kui
xy (ONUTÜTAR(x,y)  zuvwt ((EMA(z,y)  ISA(z,y))  EMA(u,z)  EMA(u,w)  ISA(v,z)  ISA(v,w)  MEES(w) & ISA(w,t)  MEES(t))
Siin z on ükskõik kumma y-i vanema rollis, u on z ja w ema ja v on z ja w isa, seega w oleks y-i onu (kuna ta on mees). Lõpuks t on w tütar. (5% õigeid vastuseid)

Arvutimängu kangelane käitub järgmiste reeglite alusel. Kui ta kohtab vaenlast, siis ta kas võitleb või põgeneb. Kui tal ei ole relva, ei saa ta võidelda. Kui ta hindab vastast tugevamaks põgeneb ta samuti.
Esitada eeltoodud tingimused lausearvutuse keeles.
Tõestada, et tingimuse "Kui kangelane hindab vastast nõrgemaks siis ta võitleb" lisamine, tekitab käitumisreeglite süsteemis vastuolu. Kuidas tuleks see tingimus sõnastada, et vastuolu ei tekiks?
võitleb - V
põgeneb - P
omab relva - R
vastane tugevam - T

V  P

R  V

T  P

T  V lisatud tingimus
Vastuolu saab konstrueerida näiteks kontranäitega juhul kui T  R (st. vastane on nõrgem, aga relva ei ole, tuleks reegli 2) järgi võitlemisest loobuda ja reegli 4) järgi võidelda.
Peaksime sõnastama reegli (4) ümber RT  V.
(46% õigeid vastuseid)

Kontrollida, kas järgmised lausepaarid on loogiliselt ekvivalentsed:

B  (A C) ja (A B C)  (C B A)
Tehete järj. 
F
1.
1.
2.
F
3.
4.
A
B
C
B

(A

C)
(A

B

C)

(C

B

A)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
Vastus. EI OLE EKVIVALENTSED
(78% õigeid vastuseid)

AB ja A B  AB
Teh jk. 
1.
2.
F
3.
4.
1.
F
A
B
A

B

A

B
A

B
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
Vastus: ON EKVIVALENTSED
(98% õigeid vastuseid)

lapselaps x on y-i lapselaps kui
xy (LAPSELAPS(x,y)  z ((ISA(z,x)  EMA(z,x)) & (ISA(y,z)  EMA (y,z)))
(45% õigeid vastuseid)

onu x on y-i onu kui
xy (ONU(x,y)  zuv ((ISA(z,y)  EMA(z,y))  ISA(u,z)  ISA(u,x) & EMA(v,z) & EMA(v,x) & MEES(x)))
või ka
xy (ONU(x,y)  zu ((ISA(z,y)  EMA(z,y))  (ISA(u,z)  EMA(u,z))  (ISA(u,x)  EMA(u,x)) & MEES(x)))
(38% õigeid vastuseid)

Kui mu abikaasa mind petab, siis jätan ta maha või hakkan ka ise teda petma. Mina ei peta oma abikaasat kunagi kui tema mind ei peta. Ma ei jäta kunagi oma abikaasat maha enne, kui mul pole juba kedagi teist silmapiiril. Isegi uue kaaslase otsimist võib pidada petmiseks.
Kas selliste põhimõtetega inimene saab maha jätta truu abikaasa?
Tõestada lausearvutuses. tuletusreegleid kasutades.
Tähistame:
Mu abikaasa petab mind - A
Ma jätan ta maha - M
Hakkan ka ise teda petma - I
Otsin uut kaaslast - O

A  (MI)

A  I

O  M

O  I

A

M - Hüpotees

I 2), 5), MP

(OI)(IO) 4), Bic

OI 8), Simp

I  O 9), Contra

O 7), 10), MP

M 3), 11), MP

M  M 6), 12) Conj - VASTUOLU
(39% õigeid vastuseid)

Kontrollida, kas järgmised lausepaarid on loogiliselt ekvivalentsed:

A  (B  C) ja A B C  AB  AC
Tehete järj. 
F
1.
1.
2.
F
3.
5.
4.
A
B
C
A

(B

C)
A

B

C

A

B

A

C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Vastus. ON EKVIVALENTSED
(86% õigeid vastuseid)

A B ja BA
Teh jk. 
1.
F
1.
F
A
B
A

B
B

A
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
Vastus: ON EKVIVALENTSED
(91% õigeid vastuseid)

õde ja vend x ja y on õde ja vend kui
xy (ÕDE_VEND(x,y)  zu (ISA(z,x)  ISA(z,y)  EMA(u,x)  EMA(u,y)  (MEES(x)  MEES(y))))
(28% õigeid vastuseid)

vanaisa - x on y-i vanaisa kui
xy (VANAISA(x,y)  z ((ISA(z,y)  EMA(z,y))  ISA(x,z)))
(33% õigeid vastuseid)

Kursuse käigus tehakse kolm kontrolltööd. Õppejõud teatas, et need üliõpilased, kes sooritavad edukalt esimese ja kolmanda kontrolltöö on omandanud piisavalt teadmisi ja saavad automaatselt arvestuse. Sama kehtib ka teise ja kolmanda töö edukalt sooritanute kohta. Kas on õigustatud esimese ja teise kontrolltöö edukalt sooritanute väide, et ka nemad peaksid automaatselt arvestuse saama?
Tõestada lausearvutuse tuletusreegleid kasutades.
Tegelikult piisaks lihtsalt kontranäitest. Kui näiteks eeldada, et tööd A ja B oleks identsed ja töö C nö. uue teema peale, siis ei saa kindlasti väita, et A ja B sooritamine annab küllaldaselt teadmisi.
Proovime siiski ka formaalse tõestuse ära:
A - esimene töö
B - teine töö
C - kolmas töö
T - piisaval hulgal teadmisi

A  C  T

B  C  T

A  B  T - hüpotees
Peaks samaselt kehtima (ACT)  (BCT)  (ABT) =
= ((AC)  T)  ((BC) T)  ((A&B)T) =
= (A  C  T)  (B  C  T)  (A  B  T) =
= ((A  C  T)  (B  C  T))  A  B  T =
= (A  C  T)  (B  C  T)  A  B  T =
= A  C  T  B  C  T  A  B  T
1
3
2
7
4
6
5
9
8
11
10
12
A
B
C
T
A

C

T

B

C

T

A

B

T
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Kuna ülaltoodud lause ei olnud samaselt tõene, ei kehti järelikult väide, et A ja B sooritamine on piisav. Tegelikult sai see ülesanne natuke liiga raske ja seetõttu hindasin veidi paremini (43% õigeid vastuseid)

Kontrollida, kas järgmised lausepaarid on loogiliselt ekvivalentsed:

A  B  C ja A  B C
F
1.
1.
F
A
B
C
A

B

C
A

B

C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
Vastus: EI OLE EKVIVALENTSED
(90% õigeid vastuseid)

(AB) ja AB  AB
A
B

(A

B)
A

B

A

B
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
Vastus: ON EKVIVALENTSED
(83% õigeid vastuseid)

.DOC Laadi alla originaalfail 8 lk · .doc · 143 allalaadimist

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 8 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-09-30 Kuupäev, millal dokument üles laeti

143 laadimist Kokku alla laetud

4 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

fking Õppematerjali autor

Ülesanded ja arvutuskäik

loogika

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline maailmapilt

" 1. Antud juhul P(x, y) = ,,x < y" 2. ¬(x y , x < y) 3. x y , ¬(x < y) 4. x y , x y Leidub reaalarv x nii, et mis tahes reaalarvu y korral x y. 2. LOENG Lausearvutuse põhimõisted Loogika (kr. logiké techne mõtlemiskunst, logos sõna, mõiste, mõistus) on teadus õigest mõtlemisest, selle vormidest ja struktuuridest. Traditsioonilise loogika aluseks on mõtlemisseadused, mida kutsutakse ka loogika aksioomideks: 1. samasuse seadus 2. vasturääkivuste lubamatuse seadus 3. välistatud kolmanda seadus 4. küllaldase aluse seadus Matemaatiline loogika on loogika haru, milles loogikaprobleemide käsitlemiseks kasutatakse matemaatilisi meetodeid. Kokkulepped: Lausearvutuse lauseks võib olla igasugune lause, mille puhul saame rääkida selle sisu vastavusest tegelikkusele. Seejuures eeldame, et 1

Matemaatika

pdf

lausearv4up

Verbaalsed ja Formaalsed esitused LAUSEARVUTUS Verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. (nii suuline kui ka kirjalik esitus). Näiteks ajalugu ja filosoofia on valdkonnad, kus kogu informatsioon on Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles esitatud ainult verbaalselt. väljendatud) väide, millele saame omistada tõeväärtuse — tõene või vale. Formaalne esitus on mistahes info (reeglina kirjalik) esitamine ilma Tõeväärtusi tähistame numbritega 0 ja 1. lingvistilise keele abita ehk esitus kokkulepitud sümbolite 0 — vale (v

Algoritmid ja andmestruktuurid

273

pdf

Lembit Pallase materjalid

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul

Matemaatiline analüüs

doc

Kordamisküsimused - vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda

Matemaatiline analüüs 2

pdf

Matemaatiline analüüs II loengukonspekt

MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Mitmemuutuja funktsioonid

MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D nimetatakse selle osa, mis on piiratud

Matemaatiline analüüs 2

pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Loogikaalgebra

Loogikaalgebra ( Boole'i algebra ) Kasutusel on ka alternatiivseid tehtemärke: &   ~  +    Ü George Boole (1815 — 1864) Inversiooni esitatakse mõnes allikas ka ülakomaga: ¯  x' x T T Sündinud Inglismaal Lincolnis. 16-aastasena tegutses kooliõpetaja assistendina. Õppis 5 aastat iseseisvalt omal käel matemaatikat, Loogikaavaldiste võrdsus keskendudes

Matemaatika

Rohkem sarnaseid