Siis y = f g ( x) = ( 2 x - 1) . 3 Selliseid funktsioone aga, mis on saadud põhilistest elementaarfunktdsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. x + log 2 x Näiteks y = . 2x + 1 Järgnevates ülesannetes leiame funktsiooni nn. loomuliku määramispiirkonna, mis lähtub funktsiooni analüütilisest avaldisest. 3x + 1 Ülesanne 1. Leida funktsiooni y = määramispiirkond. x2 -1 Lahendus. 3x + 1 Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. x2 -1 Sellepärast leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x 2 - 1 0 ehk
öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõikab ringoone kahes punktis. 3. Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks. Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonna leidmiseks tuleb kindlaks äärata need argumendi x väärtused, mille korral on võimalik funktsiooni väärtust arvutada. Määramispiirkonna leidmisel arvestame: Murru nimetja ei tohi võrduda nulliga
väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus sõltumatuks muutujaks e. argumendiks on raadius r. Selle funktsiooni määramispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk. Funktsiooni määramispiirkonna osahulgad Funktsiooni nullkohad on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on null: X0 = {x | x X , f ( x) = 0} Funktsiooni positiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne: X+ = {x | x X, f ( x ) > 0} Funktsiooni negatiivsuspiirkond on määramispiirkonna osahulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne: X- = {x | x X, f ( x ) < 0} .
X R f (x ) = x + 3 X = ]- ;-3[ ]- 3; [ * paarisjuure argument peab olema mittenegatiivne X R f (x ) = 2x - 7 X = [3,5; [ *logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne X R ( f ( x ) = log x 3 + 1 ) X = ]- 1; [ 1 Funktsiooni muutumispiirkond Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on funktsiooni muutumispiirkond. Argumendi igale väärtusele vastab üks ja ainult üks funktsiooni väärtus. Funktsiooni mingi väärtus võib vastata ainult ühele argumendile (üks-ühene funktsioon) või mitmele argumendile. f (x) = ln x Y =R f (e ) = 1 f (x ) = x 2 - 1 Y = [- 1; [ f (2) = 3 f (- 2) = 3 f ( x) = sin x Y = [-1;1] f (0) = 0 f (± ) = 0 ...
arkussiinus arcsin x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; arkuskoosinus arccos x eksisteerib, kui x 1 1 x 1 ; 3x 1 Näide 1. Leida funktsiooni y määramispiirkond. x2 1 3x 1 Lahendus. Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. Sellepärast x2 1 leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x2 1 0 ehk x 2 1 ehk x 1 tuletame meelde, et ka 1 1 . 2 Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X ; 1 1;1 1; . Näide 2. Leida funktsiooni y 5 3x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 3x 0 .
Kui leidub ühekordne piirväärtus lim f ( P ) , siis ei järeldu et leidub A või leidub B. P P0 Funktsiooni pidevus Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D ja punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ,...) D . Kui kehtib võrdus lim f ( P ) = f ( P0 ) , siis öeldakse, et funktsioon f on pidev punktis P0. P P0 Kui funktsioon on pidev oma määramispiirkonna igas punktis, siis öeldakse et antud funktsioon on pidev. Kõik elementaarfunktsioonid on pidevad. Funktsiooni määramispiirkonna punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse antud funktsiooni katkevuspunktiks. Mitme muutuja funktsiooni diferentseerimine Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim
MIS ON JADA? Jada on matemaatikas kujutus, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N või selle mõni alamhulk. Määramispiirkonna fikseeritud elemendi kujutist nimetatakse selle jada elemendiks ehk liikmeks. Kui kujutuse määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk või selle mõni lõpmatu alamhulk, siis räägitakse lõpmatust jadast. Lõpliku määramispiirkonna korral räägitakse lõplikust jadast ehk järjendist. Lõplike jadade puhul on võimalik kõnelda jada pikkusest ehk selle jada liikmete arvust. Jada pikkusega n määramispiirkonnaks valitakse sageli hulk {1,2,3,...,n} Tähistused: Lõplikke jadasid pikkusega n tähistatakse loetlemise teel või lühemalt pealiikme kaudu või . Lõpmatuid jadasid võib tähistada samuti loetlemise teel.. , ..või pealiikme kaudu
Vastavus seab lähtehulga elementidele vastavaks sihthulga elemente. Vastavuses osalevad lähtehulga elemendid moodustavad vastavuse määramispiirkonna Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse muutumispiirkonna Vastavuse W täiend on selline vastavus, kuhu kuuluvad vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid Vastavus on hulk, mis koosneb järjestatud paaridest Vastavuse W pöördvastavus on selline vastavus, mis seab vastavuse W sihthulga elementidele vastavaks tema lähtehulga elemente Milliseid tehteid saab teha vastavustega? Kompositsioon
Pöördfunktsioon defineeritakse nende () lim () Muutujaks ehk muutuvaks suuruseks nim suurust, mis võib Erijuhuks on ka reaalarvude jada. lim [ ] = , lim () 0 funktsioonide määramispiirkonna alamhulkadel. () lim () omandada erinevaid arvulisi väärtusi. Muutuva suuruse piirvääruse definitsioon
Funktsioon e kujutius- seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teiste
hulgast.
Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b.
Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega.
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
Määramispiirkond. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. 2)Jada koonduvusest järeldub selle jada tõkestatus Xn->a-->Xn=O(1) Muutumispiirkonna mõiste Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka Tõestus: nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafik on 3)Kui jada piirväärtus a on nullist erinev, siis jada teatud elemendist alates on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. jada liikme absoluutväärtus suurem kui |a|/2 5. Funktsiooni põhilised esitusviisid (loetleda, selgitada, tuua näiteid). 4) Kui jada {Xn} koondub ja selle jada piirväärtuseks on arv a, siis koondub ka *Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse jada {|Xn|}, kusjuures selle jada piirväärtuseks on |a| st Xn-> a -> |Xn| ->|a|
(Üheseks) funktsiooniks nim kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnas vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. d. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk d.i. Muutujat x nim sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks. d.ii. Muutujat y nim sõltuvaks muutujaks. d.iii. Argumendi x muutumispiirkonnaks nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonda. Määramispiirkonna tähis on X. d.iv. Hulka Y= nim funktsiooni f väärtuste hulgaks. e. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. e.i. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused teises reas. On võimalik, kui funktsiooni x-l on lõplik arv väärtusi. e.ii. Funktsiooni esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse X-na kirjeldus y=x²
Mida näitab predikaadi määramispiirkond? Näitab, milliseid väärtusi võib predikaatmuutuja omandada. Millal on predikaatlause täidetav ehk kehtestatav? Kui ta on tõene ainult osade muutujaväärtuste x korral, ehk on tõene osas oma määramispiirkonnas. Millised kvantorid on olemas? Millised on nende tähised? On olemas kaks kvantorit, nendeks on Üldsuse kvantor(tagurpidi A) ja eksistentsikvantor(Peegelpildis E). Üldsuse kvantor näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõikide muutujate väärtuste korral. Eksistentsi kvantor näitab, et predikaat kehtib vähemalt ühe oma määramispiirkonna muutuja väärtuste puhul. Millise loogikatehte üldistuseks on üldsuse kvantor? Konjuktsioon Millise loogikatehte üldistuseks on eksistentsikvantor? Disjunktsioon Millist muutujat nimetatakse seotud muutujaks ja millist vabaks muutujaks? Muutujad, millele on rakendatud kvantorit, nimetatakse seotud muutujaks.
( x2+y2+z2-5=0) Kahje muutuja funktisooni graafik on kõigi nende punktide (x,y,z) hulk ruumis R3 selliselt, et z=f(x,y) ja (x,y) on määramispiirkonnas D. Seega kahe muutuja graafik on ruumiline objekt, üldjuhul pind, kolmemõõtmelises ruumis R3. Näiteks ring raadiusega 3 2. Nivoopinna mõiste( definitsioon, näited ja omadused) DEF: Määramispiirkonna nende punktide (x,y) hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on konstantne, nimetatakse selle funktsiooni nivoopinnaks võrrandiga f(x,y)=k, kus k on konstant OMADUSED: Määramispiirkonna iga punkti läbib üks nivoopind(näiteks isoterm, isobaar) Nivoopinnad ei lõiku NÄITED: Topograafilised kaardid Õhuruumi jooned Maa magnetvälja tugevused Temperatuuri jooned
y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka Y = { f ( x )||x ∈ X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on n lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul
Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat Samaselt tõene predikaat: predikaat, mis kehtib kogu määramispiirkonnas Samaselt väär predikaat: predikaat, mis ei kehti kusagil määramispiirkonnas Tautoloogia: samaselt tõene lause Täidetav predikaat: predikaat, mis on tõene osas oma määramispiirkonnas Üldsuse kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna kõigi muutujate puhul Vastuolu: samaselt väär lause
Lihtsustus: y = - = = = ( x + x ) x x( x + x ) x ( x + x) x( x + x ) -x Asendus: y x( x + x) -x -1 y ' = lim = lim = lim = lim x x x x x xx( x + x) x x( x + x) -1 1 Määramispiirkonna lähendamine nullile: y ' = lim = - 2 TULETIS x x( x + x) x · Mõningate funktsioonide ja nende tuletiste seoseid: · Pöördvõrdeline seos x-i astendajate suurenemisega: Pöördvõrdelises seoses kehtib x-i astendajate suurenemisel funktsiooni ja tema tuletise vahel järgmine seos: 1 1 1 1 1 1 1
Hulka = ! | # nimetatakse funktsiooni ! väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitamine: 1. Tabelina funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiliselt funktsioon esitatakse valemi kuju. Kui vaja lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3. Graafiliselt Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon !, mille argument on , sõltuv muutuja ja määramispiirkond . Tasandil ristuvad - ja -teljed. Vaadeldes teljestikus joont $, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest % = , ! , kusjuures % esimene koordinaat jookseb läbi kogu määramispiirkonna . Seda joont nimetataksegi funktsiooni ! graafikuks. Lühidalt: $ = % = , & | #.
Leida funktsiooni f ( x) = log(5 x - 10) + 6 - 2 x määramispiirkond. Lahendus Funktsiooni määramispiirkonda kitsendavad kaks tingimust: 1) logaritmfunktsiooni argument peab olema positiivne: 5 x - 10 > 0; 2) ruutjuurealune avaldis ei või olla negatiivne: 6 - 2 x 0; Näide 2 (2) Saadud kaks võrratust moodustavad lineaarvõrratuste süsteemi, mille lahendihulk annabki funktsiooni määramispiirkonna: 5 x - 10 > 0, 6 - 2 x 0 Leiame esimese võrratuse lahendihulga: 5 x - 10 > 0 5 x > 10 x > 2. Teise võrratuse lahendihulk: 6 - 2x 0 6 2x x 3 Lahendiks on leitud arvuhulkade ühisosa: Vastus: Määramispiirkonnaks on poollõik 2 < x 3.
Küsimus 1 Õige - Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged : Vastavus seab elementidele lähtehulga vastavaks elemente sihthulga Küsimus 2 Õige - Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged mõisted : Vastavuses osalevad lähtehulga elemendid moodustavad vastavuse . määramispiirkonna Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse . muutumispiirkonna Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 sisesta õige sõna : Vastavuse W on selline vastavus, kuhu täiend kuuluvad vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid Küsimus 4 Õige - Hinne 2,00 / 2,00 vali õiged mõisted :
nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega võime kirjutada seose y = f(x) , (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost (1.1) nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul omab võrrand (1.1) kuju y = y(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sõmbolit X. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt: Esitusviis tabeli kujul: Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendi on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis: Funktsioon esitatakse valemi kujul
Hindepunktid 21,00/21,00 Hinne 100,00, maksimaalne 100,00 Küsimus 1 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged : Vastavus seab lähtehulga elementidele vastavaks sihthulga elemente Küsimus 2 Õige Hindepunkte 2,00/2,00 vali õiged mõisted : Vastavuses osalevad lähtehulga elemendid moodustavad vastavuse määramispiirkonna . Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse muutumispiirkonna . Küsimus 3 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 sisesta õige sõna : Vastavuse W täiend on selline vastavus, kuhu kuuluvad vastavusse W mittekuuluvad järjestatud paarid
2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Muutumispiirkond? Hulga X elementide x kujutiste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks, muutumispiirkond on funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis. Eeskirja kohaselt määramispiirkonna kõigi punktide teisendamisel saadud reaalarvude alamhulk on funktsiooni muutumispiirkond, argumendi igale väärtusele vastab ainult üks väärtus. Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Valemi abil (valem näitab, milliseid
Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on tasuvuspunkt. müügimaht, mille puhul tulu ja kulu on võrdsed. 6. Nõudlusfunktsioon Nõutav kogus QD on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse QD=Q (p) Pakkumisfunktsioon Pakutav kogus QS on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul QS=Q (p) 7. Defineerida tuletis. Mis on marginaalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot?
Tallinna Tehnikaülikool Diskreetne Matemaatika Kodutöö Jago Niin 123835 IASB12 1. Leida oma matriklinumbrile vastav 4-muutuja loogikafunktsioon. Matrikli number on 123835. Saadud 8-kohaline 16-süsteemi arv on 10247E89. Määramispiirkonna leidmisel tuleb arv F31680. f(, , , ) = 2. Leida MDNK ja MKNK, mis sobiksid matriklinumbrist leitud osaliselt määratud 4-muutuja funktsiooni esitamiseks. Leian MDNK Karnaugh' kaardiga. f(, , , ) = x3x4 00 01 11 10 x1x2 00 1 1 - 1 01 1 0 1 - 11 0 0 - 1 10 1 1 0 0 MDNK: f(, , , ) = v v v MKNK McCluskey meetodiga f(, , , ) =
Määaramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x vääartus millele vastab mitu y väärtust. Argumendi, sõltuva muutuja, määramispiirkonna ja vääartuste hulga mõisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate mõistetega ühese funktsiooni korral. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääartused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka
hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni mõiste Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame sümbolit X. Hulka Y=f(x) || x X nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust. Funktsiooni esitusviisid: 1) Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli
00 sihthulga elemente Question 2 vali õiged mõisted : Correct Vastavuses osalevad lähtehulga elemendid moodustavad Mark 2.00 out of 2.00 vastavuse määramispiirkonna . Vastavuses osalevad sihthulga elemendid moodustavad vastavuse muutumispiirkonna . Question 3 sisesta õige sõna : Correct Vastavuse W täiend on selline vastavus, kuhu kuuluvad
1. Mitme muutuja funktsiooni definitsioon. Mitme muutuja funktsiooni määramispiirkonna definitsioon (kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond). Erinevad piirkonnad, piirkonna rajajoon. Tõkestatud piirkond. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x;y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Kahe muutuja funktsiooni z märgitakse kujul z=f(x,y).
tähistatakse f''. Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 31. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud kaks funktsiooni g : X Y ja f : Y1 Z. Kui leidub vähemalt üks selline x X, et g(x) Y1 ja seega f[g(x)] Z, siis on meil defineeritud uus funktsioon F(x) = f[g(x)], mille määramispiirkonna X1 moodustavad kõik sellised funktsiooni u = g(x) määramispiirkonna X elemendid x, mille korral g(x) kuulub funktsiooni f(u) määramispiirkonda Y 1. Saadud funktsiooni F nimetatakse funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks. Funktsioone f ja g nimetatakse siinjuures liitfunktsiooni F komponentideks, seejuures funktsiooni g nimetatakse ka liitfunktsiooni seesmiseks funktsiooniks, funktsiooni f aga väliseks funktsiooniks.
Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. · Funktsiooni esitusviisid. 1. Tabel Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole.
Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. · Funktsiooni esitusviisid. 1. Tabel Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole.
Hulka f(X)={ y e Y: leidub x e X, nii et f(x)=y} nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Hulk Y. Funktsiooni loomulik määramispiirkond on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Põhilised esitusviisid: valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on määramispiirkonna X element. {(x;y): f(x)=y} 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x) x= f-1(y) 6. Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu ja keskmine kulu? Püsikulu (TFC) - kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust Muutuvkulu (TVC) - kulu, mis sõltub tootmismahust
muutumispiirkonnaks. Def. Olgu antud kaks muutujat x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Kirjutatakse y=f(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutatakse sümbolit x. Hulka Y={ f(x) || x X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka
tasandi punktide ehk reaalarvupaaride hulk: ={(,) | =()}={(,()) | }×. Funktsiooni määramispiirkond matemaatilises analüüsis vastabki hulgale meie definitsioonis. Muutumispiirkond ehk funktsiooni väärtuste piirkond () on aga sihthulga mingi osahulk. Elemendi kujutis ja hulga kujutis Olgu antud funktsioon . Kui , ja =(), siis elementi nimetatakse elemendi kujutiseks (funktsiooniga ). Igal määramispiirkonna elemendil on parajasti üks kujutis. Näiteid elemendi kujutistest: 1) Vaatleme funktsiooni () = 2, : . Siis arvu 0 kujutis on 0, sest (0) = 0. Arvude -1 ja 1 kujutis on 1, sest (-1)=1 ja (1)=1. 2) Vaatleme funktsiooni ()= , : . Siis arvu 4 kujutis on 2, sest (4)=2. 3) Vaatleme funktsiooni ()=+1, : . Siis elemendi 0 kujutis on 1, sest (0)=1. Hulga kujutiseks nimetatakse hulga osahulka, mis koosneb kõikide hulga elementide kujutistest, s.t. ()={ () | }={ | [ ()=]}.
muutumispiirkonnaks. Def. Olgu antud kaks muutujat x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Kirjutatakse y=f(x). Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutatakse sümbolit x. Hulka Y={ f(x) || x X } nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka
1. Uuritava objekti vaadeldavas piirkonnas (määramispiirkonnas) fikseeritakse lõplik arv punkte. Neid nimetatakse sõlmpunktideks ehk lihtsalt sõlmedeks. 2. Arvutatava funktsiooni väärtused nendes sõlmedes loetakse tundmatuteks. 3. Kogu määramispiirkond jaotatakse lõplikuks arvuks alampiirkondadeks, mida nimetatakse elementideks. Naaberelementidel peavad olema ühised sõlmpunktid. Kõikide elementide kogusumma peab kogu määramispiirkonna täpselt kokku andma. 4. Pidev arvutatav funktsioon aproksimeeritakse igas elemendis polünoomiga, mis defineeritakse funktsiooni väärtuste alusel sõlmpunktides (st sõlmväärtuste alusel). Igas elemendis võetakse erinev polünoom, kuid need valitakse nii, et funktsiooni pidevuse tingimused elementide rajajoontel oleksid täidetud. Seda polünoomi nimetatakse ka elemendi funktsiooniks. Nendest
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et
Pakkumine - on toodete hulk, mida tootja soovib ja suudab müüa erinevate hindadega antud ajahetkel Defineerida funktsiooni pidevus. Kui kehtib võrdus, lim(f—a)f(x)=f(a), siis Too näiteid pidevatest ja funktsiooni y=f(x) nimetatakse pidevaks mittepidevatest funktsioonidest. kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti puhul, siis funktsiooni nimetatakse pidevaks. Funktsiooni pidevus tähendab seda, et tema graafikuks on pidev joon Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läh
Gradiendi omadused. väärtused selles punktis: Vaatleme funktsiooni u r u r u r . Seda vektorit gradu = i+ j+ k x y z u = u ( x, y, z ) määramispiirkonna D nimetatakse funktsiooni igas punktis vektorit, mille projektsioonideks koordinaattelgedel u ( x, y, z ) gradiendiks. Öeldakse, et on selle funktsiooni osatuletiste piirkonnas D on määratud gradiendi vektorväli. 9
o f''(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f''(x)>0 või f''(x)<0. Kui f''(x)>0, siis nõgus. Xu = ... Kui f''(x)<0, siis kumer. Xn = ... Punktid x-teljel on käänupunktid, kui need pole määramispiirkonnast välja arvatud. K = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) 7. Asümptoodid Püstasümptoodid o Määramispiirkonna katkevuspunktides (ja otspunktides, kui lõplikud arvud) o Leian ühepoolsed piirväärtused. o lim x->arv- f(x), kui arv ei alusta x-telge (kui pole määramispiirk esimene väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu vasakpoolses ümbruses. o lim x->arv+ f(x), kui arv ei lõpeta x-telge (kui pole määramispiirk viimane väärtus). Kui + või -, siis püstasümptoot olemas arvu parempoolses ümbruses. Kaldasümptoodid
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
24 x-4 f ' ( x) = Funktsiooni uurimine 3 x( x - 6) 2 Kriitiliste punktide abil jaotame funktsiooni määramispiirkonna neljaks vahemikuks ja sobivalt valitud punktide abil määrame igal osal tuletise märgi. testpunkt -1 testpunkt 1 testpunkt 5 testpunkt 7 y ' (-1) > 0 0 y ' (1) < 0 4 y ' (5) > 0 6 y ' (7 ) > 0 f´ märk + - + + f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab
üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust 7. Kirjeldada funktsiooni esitust tabelina ja analüütiliselt. (lk 4) Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 8. Mis on funktsiooni graafik? Loetleda graafiku omadusi. (lk 4 – 5) Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9
Hulka Y = {f(x)||x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitusviisid. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega,
Kohal x diferentseeruva funktsiooni f (ehk y = f(x)) diferentsiaaliks kohal x muudu x korral nimetatakse korrutist f'(x)x ja tähistatakse kujul df(x) või dy. või ka nt: funktsiooni y = sin x tuletis on y' = cos x ja seega selle funktsiooni diferentsiaal on dy = (cos x) ·x avaldada saab ka kujul: Kõrgemat järku tuletised Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil f' leidub tuletis (f')' oma määramispiirkonna mingis punktis x, siis nimetatakse seda tuletist (f')' esialgse funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''(x). Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 28. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks funktsioon, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud liitfunktsioon F(x)=f[g(x)]. Kui funktsioon g on diferentseeruv kohal x ja
on defineeritud funktsioon f ehk y = f (x). Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks, hulka Y = { y : y = f ( x), x X } funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafikuks nimetatkse xy-tasandi punktide hulka ( f ) = {( x, y ) : y = f ( x), x X }. Funktsioon on defineeritud, kui on antud tema määramispiirkond ning eeskiri, mis seab igale määramispiirkonna punktile vastavusse ühe reaalarvu. Funktsiooni põhilised esitusviisid on järgmised: 1. analüütiline esitus valemi(te) abil, 2. numbriline esitus tabeli abil, 3. geomeetriline esitus graafiku abil. Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond).
Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk. Funktsiooni loomulik määramispiirkond argumendi väärtuse hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav- 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Valemi abil, graafiku alusel, tabeli abil. 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni graafik on kõikide järjestatud paaride [x, f(x)] hulk, kus x on määramispiirkonna X element. 5. Mis on pöördfunktsioon? Pöördfunktsioon on funktsioon, mis seab antud funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonna igale väärtusele y vastavusse kõik need väärtused x funktsiooni määramispiirkonnast, mille korral y=f(x) x=f-1(y) 6. Mis on püsikulu, muutuvkulu, kogukulu, keskmine kulu? Püsikulu (TFC) kulu, mis ei sõltu kauba tootmismahust. Muutuvkulu (TVC) kulu, mis sõltub tootmismahust. Kogukulu TC (Q) = TFC +TVC muutuvkulu ja püsikulu summa.
w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn )
a F(ax) + C = 0 + a F'(ax) (ax)' = a f(ax) a = a = f(ax) f(ax) = f(ax) võrdle: (6x)' = 6 (ax)' = a 4) MIKS SEE dx SEAL TAGA JÕLGUB? Tuletame meelde, mis on diferentsiaal · On antud funktsioon y =f(x) , selle funktsiooni tuletis funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis x avaldub võrdusega: y lim x = x 0 f'(x) Tuletis on ju funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile... Funktsiooni tuletis on kindel arv, see on funktsiooni väärtus, millele ta läheneb pidevalt, ent millega ta iialgi reaalselt võrduda ei saa. Seega võib öelda, et y ja x suhe erineb x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f'(x) lõpmata
annaabi.ee 
