loomuliku määramispiirkonna, mis lähtub funktsiooni analüütilisest avaldisest. 3x + 1 Ülesanne 1. Leida funktsiooni y = määramispiirkond. x2 -1 Lahendus. 3x + 1 Murd on määratud, kui selle murru nimetaja ei ole võrdne nulliga. x2 -1 Sellepärast leiame antud funktsiooni määramispiirkonna tingimusest x 2 - 1 0 ehk 1 [tuletame meelde, et ka ( -1) = 1 ]. 2 x2 1 ehk x Seega, kui tähistame määramispiirkonna tähega X, siis X = ( - ; - 1) U ( -1;1) U ( 1; ) . Ülesanne 2. Leida funktsiooni y = 5 - 3 x määramispiirkond. Lahendus. See funktsioon on määratud, kui ruutjuure alune avaldis on mittenegatiivne, s.t. 5 - 3x 0 . Lahendame selle võrratuse:...
2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et...
Lineaarfunktsioon- funktsioon, mida saab esitada kujul y=ax+b.
Ruutfunktsioon- funktsioon, mis on esitatud ruutavaldisega.
Funktsiooni määramispiirikond- valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk,
mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada.
Funktsiooni muutumispiirkond- funktsiooni väärtuste hulk ehk selle määramispiirkonna kujutis.
Kasvavaks nimetatakse funktsiooni y=f(x) vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi
väärtuste suurenedes ka funktsiooni vastavad väärtused suurenevad: kui x1
Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon. Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x) Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega. Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna. Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x)...
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü...
a F(ax) + C = 0 + a F'(ax) (ax)' = a f(ax) a = a = f(ax) f(ax) = f(ax) võrdle: (6x)' = 6 (ax)' = a 4) MIKS SEE dx SEAL TAGA JÕLGUB? Tuletame meelde, mis on diferentsiaal · On antud funktsioon y =f(x) , selle funktsiooni tuletis funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis x avaldub võrdusega: y lim x = x 0 f'(x) Tuletis on ju funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile... Funktsiooni tuletis on kindel arv, see on funktsiooni väärtus, millele ta läheneb pidevalt, ent millega ta iialgi reaalselt võrduda ei saa. Seega võib öelda, et y ja x suhe erineb x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f'(x) lõpmata...
aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x ....
nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna . Kahe politseiniku teoreemi põhjal saame, et eksisteerib piirväärtus Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab...
Hulka Y = {f(x) || x X} nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x vääartus millele vastab mitu y väärtust. Argumendi, sõltuva muutuja, määramispiirkonna ja vääartuste hulga mõisted on mitmese funktsiooni korral analoogilised vastavate mõistetega ühese funktsiooni korral. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääartused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka...
Uuritava objekti vaadeldavas piirkonnas (määramispiirkonnas) fikseeritakse lõplik arv punkte. Neid nimetatakse sõlmpunktideks ehk lihtsalt sõlmedeks. 2. Arvutatava funktsiooni väärtused nendes sõlmedes loetakse tundmatuteks. 3. Kogu määramispiirkond jaotatakse lõplikuks arvuks alampiirkondadeks, mida nimetatakse elementideks. Naaberelementidel peavad olema ühised sõlmpunktid. Kõikide elementide kogusumma peab kogu määramispiirkonna täpselt kokku andma. 4. Pidev arvutatav funktsioon aproksimeeritakse igas elemendis polünoomiga, mis defineeritakse funktsiooni väärtuste alusel sõlmpunktides (st sõlmväärtuste alusel). Igas elemendis võetakse erinev polünoom, kuid need valitakse nii, et funktsiooni pidevuse tingimused elementide rajajoontel oleksid täidetud. Seda polünoomi nimetatakse ka elemendi funktsiooniks. Nendest...
Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim. perioodiliseks, kui leidub selline nullist eri...
Eeldades et F`y(x, (x))0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni tuletise jaoks: '(x)= F'x(x, (x)) F'y(x, (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Olgu m-muutuja funktsioon argumendiga P = (x 1, x2,. . . , Xm) ja olgu A = ( a1,a2, . . . , am) tema määramispiirkonna punkt. Peale selle olgu s = (s 1, s2,. . . ,sm) vektor ruumis Rm. Paiknegu punkt P vektoriga s määratud sirgel l punkti A suhtes positiivses suunas. Funktsiooni argumendi muutu punktis A iseloomustab punktide P ja A vaheline kaugus |PA|. Funktsiooni muut punktis A võrdub vahega (P) (A). Jagatist ((P) (A))/ |PA| võib tõlgendada kui funktsiooni suhtelist muutu suunas s punktide A ja P vahel....
Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D...
TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
Naturaalarvud, täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0 . Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendmurdarendus ja see on alati perioodiline, tähistatakse Q Irratsionaalarvud mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud. Tähistus I Reaalarvud hulk R, koosneb k...
Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks , hulka Y = { y : y = f ( x), x X } funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafikuks nimetatkse xy-tasandi punktide hulka ( f ) = {( x, y ) : y = f ( x), x X }. Funktsioon on defineeritud, kui on antud tema määramispiirkond ning eeskiri, mis seab igale määramispiirkonna punktile vastavusse ühe reaalarvu. Funktsiooni põhilised esitusviisid on järgmised: 1. analüütiline esitus valemi(te) abil, 2. numbriline esitus tabeli abil, 3. geomeetriline esitus graafiku abil. Märkus. Kui funktsiooni y = f(x) korral on antud vaid teda määrav eeskiri,mää- ramispiirkond X pole aga fikseeritud, siis loetakse määramispiirkonnaks nende argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond)....
Lihtsustus: y = - = = = ( x + x ) x x( x + x ) x ( x + x) x( x + x ) -x Asendus: y x( x + x) -x -1 y ' = lim = lim = lim = lim x x x x x xx( x + x) x x( x + x) -1 1 Määramispiirkonna lähendamine nullile: y ' = lim = - 2 TULETIS x x( x + x) x · Mõningate funktsioonide ja nende tuletiste seoseid: · Pöördvõrdeline seos x-i astendajate suurenemisega: Pöördvõrdelises seoses kehtib x-i astendajate suurenemisel funktsiooni ja tema tuletise vahel järgmine seos: 1 1 1 1 1 1 1...
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendi on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis: Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] Funktsiooni graafiku mõiste: Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. G = { P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku omadused: Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid:...
w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale. = | gradw | cos , (l0 gradw) l` Iseloomustab: funktsiooni muutumise kiirust määramispiirkonna punkti P liikumisel vektori l0 suunas. Märkus: Gradientvektor on funktsiooni nivoopinna normaaliks ja iseloomustab funktsiooni kiireima muutumise sihti. Definitsioonide kohaselt funktsiooni väärtus ei muutu nivoopinna w` puutuja t0 suunas: =0 t` Gradient: funktsiooni w = f (P ) gradient on n-mõõtmeline vektor, mille koordinaatideks on vaadeldava funktsiooni esimest järku osatuletised: grad w = ( w1 , w2 ,..., wn )...
Reaalarvu a absoluutväärtuseks nim mittenegatiivset reaalarvu IaI, mis on defin seosega IaI=a, kui a0,,-a, kui a0 Arvu a ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka U(a)={xIa-x} Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks, kus > 0, nimetatakse hulka [a; a + ) = {xIax+a} Suuruse + M-ümbruseks, kus M > 0, nimetatakse vahemikku (M;+). Kui M > 0, siis M-ümbruseks nim ühendit (-;-M) ja(M) Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui leidub niisugune konstant M0, et kõik muutuva suuruse väärtused, alates mingist x M väärtusest, täidavad tingimust - M x M , s.t. . FUNKTSIOON:. . Kui muutuja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Esitusviisid: Tabel, Analüütilisel kujul esitatud funktsiooni määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi väärtuste hulka, mille korral see valem on määratud.; F.gaafik...