"võrratus" - 194 õppematerjali

Logaritmvõrratused

logaritmfunktsioon -1 kasvav ja ühest -2 väiksema (kuid nullist y = log 1/a x, suurema) aluse korral kahanev. 0<1/a <1  Lihtsaimad logaritmvõrratused Lihtsaimad logaritmvõrratused log a x > b, (1) log a x < b (2) on lahenduvad igasuguse konstandi b R korral. Juhul a > 1 on võrratus (1) rahuldatud kui x > a b , võrratus 0 < x < ab . (2) aga siis kui Juhul 0 < a < 1 on võrratus (1) rahuldatud kui 0 < x < a , b võrratus (2) aga siis kui x > a b . y y y = log a x, b y = log a x, 0< a<1 a >1 b 1

Eksponentvõrratused

ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x  Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad.  Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui b a> a > 1, 1

Võrratuste näited

teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x  11)  x(5 x  11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool V: x    ;  2,2  3 ;   d) Viirutada -2,2 3 x e) Kirjutada võrratuse lahend 3. KÕRGEMA ASTME VÕRRATUS (𝑥 2 − 𝑥)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0

VÕRRATUSED

a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x ­ 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ).

paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x) DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+- TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni perioodiks. DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1võrratus f(x1)võrratus f(x1)>f(x2) DEF 10. Monotoonseks funktsiooniks nim. funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev(monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav(monotoonselt kahanev funktsioon) DEF 11. Rangelt monotoonseks funktsiooniks nim. funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. DEF 12

Kollokvium I, 2012

Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid.

RUUTVÕRRATUSTE LAHENDAMINE

RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)

Matemaatiline analüüs 1

Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa Suurust + nim funkts-i piirväärtuseks punktis a, kui iga M0 leidub 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 Ix-aI, kehtib võrratus f(x)M

Matemaatiline analüüs 2 kollokvium 2

Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju..

Matemaatiline analüüs 2, kollokvium 2

Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju..

Kordamisküsimusi 3. teema kohta - Teooriatöö II

ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3. Defineerida funktsiooni lokaalne maksimum, lokaalne miinimum ja lokaalne ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles

Piirväärtus loeng 3

argumendi ümbruse raadiuse tähega > 0 funktsiooni f (x) vastava väärtuse tähega A funktsiooni f (x) vastava väärtuse ümbruse raadiuse tähega > 0 x kuulub a ümbrusse raadiusega > 0: |x ­ a| < f (x) kuulub A ümbrusse raadiusega > 0: |f (x) ­ A| < 8 Funktsiooni piirväärtus Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et kehtib võrratus | f (x) ­ A | < alati kui | x ­ a | < ja kirjutatakse: lim f ( x) = A xa |x ­ a| < y y = f(x) A RA= | f (x) ­ A | < R= 0 x a 9

Rakendusstatistika kodune töö 2012

6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,16 < 0,238 ja seega võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi , kasutan selleks dispersioonanalüüsi metoodikat ja võtan olulisuse nivooks = 0,05: Leian rühmade keskväärtused: Leain rühmade dispersioonid: Excelis tehtud arvutused esitan tabelina:

Mõisted suuliseks arvestuseks matemaatikas

b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x1 < x2, siis f (x1) > f (x2). *Kahanemispiirkond ­ maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kahaneb (tähis X) Ekstreemumkohad ­ funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0)

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3

Kümneline üheline

16 kümneline üheline ühekohaline arv 6, 4, 3, 1 kahekohaline arv 10, 18, 36, 49 punkt . + x kõverjoon sirgjoon paarisarv ­ 0; 2; 4; 6; 8 Paarisarvud on arvud, mille üheliste number on 2, 4, 6, 8 või 0. nt: 2, 16, 28, 140, 374 paaritu arv ­ 1; 3; 5;7;9 Paaritud arvud on arvud, mille üheliste number on 1, 3, 5, 7, 9 nt: 3, 11, 79, 265, 967 võrdus 12 + 7= 19 15 ­ 10= 5 võrratus 20 > 11 18 < 19 Enne lahutan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 15 ­ 7 = 15 ­ 5 =10 10 ­ 2 = 8 15 ­ 7 = 8 Enne liidan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 18 + 6 = 18 + 2 = 20 20 + 4 = 24 18 + 6 = 24  Pikkusühikud 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm  Raskusühikud 1 t = 1000 kg 1 ts = 100 kg 1 kg = 1000 g

Matemaatiline analüüs kontrolltöö

Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne maksimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmax u = u ( P0 ) = A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.

Võrrandid ja võrratused

Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.1

Peale selle olgu mingisugune pidev ja monotoonselt kahanev funktsioon, mis rahuldab tingimusi: . Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui päratu integraal koondub, siis koondub ka rida . 2. Kui päratu integraal hajub, siis hajub ka rida . Funktsiooni nimetatakse monotoonselt kahanevaks, kui iga , kehtib mitterange võrratus . Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga.

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1

Kodune kontrolltöö teemal „Lineaarvõrrandid- ja võrratused“

c) (2x – 1)(x + 2) = 2x2 – 3(x – 4); d) -3,5(2,5x – 2,5) = 12,25x – 5,25; e) –(2x + 3) + 1 = -2x – 2. 2. Leia võrrandi lahendid. 3x − 1 3x − 5 a) = ; x+2 x +1 4x − 1 1 b) + 3x − 1 = − (2 x − 5) ; 2 3 − 3x − 1 3x + 1 1 c) − =− . 2 3 6 3. Leia võrratuse 4x – 1 ≤ 11 naturaalarvulised lahendid. 4. Lahenda võrratus. a) 4x – 1 > 2(-x – 3); b) -5(-2x – 5) < - 3x – 2; c) -5(2x – 5) < -3x – 2; 4x − 1 x + 4 d) − < 1; 2 5 2 x − 1 3x − 2 4 − 5 x e) − + ≥ 1. 2 3 4 5. Üks kilo suhkrut maksab 0,95 €. Mitu kotitäit (ühe koti kaal on 50 kg) suhkrut saab osta ärimees Aadu Kana, kui tal on selleks raha 500 kuni 600 eurot? 6. Hansapanga aktsia sulgemishind oli 10. 11. 2004.a. 130,80 krooni

Vähendatud programmi (A) ESIMENE teooriatöö

Funktsiooni ! nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = ! . Funktsiooni ! nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = -! . Funktsiooni ! nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant ' > 0 nii, et iga korral kehtib võrdus ! + ' = ! . Väikseimat sellist konstanti ' nimetatakse funktsiooni ! perioodiks. Olgu ( funktsiooni ! määramispiirkonna alamhulk. Valmine hulgast ( kaks suvalist arvu ) ja * nii, et kehtib võrratus ) < * . Kui funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk ei muutu, st ! ) < ! * , siis on funktsioon ! kasvav hulgas (. Kui aga funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk muutub vastupidiseks, st ! ) > ! * , siis on funktsioon ! kahanev hulgas (. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon kujul = + , kus on nullist erinev konstantne astendaja.

Matemaatiline analüüs I

X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon ­ funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle

Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm)

Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja

MATEMAATIKA ANALÜÜS 1 KT 1 vastused

paaritu. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C>0 nii et iga korral kehtib võrdsus Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Sin( x+2)=sinx )c=2) Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määaramispiirkonna alamhulk. Valime h ulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis f on kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks st f(x1) > f(x2), siis f on kahanev hulgas D. Astmefunktsiooni mõiste (määramispiirkonda ei küsi). kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Eksponent- ja trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste

Matemaatiline analüüs I 1. kollokvium

*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu on kasvav või kahanev. hulga jada elementide väljajätmise teel. *Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1võrratus f(x1)võrratus f(x1)>f(x2). *Tõestus: Fikseerime n

Matemaatilise analüüsi teoreeme ja definitsioone

konstantide ja korral on ka funk tsioon y=f(x) + g(x) integreeruv lõigus [a, b] , kusjuures kehtib võrdus ab[ f(x) + g(x)]dx = abf (x )dx + abg (x )dx. T15. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a,b] , siis on selles lõigus integreeruv ka nende funktsioonide korrutis y=f(x)g(x). T16. Kui lõigus [a, b] integreeruvad funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) rahuldavad iga x [a, b] korral võrratust f(x) g (x), siis kehtib ka integraalide vahel võrratus abf (x )dx abg(x)dx (a < b ). T17. Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis on selles lõigus integreeruv ka tema absoluutväärtus y=|f (x)|, kusjuures kehtib võrratus | abf (x )dx | ab|f (x )|dx (a < b ). T18. Newton-Leibnizi valem: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] ja kui tal on selles lõigus olemas algfunktsioon y=F(x), siis kehtib valem abf (x )dx =F(b) - F(a). T19

FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS

· Näiteks on f(x) = x + 1 piirväärtus kohal 3 võrdne neljaga, sest kui argumendi x väärtus läheneb arvule 3, siis funktsiooni väärtused f(x) hakkavad lähenema arvule 4. · Sümbol lim on lühend ladinakeelsest sõnast limes ja tähendab piiri. 3 Arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a parajasti siis, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et võrratusest 0 < |x ­ a| < järeldub võrratus |f(x) ­ A| < . (Järgmisel joonisel vahemikke u ja U nimetatakse vastavalt punkti a ja punkti A ümbruseks.) 4  Piirväärtuse võimalikud variandid · Lõplik piirväärtus lõplikus punktis. o lim ( + 6) = 8 2 · Lõpmatu piirväärtus lõplikus punktis. 1 o lim 2 = 0 · Lõplik piirväärtus lõpmatuspunktis. 1 o lim =0

Matemaatiline analüüs

mittekahanev(monotoonselt kahanev). Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E. Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|a Pidevaks funktsiooniks nimetatakse pidevaks piirkonnas X kui ta on pidev piirkonnas X igas punktis. Funktsiooni nim. pidevaks kohal a kui lim f(x)=f(a)  x->a Esimest liiki katkevuspunktiks nimetatakse niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused.

Reisisoovitus - Saksamaa väikelinn Boppard

uturere carbo Kehvad kõndijad, head lendajad, väga head ujujad ja sukeldujad. Nende sulestik vettib, seda tuleb kuivatada tuule käes kividel. Kormoranid on hanesuurused linnud, pesitsevad kolooniatena, toituvad kaladest. 9 3. Jalutuskäik CClilcikckicioconn totoadaddppicitc võrratus uturere vanalinnas Boppardist pärit vanimad arheoloogilised leiud onVana-Rooma aegsed. Laske mitmekesisusel end võluda. Gute Reise! Head reisi! 10 Eestist väljuv turism 2008 - 2010 5 4,5 4 3,5 3 Lõunamaad 2,5 EL

MathCAD kordamisküsimused

tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Globaalsed ekstreemumid o u u x, y, z,... x, y, z,... D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal Olgu antud funktsioon P0 D globaalne miinimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: min u u P0 A .Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D globaalne maksimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: max u u P0 A . Globaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Globaalne ekstreemum võib olla ainult kriitilises punktis või rajapunktis. o Funktsiooni

Trigonomeetria ülesanded riigieksamil

2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni y tan x x tuletis on 0. 6. (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke sin 2 , kui sin rahuldab võrrandit 3 cos 2 7 sin2 ja .

Matemaatilise analüüsi teooriakontrolltöö kordamisküsimused vastustega

1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel

Matemaatiline analüüs (vähendatud programm)

iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).  Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks.  Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. α

J. Kurvitsa teooria vastused

Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul , kus a ja b on ühistegurita. = ehk 2 = = . Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid ) ja arvu ruututõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel

Matemaatiline analüüs II 1. kollokviumi spikker

Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. kui iga 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐, kehtib mitterange võrratus 𝒇(𝒙𝟏 ) < 𝒇(𝒙𝟐). Näidata, ... päratus integraalis (𝒌 = 𝟐𝒋 ). Kui arvrea ∑∞ 𝒌=𝟏 𝒂𝒌