Tehted maatriksitega · kaks samadimensionaalset maatriksit on võrdsed, kui vastavad elemendid on võrdsed · maatriksi korrutamisel arvuga saadakse sama dimensiooniga maatriks, mille kõik elemendid on korrutatud selle arvuga · nullmaatriks · vastandmaatriks · kahe sama dimensiooniga maatriksi summa on vastava dimensiooniga maatriks, mille elemendid võrduvad liidetavate elementide summaga · maatriksi ja sama dimensiooniga nullmaatrik- si summa võrdub liidetava maatriksiga · maatriksi ja tema vastandmaatriksi summa võrdub nullmaatriksiga Korrutada saab kaht maatriksit, millest esimese teguri veergude arv võrdub teise teguri ridade arvuga. Maatriksite korrutise iga element on esimese teguri mingi reavektori skalaarkorrutis teise teguri mingi veeruvektoriga. Tegurite järjekorra muutmisel ei pruugi korrutis eksisteerida või on korrutis erinev. aijT = a ji aijT AT ...
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
kõigil oli tuvastatud mingi psühhiaatriline haigus. Kõigile uuringus osalejatele oli määratud kindel ravi ning kõik said ka psühhiaatri nõustamist.Osalejate keskmine vanus oli 39,0, SD = 9,8 ning nende haridus varieerus alghariduse ning kõrghariduse vahel. Mõõdetavateks muutujateks olid Hare Psychopathy Checklist Revised (PCL-R) üldskoor (eraldi mõõdeti alamskaalasid: seltsivus, tundeelu, elustiil ja antisotsiaalsus) ning fluid IQ tulemused, mida mõõdeti Raveni progresseeruvate maatriksitega (RPM). Üldistes tulemustes leiti, et Pearsoni korrelatsioon RPM IQ ning PCL-R üldskoori vahel on negatiivne (r 54 = − 0.55, p < 0.001). Naistel, kellel esines tugevamaid psühhiaatrilisi käitumismustreid (üldskoor PCL-R testis), oli madalam IQ tulemus. Samuti leiti ka negatiivne korrelatsioon üldise IQ ning PCL-R nelja alaskaala vahel (seltsivus: r 54 = − 0.35, p < 0.01, tundeelu: r 54 = − 0.52, p < 0.001, elustiil: r 54 = − 0.53, p < 0.001 ja antisotsiaalsus: r 54 = − 0
8. TRANSPONEERITUD MAATRIKS selle tähis on At (ÜMBERPAIGUTAMINE) toimub vastavate ridade ja veergude ümberpaigutamine. 1 2 3 1 4 A= 4 5 6 At = 2 5 3 6 9. PÖÖRDMAATRIKS tähistatakse A-1 TEHTED MAATRIKSITEGA A = (aij)mn ; B = (bij)mn 1) MAATRIKSITE VÕRDLUS A=B - Loetakse võrdseteks siis, kui nende numbrid on võrdsed. aij = bij 2) LIITMINE A+B = B+A - Liidetakse vastavad elemendid. A+B = (aij + bij)mn 4 -7 2 -3 2 -4
nimetataks fookustek , on korrutatud teine rida. Determinant seda Lineaarne võrrandisüsteem on konstatrtne. omadust kasutatakse mõnede lahenduv_r _ r´ (see on nn. II järku jooned. Hüperbool elementide nulliks muutumiseks, et astakutingimus). Hüperpooliks nimetatakse tasandi Determinandi arvutamist lihtsustada. Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. nende punktide hulka, mille Maatriks, tehted maatriksitega Näited Gaussi meetodi puhul kauguste vahet tasandi kahest Kirjutades nende vektorite teisendatakse laiendatud maatriksi antud punktist on koordinaadid välja tabelina, nii et AB kõik elemendid allpool absoluutvdäärtuselt konstantne. ühe ja sama vektori Koordinaadid peadiagonaali nullideks, II järku jooned. Parabool
märk muutub vastupidiseks. 5. Kui determinandi ühe rea elemente korrutada nullist erineva arvuga, siis determinant suureneb see arv korda. 6. Determinant ei muutu, kui mingile reale liita mingi arv kordne teine rida. Determinantide arvutamisel saab ka kasutada determinandi arendamist rea või veeru järgi. Determinant võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga. 6)Maatriksid. Tehted maatriksitega. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . 7) Gaussi meetod. Gaussi meetod (saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss 1777-1855) on üks enamlevinud meetodeid lineaarvõrrandite süsteemide lahendamiseks ja on
arvutamine tasandist. Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest. Kahe kiivsirge vahelise kauguse ja nendele tõmmatud ühise ristsirge võrrandi leidmine. Teist järku joonte kanoonilised võrrandid Ellipsi, hüperbooli ja parabooli kanooniliste võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak
Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksiks nimetatakse ¨umarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on ristatavad read ja veerud. Maatriksit, mille ridade arv on v~ordne veergude arvuga, s.t. m = n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, mille ridade arv erineb veergude arvust, s.t. m 6= n, nimetatakse ristk¨ulikmaatriksiks. Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ru...
V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 ,..., n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 ,..., n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x1 1 + x2 2 + ... + xn n , x1, x2 ,..., xn R. Vektoriga üheselt määratud arve x1, x2 ,..., xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil. Maatriksi reavektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid.
kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) abil on võimalik defineerida tehted maatriksitega. Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n
sõltumatu vektor sirge- baasiks on iga 3 lin.sõltumatu vektor aritmeetiline vektorruum-valitakse R ruumis B={ 1 2 ... m } ,avaldub aritm.vektor n x =( x 1 x 2 ... x n ) x =x1 1 + x 2 2 +...+ x n n kordinaadid-vektori x arvud ( x 1 x 2 ... x n )on B baasil valitud kordinaadid. 3-mõõtmeline ruum-on baasiks iga 3-lin.sõltumatu vektor 7) Maatriksi mõiste, maatriksite liigid ja lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vekrorruum. Maatriksiks nimetatakse ristkülikukujulist elementide tabelit, mis koosneb m reast ja n veerust. Maatriksi elemente tähistatakse aik, kus i näitab, millises reas ja k, millises veerus element asub. Maatrikseid tähistatakse suurte tähtedega A, B, C, . . . Maatriksi üldkuju on: a11 a12 ... a1n
statsionaarsed punktid · Kandes punktid graafikule ja kontrollida neid geomeetriliselt · Joonestades esialgse funktsiooni nivoojoone, mis leitud punkte läbib + lisaks mõned nivoojooned, et kasvamine selgitada · Pannes statsionaarse punkti koordinaadid, mis lõikub nivoojoonega, asemele esialgsesse võrrandisse saame lahendi 33. Millisel juhul saab kahte maatriksit liita, lahutada. Siis kui tegu on samamõõtmeliste maatriksitega 34. Millal saab arvutada maatriksite A ja B korrutist AB? Siis kui esimese maatriksi veergude arv võrdub teise ridade arvuga. 35. Millistel maatriksitel on olemas pöördmaatriks? Siis kui antud maatriksi determinant ei võrdu 0-ga 36. Mis on lineaarplaneerimise ülesande lubatav hulk? Lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide (x1 , x2 ) hulka x1x2-tasandil, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 37
4 ● transponeeritud maatriks Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi tähiseks on A T . ● sümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse sümmeetriliseks, kui AT = A ● kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. ● Liitmine ● Lahutamine Sama põhimõte nagu liitmisel. ● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi.
.. , xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Seejuures kasutatatakse tähistust = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) B . Kui kontekstist on selge, millist baasi B vaadeldakse, siis jäetakse indeks B ära: = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) . 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. ( m × n ) -maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit a11 a12 K a1n a21 a22 K a2 n A= M M O M
Omadus 7. n-järku determinandi jaoks |A|=nk=1 aik · Aik, kus esimeses summas determinant on arendatud rea i=1, 2, ...,n järgi, teises summas veeru k=1, 2, ...,n järgi. Arendamine: def1. n-järku deteminandi |A| elemendi aik miinorik Mik nimetatakse seda (n-1)-järku determinanti, mis saadakse feterminanadist |A|, kui selles jäetakse ära i-s rida ja k-s veerg. Def2. n- järku determinanadi |A| elemendi aik alamdeterminanat Aik saadakse seosest Aik=(-1)i+k · Mik Maatriks, tehted maatriksitega Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis sisaldab arvusid. Neid arve nimetatakse maatriksi elementideks. Elemendid on ridades ja ka veergudes. m realist ja n veerulist maatriksit nimetatakse mxn-maatriksiks. Siis maatriksi dimensioon (mõõde) on mxn. Maatriksi elemente märgitakse aik, kus i on rea indeks ja k on veeru indeks. Oluline on teada, et maatriksil ei ole väärtust, see on ainult arvude tabel.
Kõrgem matemaatika 1 kordamisküsimused 2017/2018 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Maatriksi järk. Ruutmaatriks. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Vastandmaatriks. Lineaarsete tehete omadused. Transponeeritud maatriks. Maatriks on arvude, funktsioonide või muude elementide korraldatud kogum × . Maatriksil on m rida ja n veergu, kus a11; a12; ...a1n; jne on maatriksi elemendid. Kui me räägime järkudest, siis esimest järku matriks on a, teist on a, a, a, a, kui räägime kolmandat järku siis a,a,a,a,a,a,a,a,a (9)
võetuna kindlas järjekorras; a1, ..., an K Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega: = (a1; ...; an); = (b1; ...; bn) 1. liitmine: + = (a1 + b1; a2 + b2; ...; an + bn) 2. skalaariga korrutamine: a = (aa1; aa2; ...; aan) Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega rahuldavad samu omadusi mis geomeetriliste vektorite korral. Nullvektori osas on = (0; 0; ...; 0); - = (- a1; -a2; ... -an) = (-1); - = + (-) = + (-1) 6. Maatriksi defnitsioon ja tähistused. Lineaarsed tehted maatriksitega ja nende omadused. K - korpus; m, n - positiivsed naturaalarvud; (mxn)-maatriks üle korpuse K - m-realine ja n-veeruline skalaaride tabel; K(mxn) - kõigi (mxn)-maatriksite hulk üle korpuse K (mxn)-maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit A = ||aij|| = (aij R iga i ja j korral) Erikujulised maatriksid: 1. ruutmaatriksid (m=n) 2. diagonaalmaatriks (m=n; aij = 0 ij) 3.
ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. · Maatriksite lahutamine : esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa.
a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 . E= 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 - 2 7 9 1 - 2 0 7 5 - 3 - 3 3 - 3 4
a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n 0 a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n ....................... 0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn 0 0 ... 0 0 ... 0 ....................... 0 0 ... 0 0 ... 0 8 MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n. TEHTEID MAATRIKSITEGA 1) MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa, nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja m veergu. 2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida
0 1 0 0 E= 0 0 1 0. 0 0 0 1 8. Maatriksit, mille kõik elemendid on nullid, nimetatakse nullmaatriksiks ja tähistatakse tähega O või . 2.Tehted maatriksitega Olgu antud maatriksid A = ( aik ) ja B = ( bik ). 1. Maatrikseid A ja B loetakse võrdseteks, kui nende vastavad elemendid aik ja bik on võrdsed. 2. Maatriksite A ja B summaks nimetatakse maatriksit C, mille elemendid cik = aik + bik; näiteks 1 5 3 6 4 -2 7 9 1
Kui võrrandile X(s)=(sE-
A)-1X(O)+(sE-A) -1BU(s) liita väljundvõrrandi operaatorkujutis Y(s)=CX(s)+DU(s), siis tingimusel X(0)=0 saame avaldise H'(s)=C(sE-A)-1B +D. See esitab maatriksit, mille iga element on teatava sisendi ja väljundi vaheline ülekandefunktsioon.
Mõõtudega m*r maatriksit H'(s) nim ülekandefunktsioonide maatriksiks, kusjuures viimane avaldis (H'(s)=...) kajastab ka ülekandefunktsioonide seotust olekumudeli parameetrite maatriksitega. 9.1 Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide
analüüs. - Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides Ülekandefunktsiooni realiseeritavuse tingimus: m
.., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral. Omadused: A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C); A+=+A=A; A+(-A)=(-A)+A=0;k(A+B)=kA+kB. 3) Maatriksite vahe: B, (-1)B =täh B (vastandmaatriks). A-B = A+(-B) e. esimese ma. ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma
. 4 x1 - x2 + 5 x3 = 10 . 4 - 1 5 x 3 10 Vektorid: Erilist tüüpi maatriksid (m*n maatriks e. ristkülik m-ks.; m=n ruutm-ks). Veerg veerumaatriks e. veeruvektor. xj reana kirjutades 1*n maatriks e. reamaatriks e. reavektor, mille tähis X'=[x1x2...xn]. Tehted maatriksitega: Liitmine [aij]+-[bij]=[aij+-bij], Skalaariga korrutamine k[aij]=[kaij], Korrutamine Am·n·Bn·p=Cm·p, Tehted vektoritega: Vektorite u'=(u1u2....un), v'=(v1v2...vn) sisekorrutiseks on avaldis: u*v=u1v1+u2v2+...+unvn. Veeruvektori ja reavektori korrutiseks tuleb ristkülikmaatriks: 3 3 1 3 4 3 5 3 12 15 u = , v = [1 4 5] , uv = = .
maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid.
. . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega, tehted vektoritega, tehted maatriksitega, kaubahalli kassiiri tegevus kauba hinna määramisel jne. 4. Milline operaator on determineeritud? Tooge näide! () x- fx 1 2 Determineeritud operaatoriks nimetatakse operaatorit, mis seab muutuja x väärtusele vastavusse ühe või mitu muutuja f(x) kindlat väärtust. 5. Mis on argument? f(x) Muutujat x nimetatakse x f() 2 1 Tooge 2 näidet! fx
ma atriks ig a A võrreldes on read ja veerud vahetatud A = T . a 1n a 2n a mn TEHTED MAATRIKSITEGA O lgu antud kaks m × n ma atriks i t A = a ij B = b ij 1 . Maatrik s eid A ja B n im etataks e võrds etek s , kui nende vas tavad elemendid on võrds ed A = B, kui a ij = b ij , i = 1, , m , j = 1, , n 2. Maatrik s ite A ja B su m m ak s n im etataks e maatr iks it C, C = A + B, C = c ij c ij = a ij +b ij , i = 1, , m, j = 1, , n . Ele men tideks on liidet avat e ma atriks i te vas tavate elementid e s ummad. 3
ma atriks ig a A võrreldes on read j a veerud vahetatud A T . a 1n a 2n a mn TEHTED MAATRIKSITEGA O lgu antud kaks m n ma atriks i t A a ij B b ij 1 . Maatrik s eid A ja B n im etatak s e võrd s etek s , kui nende vas tavad elemendid on võrds ed A B, kui a ij b ij , i 1, , m, j 1, , n 2. Maatrik s ite A ja B sum m aks n im etatak s e ma atriks i t C, C A B, C c ij c ij a ij b ij , i 1, , m , j 1, , n . Ele men tideks on liidet avat e ma atriks i te vas tavate elementid e s ummad. 3
, kus Omadused: Sümmeetriliseks maatriks - nimetatakse ruutmaatriksit A, mis langeb kokku oma transponeeritud maatriksiga: Sümmeetrilise maatriksi A = (aij) kõikide elementide puhul kehtib seega . Näiteks järgmine 3×3-maatriks on sümmeetriline: Kaldsümmeetriline maatriks on selline ruutmaatriks, mille transponeeritud maatriks ühtib selle vastandmaatriksiga, mille korral kehtib võrdus AT = -A Tehted maatriksitega. Maatriksite võrdsus - Me nimetame maatriksit A võrdseks maatriksiga B, kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ¨uhesugustel kohtadel on võrdsed elemendid. Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. Liitmine Maatriksite liitmine on assotsiatiivne, s.t. mistahes X,Y , Z Mat(m, n) korral kehtib (X + Y ) + Z = X + (Y + Z). Iga X Mat(m, n) ning nullmaatriksi Mat(m, n) korral kehtivad X + = X, + X = X.
(t[i]); while (st.hasMoreTokens()) { String word = st.nextToken(); if (result.containsKey (word)) { int k = ((Integer)result.get (word)).intValue(); result.put (word, new Integer (k+1)); } else { result.put (word, new Integer (1)); } } } return result; } // leiaSagedused } // Sagedused Töö massiividega Vaatleme näiteid maatriksite kohta. /** N2ited maatriksitega imperatiivses stiilis. */ public class Maatr { /** Peameetod silumiseks. */ public static void main (String[] s) { int[][] a = new int[][]{ {5, 2, 4}, {0, 1, 5}, {1, 0, 1} }; System.out.println ("Maatriks A: " + soneKuju (a)); int[][] b = new int[][]{ {2, 8, 0}, {5, 3, 1}, {7, 4, 6} }; System.out.println ("Maatriks B: " + soneKuju (b)); int[][] c = summa (a, b); System.out.println ("A + B: " + soneKuju (c));
ülekandemudeliga. Kui võrrandile X(s)=(sE-A)-1X(O)+(sE-A) -1BU(s) liita väljundvõrrandi operaatorkujutis Y(s)=CX(s)+DU(s), siis tingimusel X(0)=0 saame avaldise H'(s)=C(sE-A)-1B +D. See esitab maatriksit, mille iga element on teatava sisendi ja väljundi vaheline ülekandefunktsioon. Mõõtudega m*r maatriksit H'(s) nim ülekandefunktsioonide maatriksiks, kusjuures viimane avaldis (H'(s)=...) kajastab ka ülekandefunktsioonide seotust olekumudeli parameetrite maatriksitega. 9. Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide analüüs. Z - teisendus. Piirväärtusteoreemid. Diskreetne olekumudel. Diskreetne ülekandefunktsioon. Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides. Siirdeprotsesside arvutus. Lõpliku siirdeajaga diskreetaja süsteemid (finiitsed süsteemid). Vajadusel kasutage näidet selgitamaks diskreetaja süsteemide analüüsi probleeme. 1.12 Z-teisendus. Olgu antud mingi diskreetaja funktsioon x[kT]
Ühenduse läbipõletamisvool on 20...30 mA. Vajalikke elektrilisi ühendusi saab tekitada ka joonisel b näidatud kahe vastulülituse dioodiga. Normaalses olukorras selline dioodipaar voolu ei juhi. Ühenduse tekitamiseks antakse juhtmele kõrgendatud pinge, mille tulemusena dioodi VD2 pn-siire lüüakse elektriliselt läbi ning rõht- ja püstjuhtmete vahel tekib dioodi VDl kaudu ühendus. Mõlemal juhul on tegemist ühekordselt programmeeritavate maatriksitega, sest ühenduselementide taastamine pole võimalik. 14.2 Ümberprogrameeritavad maatriksid Ümberprogrammeeritavates maatriksites kasutatakse ühenduselemendina ujuvpaisuga MOS-transistore (joonis c). Ujuvpaisul elektriline ühendus puudub ning see on ette nähtud laengu säilitamiseks. Transistori pais on ühendatud rõhtjuhtmega, suue püstjuhtmega ning läte toiteallika miinusklemmiga. Lähteolekus läbib paisu ergastamisel transistori vool. Programmeerimisel antakse püstjuhtmele 25..
ülekandemudeliga. Kui võrrandile X(s)=(sE-A)-1X(O)+(sE-A) -1BU(s) liita väljundvõrrandi operaatorkujutis Y(s)=CX(s)+DU(s), siis tingimusel X(0)=0 saame avaldise H’(s)=C(sE-A)- 1B +D. See esitab maatriksit, mille iga element on teatava sisendi ja väljundi vaheline ülekandefunktsioon. Mõõtudega m*r maatriksit H’(s) nim ülekandefunktsioonide maatriksiks, kusjuures viimane avaldis (H’(s)=...) kajastab ka ülekandefunktsioonide seotust olekumudeli parameetrite maatriksitega. 9. Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide analüüs. Z – teisendus- Olgu antud mingi diskreetaja funktsioon x[kT]. Seda on võimalik kirjeldada ka pidevajas kujul X*(t)=Σx[kT]δ(t-kT) Püüame leida selle funktsiooni Laplace’i Kujutise x *(s) = Rakendame nüüd 5-impulsi integraalset põhiomadust Tulemusena oleme jõudnud diskreetse Laplace’i teisenduse avaldiseni x*(t)= Praktilistes rakendustes leiab sagedamat kasutamist teisenduse
Kui võrrandile X(s)=(sE-A)-1X(0)+(sE-A) -1BU(s) liita väljundvõrrandi operaatorkujutis Y(s)=CX(s)+DU(s), siis tingimusel X(0)=0 saame avaldise H’(s)=C(sE-A)-1B +D, mis esitab maatriksit, mille iga element on teatava sisendi ja väljundi vaheline ülekandefunktsioon. Mõõtudega m * r maatriksit H’(s) nimetatakse ülekandefunktsioonide maatriksiks, kusjuures avaldis H’(s)=C(sE-A)-1B +D kajastab ka ülekandefunktsioonide seotust olekumudeli parameetrite maatriksitega. Lineaarsete statsionaarsete diskreetaja süsteemide analüüs. Z – teisendus. Piirväärtusteoreemid. Diskreetne olekumudel. Diskreetne ülekandefunktsioon. Realiseeritavus ja hilistumine diskreetaja süsteemides. Siirdeprotsesside arvutus. Lõpliku siirdeajaga diskreetaja süsteemid (finiitsed süsteemid). Vajadusel kasutage näidet selgitamaks diskreetaja süsteemide analüüsi probleeme.
Ühenduse läbipõletamisvool on 20...30 mA. Vajalikke elektrilisi ühendusi saab tekitada ka joonisel 1.23, b näidatud kahe vastulülituse dioodiga. Normaalses olukorras selline dioodipaar voolu ei juhi. Ühenduse tekitamiseks antakse juhtmele kõrgendatud pinge, mille tulemusena dioodi VD2 pn-siire lüüakse elektriliselt läbi ning rõht- ja püstjuhtmete vahel tekib dioodi VDl kaudu ühendus. Mõlemal juhul on tegemist ühekordselt programmeeritavate maatriksitega, sest ühenduselementide taastamine pole võimalik. 1.4.2. Ümberprogrammeeritavad maatriksid Ümberprogrammeeritavates maatriksites kasutatakse ühenduselemendina ujuvpaisuga MOS-transistore (joonis 1.23, c). Ujuvpaisul elektriline ühendus puudub ning see on ette nähtud laengu säilitamiseks. Transistori pais on ühendatud rõhtjuhtmega, suue püstjuhtmega ning läte toiteallika miinusklemmiga. Lähteolekus läbib paisu ergastamisel transistori vool.
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide
algmaatriksi read, nimetatakse transponeeritud maatriksiks ja tähistatakse AT. Näide 3: 1 - 2 T 1 0 , A = A= 0 7 - 2 7 . Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega 2. Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij ) Näide 1: 2 - 5 6 4 - 1 - 7 6 - 6 - 1 + = .
Näide 3: 1 - 2 T 1 0 A = , A = . 0 7 - 2 7 Maatrikseid kasutatakse andmete süstematiseerimiseks, nende kompaksteks esitamiseks ja töötlemiseks, lineaarvõrrandite süsteemide esitamiseks ja lahendamiseks, mitmesuguste teisenduste sooritamiseks. 1.2. Tehted maatriksitega · Liitmine Märkus: maatrikseid saab liita ainult juhul, kui liidetavate maatriksite suurused on võrdsed Definitsioon 1. Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) summaks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide summad A + B = (aij ) + (bij) = (aij + bij ) -2-
s 2 + 4 s + 16 Mõlema siseoleku hinnangute vead lähenevad nullile. Järelikult koonduvad siseolekute hin- nangud tegelike siseolekute väärtustele. See tähendab, et olekutaastaja saab oma ülesandega hakkama. m.o.t.t. 63 Näidisülesanne N 12.2 Diskreetaja jälgimissüsteem On antud diskreetaja süsteem oma olekumudeli maatriksitega: - 1 - 2 1 2 = = C = [1 1] x ( 0) = 2 - 1 - 1 1 Ülesandeks on leida sellele süsteemile olekutaastaja. Tagasisidestatud süsteem on antud: ( z ) = z 2 . Antud juhul on olekutaastajaga süsteem finiitne ja olekute hinnangud peavad
Amüloidid võivad koosneda erinevatest valkudest, kuid nad kõik on vees lahustumatud ning vastupidavad enamikele ensüümidele ning keemilisele töötlemisele. Amüloidid on bakteri jaoks olulised rakuvälised struktuurid, mis kaitsevad bakterit mitmete väliskeskkonnategurite eest. Amüloidid katavad spoore, käituvad tsütotoksiinidena ning on olulised bakterite adhesioonil ning biofilmi moodustumisel. Amüloidpiilide abil seonduvad enterobakterid ja pseudomonased mitmete maatriksitega k-a eukarüootide membraanile ning on olulised biofilmi algetappidel, kui toimub üleminek lühiajalisest kinnitumisest pöördumatule kinnitumisele. Amüloidpiilid assambleeritakse rakuvälises ruumis, ning on biofilmi moodustumisel patogeensetel enterobakteritel olulised maatriksi komponendid. Amüloidpiilid koosnevad mitmetuhandest subühikust, mille ehituses on 5 -lehte kuju tekkimisel määrava tähtsusega. Tabel 1. Amüloidpiilide mõned näited.
annaabi.ee 
