Süsteemiteooria kogu 2009 (0)

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL 
Automaatikainstituut 
 
 
 
 
 
 
 
BORIS GORDON,  EDUARD   PETLENKOV  
 
 
ISS0010  
 
SÜSTEEMITEOORIA 
 
ÜLESANNETE KOGU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2007 
Parandatud 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kaane kujundanud Ann  Gornischeff  
 
 
 
 
 
 
Autoriõigus: B. Gordon, E. Petlenkov, 2007 
ISBN  978-9985-59-688-3 
2
 
EESSÕNA 
 
 
Käesolev  ülesannete  kogu  on  mõeldud  kasutamiseks   abimaterjalina   õppeaines  ISS0010 
Süsteemiteooria.  Kogu  täiendab   Hanno    Sillamaa   õpikut  “Süsteemiteooria”,  millel  on  olnud 
juba  neli  trükki.  Iga  peatüki  alguses  on  toodud   viide   selle  õpiku  (Hanno  Sillamaa. 
Süsteemiteooria,  TTÜ  kirjastus)  vastavatele  teoreetilistele  peatükkidele.  Kui  selles  õpikus 
vastavat  materjali  ei  ole,  siis  on  antud  viide  teisele  raamatule  (K.  Ogata.  Modern  control 
engineering , 2002). 
Ülesannete kogu on kasutamiseks nii harjutustundides, kontrolltöödeks ja eksamiteks etteval-
mistamisel  kui  ka  kursuse  iseseisval  läbimisel.  See  sisaldab  ülesandeid  põhiliste  teoreetilise 
kursuse käigus läbivõetavate teemade kohta.  
Igas  peatükis  on  nn  näidisülesanded  (täieliku  lahenduskäiguga)  ja  ülesanded  iseseisvaks 
lahendamiseks  (mille  kohta  on  ülesannete  kogu  lõpus  toodud  vastused  ja  mõnikord  ka 
vahetulemused).  
Autorid  on  kasutanud  samu  tähiseid,  mis  on  kasutusel  H.  Sillamaa  raamatus,  välja  arvatud 
diskreetsete süsteemide maatriksite tähistus, kus F ja G asemel kasutatakse kreeka tähti Φ ja Γ. 
Selle  aine  õpetamise  pikaajaline  kogemus  näitas  sellise  ülesannete  kogu  vajalikkust.  Kõik 
märkused, soovitused ja  teated  avastatud vigadest on teretulnud. 
Autorid  tänavad  oma  kolleegi  professor   Ennu   Rüsterni  asjalike  märkuste  ja  soovituste  eest 
ülesannete kogu ettevalmistamise käigus. 
 
3
SISUKORD 
 
 
Eessõna ....................................................................................................................................... 3 
1.   Laplace ’i  teisendus  ................................................................................................................ 5 
2.  Ülekandemudel, hilistumisega süsteemide ülekandefunktsioonid ja  siirdeprotsessid  .......... 8 
3.  Süsteemide  kompositsioon  .................................................................................................. 13 
4.  Lineaarse  pidevaja  süsteemi  olekumudel , selle  lahend  ja maatrikseksponendi leidmine ... 18 
5.  Diferentsiaalvõrrandite süsteemi ja olekumudeli seos ........................................................ 22 
6.  Ülekandekarakteristikud ...................................................................................................... 26 
7.  Olekumudeli ja ülekandemudeli seos. Ülekandefunktsioonide, impulsskajade ja 
hüppekajade  maatriksid  ...................................................................................................... 29 
8.  Siirdeprotsesside arvutus diferentsiaalvõrrandist ................................................................ 32 
9.   Diskreetaja  süsteemide analüüs ........................................................................................... 39 
10. Süsteemide stabiilsus, juhitavus ja jälgitavus .................................................................... 49 
11. Stabiliseerimissüsteem ehk olekuregulaator ...................................................................... 54 
12. Jälgimissüsteem ehk olekutaastaja ..................................................................................... 62 
13. Mittelineaarsed süsteemid ja nende lineariseerimine ......................................................... 67 
LISA 1   Operaatorteisendused ................................................................................................ 73 
LISA 2   Operaatorteisenduste omadused ................................................................................ 74 
LISA 3   Ülesannete vahetulemused ja vastused ...................................................................... 75 
4
 
1. LAPLACE’I TEISENDUS 
 
 
Antud  peatükk,  mis  oma  sisu  poolest  sobiks  rohkem  matemaatikaalasesse  õppematerjali,  on 
toodud  siin  selleks,  et  oleks  võimalus  natukene   korrata   Laplace’i  teisendust,  kuna  meie 
kursuse raames tuleb seda kasutada küllaltki tihti. Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida 
H. Sillamaa õpikust ptk. 2.3. 
Laplace’i integraalne teisendusvalem loob üksühese vastavuse originaalfunktsioonide ja kuju-
tisfunktsioonide  vahel.  Originaali  ja  kujutise  vastavust  tähistame  järgmiselt:  x(t)
L
← →
 X(s) 
või  X(s)  =  L(x(t))  või  x(t)  =  L-1(X(s)).  Laplace’i   teisenduse   ja  tema  omaduste   tabelid   asuvad 
vastavalt  lisas  1 ja lisas 2. 
 
 
Näidisülesanne N 1.1 
5 2
s + 5s + 1 )
0
Leiame originaali  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
. 
(s + )
3 (s + )
4 (s + )
5
Lahenduskäik 
Lahutame kujutise  X (s)  osamurdudeks: 
5 2
s + 25s + 50
A
B
C
X (s) =
(s + )
3 (s + 4)(s + )
5
(s + )
3
(s + 4)
(s + )
5
A s + 4)(s + )
5 + B(s + )
3 (s + )
5 + C(s + )
3 (s + 4)
(s + )
3 (s + 4)(s + )
5
 
2
As + 9 As + 20
2
A + Bs + 8Bs + 15
2
B + Cs + 7Cs + 12C =
(s + )
3 (s + 4)(s + )
5
2
s ( A + B + C) + s 9
( A + 8B + 7C) + 20 A + 15B + 12
C
(s + )
3 (s + 4)(s + )
5
Nüüd  paneme  kirja lineaarsete võrrandite süsteemi. Meil on 3 tundmatut ja 3 võrrandit. Järeli-
kult laheneb süsteem üheselt. 
A + B + C = 5

9A + 8B + 7C = 25
 

20A +15B +12C = 50
Lahendades süsteemi, saame  A = 1 ,
0   B = −3 ,
0   C = 25.  
Seega, 
5 2
s + 25s + 50
10
30
25
X (s) =
−
 
(s + )
3 (s + )
4 (s + )
5
(s + )
3
(s + )
4
(s + )
5
Kordajate  A, B ja C leidmiseks, kui  nimetajad  on ühekordsed  reaalsed  poolused, eksisteerib ka 
lihtsam leidmise viis resiidide kaudu (tihti saab  arvutust  teha isegi peast): 
5 2
s + 5s +1 )
0
[5(− )32 + (5− )3+10]
A = res
 
s→ 3
−
(s + )
4 (s + )
5
[(− )
3 + 4][(− )
3 + ]
10
5
 
5
5 2
s + 5s +1 )
0
[5(− )42 + (5− )4+10]
B = res
= −  
s→ 4
−
(s + )
3 (s + )
5
[(− )
4 + ]
3 [(− )
4 + ]
30
5
5 2
s + 5s +1 )
0
[5(− )52 + (5− )5+10]
C = res
 
s→ 5
−
(s + )
3 (s + )
4
[(− )
5 + ]
3 [(− )
5 + ]
25
4
Tänu Laplace’i teisenduse lineaarsuse omadustele 
−
L 1 (∑λ X (s)) =
λ L 1(X (s)) , kus  λ  on konstandid. 
i
i
∑ −
i
i
i
i
i
Järelikult, 




−
−
5
25
50
−
10
30
25
1
s 2
1
s
x t
( ) = L ( X (s)) = L
= L 1
−




(s + )
3 (s + 4)(s + )
5


 (s + )
3
(s + 4)
(s + )
5   
tabelist






−
1
−
1
−
1
1
1
1
−3t
−4t
−5t
= 10L
− 30L
+ 25L
= 10e
− 30e
+ 2 e
5






 (s + )
3 
 (s + 4) 
 (s + )
5 
 
 
Näidisülesanne N 1.2 
Leiame  funktsioonile  x t
( ) = 10e−2t + t
( − 2)e−5(t−2) + e−t sin t
2
 vastava  Laplace’i  kujutise 
X (s . 
)  
Lahenduskäik 
x(t) = 10x (t) + x (t − 2) + x (t) , kus 
−2t
x t
( ) = e
, 
5
− t
x t
( ) = te
,  x t
( ) = e−t sin t
2  
1
2
3
1
2
3
X (s) = L(x(t)) = L(10x (t) + x (t − )
2 + x (t)
10L(x (t))
e s L(x (t))
L(x (t))
1
2
3
) =
+ −2
1
2
3
−2s
tabelist
 
t
s
t
t
e
10L( −
10
2
2
e
)+ −2
e
L( −5
te
)+ L( −e sin2t) =
s + 2
(s + 5)2 (s + 2)
1
+ 2
2
10
2
−
e s
2
 
s + 2
(s + 5)2
2
s + 2s + 5
 
6
 
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
 
IL 1.1 
− 8 2
s + 5
Leida  originaal   x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
.  
(s + )
1 ( 2
s + 4s + 1 )
3
 
 
IL 1.2 
Leida  funktsioonile  x t
( ) = 2e 3
− (t −3) + t
( − 2)e 5
− (t −2) + e−t cos t
2
 vastava  Laplace’i  kujutise 
X (s . 
)  
 
 
IL 1.3 
1 (
0 s + )
3 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
.  
s(s + )
2 ( 2
s + )
1
 
 
IL 1.4 
1 (
3 s + )
5 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
.  
s(s + )
1 ( 2
s + 2 )
5
 
 
IL 1.5 
2 (
0 s + )
4 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
.  
s(s + )
2 ( 2
s +1 )
6
 
 
IL 1.6 
26(s + )
3 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  X (s) =
.  
s(s + )
2 ( 2
s + )
9
 
7
2. ÜLEKANDEMUDEL, HILISTUMISEGA SÜSTEEMIDE 
ÜLEKANDEFUNKTSIOONID JA SIIRDEPROTSESSID 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 1.7.3, 2.4 ja 2.5. 
Nagu  näeme  oma  kursuse  käigus,  võib  süsteemidel  olla  palju  erinevaid   mudeleid .  Üks 
lihtsamatest  mudelitest  on  nn  ülekandemudel,  mis  seob  omavahel  ainult  sisendeid  ja 
väljundeid.  Seda  mudelit  saame  kasutada  vaid  siis,  kui  süsteemil  ei  ole  sisemisi  akumu-
latsioone ehk siis juhul, kui  algolek  on nulline. Kui need tingimused on täidetud, on süsteemi 
sisendi ja väljundi kujutised seotud ülekandefunktsiooniga väga lihtsa seose kaudu:  
Y (s) = U (s)H (s)  
kus 
Y(s) on väljundi kujutis, 
U(s) on sisendi kujutis ja 
H(s) on ülekandefunktsioon. 
Eeldades  nulliseid  algolekuid,  saab  ülekandefunktsiooni  kasutada  siirdeprotsesside  arvuta-
misel. 
 
 
Näidisülesanne N 2.1 
 
 
u(t) 
H(s) 
y(t) 
 
 
 
( 2
s + 2 )
5 (s − )
8
Antud: sisendsignaal  u t
( ) = 2 cos t
5  ja ülekandefunktsioon  H (s) =
.  
2
s ( 2
s +1 )
6
Leida y(t). 
Kontrollida tulemust piirväärtusteoreemidega. 
Lahenduskäik 
Y (s) = U (s)H (s)  
s
U (s) = L[u(t ]
2
) =
 
2
s + 25
2s
( 2
s + 2 )
5 (s − )
8
2(s − )
8
A
Bs + C
Y (s) =
 = 
=  
( 2
s + 2 )
5
2
s ( 2
s +1 )
6
s( 2
s +16)
s
( 2
s +16)
2(s − )
8
Leiame A resiididega  A = res
= −1 
s→
( 2
0
s +16)
−1
Bs + C
− ( 2
s + 1 )
6 + s(Bs + C)
= 
 
s
( 2
s + 1 )
6
s ( 2
s + 1 )
6
Kuna kahel võrdsel murrul on võrdsed nimetajad, saame võrdsustada ka lugejad: 
2 s − )
8
− ( 2
s +1 )
6 + s(Bs + C)
 
s( 2
s +1 )
6
s( 2
s +1 )
6
 
8
 
2s −16 = −s2 −16 + Bs2 + Cs  
Kuna kaks polünoomi on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka sama  astmenäitajaga  s  ees 
olevad tegurid mõlemal pool võrrandit: 
2
s  
 
0 = −1+ B,   siit  B = 1 
s                      2 = C  
Vabaliikmete võrdsus on kontrolliks. 
Märkus:  peale  osamurdudeks  jagamist,  kui  osa  tundmatuid  õnnestub   lugejas   leida  resiidide 
kaudu, saame alati võrrandeid rohkem kui tundmatuid. Seega on alati olemas ka kontrollimise 
võimalus: 
−1
s + 2
−1
s
4
Y (s) =
 
s
( 2
s +16)
s
( 2
s +16)
2( 2
s +16)
1
−
1
y t
( ) = L [Y (s)] = −1 t
( ) + cos t
4 +
sin t
4  
2
Siin on 1(t) Heaviside’i funktsioon 

 ,
1 kui t > 0
L
1 t) = 
   
1
1 t)
−
↔s  
 ,0 kui t ≤ 0
Eespool  saadud tulemused kontrollime piirväärtusteoreemidega: 
1)     lim x(t) = lim sX (s)  
t→0+
s→∞

1

1
lim y(t) = lim − (
1 t) + cos 4t +
sin 4t = −1+1+
0 = 0
t → +
t → + 

0
0 
2

2
2s
16
2
16
−
−
2 s − )
8
2
2
0 − 0
s
s
∞ ∞
lim sY (s) = lim s
= lim
= 0  
s→∞
s→∞
s( 2
s +
16
2
s→∞ s
16
1 16
1+ 0
2
2
s
s
1
∞
Seega saime esimese piirväärtusteoreemi järgi, et  0 = 0.  
Märkus: kui  s− >
∞  siis jagame nii lugeja kui ka  nimetaja  polünoomide kõik liidetavad läbi 
s -ga maksimaalses  astmes  ja saame sõltuvalt polünoomide astmetest ühe kolmest variandist: 
0 + 0 + 0
+ +
+ 0 +
1 0 0
k
0
0  või 
=1 või 
= k  
1 + 0 + 0
1+ 0 + 0
1+ 0 + 0
2)     lim x(t) = lim sX (s)  
t→∞
s→0

1

lim y(t) = lim − (
1 t) + cos 4t +
sin 4t = −1+ 0 + 0 = −1  
t→∞
t→∞ 


2

2(s − )
8
−16
lim sY (s) = lim s
= −1  
s→0
s→
s( 2
0
s +16)
16
Seega saime teise piirväärtusteoreemi järgi, et  − 1 = −1. 
Märkus:  kaks  piirväärtusteoreemi  ei  ole  omavahel  kuidagi  seotud,  seega  ei  maksa  ülesande 
kontrollimise juures üritada saavutada nende väärtuste omavahelist võrdsust. 
 
9
Näidisülesanne N 2.2 
 
 
u(t) 
H(s) 
y(t) 
 
 
 
(s + )
1 −
e s
Antud:  H (s) =
 
(s + 2)2 ( 2
s + 4)
u(t) = δ (t − )
1  
Leida y(t), y(0), y(∞). 
Siin on δ (t)  deltaimpulss ehk Diraci impulss. 
Omadused 
ε
ε
1)  ∫δ (t) f (t)dt = f ( )
0  
2)  ∫δ (t)dt = 1, 
t ∈[ ε
− ,ε ]  
−ε
−ε
L
δ (t) ↔1  
Lahendus 
Y(s) = H(s)U(s) 
L
U (s) = [
L δ t
( − )
1 ]
−s
= e , sest  L[δ (t)] = 1 ja  τ−
e s X (s)
x(t − τ )
↔
 
Seega, 
(s + )
1
−2s
Y (s) =
e
 
(s
2
+ 2) (s2 + 4)
L

s
1
+1

Y (s)
y ( − 2)
↔ t
 
y(t) = y (t − 2) , kus  ~
y (t) = −
L 
 
2
2

 (s + )
2 (s + )
4 
s + 1
As + B
Cs + D
Y (s) =
(s + 2)2 ( 2
s + 4)
2
s + 4s + 4
2
s + 4
3
As + 4
2
As + Bs + 4
3
B + Cs + 4
2
Cs + 4
2
Cs + Ds + 4Ds + 4
D =  
(s + 2)2 ( 2
s + 4)
( A + C) 3
s + (B + 4C + D) 2
s + (4 A + 4C + 4D)s + 4B + 4
B
(s + 2)2 ( 2
s + 4)
Järelikult, 
A + C = 0
       Lineaarsete võrrandite süsteem: 4 sõltumatut võrrandit, 4 tundmatut. 

1
1
1
B + 4C + D = 0
Lahendades, saame  A =
,  B = 0 ,  C = −
,  D =
 

⇐
16
16
4
4A + 4C + 4D = 1
KONTROLLIGE! 
4B + 4D =1
10  
1
s
1 s − 4
1  s + 2 − 2
s
2

Y (s) =
−
−


16 (s + 2)2
16 2
s + 4
16  (s + 2)
2
2
2
s + 4
2
s + 4 
 
1  1
2
s
2
L

1
−2t
−2t
−
−
+ 2
(e
− 2te
− cos(2t) + 2sin(2t)) (t) = y(t)

↔
1
16  s + 2 (s + 2)2
2
s + 4
2
s + 4 
16
Siin on 1(t) Heaviside’i funktsioon 

 ,
1
kui t > 0
L
1 t) = 
, 
1
1 t)
−
↔s  
 ,0 kui t ≤ 0
 
1
y(t) = y (t − 2) =
( −2(t−2)
e
− 2 −2(t−2)
te
− cos(2(t − 2)) + 2sin(2(t − 2)) (
1 t − 2)  
1 16
1
y(0) = 0 , sest  (−2) = 0  
1
−
t
2(t −2)
1
−2(t −2)
1
L'Hospita  
l
y(∞) = lim y(t) =
(0 − lim 2te
− 0 + 0) = − limte
= − lim
t→∞
16
t →∞
8 t→∞
8
2(t −2)
t →∞ e
 
L'Hospita  
l
1
1
= − lim
= 0
8 t→∞ 2 2(t−2)
e
Eespool saadud tulemused kontrollime piirväärtusteoreemidega. 
 
lim x(t) = lim sX (s)
Piirväärtusteoreemid: 
t →0+
s→∞
 
lim x(t)
lim sX (s)
t →∞
s→0
 
s(s + )
1
2
−
s
s
s
y(0) = lim sY (s) = lim
2
e
= lim
s→∞
s→∞ (s + 2)2 ( 2
s + 4)
→∞ ( 4
s + 4 3
s + 8 2
s + 16s + 16) 2s
s
e
 
1
1
+ −
s
 1 
= lim
= 0
−
−
→∞
s
s
 
( 2
s + 4 1
s + 8 + 16 1
s
+16 2
s ) 2
e
∞ 
s(s + )
1
−2s
0
y(∞) = lim sY (s) = lim
e
= 0  
s→0
s→
(s + 2)2
0
( 2
s + 4)
16
 
11
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
 
IL 2.1 
Antud: väljund  y(t)  ja ülekandefunktsioon  H (s)  
−
2 s + )
2
t
4
− t
y t
( ) = 3 × 1 t
( ) − 2e
− e    
H (s) =
 
s (s + )
1
Leida  sisend   u(t)  ning selle alg- ja lõppväärtused. 
 
 
IL 2.2 
Antud: ülekandefunktsioon  H (s)  ja sisend  u(t)  
(s + )
1 e−s
H (s) =
,    u(t) = (
1 t − 2)  
(s 2 + 4)s
Leida y(t), y(0), y(3) 
 
 
IL 2.3 
Antud: ülekandefunktsioon  H (s)  ja sisend  u(t)  
( 3
s + )
1
2
−
e s
H (s) =
,    u(t) = δ (t − )
1  
s(s + )
2 (s + )
3
Leida y(t), y(1), y(∞) 
 
 
IL 2.4 
Antud: ülekandefunktsioon  H (s)  ja sisend  u(t)  
s
H (s) =
,    u(t)
−(t 4)
−
e
1 t − 4)  
(s + )
1 ( 2
s + 5s + 6)
Leida y(t), y(0), y(3), y(4), y(7), y(6) y(∞) 
 
 
IL 2.5 
Antud: ülekandefunktsioon  H (s)  ja sisend  u(t)  
s + −
e s
H (s) =
,    u(t) = (
1 t − )
1  
2
s + 4s + 5
Leida y(t), y(0), y(1), y(∞) 
 
 
12  
3. SÜSTEEMIDE KOMPOSITSIOON 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 2.4. 
Kõige lihtsamad kahe süsteemi ühendamise viisid on järgmised: 
•  järjestikune, kus ülekandefunktsioonid korrutuvad: Y (s) = H (s)H (s)U (s)  
2
1
•  paralleelne, kus ülekandefunktsioonid liituvad: Y (s) = (H (s) + H (s))U (s)  
1
2
•
H (s)
   tagasisidestatud , kus Y (s)
1
U (s)  
1− H (s)H (s)
2
1
Kasutades  neid  kolme  ühendamisviisi,  saame  komponeerida  küllaltki  keerulisi  süsteeme, 
mille ühised ülekandefunktsioonid leiame nende valemite kaudu. 
 
 
Näidisülesanne N 3.1 
 
Kolm  süsteemi  on  ühendatud  järgmise  skeemi  järgi.  On  teada  nende  ülekandefunktsioonid 
H1(s), H2(s), H3(s) ja kaks  sisendit  u(t), n(t). Leida süsteemide kompositsiooni väljund y(t).  
 
 
n(t) 
 
+ 
u(t) 
H
+ 
1(s) 
H2(s) 
y(t) 
 
– 
+ 
 
 
 
H3(s) 
 
40(s + 50)
10
Antud:  H (s) = H (s) =
  H (s) =
 
1
3
s + 40
2
s(s + 50)
 
u(t) = 2 ⋅ (
1 t)   n(t) = δ (t)  
Leida y(t), y(0), y(∞) 
Lahenduskäik 
H H
1
1
2
H
; 
H
 
uy
1 + H H
ny
1 + H H
2
3
2
3
Y (s) = H (s)U (s) + H (s)N (s)  
uy
ny
400
400
2
s + 40s + 400
H H = H H =
;  1 + H H = 1 +
 
1
2
2
3
s(s + 40)
2
3
s(s + 4 )
0
s(s + 4 )
0
400
s(s + 40)
400
H (s) =
⋅
 
uy
s(s + 40)
2
s + 40s + 400
2
s + 40s + 400
s(s + 40)
H (s) =
 
ny
2
s + 40s + 400
 
13
2
U (s) = L[u t
( )] = [
L 2 ⋅1 t
( )] =
 
s
N (s) = [
L n(t)] = [
L δ (t)] = 1 
800
s(s + 40)
Y (s) =
 
s( 2
s + 40s + 400)
2
s + 40s + 400
800
A
Bs +
C
⇒ A = 2 ; B = −2 ; C = 8
− 0  (Kontrollige!) 
s( 2
s + 40s + 400)
s
( 2
s + 40s + 400)
L
800
2
s + 40
2
 1
20

−20t
−20t
= − 2
= − 2
2 − e
2
− 4 t
0 e

 ↔
s(s 2 + 40s + 40 )
0
s
(s
2
+ 2 )
0
s
s + 20

(s
2
+ 2 )
0

2
L
s(s + 4 )
0
s + 40s + 400 − 400
400
−20t
=1−
t
( ) − 40 t
0 e
↔δ
 
s 2 + 40s + 400
(s
2
+ 2 )
0
(s
2
+ 2 )
0
2
− 0t
2
− 0t
2
− 0t
y t
( ) = 2 − 2e
− 4 t
0 e
+ δ t
( ) − 40 t
0 e
 
y( )
0 = lim(2 −
−
2 20
e
t −
−
40
20
te
t + δ (t) −
−
400
20
te
t ) = 2 − 2 + limδ (t) = 0 + limδ (t) = ∞
t →0
t →0
t→0
y(∞) = lim(2 − 2 2
− 0t
e
− 40 2
− 0t
te
+ δ (t) − 400 2
− 0t
te
) = 2  
t→∞
Kontrollime piirväärtusteoreemidega: 

800
2
s (s + 4 )
0

3
s +
2
s
y( )
0 = lim sY (s) = lim
= 0 +
40
lim
= ∞  
s→∞
s→∞
 2
2

s + 40s + 400
s + 40s +
s→∞
400
2
s + 40s +


400

800
2
s (s + 4 )
0
 800
y(∞) = lim sY (s) = lim
= 2  
s→
s→ 
 2

0
0  s + 40s + 400
2
s + 40s + 400
400

14  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 3.1 
Kaks  süsteemi  ülekandefunktsioonidega  H1(s)  ja  H2(s)  on  ühendatud  järjestikku.  Leida 
nendest  koostatud süsteemi ülekandefunktsioon H(s), impulsskaja h(t) ja hüppekaja g(t) ning 
nende väärtused kohal  .
∞  
 
 
 
y(t) 
u(t) 
H1(s) 
H2(s) 
 
 
10(s + 20)
5
Antud:  H (s) =
,  H (s) =
 
1
s + 40
2
s + 20
Leida H(s), h(t), g(t), h(∞), g(∞) 
 
 
IL 3.2 
Kaks  süsteemi  ülekandefunktsioonidega  H1(s)  ja  H2(s)  on  ühendatud  paralleelselt.  Leida 
nendest koostatud süsteemi ülekandefunktsioon H(s), impulsskaja h(t) ja hüppekaja g(t) ning 
nende väärtused kohal  .
∞  
 
 
H
 
1(s) 
 
u(t) 
y(t) 
 
 
H
 
2(s) 
 
 
s + 1
2
Antud:  H (s) =
,  H (s) =
 
1
s + 2
2
s + 5
Leida H(s), h(t), g(t), h(∞), g(∞) 
 
 
IL 3.3 
Kaks  süsteemi  ülekandefunktsioonidega  H1(s)  ja  H2(s)  on ühendatud positiivse  tagasisidega . 
Leida nendest koostatud süsteemi ülekandefunktsioon H(s), impulsskaja h(t) ja hüppekaja g(t) 
ning nende väärtused kohal  .
∞  
 
 
u(t)  + 
 
H1(s) 
y(t) 
 
+ 
 
 
H
 
2(s) 
 
 
 
15
10(s + 20)
5
Antud:  H (s) =
,  H (s) =
 
1
s + 40
2
s + 20
Leida H(s), h(t), g(t), h(∞), g(∞) 
 
 
IL 3.4 
Kaks süsteemi ülekandefunktsioonidega H1(s) ja H2(s) on ühendatud negatiivse tagasisidega. 
Leida nendest koostatud süsteemi ülekandefunktsioon H(s), impulsskaja h(t) ja hüppekaja g(t) 
ning nende väärtused kohal  .
∞  
 
 
u(t)  + 
H1(s) 
y(t) 
 
 
– 
 
 
H
 
2(s) 
 
 
10(s + 20)
5
Antud:  H (s) =
,  H (s) =
 
1
s + 40
2
s + 20
Leida H(s), h(t), g(t), h(∞), g(∞) 
 
 
IL 3.5 
Kolm diskreetaja süsteemi on ühendatud järgmise skeemi järgi. 
 
 
u(t) 
H
+ 
1(z) 
H2(z) 
y(t) 
 
 
– 
– 
 
 
H3(z) 
 
 
 
− (
3 z −
1
0
z − 9
0
z − 5
0
Antud:  H (z) =
,  H (s) =
,  H (s) =
,  u(k) = 1  ∀
  k ≥ 0  
1
z − 9
0
2
3
z + )2
1
z − 9
0
Leida  H (z ,
)  staatiline ülekandetegur,  y(k k
 
ui  k
  =
∞
 
3
 
2
 
1
 
0
 
uy
 
 
IL 3.6 
Pidevaja MISO süsteem on koostatud  lihtsatest  SISO süsteemidest. 
16  
u2(t) 
– 
u1(t) 
H1(s) 
+ 
H2(s) 
H3(s) 
y(t) 
– 
H4(s) 
 
s + 2
2
1
2s + 4
Antud:  H (s) =
,  H (s) =
,  H (s) =
,  H (s) =
 
1
s + 4
2
s + 2
3
s
4
s + 4
 
u (t) = (
1 t)  
n(t) = 2δ (t)  
1
Leida y(t) 
 
 
IL 3.7 
Kolm diskreetaja süsteemi moodustavad süsteemide kompositsiooni. 
 
u(t) 
 
 
+ 
H
+ 
1(z) 
H2(z) 
y(t) 
 
– 
– 
 
 
 
H3(z) 
 
 
 

−
1
k =
3 z −
1
0
z −
9
0
z − 5
0

0
Antud:  H (z) =
,  H (z) =
,  H (z) =
,  u(k) = 
 
1
z − 9
0
2
2
(z + )
1
2
z − 9
0

 ,
0
k ≥ 0
Leida Huy(z), staatiline ülekandetegur, y(k), kui k = 0, 1, 2, 3, 4, ∞ 
 
17
4. LINEAARSE PIDEVAJA SÜSTEEMI OLEKUMUDEL, SELLE 
LAHEND JA MAATRIKSEKSPONENDI LEIDMINE 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 3.1–3.3. 
Olekumudel avaldub üldkujul järgmise valemi kaudu: 
X& (t) = (
A t) X (t) + B(t)U (t)

 
Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U (t)
Selle võrrandisüsteemi lahendamisel saame 

t
 X (t) = eAt X (0) + ∫ A(t−τ)
e
BU (τ )dτ

0
 

t
At
A(t −τ )
Y (t) = Ce X (0) + C e
BU (τ )dτ +
∫
DU (t)

0
Selles lahendis olevat maatrikseksponenti saame leida kahel meetodil: 
1) kasutades Laplace’i teisendust 
At
L
1
e

←
→ sE
)−
− A
 
2) spektraallahutuse meetodil (Sylvester- Lagrange ’i valem) 
n
At
λ ti
e
= ∑ Z e  
i1
i =1
n
( A − λ E
∏
k
kus     
k
Z
= 1
 
i1
n
∏(λ − λ )
i
k
k =1
k ≠i
Näidisülesanne N 4.1 
Antud: süsteemne  maatriks  A 
0 −5 4 


A = 2 −5 2   
1 1 − 


3
Leida maatrikseksponent  At
e  
Lahenduskäik 
1. Laplace’i teisenduse meetodiga: 
0 − 5
4 
 s
s
− 4 




A = 2 − 5 2     
(sE − )
A = − 2 s + 5 − 2   
1
1
− 


3
 −1
−1
s + 


3
det(sE – A) = … = (s + 3)(s + 1)(s + 4) 
 
18  
1
−
1
(sE − )
A
 
(s + )
1 (s + )
3 (s + 4)
(s + )
5 (s + )
3 − 2
− (
5 s + )
3 + 4
−10 + 4(s + )
5 


2(s + )
3 + 2
s(s + )
3 − 4
2s + 8

  

2 + s + 5
s − 5
s(s + )
5 +10 


s2 + s
8 +13
− s
5 −11
s
4 +10 
1

2

s
2 + 8
s + s
3 − 4
s
2 + 8
=...=


 
s
( + )
1 s
( + )
3 s
( + )
4  s + 7
s − 5
s2 + s
5 +


10
 
6 − 6 6
− 2
4
− 2
− 3
9
− 6
1
1 

1
1 

1
1 

⋅
6
− 6 6 +
⋅
2
− 4
2
⋅
3
0
0





  
s +1 6
s + 3 − 2
s +

4 3
6
− 6 6
 4
4
4 
 3
− 9
6 






1 − 1

1
 1
− 2
1 
− 1
3
− 2
1 

1


1


1
− 1 1 +
− 1
2
− 1 +




 0
0
0   
6
s + 3
s +

4
1
− 1

1
− 2
4
− 2
 1
− 3
2 






Vastus 
1

1
− 1
 1 −2 1 
 1
−
3
−2
At
L
1
−
At

 t− 
 − t3 
 4
− t
e

← → s
( E− )
A ;
e = 1
1
− 1 ⋅e + 1
−
2
1
− ⋅e + 0
0
0 ⋅e






 
1

1
− 1
−2 4 −2
 1 −3 2 






2. Spektraallahutuse meetodiga (Sylvester-Lagrange’i valem): 
At
e
∑n λ
t
z e
1
i
 
i=1
5
− 4
λE − A == − 2 λ + 5
− 2  
−1
−1
λ + 3
det λE − A = (λ + )
3 (λ + )
4 (λ + )
1  
λ = 3
−
1
λ = 4
−  
2
λ = 1
−
3
4
− 5 4 1 − 5
4
2
−1 2 ⋅ 2 − 4
2
( A − λ E)( A − λ E)
1
1
1 1
1
− 2
i =  
1   z =
2
3
=  
1i
(λ − λ )(λ − λ )
(−3 + 4)(−3 + )
1
1
2
1
3
 
19
− 2
4
− 2
2
− 4
2
1
− 2
1
4
− 8
4
= −1
2
−1  
− 2
− 2
4
− 2
3
− 5 4 1 − 5
4
2
− 2 2 ⋅ 2 − 4
2
( A − λ E)( A − λ E)
1
1
0 1
1
− 2
i =
 ,
2    z =
1
3
=  
2i
(λ − λ )(λ − λ )
(−4 + )
3 (−4 + )
1
2
1
2
3
− 3
9
− 6
0
0
0
−1
3
− 2
3
− 9
6
= 0
0
0  
3
1
− 3
2
3
− 5 4 4 − 5 4
6
− 6 6
2
− 2 2 ⋅ 2 −1 2
6
− 6 6
1 −1 1
( A − λ E)( A − λ E)
1
1
0 1
1
1
6
− 6 6
i =  ,
3   
1
2
z =
= 1 −1 1
3i
 
(λ − λ )(λ − λ )
( 1
− + )
3 (−1 + 4)
6
3
1
3
2
1 −1 1
Vastus 
n
At
e
λt
z e
∑ 1i
i 1
1
− 2
1
−1
3
− 2
1 −1 1  
−3
t
e
−1
2
−1
−4
t
e
0
0
0 + −t
e 1 −1 1
− 2
4
− 2
1
− 3
2
1 −1 1
Nagu näha, saime kahel meetodil samad tulemused. 
Märkus: nagu näha kahe meetodi võrdusest, võib omaväärtuste (polünoomi juurte)  nummer -
damise järjekord olla  suvaline . Sellest sõltub vaid lõpptulemuses olevate  liidetavate  järjekord. 
20  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 4.1 
Leida kahel meetodil maatrikseksponent  At
e  maatriksi А jaoks 
 0
1
0 


A =  0
0
1   
− 6 −11 − 6


IL 4.2 
Leida maatrikseksponent  At
e maatriksi А jaoks 
− 2
0
0


A =  1 − 7 4  
 1
− 3 0


IL 4.3 
Leida maatrikseksponent  At
e maatriksi А jaoks 
− 3 − 2 −1


A =  1
0
−1  
 0
0
− 4


IL 4.4 
Leida maatrikseksponent At
e  maatriksi А jaoks 
− 2 −1
0 


A = − 2 − 3 0   
 3
− 3 − 


5
 
21
5. DIFERENTSIAALVÕRRANDITE SÜSTEEMI JA  
OLEKUMUDELI SEOS 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 2.1 ja K. Ogata raamatust 
ptk. 3.5. 
Selles  peatükis   vaatleme   seda,  kuidas  teisendada  süsteemi  kirjeldust  diferentsiaalvõrrandite 
süsteemi kaudu kirjelduseks olekumuutujate kaudu. Samas tuletame meelde ka  matemaatika -
kursusest teadaolevate diferentsiaalvõrrandite süsteemide teisendusi (n järku diferentsiaalvõr-
randi   teisendamine  esimest järku võrrandite süsteemiks, milles on n võrrandit). 
Näidisülesanne N 5.1 
Süsteem on antud diferentsiaalvõrrandite süsteemi abil: 
 2
d y (t)
1
= −u(t) + y (t)

2
2
 dt
 
 2
d y (t)
2

= 2u(t)

2
dt
Leida selle süsteemi olekumudel 
X& = AX + BU

 
Y = CX + DU
kui kaks olekut on valitud järgmiselt: 
x (t) = y (t)
 1
1
  (*) 
x (t) = y (t)
2
2
Lahenduskäik 
Määrame antud süsteemi järgu. Selleks on 4 (kõigi võrrandite maksimaalsete järkude summa). 
Seega, kuna 2 olekut meil juba on, võime valida veel 2 olekut, kuid mitte meelevaldselt. 
Näiteks loogiline on valida neid  olekuid  nii: 

( )
( )
x t
( ) = dx t
1
= dy t
1
 3

dt
dt
 
(**) 

dx t
( )
dy t
( )
2
2
x t
( ) =
 4
dt
dt
Märkus: seda  laadi  valik ei ole ühene, seega ka kogu lahenduskäik ei ole ühene, vastus ei ole 
ühene ja järelikult ka olekumudel ei ole ühene. Kuid need mudelid on alati sama järku! 
Kui puuduvat kahte olekut valida just sel moel (**), siis diferentseerides neid kahte võrrandit 
ja võrdsustades esimesed ja  kolmandad  liikmed, saame 
dx (t)
2
d y t
3
( )
1
= −u(t) + y (t) = −u(t) + x (t)

2
2
2
 dt
dt
 
(***) 
dx (t)
2
d y (t)
4
2

= 2u(t)

2
dt
dt
22  
Pannes võrrandid (**) ja (***) kokku, saame süsteemi: 
dx (t)
 1
= x (t)
3
 dt
dx (t)
2

x (t)
4
 dt
 
dx (t)
3
= −u(t) + x (t)

2
dt

dx (t)
4
= 2u(t)
 dt
Sellele võrrandisüsteemile lisame võrrandisüsteemi (*) 
y (t) = x (t)
 1
1
 
y (t) = x (t)
2
2
ja läheme üle maatrikskujule 
x&1 0 0 1 0x1  0 
  
   
x&2 0 0 0 1x2  0 

u
x&  0 1 0 0x  − 
1
 3 
 3   
x&4  0 0 0 0x4   2 

 

 x1 

 
y1  1 0 0 0 x2
0

 
  

 u
 y
0
1
0
0 x 
 2  
 3
0

 

x4 
Kokku saame süsteemi kujul 
X& = AX + BU

 
Y = CX + DU
mis ongi otsitav olekumudel, kus maatriksid on vastavalt 
0 0 1 0
 0 


 
0 0 0 1
0
1 0 0 0
0
A =
, 
 
B =
,  C =
 ja  D =
 



 
0
1
0
0
− 
1
0 1 0 0
0


 
0 0 0 0
 2 
Näidisülesanne N 5.2 
Süsteemi kirjeldab diferentsiaalvõrrandite süsteem 
dx (t)
 1
= 10x (t) − 2x (t) + 7u(t)
1
2
 dt
dx (t)
 2
= x (t) +12u(t)
1
 
 dt
y (t) = 2x (t)
1
2

y (t) = 11x (t) + 3x (t)
2
1
2
 
23
Leiame selle süsteemi olekumudeli 
X& = AX + BU

 
Y = CX + DU
Tähistused 
n – süsteemi siseolekute arv; 
r – süsteemi sisendite arv; 
m – süsteemi väljundite arv; 
x
x t
1 
 ( )
1

X =
  
  –  n ×1 süsteemi siseolekute  vektor ; 
x
x t
2 
 ( )
2

U = u = u(t)  –  r ×1 süsteemi sisend; 
 y
y t
1 
 ( )
1

Y =
  
  –  m ×1 süsteemi väljundite vektor; 
 y
y t
2 
 ( )
2

dx t
( )
1

x&
x& t
( )


 1   1

X& =
=  dt 
  

 –  n ×1  siseolekute tuletiste vektor; 
x&
2 
x t
( )
2
 dx t
( )
2



 dt 
A –  n × n olekutemaatriks (süsteemimaatriks); 
B –  n × r  sisenditemaatriks; 
C –  m × n  väljunditemaatriks; 
D –  m × r  otsesidemaatriks. 
Lahenduskäik 
x& = 10x − 2x +  
7 u
 
x&1  10 − 2x1  7 
 1
1
2

  
   u
x& =     x + 0
  x +  u
12
maatriksk j
u ul x&2   1
0 x2  12
 2
1
2
⇒
 

 
y =   0x + 2x +   u
0
 y1   0 2x1  0
1
1
2


  
   u
y = x
11
+ 3x +   u
0
 y
11 3
x
0
2
1
2
 2  
 2   
järelikult, 

10 − 2
7 
X& =
X +


 U

 1
0 
12
10 − 2
7 
 0 2
0

 ning seega  A = 
 ,  B =   ,  C = 
  ja  D =    

 0     2
0 
 1
0 
12
11 3
0
Y =
X +


 U

11    3 
  
0  
24  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 5.1 
3
d y(t)
Leida süsteemi 
= −2u(t)  olekumudel, valides olekumuutuja  x (t)  järgnevalt: 
3
1
dt
x (t) = y(t)  
1
IL 5.2 
4
d y(t)
Leida süsteemi 
= 3u(t)  olekumudel, valides kaks olekumuutujat järgnevalt: 
4
dt
x t
( ) = y t
( )
 1

dx t
( )  
x t
( ) =
1
 2
dt
IL 5.3 
dx (t)
1
− 2x (t) = x (t) + 3u(t)

1
2
dt
Leida süsteemi  
 olekumudel, valides väljundi  y(t)  järgnevalt: 
 2
d x (t)
dx (t)
2
2

+ 4
= x (t)

1
2
dt
dt
2
d x (t)
2
y(t) =
+ 3x  
2
1
dt
IL 5.4 
x& (t) = x (t) + 2x (t) + u (t)
 1
1
2
2
x& (t) = x (t) + 3x (t) + u (t)
Leida süsteemi   2
2
3
3
olekumudel. 
x& (t) = x (t)
3
2
y(t) = x (t) + x (t) + x (t) + u (t) + 2u (t)
1
2
3
1
3
IL 5.5 
x& (t) = x (t) +10x (t) + 2u (t) − u (t)
 1
1
2
1
2
x& (t) = 2x (t) − x (t) + 2u (t)
 2
1
3
3
Leida süsteemi  x& (t) = 3x (t) + u (t)
olekumudel. 
3
3
2

y (t) = x (t) + u (t)
1
2
1
y (t) = 2x (t) + x (t) − 5u (t) + u (t)
2
1
3
3
1
 
25
6. ÜLEKANDEKARAKTERISTIKUD 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 2.6. 
Süsteemide omaduste  uurimisel  süsteemi sisendisse antakse tihti järgmisi testsignaale: 
•  ühikhüppe,  seega  u(t) = (
1 t .
)  Sellisel  juhul  nimetatakse  väljundit  hüppekajaks  ja 
tähistatakse  g (t ;
)  
•  δ-impulss  ehk  Diraci  impulss,  seega  u(t) = δ (t). Sellisel  juhul  nimetatakse  väljundit 
impulsskajaks ja tähistatakse  h(t). 
1
−
( )
L
H s
Tänu sellele, et 
L
1
1 t)
−

← → s , saame  g t
( ) 
← → s H (s) =
 
s
Tänu sellele, et  δ ( ) 
←L
t
→1, saame  h(t)
L

← → H (s)  
Hüppekaja ja impulsskaja on omavahel seotud järgmiselt: 
dg(t)
t
h(t) =
+ g(0)δ (t)  
g t
( ) = g( )
0 + ∫h(τ )dτ  
dt
0
mis g(0) = 0 puhul lihtsustub kujuni 
dg t
( )
t
h t
( ) =
 ja  g t
( ) = h(τ )  τ
d
∫
 
dt
0
Näidisülesanne N 6.1 
Leiame ülekandefunktsiooni järgi hüppekaja ja impulsskaja ning nende alg- ja lõppväärtused. 
12 5
( s − )
8
Antud:  H (s) =
 
2
s + 20s + 96
Leida  g(t ,
)   h(t ,
)   g(0 ,
)   h(0 ,
)   g(∞ ,
)   h(∞)  
Lahenduskäik 
Hüppekaja  on  süsteemi  väljundreaktsioon  g(t)  sisendisse  (hetkel  t = 0)  antud  ühikhüppe-
lisele signaalile  u(t) = (
1 t .
)  
1
Sisendi Laplace’i teisendus annab U (s) = L(u t
( )) = L(1 t
( )) =
 
s
12 5
( s − )
8
1
Y (s) = H (s) ⋅U (s) =
⋅  
s 2 + 20s + 96 s
Seega, 
1  H (s) 
g t
( ) = −
L 
  
 s 
H (s)
12 5
( s − )
8
1
18
17
L
= − +
−
⇔ g(t) = (−1+18 −8
e t −17 1
− 2
e
t ) (
1 t)  
s
s(s + )
8 (s +12)
s
s + 8
s +12
g(0) = 1
− +18 −17 = 0  
26  
g(∞) = −1 + 18 ⋅ 0 − 17 ⋅ 0 = −1  
Kasutades piirväärtusteoreeme, saame 
H (s)
12 5
( s − )
8
g(0) = lim g(t) = lim sG(s) = lim s
= lim H (s) = lim
= 0  
2
t→+0
s→∞
s→∞
s→∞
s→∞
s
s + 20s + 96
12 5
( s − )
8
12 ⋅ 8
g(∞) = lim g(t) = lim H (s) = lim
= −
= 1
−  
2
t→∞
s→0
s→0 s + 20s + 96
96
Impulsskaja on süsteemi väljundreaktsioon  h(t)  sisendisse ajahetkel  t = 0  antavale ideaalsele 
impulsile  u(t) = σ (t .
)  
Sisendi Laplace’i teisendus U (s) = L(u(t)) = L(σ (t)) = 1  
Y (s) = H (s) ⋅U (s) = H (s)  
h(t)
1
L−
(H (s))  
12 5
( s − )
8
144
204
L
H (s) =
= −
⇔ h(t) = (−144 8
e− t + 204 1
− 2
e
t ) (
1 t)  
(s + )
8 (s + 12)
s + 8
s + 12
h(0) = 1
− 44 + 204 = 60  
h(∞) = 0  
Kontrollime piirväärtusteoreemidega: 
12s 5
( s − )
8
60 2
s − 96s
h(0) = lim sH (s) = lim
= lim
= 60  
2
s→∞
s→∞ s + 20s + 96
2
s→∞ s + 20s + 96
60 2
s − 96s
h(∞) = lim sH (s) = lim
= 0  
2
s→0
s→0 s + 20s + 96
Märkus: kui hüppekaja on teada, siis impulsskaja leidmine on väga lihtne. Impulsskaja  on 
hüppekaja  tuletis . Seda seost on väga mugav kasutada ka tulemuste kontrollimiseks. 
Kontrollime: 
′
g′ t
( ) = (
8
− t
1
− 2t
−1+1 e
8
−17e
−8t
1
− 2t
−8t
1
− 2t
= 0 − 8 ⋅1 e
8
−12 ⋅ (−17)e
= −14 e
4
+ 20 e
4
 m.o.t.t. 
 
27
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 6.1 
On teada süsteemi ülekandefunktsioon: 
2
s + 3
H (s) =
 
2
s + 2s + 5
Leida selle süsteemi impulsskaja ja hüppekaja ning nende alg- ja lõppväärtused. 
IL 6.2 
On teada süsteemi ülekandefunktsioon: 
10s 2 − 32s + 96
H (s) =
 
s 4 + 2s3 +16s 2 + 32s
Leida süsteemi impulsskaja ning selle alg- ja lõppväärtused. 
IL 6.3 
Süsteemi  sisendisse  ülekandefunktsiooniga  H(s)  anti  deltafunktsioon  δ(t).  Milline  signaal  on 
süsteemi väljundis? Leida selle signaali väärtused ajahetkel  t = 0  ja  t =
∞  
( 3s −8 2s − 48s + 64)
H (s)  
=  
 
s(s + 2)( 2
s + 16)
IL 6.4 
Leida hüppekaja g(t) ülekandefunktsiooni H(s) järgi. 
(9 3s +20 2s +78s +8 )1
H (s)  
=   (
 
3
s + 3 2
s + 9s + 27)
28  
7. OLEKUMUDELI JA ÜLEKANDEMUDELI SEOS. 
ÜLEKANDEFUNKTSIOONIDE, IMPULSSKAJADE JA 
HÜPPEKAJADE MAATRIKSID 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 3.5. 
Kui on tegemist süsteemiga, millel on mitu sisendit ja mitu väljundit, siis sellel süsteemil on 
ülekandefunktsiooni, impulsskaja ja hüppekaja asemel ülekandefunktsioonide, impulsskajade 
ja hüppekajade maatriksid. 
Ülekandefunktsioonide maatriks: H (s) = C(sE − A −1
) B + D  
Impulsskajade maatriks:  H (t) = Ce At B + D   
Hüppekajade maatriks:  G t
( ) = CA−1(e At − B)B + D  
Näidisülesanne N 7.1 
Antud: süsteem on antud oma olekumudeliga: 
3 2
0 1
 1
− 
1
A =

   B =

   C = 
  
2
3


1
0


−1 1 
Leida süsteemi impulsskajade maatriks  H (t .
)  
Lahenduskäik 
1. Leiame kõigepealt maatrikseksponendi Laplace’i teisenduse kaudu: 
s − 3
− 2 
det(sE − A =
 
det
= ( − )
3 2
s
− 4 =


(s − )
1 (s − )
5 ;     s = ,
1     s = 5  
 − 2
s − 
3
1
2

s − 3
− 2

1
s − 3
−



2 
(s − )
1 (s − )
5
(s − )
1 (s −
At
L
1
5
e

←
→ sE
)−
− A
 
1
(sE
)−
− A =
= 
 =


 
(s − )
1 (s − )
5  − 2
s − 
3

− 2
s − 3

(s − )
1 (s − )
5
(s − )
1 (s − )
5 


 1
1
1
1


−

 2 +
2
2 + 2 
1  1
− 
1
1 1

1
= (s − )
1
(s − )
5
(s − )
1
(s − )
5  
←L→ 
t
e  + 
t
e5 = At
e  

1
1
1
1





2 −1 1 
2 1

1
 −

2
2
2
2


(s − )
1
(s − )
5
(s − )
1
(s − )
5 
2. Nüüd leiame spektraallahutuse meetodil maatrikseksponendi ja näitame, et mõlemad mee-
todid  annavad sama tulemuse: 
λ − 3
− 2 
det(λE − A =
 
det
= ( − )
3 2
− 4 =


  (λ − )
1 (λ −
5    λ = ,
1    λ = 5  
 − 2
λ − 
3
1
2
 
29
n
( A − λ E
∏
k
k
Z
= 1
 
i1
n
∏(λ −λ )
i
k
k =1
k ≠i
− 2
1 


−
1
2


1     Ζ =
 
1
11
1− 5
2 2


2
2


5    Ζ =
 
2
21
5 − 1
n
1  1
− 
1
1 1

1
At
λ ti
e
= ∑ Z e ;   At
e =
t
e  + 
t
e5  
1
i




2 −1
1
2 1 1
i 1




3. Nüüd leiame süsteemi impulsskajade maatriksi  H (t .
)  
 1
− 
1
1  1
− 
1
1 1

1
0 1 −1 1 
H t
( )
Ce At
B  =  
  ( 
 t
e  + 

 t
e5 ) 
 = 
 t
e  +  
−1 1  2 −1 1 
2 1

1
1 0  1
− 
1
0 0
−1 1 
+  
 t
e5 = 
 t
e  
0 0
 1
− 
1
Märkus:  antud  süsteemil  on  2  sisendit  ja  2  väljundit,  seega  on  ka  loogiline,  et  me  saime 
impulsskajade maatriksi, mis koosneb neljast elemendist: 
Η ( ) Η
t
(t)
11
12

H (t) =  
  
Η ( ) Η
t
(t)
21
22

H (t)   esimesest  sisendist esimesse väljundisse, 
11
H (t)  teisest sisendist teise väljundisse, 
22
H (t)  teisest sisendist esimesse väljundisse, 
12
H (t)  esimesest sisendist teise väljundisse. 
21
30  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 7.1 
Antud: süsteem on antud oma olekumudeliga: 
−1 − 2
1
1 −1
A =

  
B =
   
C = 
  
2
− 6


0
2 − 
3
Leida süsteemi impulsskajade maatriks  H (t .
)  
H t
( )
Ce At
B  
IL 7.2 
Antud: süsteem on antud oma olekumudeliga: 
−1
0 
1

2 
2
1 
A =

  
B =

   
C = 
  
3
− 3


0
− 6


0 − 
1
Leida süsteemi ülekandefunktsioonide maatriks  H (s .
)  
H (s) = C(sE
A 1
)−
−
B  
IL 7.3 
Antud: süsteem on antud oma olekumudeliga: 
3 1
0 1
 3
− 6
A =

   B =

   C = 
  
2
2


1
0


− 6
3 
Leida süsteemi impulsskajade maatriks  H (t .
)  
H t
( )
Ce At
B  
IL 7.4 
Antud: süsteem on antud oma olekumudeliga: 
−1 1
0 1
−1 1 
A =

   B =

   C = 
  
0
2


1
0


 1
− 
1
Leida süsteemi impulsskajade maatriks  H (t).  
H t
( )
Ce At
B  
 
31
8. SIIRDEPROTSESSIDE ARVUTUS DIFERENTSIAALVÕRRANDIST 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida K. Ogata raamatust ptk. 2-7. 
Sisendi ja väljundi omavahelisi  seoseid  kirjeldab pidevaja süsteemi puhul diferentsiaalvõrrand 
 dy
d n y
du
d mu 
f y,
,K,
, u,
,K,
= 0


  (*) 

dt
dt
dt
dt 
kus  m ≤ n  
Kui diferentsiaalvõrrand (*) on n-ndat järku, siis öeldakse, et süsteem on n-ndat järku. 
Lähtudes  funktsioonist  (*),  on  võimalik  süsteemi  täielikult  analüüsida  ning  arvutada  siirde-
protsessid  ka  mittenulliste  algtingimuste  puhul.  n-ndat  järku  diferentsiaalvõrrandi  lahenda-
miseks on vaja n algolekut. 
Kui  f  on  lineaarne  funktsioon,  siis  diferentsiaalvõrrandi  (*)  poolt  kirjeldav  süsteem  on 
lineaarne n-ndat järku pidevaja süsteem. 
n-ndat  järku  diferentsiaalvõrrand  on  esitatav  ka  n  esimest  järku  diferentsiaalvõrrandite  süs-
teemi abil. 
Süsteemi  kirjeldav  mudel  jaguneb  kaheks  osaks.  Süsteemi  sisend  tekitab  sundliikumist  ning 
vabaliikumine on põhjustatud mittenulliste algtingimuste poolt ( y(0) ≠ 0  ja  x(0) ≠ 0 ). 
Sundliikumise Laplace’i teisendus on ülekandefunktsioon korda sisendi Laplac’i teisendus: 
Y (s) = H (s) ⋅U (s)  
s
Näidisülesanne N 8.1 
Süsteem on antud diferentsiaalvõrrandiga 
 
3
2
 
d y t
( )
d u t
( )
du t
( − )
1

+ y t
( ) = 2
+ 3
 
dt3
dt2
dt
 

y( )
0 = 1
 
y&( )
0 =
 

0
 
u t() = sin t
 
Leida  impulsskaja  h(t),  hüppekaja  g(t),  sundliikumise  võrrand  y (t ,
)  vabaliikumise  võrrand 
s
y (t ,
)  süsteemi väljund y(t)  ning väljundi alg- ja lõppväärtused  y(0 ,
)   y(∞ .
)  
v
Lahenduskäik 
n
d x(t)
n−2
n 1
−
L
⇔
dx
d
x
d
x
n
s X (s)
n 1
−
− s x(0)
n−2
− s
(0) − K − s
(0) −
(0)  
n
n−2
n 1
−
dt
dt
dt
dt
3
d y(t) L
3
2
3
2
⇔ s Y (s) − s y(0) − sy&(0) − y(
& 0) = s Y (s) − s  
3
dt
         u(t) = sin t ⇒ u(0) = sin 0 = 0  
         u&(t) = sin′t = cos t ⇒ u&(0) = cos 0 = 1 
32  
2
d u(t) L
      
2
⇔ s U (s) − su(0) − u&(0)
2
= s U (s) −1 
 
2
dt
du(t − )
1 L
−


s
du(t)
⇔ e L
 = e−s (sU (s) − u(0)) = e−s sU (s)  
dt
 dt 
Rakendades Laplace’i teisendust diferentsiaalvõrrandile, saame 
d 3 y t
( )
d 2u t
( )
du t
( − )
1
+ y t
( ) = 2
+ 3
 
dt 3
dt 2
dt
          ⇓ L  
3
s Y (s)
2
− s + Y (s) = 2 2
s U (s) − 2 + 3e−s sU (s)  
    Y (s)( 3
s + )
1 = U (s)(2 2
s + 3
−
se s )
2
+ s − 2  
 
2 2
s + 3
−s
2
se
s − 2
    Y (s) =
U (s) +
 
 
3
s + 1
3
s + 1
L
1
    u(t) = sin t ⇔U (s) =
 
 
2
s + 1
2 2
s + 3
−s
2
se
s − 2
   Y (s) = (
 
3
s + )
1 ( 2
s + )
3
s +
1 4
4 2 4
4 3
1
3
2
1 1
vabaliikum ine
sundliikumine
Sundliikumine  näitab,  kuidas  süsteemi  sisend  mõjutab  tema  väljundit.  Vabaliikumine  näitab 
süsteemi  väljundi  sõltuvust  algtingimustest.  Ülekandekarakteristikute   eelduseks   on  nullised 
algtingimused.  Järelikult,  hüpekaja  ja  impulsskaja  arvutamisel  me  ei  arvesta  vabaliikumist. 
Ainult sundliikumine, kus  u(t) = (
1 t)  hüppekaja puhul ja  u(t) = σ (t)  impulsskaja puhul. 
Järelikult, 
2
−s
2s + 3se
2  1
2s −1  
1
s +1
 −s
H (s) =
= 
 +  −
e =
s3 +1
3  s +1 s2 − s +1  s +1 s2 − s +1




2  1
s − 5
0

+ 2

3 s
2 

1
2
 3 
s − 5
0 ) + 
 


2  



3


1
s − 5
0
2
 −s
+ −
+ 3
e
 s
2
2 

1
2
 3 
2
 3 
s − 5
0 ) + 

(s − 5,
0 ) + 
 


2 

2  
−
 −t
t


h(t)
1
= L (H (s)) 2
0,5
3
= e + 2e
cos
t  ⋅ (
1 t) +
2
3 


 

−(t− )
t −


t −


1
0,5( 1)
3
+ − e
+ e
cos
(t − )
0,5( 1)
3
1  + 3e
sin
(t − )
1  ⋅ (
1 t − )
1
2
2





2
h(0) =
(1+ 2) = 2 
3
h(∞) = ∞  
 
33
2
s
−
H s
s
se
1 
( ) 

−1
2
−
3

g(t) = L 
 = L 
 
 s 
 s( 3
s + ) 
1

2
−s
−s
H (s)
2s + 3se
2s
e
3
2 
1
s +1
  1
s − 2

= −
 + 
−
 − =
s
s(s3 + )
s
e
1
s3 +1
s3 +1
3  s +1 s2 − s +1  s +1 s2 − s +1
3
2 1
2
s −
= −
5
0
+ 2 3
2
 
3 s +
2
2
1
3 (
3
2
 3 
2
 3 
s − 5
0 ) + 

(s − 5,
0 ) + 


2 

2 



3

L
 1
s − 5
0
2
 −s
−
+ 3
e ⇔
 s
2
2 

1
2
 3 
2
 3 
s − 5
0 ) + 

(s − 5,
0 ) + 
 


2 

2  
L
 2 −t 2

0,5t

 2 3
⇔ g t = 
3
0,5t
 3

( )
− e + e
cos
t  +
e
sin
t 

 ⋅ (
1 t) +

2
2
3
3


3




 
 −(t−
t−


t −


1)
0,5(
1
3
+ e
− e
cos
(t − )
0,5(
1
3
1  + 3e
sin
(t − )
1  ⋅ (
1 t − )
1
2
2





Saab kontrollida, et  h(t) = g (
′ t .) 
Siirdeprotsessi kirjeldavates  valemites  esineb  eksponent  positiivses astmes  0,5t
e
,  järelikult on 
antud süsteem mittestabiilne ja piirväärtusteoreemid ei kehti. 
Kui  u(t) = sin t,  siis leiame süsteemi väljundi  y(t ,
)  eeldades mittenulliseid algtingimusi: 
y(t) = y (t) + y (t)  
s
v
2
−s
2s + 3se
2s 2
3s
Y (s) =
e−  
s
(s3 + )1(s2 + )1 (s3 + )1(s2 + )1 (s3 + )1(s2 + ) s
1


2s 2
1  1
2s + 2
3s + 3 
1  1
s − 5
0 + 5
1
s +1 
= 
−
 =
+ 2
− 3
s3 + )
1 (s2 + )
1
3  s +1 s2 − s +1
s2 +1 
3  s +1
2
2

s −
) 3
5
0
s +1

4

3
1 1
2
s − 5
0
2 3
s
L
1
2
−
−
⇔
 
3 s +1
3
2
2
2
2
2


3
2


1
1
s −
3
5
0
+ 

(s − )
s
s
3
5
0
+ 

2
2




L
1 −
2 0,5

 2 3


⇔ e t + e t
3
cos
t  +
e0,5t
3
sin
t  − cost − sin t
2
2
3
3


3


34  
3s
1 
1
s − 2
3s − 3 
2
s3 + )
1 (s2 + ) =  −
−
 =
1
2  s +1
s 2 − s +1
s 2 +1 


1 
1
s − 5
0 − 5
1
s
1

−
− 2
+ 3
− 3

2
s +1
2
2
2
s − 5
0 )
3

s +1
s +

1
4





1 
1
s − 5
0
3
s
1

−
− 2
+ 3
− 3

2
2
2
2

2
s +1
2
2
s +1
s +

1
s − 5
0 )
 3 
+ 

(s − 5,
0 )
 3 
+ 




2 

2 




3

1 
1
s − 5
0
s
1
2
 L
−
− 2
+ 2 3
+ 3
− 3
⇔

2
2
2
2

2
s +1
s +1
s +

1
s − 5
0 )2
 3 
+ 

(s − 5,
0 )2
 3 
+ 




2 

2 

L
1 
−t
0,5t
 3

0,5t
 3


⇔ − e − 2e
cos
t  + 2
e
3
sin
t  + 3cost − 3sin t 
 
2 

2 

2 

2

s
−
−
s +
−
se

y (t)
1
= L
s
(Y (s)
s
1
2
3
= L (
3
s + )

1 ( 2
s + )
1 
1 
−t
t


t



0,5
3
0,5
3
= 3e + 2e
cos
t  + 2 3e
sin
t  − 3cos t − 3sin t  ⋅ (
1 t) +
2
2
3 





 
1 
−(t 1
− )
0,5(t 1
− )
 3
+ 

t −


− e
− 2e
cos
(t − )
0,5(
1
3
1  + 2 3e
sin
(t − )
1  + 3cos(t − )
1 −
2
2
2 




− 3sin(t − )
1 ⋅ (
1 t − )
1
2
s − 2
1 
1
4s − 5 
Y (s) =
v
 −
 =
3
s +1
3  s +
2
1
s − s +1



3
  
1 
1
s − 5
0
2

= −
+ 4
− 2 3
2
2 
3
s +

1
(s − 5,
0 )2
 3 
+ 

(s − 5,
0 )2
 3 
+ 
 


2 

2  
L
Y (s) ⇔ y (t)  
v
v
1 
−




t
0,5t
3
0,5t
3
y (t) =
 − e + 4e
cos
t  − 2 3e
sin
t  ⋅ (
1 t)  
v
2
2
3 




1 
−t
t



0,5
3
y(t) = y (t) + y (t) =
1
s
v
 2e + 6e
cos
t  − 3cos t − 3sin t  ⋅ (t) +
2
3 



1 
−(t 1
− )
0,5(t 1
− )
 3
+ 

t −


− e
− 2e
cos
(t − )
0,5(
1
3
1  + 2 3e
sin
(t − )
1  + 3cos(t − )
1 −  
2
2
2 




− 3sin(t − )
1 ⋅ (
1 t − )
1
1
y(0) =
(2 + 6 − ) 5
3 =
 
3
3
y(∞) = ∞  
 
35
Näidisülesanne N 8.2 
s
Lineaarse  pidevaja  süsteemi  ülekandefunktsioon  H (s) =
.  Leiame  selle  süsteemi 
2
s + 3s + 2
vabaliikumise võrrandi  y (t ,
)  kui on teada, et  y(0) = 1 ja  y&(0) = −1 ning  u(t) = sin t.  
v
Lahenduskäik 
s
Y (s)
H (s) =
, kui  y(0) = y&(0) = u(0) = 0  
2
s + 3s + 2
U (s)
2
s Y (s) − sy(0) − y&(0) + (
3 sY (s) − y(0)) + 2Y (s) = sU (s) − u(0)  
Y (s)( 2
s + 3s + 2)− sy(0) − y&(0) − 3y(0) = sU (s) − u(0)  
Y (s)( 2
s + 3s + 2) = sU (s) + sy(0) + y&(0) + 3y(0) − u(0)  
s
sy(0) + y&(0) + 3y(0) − u(0)
Y (s) =
U (s) +
 
2
s + 3s + 2
2
s + 3s + 2
s
Y (s)
s
Tõepoolest, kui  y(0) = y&(0) = u(0) = ,
0  siis  Y (s) =
U (s)  ja 
.  
2
s + 3s + 2
U (s)
2
s + 3s + 2
Kui algtingimused on mittenullised, siis tekib vabaliikumine: 
sy(0) + y&(0) + 3y(0) − u(0)
s − 1 + 3 − 0
s + 2
s + 2
1
Y (s) =
v
2
s + 3s + 2
2
s + 3s + 2
2
s + 3s + 2
(s + 2)(s + )
1
s + 1
−t
y t
( ) = e  
v
36  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 8.1 
Süsteem on antud diferentsiaalvõrrandiga 
 
 2
d y(t )
dy(t)

= u(t − )
2
2
dt  
dt

 
y( )
0 = 2
 
y&( )
0 = 0
 

u(t) = 

−(t− )
1
e
 
Leida  sundliikumise  võrrand  y (t ,
)  vabaliikumise  võrrand  y (t ,
)  väljundi   avaldis  y(t ,
)  
s
v
väljundi  väärtused  y
1
  y(0 ,
)   y(∞)  avaldisest y(t ,
)   y(0 ,
)   y(∞)  kontrolliks  kasutage 
piirväärtusteoreeme. 
IL 8.2 
Süsteem on antud diferentsiaalvõrrandiga 
 
2
 
d y(t)
du(t)

+ 4y(t) =
 
2
dt
dt
 

y )
0
= 1
 
y& )
0
= 2
 

 
u(t) = (
1 t − )
2
 
Leida  diferentsiaalvõrrandi  Laplace’i  kujutis  Y (s ,
)  impulsskaja  h(t),  hüppekaja  g(t),  sundlii-
kumise võrrand  y (t ,
)  vabaliikumise võrrand  y (t ,
)  süsteemi väljund y(t)  ning väljundi väär-
s
v
tus  alghetkel   y(0 .
)  
IL 8.3 
Süsteem on antud diferentsiaalvõrrandiga 
 
3
2
2
 
d y(t)
d y(t)
d u(t − )
3

+ 2
) =
 
3
2
2
 dt
dt
dt
 
y( )
0 = 1
 
y&( )0 =
 

0

 
y(
0 =

0
 
−2(t−1)
u(t) = e
 

 

Leida  diferentsiaalvõrrandi  Laplace’i  kujutis  Y (s ,
)  sundliikumise  võrrand  y (t ,
)  vabalii-
s
kumise  võrrand  y (t ,
)  süsteemi  väljundi  avaldis y(t ,
)  väljundi  alg-  ja  lõppväärtused  y(0 ,
)  
v
y(∞)  avaldisest  y(t ,
)   y(0 ,
)   y(∞)  kontrolliks kasutage piirväärtusteoreeme. 
 
 
 
37
IL 8.4 
s + 2
On  antud  lineaarse  pidevaja  süsteemi  ülekandefunktsioon  H (s) = (
 Leida  selle 
s + )
1 (s + ) .
3
süsteemi  väljundi  Laplace’i  kujutis  Y (s)  ja  piirväärtus  y(∞ ,
)  kui  y(0) = 1  ja  y&(0) = 1  ning 
u(t) = 1
−t
− e . 
 
38  
9. DISKREETAJA SÜSTEEMIDE ANALÜÜS 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 4. 
Sisendi ja väljundi omavahelisi seoseid diskreetaja süsteemis kirjeldab n-ndat järku  diferent -
siaalvõrrand 
f ( y(k),K, y(k − n), u(k),K, u(k − m)) = 0   (*) 
Lähtudes funktsioonist (*), on võimalik diskreetaja süsteemi täielikult analüüsida ning  arves -
tada ka mittenulliseid algtingimusi. 
Kui  f  on  lineaarne  funktsioon,  siis  diferentsiaalvõrrandi  (*)  poolt  kirjeldatav  diskreetaja  süs-
teem on lineaarne n-ndat järku diskreetaja süsteem. 
n-ndat  järku  diferentsiaalvõrrand  on  esitatav  ka  n  esimest  järku  diferentsiaalvõrrandite  süs-
teemi abil ja süsteem on esitatav ka olekumudeli kujul. Eeldades nulliseid algolekuid, saame 
leida ka ülekandemudeli ning ülekandekarakteristikud. 
Näidisülesanne N 9.1 
Diskreetset süsteemi kirjeldab lineaarse diferentsiaalvõrrandite süsteem. On antud ka  olekute  
algväärtused ja  diskreetne  sisendsignaal: 

1
x ( )
0 = 1
x (k + )
1 =
x (k) + u(k)
1
2
 

 1
 

4
x ( )
0 = 0
2
 

1
x (k + )
1 = −
x (k) + x (k) + u(k )
2
2 1
2
u(k) = ,
1      k
  ≥ 0  

 
y(k) = x (k) + x (k)
1
2
 

 
Leiame  selle  süsteemi  olekumudeli,  väljundi  väärtused  [
y 0 ,
]  
1
y
  [
y 2 ,
]  
3
y
 ja  [
y ∞]  ning 
diskreetse ülekandefunktsiooni. 
Lahenduskäik 
Diskreetse olekumudeli üldkuju: 
X (k + )
1 = ΦX (k) + ΓU (k)

 
Y (k) = CX (k) + DU (k)
Vaadeldav  süsteem  on  teist  järku  SISO  (ühe  sisendiga  ja  ühe  väljundiga)  süsteem.  Selle 
süsteemi puhul 
x (k)
1
1

X (k) = 
  – siseolekute vektor,  X (0) =    – algolek 
x (k)
0
2

 
 


1 

 0

 
1

1 
X (k + )
1 =
4 X (k) +


 U (k)
 0

 
1

Φ
4
− 1
, järelikult 
,  Γ =
,  C = [1
]1,  D = [0] 
1 
 
1


 


1
1
2

−
1 
 

 2

Y (k) = [1
]1X (k) + [0]U(k)
 
39
Esimene võimalus, kuidas leida väljundväärtusi, on kasutada olekumudelit: 
 
Y (0) = CX (0) = [1
] 1
1 ⋅
= 1
 
 
0
 

1 
0
1 

 1  
1
Φ
Γ
4
 
X )
1
( =
X (0) + U (0) =
⋅
⋅1 =

    
 
1
0
1
1 
−
1   
 
2
 2

1
 
Y )
1
= CX )
1
= [1 ]
3
1  
⋅ 1 =
 
 
2
2

1 
0
1 
9


 
Φ
Γ
4
 
1
 
X (2) =
X )
1
( + U )
1
( =
⋅
⋅1 =

 1
 
 
1
 
1
8
−
1 
 
2
1 
 2

9
Y (2) = CX (2) = [1
17
1  
⋅ 8 =
 
 
8
1
 

1 
5 
0
9


 
1


Φ
Γ
4
 
X
3
= X )
1
( + U )
1
( =
⋅ 8 +
⋅1 = 4


 

  
1
 
−
1 
 
1
23
1 
 2

16 
5 


Y
3
= CX )
3
= [1 ] 4
43
1 ⋅ 
 =
 jne 
23
16


16 
Seega,  y(0) = ,
1   y )
1
( =
5
1
  y(2) =
1
2 2 ,
5   y )
3
≈ ,
2 69  jne.  Selle  meetodiga  võib  y(∞)  
leidmine osutuda mõnikord väga keeruliseks. 
Teine võimalus on rakendada Z-teisendust: 
Z
x(k + )
1 ⇔ zX (z) − zx(0)  
Rakendame  Z-teisendust olekumudelile: 
X (k + )
1 = ΦX (k) + ΓU (k) Z zX (z) − zX (0) = ΦX (z) + ΓU (z)

⇔ 
 
Y (k) = CX (k)
Y (z) = CX (z)
Siit saame 
zX (z) − ΦX (z) = ΓU (z) + zX (0)

 
Y (z) = CX (z)

− Φ
zE
)X (z) = ΓU(z) + zX (0)

,   kus E on ühikmaatriks 
Y (z) = CX (z)
X (z) = ( − Φ
zE
)−1 ΓU(z) + ( − Φ
zE
)−1zX (0)

 
Y (z) = CX (z)
40  
Järelikult, 
−
−
Y (z) = C(
− Φ
zE
) 1 ΓU(z) + C( −Φ
zE
) 1
1
4
4
4
2
4
4
4
3
1
4
4
4
2 zX4
4
4
3
(0)  
sundliikumine
vabaliikum ine
0
Ülekandefunktsioon  on  süsteemi  karakteristik  nullistel  algolekutel.  Kui  X (0) =
   siis 
0
 
Y (s)
H (z) =
.  
U (s)
Järelikult, 
−
H (z) = C(
−Φ
zE
) 1 Γ  

1
1  −

1 
z
−
z −1
( −
1
1
Φ
zE
)− 



4



4   
1
1
1
z − 
1
z(z − )
1 +
 −
z 
2

8 
2


1 

1
1

z −1
z −1−
+ z
C(
−Φ
zE
)−1 =
1
[1 ]
 

4
1  

 
2
4
 =
z(z − )+ 1
1
 − 1
z 
 2
z − z + 1
2
z − z + 1 
8
 2
 
8
8 
 

3
1

 z −
z +

= 
2
4

 2
z − z + 1
2
z − z + 1 

8
8 

3
1

 z −
z +

−
 
z −
H (z) = C(
−Φ
zE
1
1
2
1 25
2
4
Γ = 
 ⋅
 
 
 z − z +
z − z +   
z − z +
2
1
1
1
2
2
125
0

8
8 
Siis leiame selle diskreetse süsteemi väljundi Z-teisenduse  Y (z) :  
−
Y (z) = H (z)U (z) + C(
− Φ
zE
) 1zX (0)  


2
3
2
1
z −
z
z +
z
C(
−Φ
zE


−
1
2
 
z −
1
5
1
2
4
z
zX ( )
0 = 
 ⋅
 
 
 z − z +
z − z +   
z − z +
2
1
2
1
0
2
125
0

8
8 
Z
z
u(k) = ,
1      k
  ≥ 0 ⇔ U (z) =
 
z − 1
2z − ,
1 25
2
z
z − 5
1 z
z(2z − ,
1 25)+ z(z − )
1 (z − 5
1 )
Y (z) =
⋅
2
z − z + 1
0 25 z −1
2
z − z + 1
0 25
( 2z − z + 1,
0 25)(z − )
1
2 2
z − ,
1 25
3
z + z − 5
2
2
z + 5
1
3
z
z − 5
0
2
z + ,
0 25z
8 3
z − 4 2
z + 2
z
2
z − z + 1
0 25)(z − )
1
3
z − 2 2
z + 1
1 25z − 1
0 25
8 3
z −16 2
z + 9z −1
 
Jagades  siis lugeja nimetajaga, esitame  Y (z)  kujul 
∞
−1
−2
−
Y (z) = y + y z
+ y z + K +
n
y z
+ K =
i
y z
, kus  y(k) = y    ∀
  k ≥ 0  
0
1
2
n
∑ −
i
k
i=0
 
41
k  on  takti  number ja järelikult on see täisarv. 
8 3
z − 4 2
z + 2z
Jagame siis  avaldise   Y (z) =
 lugeja nimetajaga läbi. 
8 3
z − 16 2
z + 9z − 1
Tulpjagamine: 
3
2
8 3
z −16 2
z + 9z −  
1                   
8z
 
−   4z + 2z
−
3
1
−
17 −2
43 −
3
2
z −
z + z −
1
3
+ z +
z
z
+K
8
16
9
1
2
8
16
12 2
z
 
−  7z  
+    
1              
          −
2
27
3
12z − 24
1
z +
−
−
z
2
2
25
3
 
17z −
 
+    
1
−
z         
                     
2
2
−
153
1
−
17
17z − 34 +
z
−
8
8
43
141
1
−
17
−
z
                                  2
8
8
 
K                      
 
Y (z) = 1 + 3 −
17
43
1
z
−2
z
−3
z
+ K ning 
2
8
16
3
17
43
y(0) = ,
1   y )
1
= =
5
1
  y(2) =
= 1
2 2 ,
5   y )
3
≈ ,
2 69  
2
8
16
Väärtuse  y(0)  kontrollimiseks ning  y(∞)  leidmiseks kasutame piirväärtusteoreeme. 
 
z −1
 
lim x(k) = lim
X (z)
k →0+
z→∞
z
Piirväärtusteoreemid diskreetaja süsteemide jaoks:  
z −1
 
lim x(k ) = lim
X (z)
 
k →∞
z
1
→
z
z − 1
8 3
z − 4 2
z + 2z
z − 1
8 3
z − 4 2
z + 2z
8 2
z − 4z + 2
8
y(0) = lim
⋅
= lim
⋅
= =  
z→∞
z
8 3
z − 16 2
z + 9z − 1
z→∞
z
(8 2z −8z + )1(z − ) lim
1
1
z→∞ 8 2
z − 8z + 1
8
z − 1
8 3
z − 4 2
z + 2z
8 2
z − 4z + 2
8 − 4 + 2
y(∞) = lim
⋅
=  
z
1
→
z
(8 2z −8z + )1(z − ) lim
6
1
z
1
→ 8 2
z − 8z + 1
8 − 8 + 1
Näidisülesanne N 9.2 
Diskreetaja süsteemi kirjeldav diferentsiaalvõrrandite süsteem: 
x (k + )
2 = x (k) + u(k)
 ,
1 k
  ui k
  = 0
1
2
u(k) =


 
x (k + )
1 = x (k) − 2u(k)
2
1
0    ∀
  k > 0
 

y(k) = x (k)
2
 
x ( )
0 = 2
 1
x )
1
= 1  
1

x ( )
0 = 0
2
42  
Leiame selle süsteemi olekumudeli, ülekandefunktsiooni ja väljundi väärtused  y(k) ,  k = ,
0 K 5
,  
Lahenduskäik 
Kuna  x (k + )
2 = x (k) + u(k)  on teist järku diferentsiaalvõrrand, peame  kolmanda siseoleku 
1
2
sisse viima. 
Olgu  x (k + )
1 = x (k + ,
1  siis 
3
1
x (k + )
1 = x (k)
 1
3
x ( )
0 = 2
x (k + )
1 = x (k) − 2u(k)
 1
 2
1
 
 
x ( )
0 = 0
 
2
x (k + )
1 = x (k) + u(k)
3
2


x ( )
0 = x
1
= 1
y(k) = x (k)
3
1
2
Seega, olekumudel 

0 0 1
 0 





2
X (k + )
1 = 1
0
0 X (k) + − 2 U (k)
 





 
X ( )
0 = 0  

0 1 0
 1 




1 

 
Y (k) = [0 1 0]X (k)
Ülekandefunktsioon: 
−
H (z) = C(
−Φ
zE
) 1 Γ  
T
 z
0
− −1
1
 2
z
z
1 
 2
z
1
z 
( −Φ
zE
)−1 

1

1
2


2

= −1
z
0
1
z
z


z
z
1  
3


3


z −1
z −

1
0
−1
z 

2 

2 


 z
1
z 
 1
z
z 
2
z
1
z  0 
 0 
C(
−Φ
zE
)−

 

 − z +
1
1
Γ =
2
0 1 0]
2
1
  z
z
1
− 2 =
[ 2
z
z
2
1
1  − 2 =
 
3


z −1
3


z −1
3


z −1
 1
2 
z
z
 1 
 1 





− 2 2
z + 1
H (z) =
 
3
z − 1
−
Väljundi leidmiseks kasutame valemit  Y (z) = H (z)U (z) + C(
− Φ
zE
) 1zX (0) : 
2
C(
−Φ
zE
2
−
z
 
z +
1
z
zX ( )
0 =
[ 2
z
z
2
1  0 =
 
3
z −1
3
 
z −1
1
 
Z
u(k) = δ (k) ⇔U (z) = 1 
−
2
2z +
2
1
2z + z
z +
Y (z) =
1 =
1
= −2
z
+ −3
z
+ −5
z
+ K 
3
z −
3
1
z −
3
1
z −
2
1
z − z + 1
See tähendab, et  y(0) = y )
1
( = y(4) = ,
0   y(2) = y )
3
= y )
5
= 1 
 
 
 
 
43
Näidisülesanne N 9.3 
Leida impulsskaja viis esimest diskreeti  h
1
  h(2 ,
)   h
3
  h(4 ,
)   h )
5
  neljal   erineval  meetodil, 
kui diskreetne süsteem on antud oma olekumudeliga: 
 X (k + )
1 = ΦX (k ) + ΓU (k )

 
Y (k ) = CX (k ) + DU (k )
kus on teada maatriksid: 
 4
2 
 1 
Φ = 
 , 
Γ =   , 
C = [2
]1,  D = 0  
− 5
3
− 4
− 
1
0
 ,
1 k = 0
algolek  X (0) =    ja sisendsignaal  u(k) = 
 
0
 ,
0 k ≠ 0
Lahenduskäik 
Meetod A (iteratsiooni meetod, kasutades olekumudelit) 
X (k + )
1 = ΦX (k) + ΓU (k)    
 
h(k) = CX (k)  
Kuna  tegemist  on  impulsskajaga,  siis  väljundsignaali  tähistasime  mitte  üldkujul  Y (k ,
)  vaid 
h(k .
)  Kuna  D = ,
0  siis olekumudeli teine võrrand lihtsustus. 
k = ;
0   x )
1
= ΦX (0) + ΓU (0) = 
 4
2  0
 1 
 1 
0
  
 

     +    1 =   ;   
h( )
0 = CX ( )
0 = [2
]1   = 0 
− 5
3
− 4 0 − 
1
− 
1
0
k = ;
1    x( )
2 = ΦX )
1
( + ΓU )
1
( = 
 4
2   1 
 1 
 2 
 1 

     +    0 = 
    
h )
1
= CX )
1
= [2
]1  = 1 
− 5
3
− 4 − 
1
− 
1
 5
0 
− 
1
k = ;
2    x )
3
= ΦX (2) + ΓU (2) = 
 4
2   2 
 1 
 9 
 2 

   
 +    0 = 
   
h( )
2 = CX ( )
2 = [2
]1  = 4,5 
− 5
3
− 4  5
0 
− 
1
− 9
 5
0 
k = ;
3    x(4) = ΦX
3
+ ΓU )
3
= 
 4
2   9 
 1 
18 
 9 

   
 +    0 = 
   
h )
3
= CX )
3
= [2
]1   = 9 
− 5
3
− 4 − 9 − 
1
 5
4 
− 9
k = ;
4    x )
5
= ΦX (4) + ΓU (4) = 
 4
2  18 
 1 
 81 
18 

   
 +    0 = 
  
h( )
4 = CX ( )
4 = [2
]1  = 40,5 
− 5
3
− 4  5
4 
− 
1
− 8 
1
 5
4 
 81 
k = 5    
 
 
 
 
 
 
h )
5
= CX )
5
= [2
]1   = 81 
− 8 
1
Meetodite B ja C ühine algus (diskreetse ülekandefunktsiooni leidmine) 
−
H (z) = C
  [
− Φ
zE
] 1 Γ  
z −
− 
det[
−Φ
zE
4
2
= det
= (z − 4)(z + 4)+ 7
2
= z − 9 = (z − 3)(z + 3)


 
5
3
z + 4


44  
1
1
z
4
2
−Φ
zE
]−
 +

= (
 
z − 3)(z + 3) 

− 3,5 z − 4
−
 +
 
z +
H (z)  
= C[ −Φ
zE
] 1 Γ = [2 ] 1 z 4
2
1
5
4
1
= ... =

 
 
det − 3,5
z − 4 −1

 
(z −3)(z + 3)
Meetod B1 (korrutades Z-ga ja kasutades Z-teisendust) 
Z
Z
z
Kuna  H (z) ⇔ h(k)  ja Z-teisenduse tabelis on olemas selline rida 
k
⇔ a ,  siis tuleks üle-
z − a
kandefunktsioon jagada osamurdudeks (näiteks resiidide kaudu) nii, et lugejas oleks Z: 
z +
5
4
1 25
0 25
H (z) = (
−
 
z − 3)(z + 3)
z − 3
z + 3
Korrutame  võrrandi  mõlemad  pooled  Z-ga.  Hiljem  (et  midagi  ei  muutuks)  tuleks  teha  jaga-
mine Z-ga. Sellele aga vastab aja vallas nihutamine ühe takti võrra “tagasi”. 
z
z
zH (z) = ,
1 25
− ,
0 25
 
z − 3
z + 3
h(k ,
)  mis   vastaks   Z-teisenduse  kaudu  zH (z) - le,  on  ,
1 25 × 3k − ,
0 2 (
5 − 3)k ;  kui  teeme 
nihutamise  ühe  takti  võrra  “tagasi”,  siis  saame,  et  h(k ,
)  mis  vastab  Z-teisenduse  kaudu 
H (z) - le,  on  ,
1 25× 3k 1
−
k −
− ,
0 2 (
5 − 3) 1.  
Arvutame meid huvitavaid impulsskaja diskreete saadud valemi kaudu: 
h(k) = ,
1 25× 3k 1
−
k −
− ,
0 2 (
5 − 3) 1,        kui   k > 0  
k = 1     
h )
1
= ,
1 25 × 30 − ,
0 2 (
5 − 3)0 = ,
1 25 − ,
0 25 = 1 
k = 2    
h(2) = ,
1 25 × 31 − ,
0 2 (
5 − 3)1 =
1
3 25 + ,
0 2 )
5 =
5
4  
k = 3     
h )
3
= ,
1 25 × 32 − ,
0 2 (
5 − 3)2 = 9 ,
1
( 25 − ,
0 2 )
5 = 9  
k = 4     
h(4) = ,
1 25 × 33 − ,
0 2 (
5 − 3)3 = 27 ,
1
( 25 + ,
0 2 )
5 = 40 5
,  
k = 5     
h )
5
= ,
1 25 × 34 − ,
0 2 (
5 − 3)4 = 81 ,
1
( 25 − ,
0 2 )
5 = 81  
Meetod B2 (jagades Z-ga ja kasutades Z-teisendust) 
Selleks  et  rakendada  Z-teisendust,  saab  kasutada  ka  teist  moodust  –  jagada  ülekandefunkt-
siooni  avaldise  mõlemad  pooled  Z-ga  läbi,  tükeldada  saadud  avaldis  osamurdudeks  ja 
avaldada siis sellest avaldisest  H (z) : 
1
5
2
5
1
−
z +
5
4
H (z)
z +
5
4
H (z) =
2
6
18
   
 
z − 3)(z + 3)
z
z(z − )
3 (z + )
3
z
z − 3
z + 3
1
5
2
5
1
−
1
1 25
z
0 25
2
6
18
z
H (z) = z
+ z
+ z
= − +
) +
)  
z
z − 3
z + 3
2
3
z − 3
3
z + 3
Rakendame saadud avaldisele Z-teisendust ja saame 
1 25
0 25
k
h(k) =
3 +
(−3)k  
3
3
 
45
Märkus: Z-teisenduse  kasutamisel   kadus  esimene liige ära δ funktsiooni omaduste tõttu: 
1
kui k = 0
δ (k) =   
 
 
0
kui k ≠ 0
On  kerge  näidata,  et  saadud  valem  on  h(k)  arvutamiseks  kergesti  teisendatav  kujule,  mis 
saadi meetodiga B1. Seega on ka tulemused samad, mis meetodil B1. 
h )
1
( = 1 
h(2) = 4,5 
h )
3
= 9 
h(4) = 40,5 
h )
5
= 81 
Meetod C (arendades diskreetse ülekandefunktsiooni Lorani  ritta ) 
Meetod rajaneb valemil 
∞
−1
−2
−
H (z) = h )
1
( z
+ h(2)z + K + h(n) n
z
+ K = ∑
−
h(i) i
z  
i=0
Sellisele  kujule  saame  ülekandefunktsiooni  teisendada,  jagades  lugeja  nimetajaga  (nn   tulp -
jagamine): 
z +
5
4
2
z −  
9           
            
            
            
         
−
−
−
−
−
−
z  
+    
0  − 9 1
z
1 1
z
+ 4,5 2
z
+ 9 3
z
+ 40,5 4
z
+ 81 5
z K
  _ 5
4 + 9 1
−
z
      5
4 + 0 1
−
z
− 40 5
−2
z
          _
  9 1
−
z
+ 40 5
−2
z
 
           
  9
 
1
−
z    
+      0
 
−2
z
− 81 −3
z
           
          _
  40 5
−2
z
+ 81 −3
z
           
          
    4
  0 5
−2
z
 
+   0
 
−3
z
− 364 5
−4
z
           
            
            
    _ 81 −3
z
+ 364 5
−4
z
           
            
            
     
  8
  1 −3
z     
+       0
 
−4
z
− 729 −5
z
           
            
            
     L
 
Nagu näha, annavad kõik neli meetodit samu tulemusi: 
h )
1
( = 1 
h(2) = 4,5 
h )
3
= 9 
h(4) = 40,5 
h )
5
= 81 
46  
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
IL 9.1 
On antud diskreetaja süsteemi ülekandefunktsioon 
z − 5
0
H (z) = (
 
z −
1
0 (z − 3
0 )(3 2
z + 2z + )
1
Leida selle süsteemi hüppekaja  g(k)  väärtused punktides  k =
3
 
2
 
1
 
0
∞  
IL 9.2 
On antud diskreetaja süsteemi olekumudel 
1
 

0 2
 
1
x(0) =  
x(k + )
1 =
 x(k) +


  u(k)
0
 
 
                

1 3
 
1

y(k) = [1
]1 x(k)
u(k) = ,
1
k ≥ 0
Leida y(k), k = 0, 1, 2, 3; ülekandefunktsioon H(z); hüppekaja punktides g(0), g(1), g(2), g(3), 
g(4). 
IL 9.3 
On antud ühe sisendiga ja ühe väljundiga diskreetaja süsteemi kirjeldav diferentsiaalvõrrand 
x(k + )
3 = 2u(k) − 5
0 x(k + )
2

 
y(k) = x(k)
Leida  selle  süsteemi  olekumudel,  ülekandefunktsioon  ja  hüppekaja  väärtused  taktidel 
k =
3
 ,
2
 ,
1
 ,
0
∞  
IL 9.4 
Leida impulsskaja viis esimest diskreeti  h
1
  h(2 ,
)   h
3
  h(4 ,
)   h )
5
 neljal erineval meetodil, 
kui diskreetne süsteem on antud oma olekumudeliga: 
 X (k + )
1 = ΦX (k ) + ΓU (k )
 2
− 2
− 2

 
kus  Φ =
, Γ =
, C =




[1 2] 
Y (k ) = CX (k )
5
1
− 2
1





0
x =  

0
tingimusel, et  
 

 ,
1 kui k = 0
u(k) = 

 ,
0 kui k ≠ 0
IL 9.5 
Leida impulsskaja viis esimest diskreeti  h
1
  h(2 ,
)   h
3
  h(4 ,
)   h )
5
 neljal erineval meetodil, 
kui diskreetne süsteem on antud oma olekumudeliga: 
 X (k + )
1 = ΦX (k ) + ΓU (k )
 3
− 3
−1

 
kus   Φ =
, Γ =
, C =


 
[2 4] 
Y (k ) = CX (k )
− 2 − 2
2


 
 
47
0
x =  

0
tingimusel, et  
 

 ,
1 kui k = 0
u(k) = 

 ,
0 kui k ≠ 0
IL 9.6 
Leida impulsskaja viis esimest diskreeti  h
1
  h(2 ,
)   h
3
  h(4 ,
)   h )
5
 neljal erineval meetodil, 
kui diskreetne süsteem on antud oma olekumudeliga: 
 X (k + )
1 = ΦX (k ) + ΓU (k )
 1
− 3
 2 

 
kus   Φ =
, Γ =
, C =




[−1 ]1 
Y (k ) = CX (k )
−1 −1
− 3





0
x =  

0
tingimusel, et  
 

 ,
1 kui k = 0
u(k) = 

 ,
0 kui k ≠ 0
48  
10. SÜSTEEMIDE STABIILSUS, JUHITAVUS JA JÄLGITAVUS 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 5.1, 5.3 ja 5.4. 
Süsteemi stabiilsus näitab, kas süsteemi siseolekud, kui sisend puudub (või on võrdne nulliga) 
ja süsteemi algolek erineb tasakaaluolekust, lähevad teatud tasakaaluolekusse või mitte. 
Juhitavus  näitab,  kas  süsteemi  saab  viia  etteantud  olekusse  suvalisest  algolekust  lõpliku  aja 
jooksul. See omadus on väga oluline olekuregulaatori sünteesil (vt. peatükk 11). 
Jälgitavus  näitab,  kas  on  võimalik  määrata  kõikide  süsteemi  olekute  väärtused  lõpliku  aja 
jooksul,  kui  on  teada  ainult  sisendi  ja  väljundi  väärtused.  See  omadus  on  väga  oluline 
olekutaastaja sünteesil (vt. peatükk 12). 
Näidisülesanne N 10.1 
On teada süsteemi diskreetaja olekumudel 

 1
1
 
1
X (k + )
1 =  1
 X (k) +
−
 U (k)


0
 
1
 

 4

Y(k) = [1 0]X (k)
Määrame selle süsteemi juhitavust, jälgitavust ja stabiilsust. 
Lahenduskäik 
Juhitavuse  määramiseks peame leidma juhitavuse maatriksi. 
Juhitavuse maatriks  Q
2
1
−
K
, kus  n  on süsteemi järk. 
c
[Γ ΦΓ Φ Γ
Φ n Γ ]
Kuna antud juhul on tegemist teist järku süsteemiga ( n = 2 ), siis 
1
2 
Q =
 
c
[Γ ΦΓ]= 
1 
1 − 

4 
Kui juhitavuse maatriksi  astak  on võrdne süsteemi järguga   rank (Q ) = n,  siis süsteem on täie-
c
likult juhitav. 
Kui  juhitavuse  maatriksi  astak  on  süsteemi  järgust  väiksem  rank(Q )