Mis veebilehti külastad? Anna Teada Sulge
Facebook Like
Küsitlus


Süsteemiteooria kogu 2009 (0)

1 Hindamata
Punktid
 
Säutsu twitteris
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL 
Automaatikainstituut 
 
 
 
 
 
 
 

BORIS GORDON,  EDUARD   PETLENKOV  
 
 

ISS0010  
 
SÜSTEEMITEOORIA 
 
ÜLESANNETE KOGU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
2007 
Parandatud 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kaane kujundanud Ann  Gornischeff  
 
 
 
 
 
 
Autoriõigus: B. Gordon, E. Petlenkov, 2007 
ISBN  978-9985-59-688-3 
2
 
EESSÕNA 
 
 
Käesolev  ülesannete  kogu  on  mõeldud  kasutamiseks   abimaterjalina   õppeaines  ISS0010 
Süsteemiteooria.  Kogu  täiendab   Hanno    Sillamaa   õpikut  “Süsteemiteooria”,  millel  on  olnud 
juba  neli  trükki.  Iga  peatüki  alguses  on  toodud   viide   selle  õpiku  (Hanno  Sillamaa. 
Süsteemiteooria,  TTÜ  kirjastus)  vastavatele  teoreetilistele  peatükkidele.  Kui  selles  õpikus 
vastavat  materjali  ei  ole,  siis  on  antud  viide  teisele  raamatule  (K.  Ogata.  Modern  control 
engineering , 2002). 
Ülesannete kogu on kasutamiseks nii harjutustundides, kontrolltöödeks ja eksamiteks etteval-
mistamisel  kui  ka  kursuse  iseseisval  läbimisel.  See  sisaldab  ülesandeid  põhiliste  teoreetilise 
kursuse käigus läbivõetavate teemade kohta.  
Igas  peatükis  on  nn  näidisülesanded  (täieliku  lahenduskäiguga)  ja  ülesanded  iseseisvaks 
lahendamiseks  (mille  kohta  on  ülesannete  kogu  lõpus  toodud  vastused  ja  mõnikord  ka 
vahetulemused).  
Autorid  on  kasutanud  samu  tähiseid,  mis  on  kasutusel  H.  Sillamaa  raamatus,  välja  arvatud 
diskreetsete süsteemide maatriksite tähistus, kus F ja G asemel kasutatakse kreeka tähti Φ ja Γ
Selle  aine  õpetamise  pikaajaline  kogemus  näitas  sellise  ülesannete  kogu  vajalikkust.  Kõik 
märkused, soovitused ja  teated  avastatud vigadest on teretulnud. 
Autorid  tänavad  oma  kolleegi  professor   Ennu   Rüsterni  asjalike  märkuste  ja  soovituste  eest 
ülesannete kogu ettevalmistamise käigus. 
 
3
SISUKORD 
 
 
Eessõna ....................................................................................................................................... 3 
1.   Laplace ’i  teisendus  ................................................................................................................ 5 
2.  Ülekandemudel, hilistumisega süsteemide ülekandefunktsioonid ja  siirdeprotsessid  .......... 8 
3.  Süsteemide  kompositsioon  .................................................................................................. 13 
4.  Lineaarse  pidevaja  süsteemi  olekumudel , selle  lahend  ja maatrikseksponendi leidmine ... 18 
5.  Diferentsiaalvõrrandite süsteemi ja olekumudeli seos ........................................................ 22 
6.  Ülekandekarakteristikud ...................................................................................................... 26 
7.  Olekumudeli ja ülekandemudeli seos. Ülekandefunktsioonide, impulsskajade ja 
hüppekajade  maatriksid  ...................................................................................................... 29 
8.  Siirdeprotsesside arvutus diferentsiaalvõrrandist ................................................................ 32 
9.   Diskreetaja  süsteemide analüüs ........................................................................................... 39 
10. Süsteemide stabiilsus, juhitavus ja jälgitavus .................................................................... 49 
11. Stabiliseerimissüsteem ehk olekuregulaator ...................................................................... 54 
12. Jälgimissüsteem ehk olekutaastaja ..................................................................................... 62 
13. Mittelineaarsed süsteemid ja nende lineariseerimine ......................................................... 67 
LISA 1   Operaatorteisendused ................................................................................................ 73 
LISA 2   Operaatorteisenduste omadused ................................................................................ 74 
LISA 3   Ülesannete vahetulemused ja vastused ...................................................................... 75 
4
 
1. LAPLACE’I TEISENDUS 
 
 
Antud  peatükk,  mis  oma  sisu  poolest  sobiks  rohkem  matemaatikaalasesse  õppematerjali,  on 
toodud  siin  selleks,  et  oleks  võimalus  natukene   korrata   Laplace’i  teisendust,  kuna  meie 
kursuse raames tuleb seda kasutada küllaltki tihti. Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida 
H. Sillamaa õpikust ptk. 2.3. 
Laplace’i integraalne teisendusvalem loob üksühese vastavuse originaalfunktsioonide ja kuju-
tisfunktsioonide  vahel.  Originaali  ja  kujutise  vastavust  tähistame  järgmiselt:  x(t)
L
← →
 X(s
või  X(s)  =  L(x(t))  või  x(t)  =  L-1(X(s)).  Laplace’i   teisenduse   ja  tema  omaduste   tabelid   asuvad 
vastavalt  lisas  1 ja lisas 2. 
 
 
Näidisülesanne N 1.1 
5 2
+ 5+ 1 )
0
Leiame originaali  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =

(+ )
3 (+ )
4 (+ )
5
Lahenduskäik 
Lahutame kujutise  (s)  osamurdudeks: 
5 2
+ 25+ 50
A
B
C
(s) =
(+ )
3 (+ 4)(+ )
5
(+ )
3
(+ 4)
(+ )
5
A s + 4)(+ )
5 + B(+ )
3 (+ )
5 + C(+ )
3 (+ 4)
(+ )
3 (+ 4)(+ )
5
 
2
As + 9 As + 20
2
Bs + 8Bs + 15
2
Cs + 7Cs + 12=
(+ )
3 (+ 4)(+ )
5
2
C) + 9
+ 8+ 7C) + 20 + 15+ 12
C
(+ )
3 (+ 4)(+ )
5
Nüüd  paneme  kirja lineaarsete võrrandite süsteemi. Meil on 3 tundmatut ja 3 võrrandit. Järeli-
kult laheneb süsteem üheselt. 
= 5

9+ 8+ 7= 25
 

20+15+12= 50
Lahendades süsteemi, saame  = 1 ,
0   = −3 ,
0   = 25.  
Seega, 
5 2
+ 25+ 50
10
30
25
(s) =

 
(+ )
3 (+ )
4 (+ )
5
(+ )
3
(+ )
4
(+ )
5
Kordajate  AB ja C leidmiseks, kui  nimetajad  on ühekordsed  reaalsed  poolused, eksisteerib ka 
lihtsam leidmise viis resiidide kaudu (tihti saab  arvutust  teha isegi peast): 
5 2
+ 5+1 )
0
[5(− )32 + (5− )3+10]
res
 
s→ 3

(+ )
4 (+ )
5
[(− )
3 + 4][(− )
3 + ]
10
5
 
5
5 2
+ 5+1 )
0
[5(− )42 + (5− )4+10]
res
= −  
s→ 4

(+ )
3 (+ )
5
[(− )
4 + ]
3 [(− )
4 + ]
30
5
5 2
+ 5+1 )
0
[5(− )52 + (5− )5+10]
res
 
s→ 5

(+ )
3 (+ )
4
[(− )
5 + ]
3 [(− )
5 + ]
25
4
Tänu Laplace’i teisenduse lineaarsuse omadustele 

1 (∑λ (s)) =
λ 1((s)) , kus  λ  on konstandid. 
i
i
∑ −
i
i
i
i
i
Järelikult, 






5
25
50

10
30
25
1
2
1
s
x t
( ) = (s)) = L
1





(+ )
3 (+ 4)(+ )
5


 (+ )
3
(+ 4)
(+ )
5   
tabelist







1

1

1
1
1
1
−3t
−4t
−5t
= 10L
− 30L
+ 25L
= 10e
− 30e
+ 2 e
5






 (+ )
3 
 (+ 4) 
 (+ )
5 
 
 
Näidisülesanne N 1.2 
Leiame  funktsioonile  x t
( ) = 10e−2t
( − 2)e−5(t−2) + esin t
2
 vastava  Laplace’i  kujutise 
(
)  
Lahenduskäik 
x(t) = 10(t) + (− 2) + (t) , kus 
−2t
x t
( ) = e

5
− t
x t
( ) = te
,  x t
( ) = esin t
2  
1
2
3
1
2
3
(s) = L(x(t)) = L(10(t) + (− )
2 + (t)
10L((t))
e s L((t))
L((t))
1
2
3
) =
+ −2
1
2
3
−2s
tabelist
 
t
s
t
t
e
10L( −
10
2
2
e
)+ −2
e
L( −5
te
)+ L( −sin2t) =
+ 2
(+ 5)2 (+ 2)
1
+ 2
2
10
2

e s
2
 
+ 2
(+ 5)2
2
+ 2+ 5
 
6
 
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
 
IL 1.1 
− 8 2
+ 5
Leida  originaal   x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =
.  
(+ )
1 ( 2
+ 4+ 1 )
3
 
 
IL 1.2 
Leida  funktsioonile  x t
( ) = 23
− (−3) + t
( − 2)5
− (−2) + ecos t
2
 vastava  Laplace’i  kujutise 
(
)  
 
 
IL 1.3 
1 (
+ )
3 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =
.  
s(+ )
2 ( 2
+ )
1
 
 
IL 1.4 
1 (
+ )
5 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =
.  
s(+ )
1 ( 2
+ 2 )
5
 
 
IL 1.5 
2 (
+ )
4 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =
.  
s(+ )
2 ( 2
+1 )
6
 
 
IL 1.6 
26(+ )
3 2
Leida originaal  x(t) , mis vastab Laplace’i kujutisele  (s) =
.  
s(+ )
2 ( 2
+ )
9
 
7
2. ÜLEKANDEMUDEL, HILISTUMISEGA SÜSTEEMIDE 
ÜLEKANDEFUNKTSIOONID JA SIIRDEPROTSESSID 
 
 
Selle peatüki teoreetilisi aluseid saab leida H. Sillamaa õpikust ptk. 1.7.3, 2.4 ja 2.5. 
Nagu  näeme  oma  kursuse  käigus,  võib  süsteemidel  olla  palju  erinevaid   mudeleid .  Üks 
lihtsamatest  mudelitest  on  nn  ülekandemudel,  mis  seob  omavahel  ainult  sisendeid  ja 
väljundeid.  Seda  mudelit  saame  kasutada  vaid  siis,  kui  süsteemil  ei  ole  sisemisi  akumu-
latsioone ehk siis juhul, kui  algolek  on nulline. Kui need tingimused on täidetud, on süsteemi 
sisendi ja väljundi kujutised seotud ülekandefunktsiooniga väga lihtsa seose kaudu:  
(s) = (s)(s)  
kus 
Y(s) on väljundi kujutis, 
U(s) on sisendi kujutis ja 
H(s) on ülekandefunktsioon. 
Eeldades  nulliseid  algolekuid,  saab  ülekandefunktsiooni  kasutada  siirdeprotsesside  arvuta-
misel. 
 
 
Näidisülesanne N 2.1 
 
 
u(t
H(s
y(t
 
 
 
( 2
+ 2 )
5 (− )
8
Antud: sisendsignaal  u t
( ) = 2 cos t
5  ja ülekandefunktsioon  (s) =
.  
2
( 2
+1 )
6
Leida y(t). 
Kontrollida tulemust piirväärtusteoreemidega. 
Lahenduskäik 
(s) = (s)(s 
s
(s) = L[u(]
2
) =
 
2
+ 25
2s
( 2
+ 2 )
5 (− )
8
2(− )
8
A
Bs C
(s) =
 = 
=  
( 2
+ 2 )
5
2
( 2
+1 )
6
s( 2
+16)
s
( 2
+16)
2(− )
8
Leiame A resiididega  res
= −1 
s
( 2
0
+16)
−1
Bs C
− ( 2
+ 1 )
6 + s(Bs C)

 
s
( 2
+ 1 )
6
( 2
+ 1 )
6
Kuna kahel võrdsel murrul on võrdsed nimetajad, saame võrdsustada ka lugejad: 
− )
8
− ( 2
+1 )
6 + s(Bs C)
 
s( 2
+1 )
6
s( 2
+1 )
6
 
8
 
2−16 = −s2 −16 + Bs2 + Cs  
Kuna kaks polünoomi on võrdsed, siis peavad olema võrdsed ka sama  astmenäitajaga   ees 
olevad tegurid mõlemal pool võrrandit: 
2
 
 
0 = −1+ B,   siit  = 1 
                     2 =  
Vabaliikmete võrdsus on kontrolliks. 
Märkus:  peale  osamurdudeks  jagamist,  kui  osa  tundmatuid  õnnestub   lugejas   leida  resiidide 
kaudu, saame alati võrrandeid rohkem kui tundmatuid. Seega on alati olemas ka kontrollimise 
võimalus: 
−1
+ 2
−1
s
4
(s) =
 
s
( 2
+16)
s
( 2
+16)
2( 2
+16)
1

1
y t
( ) = [(s)] = −t
( ) + cos t
4 +
sin t
4  
2
Siin on 1(t) Heaviside’i funktsioon 

 ,
1 kui > 0
L
t) = 
   
1
t)

 
 ,0 kui ≤ 0
Eespool  saadud tulemused kontrollime piirväärtusteoreemidega: 
1)     lim x(t) = lim sX (s)  
t→0+
s→∞

1

1
lim y(t) = lim − (
t) + cos 4+
sin 4= −1+1+
0 = 0
→ +
→ + 

0
0 
2

2
2s
16
2
16


− )
8
2
2
0 − 0
s
s
∞ ∞
lim sY (s) = lim s
= lim
= 0  
s→∞
s→∞
s( 2
+
16
2
s→∞ s
16
1 16
1+ 0
2
2
s
s
1

Seega saime esimese piirväärtusteoreemi järgi, et  0 = 0.  
Märkus: kui  s− >
∞  siis jagame nii lugeja kui ka  nimetaja  polünoomide kõik liidetavad läbi 
-ga maksimaalses  astmes  ja saame sõltuvalt polünoomide astmetest ühe kolmest variandist: 
0 + 0 + 0
+ +
+ 0 +
1 0 0
k
0
0  või 
=1 või 
 
1 + 0 + 0
1+ 0 + 0
1+ 0 + 0
2)     lim x(t) = lim sX (s)  
t→∞
s→0

1

lim y(t) = lim − (
t) + cos 4+
sin 4= −1+ 0 + 0 = −1  
t→∞
t→∞ 


2

2(− )
8
−16
lim sY (s) = lim s
= −1  
s→0
s
s( 2
0
+16)
16
Seega saime teise piirväärtusteoreemi järgi, et  − 1 = −1. 
Märkus:  kaks  piirväärtusteoreemi  ei  ole  omavahel  kuidagi  seotud,  seega  ei  maksa  ülesande 
kontrollimise juures üritada saavutada nende väärtuste omavahelist võrdsust. 
 
9
Näidisülesanne N 2.2 
 
 
u(t
H(s
y(t
 
 
 
(+ )
1 −
e s
Antud:  (s) =
 
(+ 2)2 ( 2
+ 4)
u(t) = δ (− )
1  
Leida y(t), y(0), y(∞). 
Siin on δ (t)  deltaimpulss ehk Diraci impulss. 
Omadused 
ε
ε
1)  ∫δ (t(t)dt ( )
0  
2)  ∫δ (t)dt = 1, 
∈[ ε
− ,ε ]  
−ε
−ε
L
δ (t) ↔1  
Lahendus 
Y(s) = H(s)U(s
L
(s) = [
δ t
( − )
1 ]
s
, sest  L[δ (t)] = 1 ja  τ−
e s X (s)
x(− τ )

 
Seega, 
(+ )
1
−2s
(s) =
e
 
(s
2
+ 2) (s2 + 4)
L

s
1
+1

(s)
( − 2)
↔ t
 
y(t) = (− 2) , kus  ~
(t) = −

 
2
2

 (+ )
2 (+ )
4 
+ 1
As B
Cs D
(s) =
(+ 2)2 ( 2
+ 4)
2
+ 4+ 4
2
+ 4
3
As + 4
2
As Bs + 4
3
Cs + 4
2
Cs + 4
2
Cs Ds + 4Ds + 4
=  
(+ 2)2 ( 2
+ 4)
C) 3
+ (+ 4D) 2
+ (4 + 4+ 4D)+ 4+ 4
B
(+ 2)2 ( 2
+ 4)
Järelikult, 
= 0
       Lineaarsete võrrandite süsteem: 4 sõltumatut võrrandit, 4 tundmatut. 

1
1
1
+ 4= 0
Lahendades, saame  =
,  = 0 ,  = −
,  =
 


16
16
4
4+ 4+ 4= 1
KONTROLLIGE! 
4+ 4=1
10  
1
s
− 4
1  + 2 − 2
s
2

(s) =




16 (+ 2)2
16 2
+ 4
16  (+ 2)
2
2
2
+ 4
2
+ 4 
 
1  1
2
s
2
L

1
−2t
−2t


+ 2
(e
− 2te
− cos(2t) + 2sin(2t)) (t) = y(t)

↔
1
16  + 2 (+ 2)2
2
+ 4
2
+ 4 
16
Siin on 1(t) Heaviside’i funktsioon 

 ,
1
kui > 0
L
t) = 

1
t)

 
 ,0 kui ≤ 0
 
1
y(t) = (− 2) =
( −2(t−2)
e
− 2 −2(t−2)
te
− cos(2(− 2)) + 2sin(2(− 2)) (
− 2)  
1 16
1
y(0) = 0 , sest  (−2) = 0  
1

t
2(−2)
1
−2(−2)
1
L'Hospita  
l
y(∞) = lim y(t) =
(0 − lim 2te
− 0 + 0) = − limte
= − lim
t→∞
16
→∞
t→∞
8
2(−2)
→∞ e
 
L'Hospita  
l
1
1
= − lim
= 0
t→∞ 2 2(t−2)
e
Eespool saadud tulemused kontrollime piirväärtusteoreemidega. 
 
lim x(t) = lim sX (s)
Piirväärtusteoreemid: 
→0+
s→∞
 
lim x(t)
lim sX (s)
→∞
s→0
 
s(+ )
1
2

s
s
s
y(0) = lim sY (s) = lim
2
e
= lim
s→∞
s→∞ (+ 2)2 ( 2
+ 4)
→∞ ( 4
+ 4 3
+ 8 2
+ 16+ 16) 2s
s
e
 
1
1
+ −
s
 1 
= lim
= 0


→∞
s
s
 
( 2
+ 4 1
+ 8 + 16 1
s
+16 2
) 2
e
∞ 
s(+ )
1
−2s
0
y(∞) = lim sY (s) = lim
e
= 0  
s→0
s
(+ 2)2
0
( 2
+ 4)
16
 
11
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks 
 
IL 2.1 
Antud: väljund  y(t)  ja ülekandefunktsioon  (s)  

+ )
2
t
4
− t
y t
( ) = 3 × t
( ) − 2e
−    
(s) =
 
(+ )
1
Leida  sisend   u(t)  ning selle alg- ja lõppväärtused. 
 
 
IL 2.2 
Antud: ülekandefunktsioon  (s)  ja sisend  u(t)  
(+ )
es
(s) =
,    u(t) = (
− 2)  
(2 + 4)s
Leida y(t), y(0), y(3) 
 
 
IL 2.3 
Antud: ülekandefunktsioon  (s)  ja sisend  u(t)  
( 3
+ )
1
2

e s
(s) =
,    u(t) = δ (− )
1  
s(+ )
2 (+ )
3
Leida y(t), y(1), y(∞) 
 
 
IL 2.4 
Antud: ülekandefunktsioon  (s)  ja sisend  u(t)  
s
(s) =
,    u(t)
−(4)

e
− 4)  
(+ )
1 ( 2
+ 5+ 6)
Leida y(t), y(0), y(3), y(4), y(7), y(6) y(∞) 
 
 
IL 2.5 
Antud: ülekandefunktsioon  (s)  ja sisend  u(t)  
+ −
e s
(s) =
,    u(t) = (
− )
1  
2
+ 4+ 5
Leida y(t), y(0), y(1), y(∞) 
 
 
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla

Logi sisse ja saadame uutele kasutajatele faili TASUTA e-mailile

Vasakule Paremale
Süsteemiteooria kogu 2009 #1 Süsteemiteooria kogu 2009 #2 Süsteemiteooria kogu 2009 #3 Süsteemiteooria kogu 2009 #4 Süsteemiteooria kogu 2009 #5 Süsteemiteooria kogu 2009 #6 Süsteemiteooria kogu 2009 #7 Süsteemiteooria kogu 2009 #8 Süsteemiteooria kogu 2009 #9 Süsteemiteooria kogu 2009 #10 Süsteemiteooria kogu 2009 #11 Süsteemiteooria kogu 2009 #12 Süsteemiteooria kogu 2009 #13 Süsteemiteooria kogu 2009 #14 Süsteemiteooria kogu 2009 #15 Süsteemiteooria kogu 2009 #16 Süsteemiteooria kogu 2009 #17 Süsteemiteooria kogu 2009 #18 Süsteemiteooria kogu 2009 #19 Süsteemiteooria kogu 2009 #20 Süsteemiteooria kogu 2009 #21 Süsteemiteooria kogu 2009 #22 Süsteemiteooria kogu 2009 #23 Süsteemiteooria kogu 2009 #24 Süsteemiteooria kogu 2009 #25 Süsteemiteooria kogu 2009 #26 Süsteemiteooria kogu 2009 #27 Süsteemiteooria kogu 2009 #28 Süsteemiteooria kogu 2009 #29 Süsteemiteooria kogu 2009 #30 Süsteemiteooria kogu 2009 #31 Süsteemiteooria kogu 2009 #32 Süsteemiteooria kogu 2009 #33 Süsteemiteooria kogu 2009 #34 Süsteemiteooria kogu 2009 #35 Süsteemiteooria kogu 2009 #36 Süsteemiteooria kogu 2009 #37 Süsteemiteooria kogu 2009 #38 Süsteemiteooria kogu 2009 #39 Süsteemiteooria kogu 2009 #40 Süsteemiteooria kogu 2009 #41 Süsteemiteooria kogu 2009 #42 Süsteemiteooria kogu 2009 #43 Süsteemiteooria kogu 2009 #44 Süsteemiteooria kogu 2009 #45 Süsteemiteooria kogu 2009 #46 Süsteemiteooria kogu 2009 #47 Süsteemiteooria kogu 2009 #48 Süsteemiteooria kogu 2009 #49 Süsteemiteooria kogu 2009 #50 Süsteemiteooria kogu 2009 #51 Süsteemiteooria kogu 2009 #52 Süsteemiteooria kogu 2009 #53 Süsteemiteooria kogu 2009 #54 Süsteemiteooria kogu 2009 #55 Süsteemiteooria kogu 2009 #56 Süsteemiteooria kogu 2009 #57 Süsteemiteooria kogu 2009 #58 Süsteemiteooria kogu 2009 #59 Süsteemiteooria kogu 2009 #60 Süsteemiteooria kogu 2009 #61 Süsteemiteooria kogu 2009 #62 Süsteemiteooria kogu 2009 #63 Süsteemiteooria kogu 2009 #64 Süsteemiteooria kogu 2009 #65 Süsteemiteooria kogu 2009 #66 Süsteemiteooria kogu 2009 #67 Süsteemiteooria kogu 2009 #68 Süsteemiteooria kogu 2009 #69 Süsteemiteooria kogu 2009 #70 Süsteemiteooria kogu 2009 #71 Süsteemiteooria kogu 2009 #72 Süsteemiteooria kogu 2009 #73 Süsteemiteooria kogu 2009 #74 Süsteemiteooria kogu 2009 #75 Süsteemiteooria kogu 2009 #76 Süsteemiteooria kogu 2009 #77 Süsteemiteooria kogu 2009 #78 Süsteemiteooria kogu 2009 #79 Süsteemiteooria kogu 2009 #80 Süsteemiteooria kogu 2009 #81 Süsteemiteooria kogu 2009 #82 Süsteemiteooria kogu 2009 #83 Süsteemiteooria kogu 2009 #84 Süsteemiteooria kogu 2009 #85
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 85 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2014-05-02 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 58 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor Nephelem Õppematerjali autor

Lisainfo

õpik
ÜLESANNETE KOGU

Märksõnad

Mõisted


Meedia

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

54
doc
Süsteemiteooria kordamisküsimused
2
doc
Süsteemi teooria
60
doc
Süsteemiteooria
20
doc
RAKENDUSLIK SÜSTEEMITEOORIA 2012
9
pdf
Süsteemiteooria 4-nda KT vastused
34
pdf
Tehisnärvivõrgud ja nende rakendused
990
pdf
Maailmataju ehk maailmapilt 2015
816
pdf
Matemaatika - Õhtuõpik





Logi sisse ja saadame uutele kasutajatele
faili e-mailile TASUTA

Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
või
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun