mahub ühele A4 paberile Ääristuseks kasutan Microsoft Wordi poolt pakutud „kitsast“ raamistust – igast äärest jääb vabaks 1,27cm Reavahe on 1.0 Ühes arvudejadas on 40 arvu, kuid osad arud on 2-numbrilised, seega koosneb 1 element 72 tähemärgist. Lisan iga elemendi eraldamiseks ka tühiku, seega koosneb 1 element 73 tähemärgist. Selliste mõõtmetega paberile mahub 6146 tähemärki Selleks, et kõik permutatsioonid kirja panna, on vaja 73 x 815915283247897734345611269596115894272000000000= 59561815677096534607229622680516460281856000000000 tähemärki Nende andmete põhjal on vaja 40! permutatsioonide kirja panemiseks 59561815677096534607229622680516460281856000000000 : 6146= 9691151265391561114095285174181005577913439635.5353075170842825 A4 paberit. Kui suure pindala moodustavad need A4-paberid? (Ühikuteks ruutparsekid või ruutvalgusaastad)
Hea lugeja, j~oudu s¨ ustemaatilisele t¨o¨ole. K¨aesoleva ~oppevahendi joonised on arvutil teinud u ¨li~opilane Marge Ilmosaar. S¨ udamlik t¨anu talle selle eest. 1 SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o. permutatsioonist 1 ... +1 ... saame permutatsiooni 1 ... +1 ... Paneme tähele, et kummaski permutatsioonis arvudele i ja i+1 eelnevate ja järgnevate arvudega inversioonid säilusid. Ainus inversiooni muutus tekkis üleminekul paarilt (i, i+1) paarile (i+1, i). Seega inversioonide arv I (1 , ... , , +1 , ... , ) erineb ainult ühe võrra inversioonide arvust I (1 , ... , +1 , , ... , ): Järelikult jutuks olevad permutatsioonid on eri- neva paarsusega. Vaatleme nüüd olukorda, kui vahetatavad arvud ei ole kõrvuti: olgu nende vahel s arvu. Läheme permutatsioonilt 1 ... +1 ... -1 ... (2.2) s üle permutatsioonile 1 ... +1 ... -1 ... (2.3) s samm-sammult, hakates vahetama kõrvuti olevaid arve. Vahetame permu- tatsioonis (2
Ülesanne 1 (elementide järjestuse poolest) permutatsioonid Võistlustest võtab osa 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda võistkondade vahelised kohad? 6 ! = 720 Ülesanne 2 (elementide endi poolest) kombinatsioonid Poolfinaalis osaleb 6 võistkonda. Finaali pääseb neist vaid kolm. Mitu erinevat võimalust on finaalgrupi moodustamiseks? 6! 4 5 6 C 63 = = = 20 3! 3! 1 2 3 Ülesanne 3 (elementide endi kui ka järjestuse poolest) variatsioonid Finaalvõistlustel osaleb 6 võistkonda. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda kuld-, hõbe- ja pronksmedal nende võistkondade vahel? 6! Korrutise reegel 6 5 4 = 120 ehk V63 = 3!
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Kombinatoorika Liitmislauset iseloomustab lause: ,,kas objekt A või objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n + m. Korrutamislauset iseloomustab lause: ,,nii objekt A kui ka objekt B." Kui A = n ja B = m, siis valikuks on n*m. Permutatsioonid on ühe hulga elemendi kõikvõimalikud järjestused. Permutatsioon nullist on üks. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade erinevaid järjestusi. Kombinatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k n ) nimetatakse n- elemendilise hulga k-elemendilisi osahulki. Pn = n! n! =1 2 3 ... ( n -2) ( n -1) n n! V nk = n (n -1) ( n - 2) ..
Loogikaelemendid matemaatika" just reaalarvude matemaatika. digitaalskeemides (Meenutame, et reaalarvud on kõikvõimalikud murdosaga arvud: nn. "komaga arvud"). — Kombinatoorika Kombinatsioonid. Variatsioonid. Permutatsioonid. Diskreetne Matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate Diskreetne tõenäosus funktsioonidega. Õpikus on käsitletud nendest kõiki peale tõestusmeetodite ja kombinatoorika.
KOMBINATOORIKA k soodsate võimaluste arv P(A) = n = kõigi võimaluste arv Liitmislause – A või B, siis võimalusi n + m Korrutamislause – A ja B, siis võimalusi n m Permutatsioonid – ühe hulga erinevate järjestuste arv Faktoriaal – n! = n (n-1) (n-2) ... – 3 2 1 = n! nt 4! = 4 3 2 1 = 24 NB! 0! = 1, 1! = 1 3,7! – ei saa (-8)! – ei saa ÜLESANDED 1. 8 õuna, 13 ploomi, 6 pirni Mitu võimalust on, kui võtta.. a) Üks õun või üks ploom või üks pirn? Liitmislause (või) – 8 + 13 + 6 = 27 võimalust b) Üks õun kui ka üks pirn kui ka üks ploom
Tõusu ja algordinaadiga: NB! Ruumis saab leida ainult kahe punktiga. Sirgete asend ruumis Paralleelsuse tingimus: Millal lõikub, millal kiivne: Tasandi võrrandi üldkuju: Asendid Sirge on paralleelne tasandiga, kui: Lõikab, kui: On tasandil, kui : Nurga leidmine sirge ja tasandi vahel: Nurga leidmine kahe tasandi vahel: Ringjoone võrrandi üldkuju: NB! Tuleta meelde täisruudu eraldamise võte KUUPIDE VALEMID a3 + b3 = a3 b3 = (a + b)3 = (a - b)3 = TÕENÄOSUS Permutatsioonid: Variatsoonid: Kombinatsioonid: Bernoulli valem: NB! Tuleta meelde hälbe leidmine
On olemas n elementi. Nendest elementidest moodustatakse kogumeid, mis võivad erineda üksteisest elementide järjestuse poolest elementide endi poolest elementide endi ja nende järjestuse poolest. Kõiki selliseid kogumeid nimetatakse ühenditeks. Permutatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Kombinatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. Liitmisreegel: Kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elementi B aga s erineval viisil (mis erinevad elemendi A valimisviisidest), siis elemendi "kas A või B" saab valida r+s
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]
abd adc bad bdc cad cdb dac dcb eac ecb abe ade bae bde cae cde dae dce ead ecd acb aeb bca bea cba cea dba dea eba eda acd aec bcd bec cbd ceb dbc deb ebc edb ace aed bce bed cbe ced dbe dec ebd edc Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse selliseid, antud n elemendist koosnevaid ühendeid, mis erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest. Kõigi võimalike erinevate permutatsioonide arvu n elemendist tähistatakse sümboliga Pn. Selle arvu leidmiseks paneme tähele, et permutatsioonid n elemendist on samad, mis variatsioonid n elemendist n kaupa. Seega Pn = n Vn = n(n - 1) ... (n - n + 1) = n! Näiteks elementidest a, b, c ja d (n = 4) saab moodustada Pn = 4! = 24 permutatsiooni: abcd adbc bcad cabd cdab dbac abdc adcb bcda cadb cdba dbca acbd bacd bdac cbad dabc dcab acdb badc bdca cbda dacb dcba. Eelpool näites olnud elementidest a, b, c, d ja e (n = 5) saaks siis moodustada P5 = 5! = 120 sõna, mis erinevad üksteisest vaid
kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel – kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari “A ja B” saab valida r . s erineval viisil. Näide 2. Kui kooli söökla menüüs on 4 erinevat praadi ja 2 erinevat magustoitu, siis prae ja magustoidu valikuks on 4 . 2 = 8 erinevat võimalust. Permutatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Pn n ! Näide 3. Ajaloo järeleksami sooritajaid on 6. Kui mitmel erineval viisil saame moodustada vastamise järjekorra? Erinevaid võimalusi vastamise järjekorra moodustamiseks on P6 = 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720. Kombinatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest. n!
Hea lugeja, j˜oudu s¨ ustemaatilisele t¨o¨ole. K¨aesoleva ˜oppevahendi joonised on arvutil teinud u ¨li˜opilane Marge Ilmosaar. S¨ udamlik t¨anu talle selle eest. 1 SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64) - summa valem : s n= , kus q ≠ 1→ s n= q≠1 q−1 q−1 , kus 65) - liikmete omadus alates teisest liikmest : a2= √ a1∗a 3 66) Kirjuta hääbuva geomeetriline jada lõpmatu summa valem ja lisa tingimus, a1 millal kasutatakse : S= ,|q|<1 1−q 67) Permutatsioonid . Faktoriaali arvutamine. Permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn=n∗( n−1 )∗( n−2 )∗…∗3∗2∗1=n ! NT. 4 !=4∗3∗2∗1, 1!=1 68) Variatsioonid ja arvutamine. Variatsioonideks n elemendist k-kaupa ( k ≤ n ¿ nimetatakse n-elemendilise hulga kõigi j-elemendiliste osahulkade elementide n!
nimetatakse kujutiseks hulgast V hulka W. Def2 Kui mistahes x korral hulgast V on eeskirja f alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldakse, et on määratud ühine kujutis hulgast V hulka W. L V = M(n × n) LW= f: M(n × n) f: Ad A M(n × n) d 1 2 n |a1 a1 ... a1 | |a21 a22 ... a2n| d = |.....................| = (-1) a11 a22 a33 ... ann permutatsioonid |an1 an2 ... ann| Selgitus: determinandi väärtust arvutav summa on võetud üle kõigi permutatsioonide, millised saab moodustada numbritest 1, 2, 3 ... n ( seega on liidetavaid n! tükki), sümbol summa avaldises tähistab inversioonide koguarvu permutatsioonis 1; 2;....; n. Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud ning konkreetne järjestus. Pn = n!
Näit. 1) mitu erinevat järjekorda saab moodustada kümnest inimesest 2) mitmel erineval viisil saab klassi 20 õpilasest valida välja kaks klassi korrapidajat 3) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5 (numbrid ei tohi korduda) 4) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5, kui numbrid tohivad korduda 5) mitu erinevat võimalust on 52 kaardi hulgast valida 5 kaarti Vaatleme järgmisi mõisteid: permutatsioonid, variatsioonid, kombinatsioonid. 1. permutatsioonid - antud hulga elementidest moodustatud kõikvõimalikud järjestused Näit. kahe elemendi a, b korral on võimalikud järjekorrad: ab ba kolme elemendi korral on võimalikud järgmised järjekorrad: abc acb bac
võimaluste arvuga. *Tõenäosust väljendatakse sageli protsentides. Näide. Kui suur on tõenäosus, et täringut veeretades tuleb paaritu arv silmi? Täringu veeretamisel võib tulla silmade arvuks 1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma. Seega on kõikide võimaluste arv 6. Neist paaritud arvud on 1, 3 ja 5. Seega on soodsate võimaluste arv 3. Lahendus. Vastus. Tõenäosus, et täringu veeretamisel tuleb paaritu arv silmi, on 50%. Permutatsioonid on n elemendilise hulga elementidest moodustatud n-elemendilised järjestatud osahulgad. Permutatsioonide arv leitakse valemiga Pn = n! Kirjutist n! loetakse - "n faktoriaalis" ja arvutatakse järgmise reegli järgi: n! = 1 · 2 · 3 ... (n - 1) · n. Jätke meelde, et 0! = 1 ja 1! = 1. Näited: 1) 1! = 1, 3! = 1 · 2 · 3 = 6 ja 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. 2) Neljast tähest (k, a, r, u) on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamise teel 4! = 24 erinevat sõna.
logab=c ac=b alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!] · Variatsioonid n elemendist k kaupa on k elemendilised järjestatud osahulgad. Vkn=n!/(n-k)! Sündmus ja selle liigid · Kindel sündmus sündmus on kindel, kui tema antud tingimustes alati toimub, p(U) või p().
14) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. 4. Õppeaine sisu: Käsitlevad teemad Käsitlevad Õpitulemused Lõiming tesite Läbivate alateemad ainevaldkonda teemade dega käsitlus Permutatsioonid, Õpilane: Tekstülesande Tõenäosus, statistika. kombinatsioonid ja 1) eristab juhuslikku, kindlat ja d. variatsioonid. võimatut sündmust ning selgitab Uurimisülesan Sündmus. sündmuse tõenäosuse mõistet, ne. Sündmuste liigid. liike ja omadusi; Klassikaline 2) selgitab permutatsioonide,
II. Leiame f-ni tuletise 0-kohad f '(x)=0 III. Leiame f-ni teise tuletise f ''(x) IV. Asendame esimese tuletise 0-kohad teise tuletisse KUI f ''(x1)<0 => kohal x1 on maksimum f ''(x1)>0 => kohal x1 on miinimum 103. Ekstreemumülesanded 12. klass 104. Tõenäosus Kindel p () = 1 Võimatu p (0/ ) = 0 Juhuslik Vastandsündmus A m( soodsad ) p ( A) = n(kõik ) p ( A) + p ( A ) =1 I. Permutatsioonid Pn = n! II. Kombinatsioonid n! C nk = k!( n - k )! III. Variatsioonid(järjestus on oluline) n! Ank = (n - k )! 105. Geomeetriline tõenäosus s l v p= p= p= S L V
siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari "A ja B" saab valida r . s erineval viisil. Näide 2. Kui kooli söökla menüüs on 4 erinevat praadi ja 2 erinevat magustoitu, siis prae ja magustoidu valikuks on 4 . 2 = 8 erinevat võimalust. Permutatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Pn = n ! Näide 3. Ajaloo järeleksami sooritajaid on 6. Kui mitmel erineval viisil saame moodustada vastamise järjekorra? Erinevaid võimalusi vastamise järjekorra moodustamiseks on P6 = 6! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 = 720. Kombinatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest.
Näide 12. Vaatame näites 10 kirjeldatud ülesannet. Leiame tõenäosuse, et nelja huupi üksteise järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav sündmus on sündmuse A1 A2 A3 A4 vastandsündmuseks, st ( ) . Kasutame teoreemis tõestatud valemit, P( ) = 1 P(A1 A2 A3 A4) = 1 0,647 = 0,353. 2 KOMBINATOORIKA 2.1.1.1 Valemid ja näited katsetulemuste arvu loendamiseks Permutatsioonid Katses osaleb k elementi, katse tulemuseks on nende elementide teatav järjestus. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on n elemendi kõikvõimalike erinevate järjestuste arv. Erinevaid järjestusi etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks. Kõikvõimalike permutatsioonide arv k elemendist Pk määratakse valemiga Pk = k! =1 × 2 × 3 × 4 × (k1) × k Näide 1. Maja ette pargitakse igal õhtul 5 autot, kõik autod on erinevat värvi. Leida,
niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2
niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt: A |A| = (-1) a1 i a2 j . . . an k , (i, j,...,k) kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja on inversioonide arv selles permutatsioonis. Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n-faktoriaal, st neid on n! = 1 2 . . . n tükki. Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte. NÄITEID 1) TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2
Joonis 5. Kuulmiskahjustuse tõenäosus erinevatel vanusegruppidel. (1, lk 598) Kuulmise kaotus mittepideva müra tulemusena Mittepidev müra hõlmab endas katkendlikku (kuid pidevat) müra (nagu masinad, mis töötavad lühikeste, katkestatud perioodidega), pulseeriv müra (nagu stants), ning impulsiivne müra (nagu püssilaud). Suurel hulgal selline müra kahjustab kuulmist, kuid intensiivsuse kombinatsioonid ning permutatsioonid, müra spekter, sagedus, kahjustamise kestvus ning muud parameetrid võivad seda takistada. Näiteks 45 lasketiiru treenerit kaotasid kuulmisest 10 % 9 kuu jooksul, kuigi suurem osa neist kasutas kaitsevahendeid. Müra psühholoogilised efektid Püsiv kuulmise kaotus on kõrvamehhanismi füsioloogilise kahjustuse tagajärg. Kõrva enda kahjustuse kõrval võib kuulmiskahjustuse põhjustada ka jätkuv mürale alistumine.
toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n !
Vnm = = n ( n - 1) ( n - 2 ) ... n - ( m - 1) , ( n - m) ! kus n ! = 1 2 3 ... ( n - 1) n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! = 1 ja 0! = 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm = n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse Pn = 1 2 3 ... ( n - 1) n = n ! . Kui n ümberjärjestatava elemendi hulgas on erinevaid elemente k, kusjuures nad esinevad vastavalt n1 , n2 , ... , nk korda (kus n1 + n2 + ... + nk = n ), siis erinevate kordumistega permutatsioonide arv on
....................... 367 Tõenäosusteooria algus ehk kuidas valed Ruumiliste kujundite pindalad .....................369 arvutused viivad pankrotti ........................395 Mõned ruumalad ......................................... 373 Kas mu sõbrannast saab riigikogu liige Kochi lumehelves ........................................ 377 ehk tõenäosuste määramise raskustest .....398 permutatsioonid ja faktoriaal .......... 380 Kes on kõrgema IQ-tasemega ehk jaotuste Permutatsioon .............................................380 võrdlemine.................................................. 400 Faktoriaal ....................................................382 Geomeetriline tõenäosus ehk kuidas leida tõenäosuse abil väärtust ................402
.. n m 1 , n m ! kus n ! 1 2 3 ... n 1 n (loetakse n-faktoriaal). On defineeritud, et 1! 1 ja 0! 1 . Kordumistega variatsioonid n erinevast elemendist m elemendi kaupa on sellised m-elemendilised variatsioonid, milles iga element võib esineda kuni m kordselt. Erinevaid kordumistega variatsioone on Wnm n m . Permutatsioonid on variatsioonid n elemendist n elemendi kaupa ja esitavad kõikvõimalikke erinevaid järjestusi n elemendist. Nende järjestuste arvu tähistatakse Pn ja arvutatakse Pn 1 2 3 ... n 1 n n ! . Kui n ümberjärjestatava elemendi hulgas on erinevaid elemente k, kusjuures nad esinevad vastavalt n1 , n2 , ... , nk korda (kus n1 n2 ... nk n ), siis erinevate kordumistega permutatsioonide arv on
a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 23 a a32 a33 a a32 a33 31 31 + märgiga liikmed märgiga liikmed Tahame üldistada determinandi mõistet igat järku ruutmaatriksitele. Selleks toome esmalt sisse mõningad mõisted. 5. Permutatsioonid. Inversioonid. Kõrgemat järku determinandid. Definitsioon. Arvude 1,2, , n ümberjärjestus, milles iga arv esineb täpselt üks kord, nimetatakse permutatsiooniks. Antud n korral kõigi permutatsioonide hulka tähistame Pn. Näide. Kui n=1, siis on võimalik ainult 1=1! premutatsioon: 1 Arvu n=2 korral on 2=2! permutatsiooni: (1,2) ja (2,1) Arvu n=3 korral on 6=3! permutatsiooni: (1,2,3); (2,3,1); (3,1,2); (2,1,3); (3,2,1); (1,3,2). Teoreem
Valimi maht 63 Standardhälve II 18,9 Maksimaalne element 206 Korrelatsioonikordaja 1,2 0,94 Minimaalne element 123 Regressioonisirge tõus 0,493 Mediaan 167 Regr. sirge vabaliige 93,9 © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 33 PERMUTATSIOONID, VARIATSIOONID JA KOMBINATSIOONID N-elemendilist hulka saab ümber järjestada n! = 1 · 2 · 3 · … · n erineval viisil. Näiteks 20 õpilasega klassis saab lapsi erineval moel ritta panna 2432902008176640000 erineval viisil (vähemalt 2 last on vahetanud koha). n! Kombinatsioonid n-elemendist m-kaupa Cn m
Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused — Vastavused ja Relatsioonid MATEMAATILINE LOOGIKA — Graafid LAUSEARVUTUS — Kombinatoorika: Kombinatsioonid, Variatsioonid, Permutatsioonid Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles väljendatud) väide, millele saame omistada tõeväärtuse — tõene või
annaabi.ee 
