Kõrgema astme võrrandid (0)

Murdvõrrandid
Võrrandid, mis sisaldavad tundmatut murru nimetajas, on murdvõrrandid.
 
Murdvõrrandite lahendamiseks peab kõigepealt oskama lihtsustada murde sisaldavaid avaldisi.
 
Näide 1. Lahendame võrrandi
Murru väärtus on null, kui lugeja on null ja nimetaja nullist erinev, seega peavad üheaegselt olema täidetud tingimused
2x – 3 = 0, millest x = 1,5 ning
x + 2 = 0, ehk x = –2.
Murru nimetaja nulliga mittevõrdumist tuleb kontrollida selleks, et lahendite hulgast välja
eraldada need, mille korral nii lugeja kui ka nimetaja on üheaegselt nulliga võrdsed.
Vastus: x = 1,5.
Näide 2. Lahendame võrrandi
Kõigepealt leiame vasakul pool ühise nimetaja ja seejärel lihtsustame avaldist :
Seega tuleb lahendada võrrand
millest võrde põhiomaduse järgi saame, et
(x+2)(x–2)=4x–7 ehk
x2 – 4 = 4x – 7,
x2 – 4x + 3 = 0.
Selle võrrandi lahendid on 1 ja 3.
 
Murdvõrrandi puhul tuleb teha lahendite kontroll !
 
Kontrollimine näitab, et mõlemad lahendid sobivad.
 
Näide 3. Lahendame võrrandi
Sellise kujuga võrrandeid tuleb sageli ette tekstülesannete lahendamisel. Ka siin leiame ühise
Nimetaja ja lihtsustame avaldist:
.
Võrde põhiomaduse järgi saame nüüd
millest
2x(x–2)=4x–12 ehk
2x2 –8x + 12 = 0,
x2 – 4x + 6 = 0.
Sellel võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole, seega puuduvad lahendid ka murdvõrrandil.
 
Kõrgema astme võrrandid
Lahendivalemid on tuletatud ka kolmanda ja neljanda astme võrrandite jaoks, kuid need on küllalt keerulised. Tihti on aga võimalik kõrgema astme võrrandeid lahendada korrutiseks teisendamise abimuutuja kasutamise või mõne muu võttega. Tutvume mõningate selliste võtetega.
Näide 1. Lahendada võrrand : x5 = 4x3.
Lahendus. Toome kõik liikmed vasakule : x5 - 4x3 = 0
Toome ühise kordaja x3 sulgude ette: x3(x2 – 4) = 0
Korrutis võrdub nulliga, kui kordajatest on null: x3 = 0 või x2 – 4 = 0
Lahendades, saame : x1 = 0, x2 = 2, x3 = -2.
Näide 2. Lahendada võrrand x3 - 3x2 = 2x – 6.
Lahendus .Toome võrrandi kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki ja teisendame siis selle poole korrutiseks:
x3 - 3x2 - 2x + 6 = 0;
x2(x – 3) -2(x – 3) = 0;
(x – 3)(x2 – 2) = 0;
Saame kaks võrrandit
x – 3 = 0 ja x2 – 2 = 0,
millest leiame antud võrrandi lahendid:
x1 = 3, x2 = , x3 = - .
Näide 3. Lahendada võrrand 4x4 - 37x2 + 9 = 0.
Lahendus. Lahendamiseks kasutame abimuutujat
x2 = t .
Saame uue võrrandi
4t2- 37t + 9 = 0,
mille lahendid on
t1 = 9 ja t2 = .
Paigutades leitud t väärtused võrdusse ( asendusse) x2 = t, saame:

x2 = 9, millest x1 = 3 ja x2 = -3

x2 = , millest x3 = ja x4 = - .
Ülesandeid
Lahendada võrrandid:
1) x3 – 8 = 0 2) x3 + 8 = 0 3) x4 – 81 = 0 4) x4 + 81 = 0
5) 3y4 – 28y2 + 9 = 0 6) 8y3 – y2 = 0 7) c3 – 3c2 – 4c = 0
8) (x2 + 4x)(x – 7) = 0 9) (v + 2)(3v -1)(2v + 3) = 0
2