Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine (0)

Lineaarvõrrandi lahendamine. Ruutvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrand Ühe tundmatuga lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax + b = 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut.
Seejuures nimetatakse korrutist ax lineaarliikmeks ja b vabaliikmeks.
Näiteks on lineaarvõrrandid vabaliige lineaarliige 2 x 3 0, (tundmatu on tähistatud tähega x) 5 z 0, (tundmatu on tähistatud tähega z, vabaliige b = 0) Lineaarvõrrandid ei ole: 2 x 2 3 0, (kuna tundmatu on ruutu tõstetud) 2 3 5, (kuna tundmatut seoses ei esine) algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lineaarvõrrandi lahendamine Lineaarvõrrandi ax + b = 0 ainsaks lahendiks on b x . a
Näide Lineaarvõrrandi 2 x 3 0 lahendiks on 3 x . 2 1 Lineaarvõrrandi x 0 lahendiks on 2 1/ 2 x 1 / 2. 1 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Näited Näide x Lahendame võrrandi 1,5 . 5
Lahendus Läheme üle samaväärsele võrrandile, tuues paremal pool oleva lineaarliikme vastandmärgiga vasakule poole võrdusmärki: x 1,5 0. 5 Saadud lineaarvõrrandi lahendiks on 1,5 3/ 2 35 15 1 x 7 . 1/ 5 1/ 5 2 1 2 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lahendi kontrollimine Et veenduda leitud lahendi õigsuses, tuleks alati asendada leitud lahendi arvväärtus esialgsesse võrrandisse tundmatut tähistava tähe asemele ja veenduda, et tulemuseks on samaselt täidetud võrdus. Kui see nii ei ole, on lahenduskäigus tehtud vigu. Näide Lahendame võrrandi 2x - 5 = 6x + 2. Lahendus Viime võrduse paremal pool olevad liikmed vastandmärkidega vasakule poole ja koondame sarnased liikmed: 2 x 5 6 x 2 0 4 x 7 0. Viimase võrrandi lahendiks saame : 7 7 x . 4 4 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Lahendi kontrollimine (jätkub) Esialgse võrrandi vasak pool: 7 14 7 1 2 5 5 5 8 . 4 4 2 2
Esialgse võrrandi parem pool:
6 2 2 10 2 8 . 7 42 1 1 4 4 2 2
Vastus. Kuna kontrolli käigus selgus, et nii võrrandi vasaku kui ka 1 parema poole väärtuseks on 8 , siis on võrrandi lahendiks 2 7 3 x 1 . 4 4 algusesse eelmine slaid esitluse lõpp Ruutvõrrand
Ruutvõrrandi üldkuju on ax 2 bx c 0 kus x on tundmatu ning a 0.
Kui a 0, b 0, c 0, siis on tegu täieliku ruutvõrrandiga.
Ruutvõrrandi ax 2 b c 0 lahendivalem on
b b 2 4ac x1, 2 2a
algusesse Ruutvõrrandi diskriminant
Avaldist D = b2 - 4ac nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks.
Kui D > 0, siis ruutvõrrandil on kaks erinevat reaalset lahendit Näide Võrrandi 3x 2 7 x 2 0 diskriminant on D (7) 2 4 3 2 25 0
Võrrandil on kaks reaalarvulist lahendit:
7 (7) 2 4 3 2 x1 2 23 7 (7) 2 4 3 2 1 x2 23 3
algusesse Ruutvõrrandi diskriminant
Kui D = 0, siis ruutvõrrandil on kaks võrdset reaalset lahendit
Näide Võrrandi 4x 2 4x 1 0 diskriminant on D (4) 4 4 1 0 2
Võrrandil on kaks võrdset lahendit
4 (4) 2 4 4 1 4 0 1 x1, 2 24 8 2
algusesse Taandatud ruutvõrrand
Taandatud ruutvõrrand x 2 px q 0 on täieliku ruutvõrrandi erijuhuks , kui a = 1, b = p ja c = q.
Ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendivalem on 2 p p x1, 2 q 2 2
algusesse Viète'i valemid
Viète'i teoreem võimaldab mõnel juhul peast arvutades leida ruutvõrrandi lahendid . Viète'i teoreem. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega.
Ehk taandatud ruutvõrrandi x 2 px q 0 kordajad p ja q on seotud lahenditega x1 ja x2 järgmiselt: x1 x 2 p x1 x 2 q.
algusesse Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatkse võrrandit kujul ax 4 bx 2 c 0 kus x on tundmatu ning a 0.
Biruutvõrrandi lahendamiseks
tehakse asendus x2 = y, lahendatakse tekkiv abivõrrand ay 2 by c 0 abivõrrandi lahendit y1 ja y2 kaudu avaldatakse esialgse võrrandi lahendid x1, 2 y1 x 3, 4 y 2 algusesse Näide Näide Lahendame võrrandi x 4 3x 2 4 0.
Lahendus Teeme asenduse x2 = y, saame
y 2 3 y 4 0. Tekkinud abivõrrandi lahendame taandatud ruutvõrrandi lahendivalemi abil: 2 3 3 y1, 2 4 2 2 y1 1 y2 4
algusesse Näide
Seosest x2 = y leiame, et y = 4 korral
x1 = 2 x2 = -2
y = -1 reaalarvulisi lahendeid ei anna
Ruutvõrrandi ja biruutvõrrandi puhul tuleb saadud lahendeid kontrollida täpselt samuti nagu lineaarvõrrandi korral.
algusesse