vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult:
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20
Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) Taylori valem : Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks f(x) = 13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul) Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a -ümbruses (a-,a+), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav Lagrange kujul. Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi: n f ( k ) (a) f ( x) = ( x - a) k + (Rn f )( x). k = 0 k! Kui meil eksisteerib ka ( n +1) -järku tuletis f ( n+1) (b) , b [a, x ] , siis saame jääklikmele nn . Lagrange kuju: Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud
.∗ 𝑛 𝑛 (𝑛−𝑘) ∑𝑘=0 ( ) 𝑓 (𝑎)𝑔 (𝑎). Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) 𝑘 (𝑥−𝑎) ′ (𝑥−𝑎)2 ′′ (𝑥−𝑎)3 ′′′ (𝑥−𝑎)𝑛 (𝑛) 6). (Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused
4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
nihketa hinnangud, kuid nad ei ole parimad, st nad ei ole vähima dispersiooniga b) standardvead ei ole korrektsed ja seega ei ole korrektsed ka parameetrite hinnangute usaldusvahemikud. Fkriteeriumi hinnang ei pruugi olla õige; c) mudel võib viia uurija valedele järeldustele, kui tegemist on statistiliste hüpoteeside kontrollimisega. Kasutatakse graafilist analüüsi. Juhuslik liige ehk jääkliige ui on juhuslik suurus, mille keskväärtus ehk matemaatiline ootus on võrdne nulliga. E (ui) = 0. Kui juhuslike liikmete dispersioon pole konstantne ning tema jaotus oleneb Xst, on tegemist heteroskedestatiivsusega. Parki test kui sõltumatute muutujate ln(Xi) vastava regressioonikordaja hinnang a1 on statistiliselt olulisel määral erinev nullist, siis esialgses mudelis on heteroskedestatiivsus. 11
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1)
Asendades C1,C2,…,Cn valemisse (1) saame otsitava polünoomi: Paneme kirja Taylori valemi Kuna f’(a) =...= f (n)(a) = 0 ja meil eksisteerib (n + 1)-järku tuletis siis x ϵ(a - δ1;a) (xϵ Jääkliige: (a;a + δ 1)) korral leidub c ϵ(x;a) (cϵ(a;x)) Kui n on paaritu, siis (x -a)n+1 on positiivne. Kuna f (n+1)(a) ≠ 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, Rn(x)=f(x)-Pn(x) siis leidub U δ 2(a) kus f (n+1) >0 või f (n+1) <0. Võttes δ= min{ δ 1;δ 2}, saame et ∆y <0
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes:
3n 2 y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 .... y 2 n 2 ) y 2 n 2 . Saadud ligikaudset valemit nimetatakse Simpsoni valemiks. Veahinnang Simpsoni valemi jääkliige: b ba 1 1 Rn f ( x)dx y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 ... y 2 n 2 ) y 2 n a 3n 2 2
vektoriga (f/x(a,b), f/y(a,b),-1) Taylori valem: funkts z=f(x,y) nim n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik n-1 järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P Kui funkts f(x,y) on n+1 korda diferentseeruv punktis P(x,y), siis kehtib n-järku Taylori valem n 1 f ( x + x, y + y ) = ( x + y ) k f ( x, y ) + Rn ( x, y ) k = 0 k! x y , kus jääkliige avaldub Lagrang'i 1 Rn ( x, y ) = ( x + y ) n +1 f ( x + x, y + y ), y kujul (n + 1)! x y (0,1) Keskväärtusteoreem: Kui8 funkts f(x1,..,xn) on pidev punkte P(p1;..;pn) ja Q(q1;...;qn) ühendava lõigu igas punktis ning diferentseeruv selle lõigu igas punktis (va otspunktid P ja Q), siis leidub selles lõigus punkt S, S ei kuulu {P,Q}, et f f
LIISI KINK 10 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi).
Kordamisküsimused 1. Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud, ilmutamata, parameerilisel kujul. 2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui l...
Matemaatiline analüüs II kontrolltöö Punktid 23-45 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui
Keskväärtusteoreem 16. Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b], siis leiduv vähemalt Teoreem valemi ühesusest (tõestusega). 30. Teoreem määratud integraali olemasolust üks selline punkt , mille korral kehtib valem 17. Taylori valemi jääkliige Lagrange'i ja Cauchy (tõestusega). kujul. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul 19 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus [a,b], siis eksisteerib määratud integraal (tõestusega)
Tõestus Kui ja on integreeruvad lõigul , siis on integreeruvad ka ja . Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis .
M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul integreeruvus. 1 (+1) ( )() = ()( - ) Monotoonse funktsiooni integreeruvus. U¨ ks lausetest to~estada. ! 16. N¨aidata, et
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi
M+Mx/x0+Mx/x02+...+Mx/x0n+...
Viimane rida osutub x
vahemikus X arendatud astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega 1 ( n) an = f (c ), n = 0,1,2,... (7) n! kusjuures 0! = 1 ja f (0 ) (c) = f (c). Rida (6), mille kordajad an on antud valemitega (7), nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks (erijuhul c=0 Maclaurini reaks). Olgu n Taylori valemi jääkliige Lagrange´i kujul (vt § 4, p.3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. §6 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 1. Algfunktsioon ja määramata integraal Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o
Y0 - baastase in- indeks minevikku või tulevikku arvestades Pn tõenäosus. Tule arvesse võtta, kui planeerimine v prognoosimine (ainult tuleviku mõttes). Kui tõenäosust arvestatakse, siis läheb üle stohhastilisele analüüsile. x Kui ühist nimetajat pole, siis multiplikatiivne variant o Y1=Y0in*(Pn) Analüüsimisel võib tekkida jääkliige (muud tegurid, mida ei osanud arvesse võtta). Kui selle osakaal 30-40% siis analüüs ei õigustanud end. 2.6. Funktsionaalne kuluanalüüs Staadium Peamised lahendatavad küsimused Infostaadium 1. Missugune toode on ja mis on tema otstarve? 2. Kui kõrge on toote omahind? 3. Mitmest sõlmest (detailist) toode koosneb? 4
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib
Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid millest võime võtta osatuletisi muutuja xk(k1,...,n) järgi: Kui funktsioon f(x,y) on (n+1) korda diferentseeruv punktis P(x,y) siis kehtib n-järku Taylori valem f(x + x,y + y) = (j=0, n) fxj xk (P) 2f(P) / xj xk := ( / xk ) ( f(P) / xj) 1/j!( (/x) x + (/y) y)j f(x,y) + Rn(x,y), mille jääkliige Rn(x,y) avaldub (Lagrange') kujul (0<<1) : Rn(x,y) = (1/(n+1)!) Saadud tulemust nimetame teist järku osatuletiseks. Nii saame defineerida ka kõrgemat järku osatuletised. ( (/x) x + (/y) y)n+1f(x + x,y + y). Erijuhul n=0 saame Lagrange' valemi (0<<1) f(x+ x,y + y) = f(x,y) + fx(x + x,y + y) x + fy(x + x,y + y) y.
Küsimused ja vastused 1. Ratsionaalne otsustusprotsess Otsustamise olemus ja otsustusprotsessi elemendid ning etapid. Otsustamise all mõistame tegutsemisviisi leidmist, probleemi lahendamise protsessi ennast ja tegevuse tulemust. Mõiste sisaldab omavahel seotud aspekti. Esiteks, otsustamine on tegevus, mis toimub juhtimissüsteemis ja on seotud probleemi lahendamiseks vajalike tegutsemisvariantide ettevalmistamise, leidmise, soodsaima variandi väljavalimise ja rakendamise otsusega. Seega on tegemist juhtimisaparaadi tööga ja juhtimisprotsessi teatud etapiga. Teiseks, otsustamine on juhtimisaparaadi tegutsemisviis juhitava süsteemi mõjutamiseks. Selles mõttes on otsustamine kavandatavate tegevuste kirjeldus. Kolmandaks, otsustamine on juhi praktiline tegevus juhtimissüsteemis. Juhtimisotsuste vastuvõtmise protsessi elemendid on: Probleemsituatsioon Aeg Ressursid Eesmärgid Juhi...
qli 79,3 0, 540 pli 0,195 psi ui · Kui mudeli hindamisel on mudelisse lülitatud ka konstant, siis on see eeldus automaatselt täidetud. Jääkliige sisaldab ka sealiha · Eelduse kehtivust tuleb kindlasti kontrollida siis, kui konstanti Kui jätame sealiha hinna ps välja hinna mõju mudelisse pole võetud (regressioon läbi nullpunkti). qli 85, 2 0,466 pli u%i u%i ui f ( psi ) Kui siis see eeldus pole täidetud, saame parameetrite hinnangud
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0
f (n ) ( x ) n f (0 ) f (0 ) 2 x = f (0 ) + x+ x + ... , n =0 n! 1! 2! mida nimetatakse Maclaurini reaks. Teoreem. Vahemikus X = (a - R; a + R ) piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav Taylori reaks (4) selles vahemikus parajasti siis, kui funktsiooni f Taylori valemi jääkliige a n rahuldab vahemikus X tingimust lim a n = 0 . n Kokkuvõttes, kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2) (või (1)) vahemikus X , siis see astmerida on funktsiooni f Taylori rida (vastavalt Maclaurini rida). Paljude funktsioonide arendised astmereaks saame tuntud astmeridadest aritmeetiliste tehete, rea liikmeti integreerimise ja liikmeti diferentseerimise teel. 4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine
1. Mis on staat anal, võrdl staat anal, dünaamiline anal, mis on eesmärgiks? *Staatilises e. tasakaaalu analüüsis on valitud muutujate väärtused sellised, et süsteemi seisund säilub (s.t. puudub tendents muutuda). Tasakaal ei ole tingimata ideaalne seis. Osaline turutasakaal (lineaarne & mittelineaarne mudel), üldine turutasakaal. *Võrdlevstaatiline analüüs tegeleb erinevate tasakaalu seisundite võrldemisega (vastab erinevate parameetrite ja välimuutujate komplektidele). Kui mingi parameeter või välimuutuja muutub, läheb süsteem tasakaalust välja, siis võrreldakse uut ja vana. VSA on kvalitatiivne või kvantitatiivne. Peaülesanne leida sisemuutujate muudumäärad sõltuvalt parameetri või välimuutuja muutudst. *Dünaamilises analüüsis jälgitakse muutujate teed ajas ning kas antud aja jooksul muutujad koonduvad kindlateks tasakaaluväärtuseks. Täiendab eelmist kahte, sest uurib kas tasakaal on üldse saavutatav. Oluline on, et muutujad seosta...
§ 1. Ratsionaalne otsustusprotsess §2. Simulatsioon (modelleerimine) Modelleerimine on laiem mõiste kui simulatsioon. 4. Asukoha valimine. 1.1. Otsustamise olemus ja otsustusprotsessi elemendid Modelleerimine mudelite koostamine ja uurimine(analüüs). Mudel on töövahend. 4.1.Asukoha valimise strateegiad ja etapid Asukohavaliku ees seistakse siis, kui tootmine Otsustamise-tegutsemisviisi leidmine, probleemi lahendamise protsess ja tegevuse tulemus. Simulatsioon tegelikku olukorra modelleerimine, protsesside matkimine, immiteerimine, ei mahu olemasolevatesse raamidesse või on mujal tootmiskulud väiksemad. Strateegiad: Kolm aspekti: probleemi lahendamiseks vajalike tegutsemisvariantide ettevalmistamine, õppimine läbi tegutsemise. Mudelid:1.materiaalsed(füüsilised)ehk ain...
G ( x +h )−G ( x )= ∫ f ( t ) dt−∫ f (t ) dt = ∫ f ( t ) dt . Kui M = , siis|G ( x +h ) −G(x)|≤ ∫ f ( t ) dt ≤ M |h| | | Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul ( ) x
Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame:
1. Funktsioon: Funktsiooni mõiste. Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsioone tähistatakse tavaliselt tähtedega f; g; u; v; ; jne. Olgu antud funktsioon f mille argumendiks on x ja s~oltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust milleks funktsioon f kujutab argumendi x nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega, me võime kirjutada seose y = f(x) ; (1.1) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Mõnikord kasutatakse funktsiooni ja sõltuva muutuja tähistamiseks ühte ja sama sümbolit. Sellisel juhul seos (1.1) omab kuju y = y(x). ...
mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23. Funktsiooni peaosa ja jääkliige Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel:
(tõestusega). Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena. f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n (16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h) 1! 2! n! h n +1 R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M (n + 1)! Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0 df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M=
(tõestusega). Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena. f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n (16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h) 1! 2! n! h n +1 R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M (n + 1)! Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0 df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M=
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et ...
astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega 1 ( n) an = f (c ), n = 0,1,2,... (7) n! kusjuures 0! = 1 ja f ( 0 ) (c) = f (c ). Rida (6), mille kordajad an on antud valemitega (7), nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks (erijuhul c=0 Maclaurini reaks). Olgu n Taylori valemi jääkliige Lagrange´i kujul (vt § 4, p.3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. 26. Algfunktsioon ja määramata integraal. Tehetega seotud integreerimisvõtted.
Operatsioonijuhtimine Kordamisküsimused 2012 Tootmis(teenindus)süsteem, selle sisendid, väljundid ja mõjurid Operatsioonisüsteem organisatsiooni kogu tootmis- või teenindustegevuse süsteem. Väljund eesmärk, kuhu peame jõudma. Väljunditeks on tooted ja teenused. Sisend ressurss. Näiteks: y kapital y materjal y tööjõud y energia y tooraine. Mõjuriteks on näiteks: y teave väliskeskkonnast teave toote või teenuse kohta, ressursside maksumus, tehnoloogia arengusuunad, valitsuse normatiivaktid jne. y teave sisekeskkonnast organisatsiooni eesmärgid, poliitika, arengusuunad jne. y teave süsteemi seisundi kohta. Erinevus tootmis- ja teenindussüsteemi vahel Ehe toode on käega katsutav, seda võib varuda, transportida, osta ja hiljem kas...
● Algul hinnatakse mudelit väikese alamvalimi põhjal. ○ Alustatakse valimist mahuga r +1, kus r on parameetrite arv mudelis. ● Hinnatud mudeli põhjal leitakse järgmise vaatluse silutud väärtus. ● Kuna järgmise vaatluse tegelik väärtus on teada, leitakse jääk. ● Nüüd võetakse valimisse ka järgmine vaatlus ning leitakse parameetrite hinnangud 1 võrra suurema valimi põhjal. ● Leitakse järgmise vaatluse jääkliige. ● Niimoodi jätkatakse, kuni kõik vaatlused on kaasa haaratud. ● Saab kasutada aegridade korral ja mingi tunnuse abil järjestatud ristandmete korral. ● Tulemusi saab uurida visuaalselt. ● Testimiseks on olemas sobivad statistikud CUSUM test Gretlis mudeli aknas Tests>CUSUM test Rekursiivse hindamise alusel on välja töötatud CUSUM test. Test põhineb rekursiivse hindamise jääkliikmete ut normaliseeritud kumulatiivsel summal.
MITME MUUTUJA FUNKTSIOON 1. Punkti ümbrus. Kinnine ja lahtine piirkond. Mitme muutuja funktsioon ja selle määramispiirkond. Def. 1.1. ( 0 0 )0 Punkti P x1 , x 2 ,..., x n ümbruseks n-mõõtmelises ruumis R n nimetatakse punktide hulka { U ( P ) , mis rahuldavad tingimust U ( P ) = Q( x1 , x 2 ,..., x3 ) R n ( P, Q ) < , kus } ( P, Q ) = PQ = (x1 - x10 ) + (x 2 2 - x 20 ) 2 ( + ... + x n - x n0 ) 2 Def. 1.2. Piirkonnaks D kahemõõtmelises ruumis nimetatakse selle ruumi osa, mis on piiratud mingi joonega L, mida nimetatakse rajajooneks. Kolme- või enamamõõtmelise ruumi piirkonnaks D ...
1. Tootmis(teenindus)süsteem ja operatsioonijuhtimise meetodid 1.1. Tootmis(teenindus)süsteem, selle sisendid, väljundid ja mõjurid Operatsioonisüsteem organisatsiooni kogu tootmis- või teenindustegevuse süsteem. Väljund eesmärk, kuhu peame jõudma. Väljunditeks on tooted ja teenused. Sisend ressurss. Näiteks: y kapital y materjal y tööjõud y energia y tooraine. Mõjuriteks on näiteks: y teave väliskeskkonnast teave toote või teenuse kohta, ressursside maksumus, tehnoloogia arengusuunad, valitsuse normatiivaktid jne. y teave sisekeskkonnast organisatsiooni eesmärgid, poliitika, arengusuunad jne. y teave süsteemi seisundi kohta. Erinevus tootmis- ja teenindussüsteemi vahel Ehe toode on käega katsutav, seda võib varuda, transportida, osta ja hiljem kasutada. Teenus seevastu ei ole käega katsetav nagu ta...
. 3 2 1C n (n) 41 Asendades C1, C2 ,..., Cn , saame otsitava polünoomi: ( x - a) ( x - a) 2 ( x - a) n 42 Pn ( x ) = f (a ) + f ' ' (a) + f ' ' ' (a) + f ( n) (a) 1 1 2 1 2 3 ... n 43 Jääkliige: Rn ( x) = f ( x) - Pn ( x) 44 Taylori valem: 20 45 ( x - a) ( x - a) 2 ( x - a ) 3 ''' ( x - a) n n ( x - a ) n +1 Pn ( x ) = f (a ) + f ' ' (a ) + f ' ' ' (a ) + f (a) + f (a) + f ( n +1) ( )
Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2 . 23. Funktsiooni muudu() esitus diferentsiaali ja jaakliikme summana. Kuidas kaituvad diferentsiaal ja jaakliige argumendi muudu x suhtes, kui x laheneb nullile? (toestada!). Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a) = 0. Kasutame §3.1(Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted.) sissetoodud mõisteid x = x - a - argumendi muut() kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . §3.1 me näitasime, et f(a) = lim y/ x x0 Seega, kui me tähistame (y/ x) ja f(a) vahe() järgmiselt r(x) =(y/x) - f(a) (3.14)
, 𝑎𝑘 ∶= ∆𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦), mille jääkliige 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦) avaldub (Lagrange’) kujul (0 < 𝜃 < 1) 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 ∑∞
Olgu Rn (a, x) := f (x) − Tn (x) , siis saame valemi 1 ′ 1 f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + . . . + f (n) (a) (x − a)n + Rn (a, x) , (4.21) 1! n! mida nimetatakse funktsiooni f Taylori valemiks punktis a. Avaldist Rn (a, x) nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks. Järgnevalt näitame, et protsessis x → a läheneb jääkliige Rn (a, x) kiiremini nullile kui (x − a)n (vrd. (4.22)) (jääkliikme Peano kuju) ning esitame ta Lagrange’i kujul (4.23). Teoreem 4.18 Olgu D ⊆ R mingi intervall ja a ∈ D, olgu n ∈ N. (a) Kui funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv, siis Rn (a, x) ∈ o ((x − a)n ) protsessis x → a. (4.22) (b) Kui funktsioon f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv, siis iga x ∈ D {a} korral
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
