vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult:
Matemaatilise analüüsi teine teooria KT 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud). Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null). 20
+...+n ................... ............ Asendades valemisse (1) saame otsitava polünoomi: Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) Taylori valem : Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks f(x) = 13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul) Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a -ümbruses (a-,a+), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav Lagrange kujul. Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi:
.∗ 𝑛 𝑛 (𝑛−𝑘) ∑𝑘=0 ( ) 𝑓 (𝑎)𝑔 (𝑎). Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x) 𝑘 (𝑥−𝑎) ′ (𝑥−𝑎)2 ′′ (𝑥−𝑎)3 ′′′ (𝑥−𝑎)𝑛 (𝑛) 6). (Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused
4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
nihketa hinnangud, kuid nad ei ole parimad, st nad ei ole vähima dispersiooniga b) standardvead ei ole korrektsed ja seega ei ole korrektsed ka parameetrite hinnangute usaldusvahemikud. Fkriteeriumi hinnang ei pruugi olla õige; c) mudel võib viia uurija valedele järeldustele, kui tegemist on statistiliste hüpoteeside kontrollimisega. Kasutatakse graafilist analüüsi. Juhuslik liige ehk jääkliige ui on juhuslik suurus, mille keskväärtus ehk matemaatiline ootus on võrdne nulliga. E (ui) = 0. Kui juhuslike liikmete dispersioon pole konstantne ning tema jaotus oleneb Xst, on tegemist heteroskedestatiivsusega. Parki test kui sõltumatute muutujate ln(Xi) vastava regressioonikordaja hinnang a1 on statistiliselt olulisel määral erinev nullist, siis esialgses mudelis on heteroskedestatiivsus. 11
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x)
Asendades C1,C2,…,Cn valemisse (1) saame otsitava polünoomi: Paneme kirja Taylori valemi Kuna f’(a) =...= f (n)(a) = 0 ja meil eksisteerib (n + 1)-järku tuletis siis x ϵ(a - δ1;a) (xϵ Jääkliige: (a;a + δ 1)) korral leidub c ϵ(x;a) (cϵ(a;x)) Kui n on paaritu, siis (x -a)n+1 on positiivne. Kuna f (n+1)(a) ≠ 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, Rn(x)=f(x)-Pn(x) siis leidub U δ 2(a) kus f (n+1) >0 või f (n+1) <0. Võttes δ= min{ δ 1;δ 2}, saame et ∆y <0
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes:
3n 2 y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 .... y 2 n 2 ) y 2 n 2 . Saadud ligikaudset valemit nimetatakse Simpsoni valemiks. Veahinnang Simpsoni valemi jääkliige: b ba 1 1 Rn f ( x)dx y 0 2( y1 y 3 ... y 2 n 1 ) ( y 2 y 4 ... y 2 n 2 ) y 2 n a 3n 2 2
vektoriga (f/x(a,b), f/y(a,b),-1) Taylori valem: funkts z=f(x,y) nim n korda diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik n-1 järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P Kui funkts f(x,y) on n+1 korda diferentseeruv punktis P(x,y), siis kehtib n-järku Taylori valem n 1 f ( x + x, y + y ) = ( x + y ) k f ( x, y ) + Rn ( x, y ) k = 0 k! x y , kus jääkliige avaldub Lagrang'i 1 Rn ( x, y ) = ( x + y ) n +1 f ( x + x, y + y ), y kujul (n + 1)! x y (0,1) Keskväärtusteoreem: Kui8 funkts f(x1,..,xn) on pidev punkte P(p1;..;pn) ja Q(q1;...;qn) ühendava lõigu igas punktis ning diferentseeruv selle lõigu igas punktis (va otspunktid P ja Q), siis leidub selles lõigus punkt S, S ei kuulu {P,Q}, et f f
LIISI KINK 10 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi)
f (n) (a ) = n( n - 1)( n - 2) ...321C n Asendades C1, C2 ,..., Cn , saame otsitava polünoomi: (x - a) (x - a) 2 (x -a) n Pn ( x ) =f (a) + f ' ' (a) + f ' ' ' (a) + f ( n) ( a) 1 12 12 3 . . .n Jääkliige: nR ( x ) =f ( x ) -P n ( x ) Praktilist laadi ülesanded 5 1. Osata tõestada, et mingi antud funktsioon on pidev etteantud piirkonnas (loengus näide funktsiooni y = sin x kohta). Tõestame, et funktsioon f (x) = sin x on pidev kogu määramispiirkonnas R. Olgu a R. Arvutame funktsiooni muudu: y = f (a+ x) f (a) = sin (a+ x) sin a = = sin a·cos x + cos a ·sin x sin a Arvutame vastava piirväärtuse: lim lim
Matemaatiline analüüs II kontrolltöö Punktid 23-45 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui
Keskväärtusteoreem 16. Taylori valem. Teoreem jääkliikmest (tõestusega). Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a,b], siis leiduv vähemalt Teoreem valemi ühesusest (tõestusega). 30. Teoreem määratud integraali olemasolust üks selline punkt , mille korral kehtib valem 17. Taylori valemi jääkliige Lagrange'i ja Cauchy (tõestusega). kujul. Teoreem 1 Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigul 19 Ekstreemumid. Ekstreemumi tarvilik tingimus [a,b], siis eksisteerib määratud integraal (tõestusega)
Tõestus Kui ja on integreeruvad lõigul , siis on integreeruvad ka ja . Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv Integreerime lõigul 23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n- järku Taylori valemi f(x) = Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul 24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid: Kui f(x) , siis . Kui f(x) , siis .
M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul integreeruvus. 1 (+1) ( )() = ()( - ) Monotoonse funktsiooni integreeruvus. U¨ ks lausetest to~estada. ! 16. N¨aidata, et
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi
M+Mx/x0+Mx/x02+...+Mx/x0n+...
Viimane rida osutub x
Suurust n = n[(xa)] nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks. Erijuhul a = 0, saame Maclaurini valemi: 1 1 1 f ( x) = f (0) + f (0) x + f (0) x 2 + f (0) x 3 + ... + f ( n ) (0) x n + n , 2! 3! n! kus n = n ( x ) on protsessis x 0 kõrgemat järku lõpmata väike kui x n . Kui funktsioon on f on (n+1) korda diferentseeruv punkti a mingis ümbruses, siis jääkliige n esitub nn. Lagrange´i kujul: 1 ( n +1) n = f (c)( x - a ) n +1 , ( n +1)! kus c (a, x) või c (x, a). 4. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmine Funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkondade leidmiseks sõnastame järgnevad teoreemid Teoreem 16. Kui funktsioon f on diferentseeruv vahemikus (a,b) ja f (x) > 0
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o
Y0 - baastase in- indeks minevikku või tulevikku arvestades Pn tõenäosus. Tule arvesse võtta, kui planeerimine v prognoosimine (ainult tuleviku mõttes). Kui tõenäosust arvestatakse, siis läheb üle stohhastilisele analüüsile. x Kui ühist nimetajat pole, siis multiplikatiivne variant o Y1=Y0in*(Pn) Analüüsimisel võib tekkida jääkliige (muud tegurid, mida ei osanud arvesse võtta). Kui selle osakaal 30-40% siis analüüs ei õigustanud end. 2.6. Funktsionaalne kuluanalüüs Staadium Peamised lahendatavad küsimused Infostaadium 1. Missugune toode on ja mis on tema otstarve? 2. Kui kõrge on toote omahind? 3. Mitmest sõlmest (detailist) toode koosneb? 4
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib
Seega n-muutuja funktsiooni osatuletised on n-muutuja funktsioonid millest võime võtta osatuletisi muutuja xk(k1,...,n) järgi: Kui funktsioon f(x,y) on (n+1) korda diferentseeruv punktis P(x,y) siis kehtib n-järku Taylori valem f(x + x,y + y) = (j=0, n) fxj xk (P) 2f(P) / xj xk := ( / xk ) ( f(P) / xj) 1/j!( (/x) x + (/y) y)j f(x,y) + Rn(x,y), mille jääkliige Rn(x,y) avaldub (Lagrange') kujul (0<<1) : Rn(x,y) = (1/(n+1)!) Saadud tulemust nimetame teist järku osatuletiseks. Nii saame defineerida ka kõrgemat järku osatuletised. ( (/x) x + (/y) y)n+1f(x + x,y + y). Erijuhul n=0 saame Lagrange' valemi (0<<1) f(x+ x,y + y) = f(x,y) + fx(x + x,y + y) x + fy(x + x,y + y) y.
lihtsustatud tehnilis- majanduslikud arvutused matemaatilis- statistilised ehk ökonomeetrilised meetodid eksperthinnangute meetodid kompleksmeetod - sobiva meetodi(te) esmane valik 4) Prognoosimiseks vajaliku informatsiooni kogumine, töötlemine ja analüüs - aegridade ettevalmistamine (andmete fikseerimine, inter- ja ekstraplaneerimine) - aegrea komponentide eristamine (trend, tsükliline komponent, sesoonne komponent, jääkliige) 5) Prognoosi(de) arvutamine (väljatöötamine) - aegridade tasandamine (trendi ja teiste komponentide leidmine) - jääkliikmete analüüs 6) Prognoosi(de) verifitseerimine - prognoositulemuste analüüs - verifitseerimismeetodi(te) valik - prognoosi(de) vea, usaldatavuse ja põhjendatuse hindamine 7) Prognoosi (variandi) valik või korrigeerimine. Prognooside süntees - prognoosi(de) täpsustamine ehk korrigeerimine
qli 79,3 0, 540 pli 0,195 psi ui · Kui mudeli hindamisel on mudelisse lülitatud ka konstant, siis on see eeldus automaatselt täidetud. Jääkliige sisaldab ka sealiha · Eelduse kehtivust tuleb kindlasti kontrollida siis, kui konstanti Kui jätame sealiha hinna ps välja hinna mõju mudelisse pole võetud (regressioon läbi nullpunkti). qli 85, 2 0,466 pli u%i u%i ui f ( psi ) Kui siis see eeldus pole täidetud, saame parameetrite hinnangud
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0
f (n ) ( x ) n f (0 ) f (0 ) 2 x = f (0 ) + x+ x + ... , n =0 n! 1! 2! mida nimetatakse Maclaurini reaks. Teoreem. Vahemikus X = (a - R; a + R ) piiramata diferentseeruv funktsioon f on arendatav Taylori reaks (4) selles vahemikus parajasti siis, kui funktsiooni f Taylori valemi jääkliige a n rahuldab vahemikus X tingimust lim a n = 0 . n Kokkuvõttes, kui funktsioon f on arendatav astmereaks (2) (või (1)) vahemikus X , siis see astmerida on funktsiooni f Taylori rida (vastavalt Maclaurini rida). Paljude funktsioonide arendised astmereaks saame tuntud astmeridadest aritmeetiliste tehete, rea liikmeti integreerimise ja liikmeti diferentseerimise teel. 4. Astmeridade rakendusi: ligikaudne arvutamine
(9.13) f ( x) = + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x0 ) n 0! 1! 2! n! ( x 0 ) ( x 0 ) ( x 0 ) ( n) ( x 0 ) ( x) = + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x0 ) n + Rn 0! 1! 2! n! Jääkliige ehk viga Rn näitab (x)-Pn erinevust ehk Rn on lähendamisel tehtud viga,kui fni (x) lähendada polünoomiga Pn Rn= Maclaurini ritta arendamisel arendame antud fni f(x) punkti x=0(ümbruses),st kõige pealt teisendatakse antud fn polünoomi kujule ,kus kordajateks on antud fni tuletised kohal X=0,st tuletiste väärtused punktis 0:f´(o),f´´(0)...kaudu. Avaldame polünoomide kordajad tuletiste väärtuste kaudu kohal x = 0 :
kasutamine. Võime kasutada: *kasumianalüüsi, *tulu- ja kuluanalüüsi, fikseerimine, inter- ja ekstrapoleerimine), *aegrea komponentide eristamine(trend, Hoidmiskulud aastas Q/2*H, H-ühe ühiku hoidmiskulu aastas. Kogukulud on minimaalsed, *matemaatilist programmeerimist Riskiolukord on olemas teatud tõenäosus tsükliline komponent, sesoonne komponent, jääkliige) 5)prognoosi(de) arvutamine kui tellimiskulud võrduvad varude hoidmiskuludega.Q= 2DS/H 2)Tellimus protsesside ja tegurite kohta. Võib kasutada: *stohhastilist analüüsi, (väljatöötamine):*aegridade tasandamine(trendi ja teiste komponentide leidmine), täidetakse kokkulepitud aja jooksul Partii optimaalne suurus Q= 2DS/H(1-d/p), d-
G ( x +h )−G ( x )= ∫ f ( t ) dt−∫ f (t ) dt = ∫ f ( t ) dt . Kui M = , siis|G ( x +h ) −G(x)|≤ ∫ f ( t ) dt ≤ M |h| | | Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul ( ) x
Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame:
Kui f-ni f(x) ja g(x) on poollõigul ]a;b,] määratud ja 1) rahuldavad piirväärtusi: lim f(x)=0; lim g(x)=0; (lim f(x)= ; lim g(x)= ). 2) poollõigul ]a;b] on olemas tuletised g'(x); f'(x); g'0 on olemas piirv 3) lim f'(x)/g'(x)=limf'(x)/g'(x). Tõestus: lim(xa) f(x) = f(a)=0; lim(xa) g(x) = g(a)=0. 30. Taylori valem: On antud f-ni f(x) ning punt ,,a" selle ümbruses ning selles punktis on tuletised pidevad f astm n (a).f(x)=Pn(x)+Rn(x); Pn(a)=f astm k (a); k=0,1,2,...n; Rn(x)=f(x)-Pn(x) (jääkliige); f(x)Pn(x): Kehtib valem: f(x)=f(a) + f'(a)/1! *(x-a) + f''(a)/2! *(x-a) ruudus + .... + f astm n (a)/n! *(x-a) astm n + f astm (n+1) ()/(n+1)! *(x-a) astm (n+1); f(t)=f(x) f(t) - f'(t)/1! *(x- t) - ... (x-t) astm n /n! *f astm n (t) Q*(x-t) astm (n+1) / (n+1)! ; F(t) F(a)=0; F(x)=0 ] a;x[ ; ; F'(t) = (x-t) astm n / n! *f astm (n+1) (t) + (x-t) astm n /n!*Q ; F'()=0 (x- ) astm n /n! *f astm (n+1) () + (x- )/n! *Q=0 Q= f astm (n+1) (). MOT!
mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23. Funktsiooni peaosa ja jääkliige Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel:
(tõestusega). Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena. f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n (16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h) 1! 2! n! h n +1 R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M (n + 1)! Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0 df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M=
(tõestusega). Definitsioon 1 Taylori valemiks nimetatakse valemit, mis avaldab funktsiooni väärtuse argumendi muudu astmetena. f ' (a) f ' ' (a) 2 f ( n ) (a) n (16.1) f (a + h) = f (a ) + h+ h + ... + h + R n ( h) 1! 2! n! h n +1 R n (h) on valemi jääkliige R n ( h) = M (n + 1)! Valem (23.1) on kirjutatud nii, et f (a + h) ja selle n esimest tuletist on võrdsed f (a ), f ' (a ),..., f ( n ) (a ) , kui võtta h = 0 df (a + h) f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a ) n -1 (n + 1)h n f ' ( a + h) = = f (a) + h+ 2h + ... + nh + M=
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et ...
astmereaks. Sel juhul astmerea kordajad an avalduvad valemitega 1 ( n) an = f (c ), n = 0,1,2,... (7) n! kusjuures 0! = 1 ja f ( 0 ) (c) = f (c ). Rida (6), mille kordajad an on antud valemitega (7), nimetatakse funktsiooni f Taylori reaks (erijuhul c=0 Maclaurini reaks). Olgu n Taylori valemi jääkliige Lagrange´i kujul (vt § 4, p.3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. 26. Algfunktsioon ja määramata integraal. Tehetega seotud integreerimisvõtted.
o meetodite ja nende modifikatsioonide uuring y lihtsustatud tehnilis-majanduslikud arvutused y matemaatilis-statistilised ehk ökonomeetrilised meetodid y eksperthinnangute meetodid y kompleksmeetodid o sobiva meetodi esmane valik 4. Prognoosimiseks vajaliku informatsiooni kogumine, töötlemine ja analüüs o aegridade ettevalmistamine o aegrea komponentide eristamine (trend, tsükliline komponent, sessoonne komponent, jääkliige) 5. Prognoosi arvutamine o aegridade tasandamine (trendi ja teiste komponentide leidmine o jääkliikmete analüüs 6. Prognoosi verifitseerimine o prognoositulemuste analüüs o verifitseerimismeetodite valik o prognooside vea, usaldatavuse ja põhjendatuse hindamine 7. Prognoosi valik või korrigeerimine. Prognooside süntees o prognoosi täpsustamine ehk korrigeerimine o sobivaima prognoosi väljavalimine o prognooside ühendamine.
● Algul hinnatakse mudelit väikese alamvalimi põhjal. ○ Alustatakse valimist mahuga r +1, kus r on parameetrite arv mudelis. ● Hinnatud mudeli põhjal leitakse järgmise vaatluse silutud väärtus. ● Kuna järgmise vaatluse tegelik väärtus on teada, leitakse jääk. ● Nüüd võetakse valimisse ka järgmine vaatlus ning leitakse parameetrite hinnangud 1 võrra suurema valimi põhjal. ● Leitakse järgmise vaatluse jääkliige. ● Niimoodi jätkatakse, kuni kõik vaatlused on kaasa haaratud. ● Saab kasutada aegridade korral ja mingi tunnuse abil järjestatud ristandmete korral. ● Tulemusi saab uurida visuaalselt. ● Testimiseks on olemas sobivad statistikud CUSUM test Gretlis mudeli aknas Tests>CUSUM test Rekursiivse hindamise alusel on välja töötatud CUSUM test. Test põhineb rekursiivse hindamise jääkliikmete ut normaliseeritud kumulatiivsel summal.
Eeldame, et funktsioonil on piisav arv osatuletisi selle punkti ümbruses. Tuletame meelde ühe muutuja funktsiooni y = f ( x ) Taylori valemi f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( n) ( x 0 ) f ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) + ( x - x 0 ) 2 + ... + ( x - x 0 ) n + Rn ( x ) (13.1) 1! 2! n! jääkliige Lagrange'i kujul Rn ( x ) = ( x - x0 ) n +1 f ( n +1) ( x ) , x ( x0 , x ) (13.2) ( n + 1)! Tähistame punkti Q( x, y ) ja vaatleme lõigu PQ parameetrilist esitust x = x 0 + ( x - x0 ) t (13.3) y = y0 + ( y - y0 )t 0 t 1 Kui t = 0 , siis saame punkti P( x 0 , y 0 ) ja kui t = 1 , siis punkti Q( x, y ) . Kahe muutuja funktsioon f ( x, y ) määrab lõigul PQ ühe muutuja liitfunktsiooni
o meetodite ja nende modifikatsioonide uuring y lihtsustatud tehnilis-majanduslikud arvutused y matemaatilis-statistilised ehk ökonomeetrilised meetodid y eksperthinnangute meetodid y kompleksmeetodid o sobiva meetodi esmane valik 4. Prognoosimiseks vajaliku informatsiooni kogumine, töötlemine ja analüüs o aegridade ettevalmistamine o aegrea komponentide eristamine (trend, tsükliline komponent, sessoonne komponent, jääkliige) 5. Prognoosi arvutamine o aegridade tasandamine (trendi ja teiste komponentide leidmine o jääkliikmete analüüs 6. Prognoosi verifitseerimine o prognoositulemuste analüüs o verifitseerimismeetodite valik o prognooside vea, usaldatavuse ja põhjendatuse hindamine 7. Prognoosi valik või korrigeerimine. Prognooside süntees o prognoosi täpsustamine ehk korrigeerimine o sobivaima prognoosi väljavalimine o prognooside ühendamine. Prognoosimise meetodid:
3 2 1C n (n) 41 Asendades C1, C2 ,..., Cn , saame otsitava polünoomi: ( x - a) ( x - a) 2 ( x - a) n 42 Pn ( x ) = f (a ) + f ' ' (a) + f ' ' ' (a) + f ( n) (a) 1 1 2 1 2 3 ... n 43 Jääkliige: Rn ( x) = f ( x) - Pn ( x) 44 Taylori valem: 20 45 ( x - a) ( x - a) 2 ( x - a ) 3 ''' ( x - a) n n ( x - a ) n +1 Pn ( x ) = f (a ) + f ' ' (a ) + f ' ' ' (a ) + f (a) + f (a) + f ( n +1) ( )
Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2 . 23. Funktsiooni muudu() esitus diferentsiaali ja jaakliikme summana. Kuidas kaituvad diferentsiaal ja jaakliige argumendi muudu x suhtes, kui x laheneb nullile? (toestada!). Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a) = 0. Kasutame §3.1(Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted.) sissetoodud mõisteid x = x - a - argumendi muut() kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . §3.1 me näitasime, et f(a) = lim y/ x x0 Seega, kui me tähistame (y/ x) ja f(a) vahe() järgmiselt r(x) =(y/x) - f(a) (3.14)
, 𝑎𝑘 ∶= ∆𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦), mille jääkliige 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦) avaldub (Lagrange’) kujul (0 < 𝜃 < 1) 𝑅𝑛 (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑦 ∑∞
Olgu Rn (a, x) := f (x) − Tn (x) , siis saame valemi 1 ′ 1 f (x) = f (a) + f (a) (x − a) + . . . + f (n) (a) (x − a)n + Rn (a, x) , (4.21) 1! n! mida nimetatakse funktsiooni f Taylori valemiks punktis a. Avaldist Rn (a, x) nimetatakse Taylori valemi jääkliikmeks. Järgnevalt näitame, et protsessis x → a läheneb jääkliige Rn (a, x) kiiremini nullile kui (x − a)n (vrd. (4.22)) (jääkliikme Peano kuju) ning esitame ta Lagrange’i kujul (4.23). Teoreem 4.18 Olgu D ⊆ R mingi intervall ja a ∈ D, olgu n ∈ N. (a) Kui funktsioon f : D → R on n korda diferentseeruv, siis Rn (a, x) ∈ o ((x − a)n ) protsessis x → a. (4.22) (b) Kui funktsioon f : D → R on n + 1 korda diferentseeruv, siis iga x ∈ D {a} korral
annaabi.ee 
