Matemaatilise
analüüsi teine teooria KT
18.
Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana.
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x
suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja.
19.
Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid . Sõnastada Fermat ’ lemma (tõestust ei küsi).
Funktsioon peab olema määratud punkti ümbruses. Absoluutseid
ekstreemume ei tohi segi ajada lokaalsete ekstreemumitega (aboluutse
ekstreemumi puhul ei pea olema funktsioon punkti ümbruses määratud).
Funktsiooni
graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega (ehk tuletis on null).
20.
Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid.
21.
Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal
nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
22.
Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga
(sõnastada vastav teoreem , tõestust ei küsi).
50 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
~ 14 lehte
Lehekülgede arv dokumendis
2014-01-15
Kuupäev, millal dokument üles laeti
36 laadimist
Kokku alla laetud
0 arvamust
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
PilleRiinL
Õppematerjali autor
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funkt
Kui iga korral, siis f on kahanev vahemikus (a,b) Tõestus Olgu iga korral. Valime kaks suvalist punkti ja vahemikust (a, b) nii, et kui õnnestub näidata, et siis on f kasvav vahemikus (a, b) Larange teoreemi põhjal leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral Selle võrduse paremal poolel olev tuletis kuna eeldasime positiivsust vahemikus (a,b). On ka vahe järelikult on ka millest järeldub soovitud võrratus . Teine väide tõestatakse analoogiliselt. 7. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarvilik tingimus kui funktsioon f omab punktis x1 lokaalset ekstreemumit siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. Funktsiooni kriitiline punkt Funktsiooni argumendi väärtused, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus (I). Olgu funktsiooni f kriitiline punkt.
Teooria töö 2 18) Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta
Funktsioon koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust, siis saaksime joone kõveruse teatud mõttes säilitada. Kahjuks lineaarne lähend selleks ei sobi, sest lineaarse funktsiooni teine tuletis on alati null. Seega peame kasutusele võtma vähemalt teise astme ehk ruutpolünoomid. Funktsiooni f(x) ruutlähend punkti x=a ümbruses ruutfunktsioon , mis rahuldab järgmisi tingimusi: Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: kus on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt tuletised kuni järguni n: Pannes neis avalidstes ja valemis muutuja x võrduma a-ga saame
a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b
P1 ( x )=f ( a ) + f ' (a)( x-a) Funktsioon P1 ( x ) koos oma tuletisega langeb punktis x=a kokku funktsiooniga f(x), st P1 ( x )=f ( a ) , P 1 ' ( x )=f ' ( a ) Joone kumerust iseloomustab teist järku tuletis. Seega, kui õnnestuks konstrueerivasse lähendisse üle kanda esialgse funktsiooni teise tuletise väärtust, siis saaksime joone kõveruse teatud mõttes säilitada. Kahjuks lineaarne lähend selleks ei sobi, sest lineaarse funktsiooni teine tuletis on alati null. Seega peame kasutusele võtma vähemalt teise astme ehk ruutpolünoomid. Funktsiooni f(x) ruutlähend punkti x=a ümbruses ruutfunktsioon P2 (x) , mis rahuldab järgmisi tingimusi: ' ' ( a) ' (a ) (n ) (n) P2 ( a )=f ( a ) , P2 ( a )=f ' ' (a)Pn ( a )=f ( a ) , Pn =f , Pn ( a )=f ( a ) Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
Kõik kommentaarid