mille seas domineerisid siksakilised jooned ja kolmnurgad. 8. sajandil eKr ilmusid varasemate puht-geomeetriliste kujundite hulka ka esimesed kujutised loomadest ja inimestest, mis olid alguses väga visandlikud kuid aja jooksul täienesid. Sellele perioodile oli iseloomulikuks väga suurte vaaside loomine. Keraamikakeskuseks oli Ateena. Geomeetrilist perioodi jagatakse vahel veel omakorda mitmeks väiksemaks osaks. Näiteks varaseks geomeetriliseks stiiliks (u. 900850 eKr), kui leidus ainult geomeetrilisi kujundeid, keskmiseks geomeetriliseks perioodiks (u. 850770 eKr), kui ilmusid esimesed figuurid loomade näol ja hiliseks geomeetriliseks perioodiks (770700 eKr), kui esines juba inimeste kujutisi. Orientaalne stiil: Ajavahemikus 7.6. sajand eKr sai vanakreeka keraamika hulgaliselt mõjutusi Väike-Aasiast ja Egiptusest. Need mõjutused kajastusid keraamiliste esemete dekooris, kuhu ilmus palju idamaiseid kujunduselemente
Geomeetriline jada Geomeetriliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga järgnev ja temale eelneva liikme jagatis on jääv, alates 2. liikmest. Jäävat jagatist nimetatakse jadateguriks ja tähistatakse q-ga |q|<1 Hääbuv jada Geomeetrilise jada üldliikme tuletamine a2=a1q a3=a2q a4=a3q a2*a3*a4*...*an=a1q*a2q*a3q*...*an-1q an=a1*qn-1 Geomeetrilise jada n esimese liikme summa valem Sn=a1+a2+a3+...+an q*Sn=a1q+a1q2+a1q3+...+a1qn - Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1 qSn-Sn=a1qn-a1 (q-1)Sn=a1(qn-1) Hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tuletamine Pedak
Ande Andekas Matemaatika Geomeetriline jada Jada, milles iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis on konstantne nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Kui leiduvad arvud a ja b nii, et jada liikmed an asuvad iga n korral lõigus [a;b] siis nimetatakse jada (a n) tõkestatud jadaks. Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadast järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad nullist kuitahes vähe. Selliselt juhul on |q| < 1 või |q| > -1. an = aa * qn-1 Sn = a1 (qn 1)/q 1 S = a1/1 q a jada liige n liime arv q jada tegur Sn jada esimese n liikme summa
z= nr (cos (+2k)/n+ i sin (+2k)/n) Komplesarvude liitmine: 1 Z2 x1 iy1 x2 iy2 Euleri valem: = r(cos + isin) = rei Kompleksarvude lahutamine: 1 2 x1 iy1) x2 iy2 ) Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Kompleksarvude kordamine: Liitmine: 1 * 2=( x1 iy2)( x2 iy2) Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC
Kuna valgus on elektromagnekiirgus, siis ilmnevad analoogilised nähtused ka röntgenikiirguse, mikrolainete, raadiolainete ning teiste elektromagnetkiirguse liikide korral. Seega võib optikat vaadelda elektromagnetismi allvaldkonnana. Osa optilisi nähtusi tuleneb ka valguse kvantiseloomust ja seetõttu on teatud optika valdkonnad seotud kvantmehhaanikaga. Optika valdkonda, milles valguse laine iseloomu ei arvestata ning valgust vaadeldakse kiiri moodustavate osakeste voona, nimetatakse geomeetriliseks optikaks. Valguse laineiseloomust tulenevate nähtustega tegeleb laineoptika, mida mõnikord nimetatakse ka füüsikaliseks optikaks. Valgusefekte, mille mõistmiseks on tarvis kvantmehhaanikat, käsitleb kvantoptika, milles valgust käsitatakse üheaegselt nii osakestena kui ka lainetusena. Optikaga tegelevad füüsikud moodustavad ülejäänud füüsikakogukonnast suuresti eraldunud osa, millel on oma identiteet, ühendused ja konverentsid.
PABLO PICASSO -elas 91-aastaseks KUBISM on 20. Sajandi kunstivool, mis hakkas kujunema Pariisis, 1907. Aastal Picasso ja Braque töödes. Kubism vihjab kuubist lähtuvale kujutamisele. Kubism jaguneb · Analüütiline motiivide lahutamine geomeetriliseks kujunditeks ja nende uue pildi üles ehitamine · Sünteetiline kunstnik paneb kõige pealt paika värvid ja siis mõtleb motiivi. Kubismi värvid on tagasihoidlikud ja tuhmid. Picasso isa oli kunstiteadlane, kes töötas kohalikus muuseumis kuraatorina ja paljudes koolides kunstiõpetajana. Sealt sai Picasso on kunstialased teadmised ning õlimaalide tegemise oskuse. Kuigi tal oli tugevad teadmised ei lõpetanud ta ikkagi Madridi kunstikooli.
intensiivsetele värvidele, olid lemmikuteks masina- ja auto kujutised, roolid, rattad, jne. kujutised, mis olid tehnoloogia, kiiruse ja kaubandusliku külluse tähised. See aeg oli lärmakas, täis jazzi ja masinate müra. Moetrende määrasid Coco Chanel ja Elsa Schiaparelli. Filmitähed - Greta Garbo, Marlene Dietrich, Ginger Rogers, Fred Astaire. Moodsad tantsud olid charleston ja tango. Stiili tunnused Geomeetrilised ja nurgelised mustrid. Üheks geomeetriliseks lemmikmotiiviks oli sik-sak. Materjalidest kroom, klaas, peeglid, läikmaterjalid, nahk, lakitud pinnad. Furnituuri juures väärispuidud -palisander, mahagon, eboniit, sükamor Loodusmotiivid - teokarbid, eksootilised taimed, eksootilised figuurid. Värvid elutoas ja magamistoas kreemjad, rohekad, beezid, austritoonid, summutatud valgustus. Suurt tähelepanu pöörati kokteilitubade ja suitsetamisruumide kujundamisele, kus domineerisid teatraalsed kontrastid, must jt.
kiraalseid tsentreid, tänu millele võib stereoisomeeride arv suureneda oluliselt. Näiteks kolesterooli võimalike stereoisomeeride arv on 256, sest selle molekulis on 8 kitaalset tsentrit. Nendest isomeeridest looduses asub vaid kõigest üks. Stereoisomeerial on mitu alaliiki nöiteks cis-isomeeria, see on siis, kui aatomirühmad asuvad ühelpool kaksiksidet. Trans-isomeeria on aga siis, kui aatomirühmad asuvad mõlemal pool kaksiksidet. Koos nimetatakse cis-trans isomeeriat geomeetriliseks isomeeriaks. Samuti on üks liikidest optiline isomeeria, millest allpool on samuti räägitud. Optilised isomeerid on teineteise peegelpildid. Optilist isomeeriat nimetatakse ka peegelisomeeriaks. Optiline isomeeria on üks stereoisomeeria alaliike. Kasutatud kirjandus Vikipedia. Isomeerid. http://et.wikipedia.org/wiki/Isomeerid Zone. KeemiaRE_Orgaanikaisomeeriafyysikalised. http://web.zone.ee/gagriigieksam/KeemiaRE_Orgaanikaisomeeriafyysikalised.doc Vil. Isomeerid. www.crjg.vil
saavutada pelki värve, jooni, pindu ja mahte ühendades. Abstraktsionism on välja arenenud mitmest 20. sajandi alguse kunstivoolust. Sellele pani aluse vene maalikunstnik Vassili Kandinsky oma 1910 aastal Münchenis maalitud akvarelliga. Üldse veetis see kunstnik suure osa oma elust saksamaal. Abstraktsionism jaguneb laias laastus kaheks: geomeetriliseks- ja ekspressiivseks abstraktsionismiks. Esimese puhul moodustub pilt lihtsatest geomeetrilistest kujunditest, nagu nt. ruut ja joon. Teise puhul kasutab kunstnik oma tunnete
kõige sellega kaasneva (meeleolu, suhtumine, tunded) kujutamine. b) abstraktsionism, kuna puuduvad äratuntavad detailid ning ei lähtuta reaalsetest objektidest. (meenutab veidi VASSILI KANDINSKY. Kompositsioon VIII ning see on abstraktsionism, järelikult on siin olev pilt ka ehk abstraktsionism) c)supermatism- geomeetrilised kujundid, muutus ajapikku minimalistlikuks 2. Abstraktsionism, Vassili Kandinsky, Jaguneb ekspressiivseks ja konstruktiivseks e geomeetriliseks eristamise alused: ekspressiivne- eesmärgiks on tunnete ja meeleolude väljendamine värvide, rütmide ja erinevate pindade abil. Geomeetriline- väljendusvahendiks on teatud kindlad geomeetrilised vormid, värvid ja rütm. 3. Oletagem, et järgmisel aastal soovivad christo ja jeanne calude korralda oma suurejoonelise kuntsiaktsiooni Eestis. Nad paluvad Teilt abi sobiliku objekti leidmiseks Eestis. Soovitage neile kolme objekti, mis võiksid nende valikukriteeriumitele vastata!
ümaraid pindu ja geomeetrilist mustrit, sümboliseerimaks masina-ajastu kiirust. Rõhudes abstraktsioonile, moonutustele, geomeetriliste kujundite lihtsustamisele ja intensiivsetele värvidele, olid lemmikuteks masina- ja auto kujutised, ajami, rooli, ratta, jne. kujutised, mis olid tehnoloogia, kiiruse ja kaubandusliku külluse tähised. Stiili tunnused · Geomeetrilised ja nurgelised mustrid. Üheks geomeetriliseks lemmikmotiiviks oli sik- sak · Materjalidest kroom, klaas, peeglid, läikmaterjalid, nahk, lakitud pinnad. · Furnituuri juures väärispuidud -palisander, mahagon, eboniit, sükamor. · Loodusmotiivid - teokarbid, eksootilised taimed, eksootilised figuurid. · Värvid , elutoas ja magamistoas kreemjad, rohekad, beezid, austritoonid, summutatud valgustus. · Suurt tähelepanu pöörati kokteilitubade ja suitsetamisruumide kujundamisele, kus
· Joon kõikidele objektidele on tehtud ümber tumedad kontuurid. Need jooned on katkendlikud ja tundlikud, erineva paksusega. · Vormid naine maalil on kujutatud ruumilisena. See mõningane ruumilisus on saavutatud varjutamisega. Tema näos ei ole kõik anatoomiliselt korrektne, kuid kohutavalt suuri vigasid seal ei ole. Teosel ei ole püütud objekte lihtsamaks muuta neid geomeetriliseks tehes, kuid kõik objektid on siiski mingil määral lihtsustatud.. · Tekstuur kuna ma seda maali ei ole kunagi reaalselt näinud, siis ma ei saa seda täpselt öelda, kuid ma arvan, et kuna see on õlimaal, siis on see katsudes natuke kare ja see läigib natuke. · Kompositsiooni ülesehitus teosel on 5 erinevat osa ja need osad on liigendatud värvi järgi: must osa, sinine osa,valkjas osa, kollane osa ja pilt seinal. Kõik osad on
korral. Seega võib optikat vaadelda elektromagnetismi allvaldkonnana. Osa optilisi 2 nähtusi tuleneb ka valguse kvantiseloomust ja seetõttu on teatud optika valdkonnad seotud kvantmehaanikaga. Optika valdkonda, milles valguse laineiseloomu ei arvestata ning valgust vaadeldakse kiiri moodustavate osakeste voona, nimetatakse geomeetriliseks optikaks. Valguse laineiseloomust tulenevate nähtustega tegeleb laineoptika, mida mõnikord nimetatakse ka füüsikaliseks optikaks. Valgusefekte, mille mõistmiseks on tarvis kvantmehhaanikat, käsitleb kvantoptika, milles valgust käsitatakse üheaegselt nii osakestena kui ka Optikaga tegelevad füüsikud moodustavad ülejäänud füüsikakogukonnast suuresti eraldunud osa, millel on oma identiteet, ühendused ja konverentsid.
Lihtsus,rangus,reeglipärasus ja suurejoonelisus on klassitsistlikule arhitektuurile omased jooned.Rooma arhitekt kes on eeskujuks:Palladio. Inglise pargistiili iseloomustab looduslikkus (puud ja põõsad on saanud vabalt kasvada)vaba loodust jäljendav, looklevate teede ning juhuslikult paigutatud puuderühmadega. Prantsuse park:Loomulikku loodust tuleb parandada ja ilustada.Korrapärane teedevõrk,tiigid purskkaevudega,terrassid ja trepid,mustrina kujundatud lillepeenrad ja madalad hekid,geomeetriliseks pügatud puud ja põõsad.Kreeka templi näide klassitsismist Pariisis:Madeleine'I kirik Pariisis.Klassikalise kuppelehitise näide Pariisis:Pariisi Pantheon.Triumfikaar:eeskuju saadi antiigist(nt Tituse kaar Roomas),oli Napoeloni tellimustöö.Rokokoo valitseja:Louis XV.* Rokokoo nimetus tuleneb prantsuse keelsest sõnast rocaille- merekarbi poolmikku meenutav motiiv, nn orvand, mida kasutati arhitektuuris.*Maalikunst: Pidi alla kriipsutama elu mõnusid, olema
- Maalis inglise õukonnas. - Kusti ja situti sinna kuhu taheti - ,,Henry VIII" , ,,Kristus hauas" - Sünnimärgid karpides. - Versailles'i ümber prantsuse stiilis park geomeetriliseks pügatud. - Peeglisaal (kõige kaunim ruum) - Venemaa: - Talvepalee (trepikoda väga uhke) - Peetri õu (Peterhof) väga uhke ja ilus - Katariina loss (asub tsarskoje selos) merevaigutuba(kadunud restaureeritud) - Peeter I skulptuur on ka barokne - Saksamaa - Dresden (sulanud linn): Maria kirik (uuesti üles ehitatud, muutub mustaks),
reaktsioonidega, mille esitamiseks on vaja kaht suurust: näiteks moodulit ja kaldenurka või siis kaht projektsiooni.. 7. Seostest vabastatavuse printsiip Sidemete aksioom ehk sidemetest vabastatavuse printsiip: iga seotud keha võib vaadelda vaba kehana, kui asendada sidemed sidemereaktsioonidega. 8. Jõudude liitmine Kuna jõud on vektor, siis toimub jõudude liitmine täpselt samuti kui vektorite liitmine: R =En,i=1,=Fi. Geomeetriline liitmine. Jõudude geomeetriliseks liitmiseks tuleb konstrueerida jõurööpkülik või jõuhulknurk. Analüütiline liitmine. Jõudude analüütiliseks liitmiseks tuleb kõik liidetavad jõud projekteerida koordinaattelgedele, liita saadud projektsioonid ning seejärel arvutada resultandi moodul ja suunakoosinused. 9. Jõu projektsioon teljel ja tasapinnal. Jõu projektsioon teljel on skalaar. Vastavalt definitsioonile on vektori projektsioon
Kosmosekeemia on keemia haru, mis uurib keemiliste elementide ja keemiliste ühendite jaotust universumis ja keemilist evolutsiooni. Eksobioloogia uurib maavälise elu tekke ja olemasolu asjaolusid. 2 Astronoomia ajalugu Astronoomia ajalugu hõlmab ajaliselt inimkonna kogu kultuuriloo. Astronoomia on algselt kujutanud endast teadmisi tähistaevast ja selle tsüklitest, arenenud klassikaliseks geomeetriliseks astronoomiaks, mille vanimad valdkonnad on positsiooniastronoomia ja efemeriidide arvutamine, ning lõpuks astrofüüsikaks, mis püüab taevakehi endid füüsikaliselt tundma õppida. Varajases astronoomias vaadeldi ja ennustati nähtavate taevakehade, eriti tähtede ja planeetide liikumist. Hakati koostama horoskoope. Vanaaja astronoomid eristasid tähti ja planeete, sest tähtede suhteline asend püsis sajandeid
allegoorilisi pilte esemetele, seintele või ruumi. Nendega väljendati hoone ja asja funktsiooni ja eesmärke. Manerism ruumikujunduses väljendus ruumi ekspressiivsuse tõstmises, mis saavutati arhitektuurse plastika kui ka maalikunsti vahenditega: sammaste, nikerportaalide, ja kaminatega toodi välisarhitektuur ka siseruumi. Ruume asuti illusoorselt muutma: maalitud Traperiide- riputatud tekstiili imiteerivad maalingud, mida kasutati kas seinapaneelidel või laes. Lagi jagati geomeetriliseks erinevate nurkade arvuga kujunditeks, mille põhja võis katta embleem-maaling ning mida teineteisest eraldasid jõuliselt profileeritud raamistused. 17.saj .maneristlikuks interjööriks võib pidada Peter Paul Rubensi Antwerpeni maja . Maneristlikku ornamenti iseloomustab konstrueeritus ja fantaasiarikkus- lemmikteemadeks olid grotesksed-fantastilised ,normaalsetest erinevad olevused, reaalsest erinev kujutluslik, müstiline maailm
suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1. fikseerida argumendi mingi väärtus x 2. ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus 3. anda argumendile muut x ja arvutada uuele 4. argumendi väärtusele x + x vastav 5. funktsiooni väärtus 6
D A A C D B D C D C B BDC BCA (NN tunnus) CDA BCA (NN tunnus) BDC CDA (NN tunnus) m.o.t.t. Geomeetriline keskmine Kui a, b ja x on mittenegatiivsed arvud, siis nimetatakse arvu x arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks, kui ta on ruutjuur nende arvude korrutisest x a b Kaatetite projektsioonid Hüpotenuusile joonestatud kõrgus jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida nimetatakse kaatetite projektsioonideks hüpotenuusil C f kaateti a projektsioon g kaateti b projektsioon a h b f g
Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0. see avaldis on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, st. et jõuhulknurk oleks kinnine (joon1) Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x=0, Fres y=0, Fres z=0. Nende projektsioonide väärtust arvestades saame analüütilised tasakaalutingimused kujul Fx=0 (y,z) Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Jõu rööplüke
1. Mida nim optikaks? Optikaks nim füüsika osa, mis tegeleb valgusega seotud nähtuste uurimisega. 2. Milles seisneb valguse dualistlik iseloom? Valgusel avalduvad nii lainelised kui korpuskulaarsed omadused. Need lähenemised ei ole vastandlikud, vaid täiendavad teineteist. On olemas nähtusi, mida saab selgitada nii ühest kui teisest käsitlusest lähtuvalt. 3. Mida nim geomeetriliseks optikaks? Geomeetriline optika ehk kiirteoptika on optika osa, kus valguse levimist kirjeldatakse valguskiirte abil, milleks on ristsirged valguse lainepinnale. 4. Mida nim punktvalgusallikaks? Punktvalgusallikaks nim valgusallikat, mille mõõtmed on võrreldes valgusallika ja eseme kaugusega nii väikesed, et need võib antud tingimustes arvestamata jätta. 5. Sõnastada valguse sirgejoonelise levimise seadus. Ühtlases keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt. 6
siis a5= 8)Järgnevatest jadadest 1) ainult teine ja kolmas; 2) ainult teine ja neljas; 2; -4; 6, -8; 10; ... 3) ainult esimene, teine ja 2; 4; 6; 8; ... kolmas; 1; 3; 9; 27;... 4) kõik neli jada. 4; 2; 0; -2; ... on aritmeetilised jadad Geomeetriline jada test Küsimused Valikvastused 1) Geomeetriliseks 1) eelneva liikme ja jääva teguri korrutisega; jadaks nimetatakse 2) eelneva liikme ja jääva arvujada, milles iga liige arvu summaga; alates teisest võrdub 3) kahe järgneva liikme jagatisega Geomeetriline jada test 2) Geomeetrilise jada n 1) Sn=a1(1-qn): (q -1) esimese liikme 2) Sn=a1(qn-1): (q -1) summa arvutamise valem on 3) Sn=a1qn-1: (q -1)
Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor
keskmiseks nimetatakse arvu a1 + a2 + + an a= . n Näide Võistleja saavutas kaugushüppes tulemused 7,49m, 7,71m ja 7,54m. Tulemuste aritmeetiline keskmine on: 7,49 + 7,71 + 7,54 a= = 7,58 m. 3 Geomeetriline keskmine Positiivsete arvude a1 , a2 , , an geomeetriliseks n a a arvu keskmiseks nimetatakse1 2 an . Näide Risttahuka servade pikkused sentimeetrites on 1, 2 ja 4. Servade pikkuste geomeetriline keskmine on r = 3 1 2 4 = 3 8 = 2 cm. Toodud näites võib geomeetrilise keskmise leidmist tõlgendada antud risttahukaga võrdse ruumalaga kuubi serva pikkuse leidmisena.
Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. 12.Geomeetriline vektor. Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. pikkus on vektori arvväärtus vektorid võrdsed siis, kui nende pikkus on sama, nad paralleelsed ehk seisavad ühel sirgetel ja suunatud ühel suunal 13.Aritmeetiline vektor. Vektori koordinaatid. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 14.Vektori definitsioon. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. 15.Vektori koordinaadid
mitmetähenduslikke sümboleid. Maalimislaad ei olnud stiililiselt ühtne: kasutati postimpressionismi, juugendi ja akadeemilise kunsti vormikeelt. Abstraktsionism Sünnib 1910-20 üheaegselt Saksamaal (Münchenis) ja Venemaal. Nonfiguratiivne ehk esemetu kunst. Maalikunsti subjektiivne väljendus, mis pääseb maksvusele läbi värvi, pindade, joonte. Motiiv kui selline ei mängi üldse mingit rolli.Olenevalt kujutatavast jagatakse: ekspressiivseksja konstruktiivseks (geomeetriliseks) abstraktsionismiks. Abstraktsionism esineb ajaloos lainetena, tekib mitmel korral uuesti. Dadaism Dada kujuneb välja I MS käigus paralleelselt kahes linnas: Zürichis (Sveits) ja New Yorgis. Levib 1916-1924.Absoluutset vabadust taotlev vool, igaüksteeb mida tahab.Dada manifestis kirjas: Kõik on absurd. Elu ja kunst on mõttetud. Elu tuleb muuta absurdiks. Sürrealism (ülirealism). 1924.a. ilmub sürrealistide manifest A. Bretonilt:Sürrealism on puhas psüühiline
domineerisid siksakilised jooned ja kolmnurgad. 8. sajandil eKr ilmusid varasemate puht- geomeetriliste kujundite hulka ka esimesed kujutised loomadest ja inimestest, mis olid alguses väga visandlikud kuid aja jooksul täienesid. Sellele perioodile oli iseloomulikuks väga suurte vaaside loomine. Keraamikakeskuseks oli Ateena. Geomeetrilist perioodi jagatakse vahel veel omakorda mitmeks väiksemaks osaks. Näiteks varaseks geomeetriliseks stiiliks (u. 900850 eKr), kui leidus ainult geomeetrilisi kujundeid, keskmiseks geomeetriliseks perioodiks (u. 850770 eKr), kui ilmusid esimesed figuurid loomade näol ja hiliseks geomeetriliseks perioodiks (770700 eKr), kui esines juba inimeste kujutisi. Orientaalne stiil Ajavahemikus 7.6. sajand eKr sai vanakreeka keraamika hulgaliselt mõjutusi Väike-Aasiast ja Egiptusest. Need mõjutused kajastusid keraamiliste esemete dekooris, kuhu ilmus palju idamaiseid kujunduselemente
korral rangelt kahanev. 15. Aritmeetiline jada: Mõiste: Jada, mille iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme vahe on konstantne, nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Liikmete leidmine: Üldliikme valem: an=a1+(n-1)d an-viimane liige või ka n-es liige a1-esimene liige n-liikmete arv d-liikmete vahe Summa valem: Sn=an+a1/2 ·n 16. Geomeetriline jada: Mõiste: Jada, milles iga liikme ja temale vahetult eelneva liikme jagatis on jääv, nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Liigid: 1. Hajuv jada (liikmed kasvavad). 2. Hääbuv jada (liikmed järjest vähenevad). Liikmete leidmine: Liikmete leidmiseks tuleb eelnev liige korrutada q-ga ja eelnevate liikmete leidmiseks tuleb järgnev liige jagada q-ga. Üldliikme valem: an=a1q a1=an/q q=an/a1 Summa valem(hajuv jada): Sn=a1(1-q ) / 1-q q=an / a1 Summa valem(hääbuv jada): Sn=a1 / 1-q 18. Astendamine: · Astendamine on astme a leidmine.
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n
" See, et Thales mõõtis laevade kaugust merel, nagu ka püramiidi kõrgust, ei tähenda veel, et ta pidi nimetatud teoreemi teadma. Tegemist on Aahmesi seqt'i-leidmise protseduuri rakendamisega. Kuid egiptlased ei kasutanud seda protseduuri niisuguste ülesannete lahendamiseks. Thalese puhul pidi olema tegemist kas analoogia või üldise meetodiga. See, et need teoreemid võivad pärineda Thaleselt, on vähem kaheldav, kui päris "Thalese teoreem". Kuuendaks konkreetseks geomeetriliseks saavutuseks on paljukiidetud püramiidide kõrguse mõõtmine. Thales joonistas ringi sisse täisnurkse kolmnurga. Babüloonia ja Egiptuse preestritele oli see teada, kuid Hellasele oli see avastuseks. Põhimõtteliselt uus seisnes selles, et juba Thales hakkas matemaatikat õpetama mitte ainult empiirilises, vaid ka abstraktses vormis. Van der Waerden arvab, et Eudemose tunnistustesse tuleb suhtuda täie tõsidusega ning et nimelt Thales võttis
Baroksel skulptuuril, mis on paigast ära liigutatud keha, ülad(pöördes) ning pea EMOTSIOONID on näos.Kujutatakse valgust. Skulptuuri taustal päikesekiired. EMOTSIOONID,PEAPÖÖRDED ja VALGUS. Maalikunstis- Laemaalidel kujutati tihti arhitektuurilisi detaile. Liialdati , kasutati kuldseid värver , diagonaalsed, tekkis maastiku maal Tuntumad ehitised-*Inglise barokk- Saint Paul'i katedraal-ümmargused aknad, eenduv ja taandub seinapind* Zwingeri loss- (prantsuse park, mis on geomeetriliseks pügatud). Katusel on skulptuurid, mis aastatega tumedamaks muutuvad. *Sans Souci loss- loss maa peale ehitatud. Hoonepind on kaunistatud baroksete skulptuuridega. Seal pargis on barokne Hiina teemaja. ( Berliini lähedal linn) * Pr.maal. Versailles loss- (torn rensanss)(vasaat pernini barokk)Hiiglaslik kompleks, kus ei ole ühtegi vannituba ega WC-d. Olulisim ruum PEEGLISAAL-Ühel pool aknad, teisel pool peeglid, ning keskel on kristallid. Kõik need peegeldavad valgust , hästi ilusti. Väga
I: Q: ratsionaalarvud irratsionaalarvud 2 ; ;... R: reaalarvud Teeme ülesanded. Arvude aritmeetiline ja geomeetriline keskmine Arvude a1, a2, a3,..., an aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu a1 + a2 + ... + an a= n Positiivsete arvude a1, a2, a3,..., an geomeetriliseks keskmiseks nimetatakse arvu a = n a1 a2 ... an Kahe arvu geomeetrilist keskmist nimetatakse mõnikord ka nende arvude keskmiseks võrdeliseks. Positiivsete arvude geomeetriline keskmine ei ole suurem samade arvude aritmeetilisest keskmisest: a1 + a2 + ... + an n a1 a2 ... an n Ülesanne Leia arvude 23, 45 ja 76 geomeetrilise keskmine: a = n a1 a2 ... an
, seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja selle puhul on samuti tegemist hajuva reaga. Seega jõuame järeldusele, et geomeetriline rida koondub, kui ja hajub, kui . 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt
, seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ja . Et , siis on uuritav rida koonduv. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine. Arvrida , kus on mingi reaalarv, nimetatakse geomeetriliseks reaks. Sellise rea osasumma avaldub kujul: . Rea summa avaldub kujul: Kui siis on tegemist hajuva reaga. Kui siis saame , ... ja selle puhul on samuti tegemist hajuva reaga. Seega jõuame järeldusele, et geomeetriline rida koondub, kui ja hajub, kui . 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt
Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c , mis rahuldab tingimusi: 1) vektor c on paralleelne vektoriga ;
abstraktsionism 20. sajandi alguses tekkinud kunstivool, mis jaguneb geomeetriliseks ja ekspressiivseks abstraktsionismiks. Esimesel juhul moodustub pilt geomeetrilistest kujunditest, teisel juhul kasutab kunstnik oma tunnete väljendamiseks värvilaikude vaba paigutust. Näiteks Piet Mondriani (18721944) või Vassili Kandinsky (18661944) looming. adamism vt akmeism. aja, koha ja tegevuse ühtsus üks põhilisi nõudeid antiigi ja klassitsismi draamateoste puhul: kõik draamateose sündmused pidid arenema lühikese ajavahemiku jooksul ning ühes ja samas kohas
" See, et Thales mõõtis laevade kaugust merel, nagu ka püramiidi kõrgust, ei tähenda veel, et ta pidi nimetatud teoreemi teadma. Tegemist on Aahmesi seqt'i-leidmise protseduuri rakendamisega. Kuid egiptlased ei kasutanud seda protseduuri niisuguste ülesannete lahendamiseks. Thalese puhul pidi olema tegemist kas analoogia või üldise meetodiga. See, et need teoreemid võivad pärineda Thaleselt, on vähem kaheldav, kui päris "Thalese teoreem" (Diog. Laert. I 24j). Kuuendaks konkreetseks geomeetriliseks saavutuseks on paljukiidetud püramiidide kõrguse mõõtmine. Thales joonistas ringi sisse täisnurkse kolmnurga. Babüloonia ja Egiptuse preestritele oli see teada, kuid Hellasele oli see avastuseks. Põhimõtteliselt uus seisnes selles, et juba Thales hakkas matemaatikat õpetama mitte ainult empiirilises, vaid ka abstraktses vormis. Van der Waerden arvab, et Eudemose tunnistustesse tuleb suhtuda täie tõsidusega
isikute vahel ja asjade suhtes, kui nad pole võrdsed, ei ole neil ka võrdselt asju. Kõik see,mis on jagamisel õiglane, peab vastama mingil määral väärtusele. Ja just seda väärtuse sisu ei pea kõik ühesuguseks: demokraatidele on see vabadus,oligarhidele rikkus, ühtedele kõrge päritolu, teistele aristokraatlik loomutäius. Proportsionaalne võrdsus on siis, kui jagatud hüved in vastavuses saajate väärtusega.Matemaatikud nimetavad põhimõttelist vastavust geomeetriliseks mille puhul tuleb välja, et terviku suhe tervikuga on nagu osa suhe osaga. Siiski ei saa ainult matemaatilise proportsiooni järgi õiglust arvestada: see on võimalik raha puhul, kuid keerulisem juba au ja kuulsuse osas. Edasi uuritakse teist liiki õigust, mis esineb vabatahtlikus või vastu tahtmist toimuvas vastastikustes tehingutes. Siin vaadatakse tegu mitte ei hinnata teo tegijat, olgu ta siis kõlvatu või korralik nimene
i i a x i 0 i 1 rajades a-st b-ni ning tähistatakse . Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala: b f x dx S a abBA . Kui kõverjoonne trapets asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga “-”, f i 0 sest kõik . 1.4. Määratud integraali omadused Omadus 1. Kahe funktsiooni summa määratud integraal on võrdne nende funktsioonide määratud integraalide summaga:
statistiliste katseandmete järgi võib olla üsna töömahukas ja keeruline; Kahekomponendilise juhusliku vektori arvkarakteristikud Keskväärtus. Regressioon: Juhusliku vektori (X,Y) komponentide X ja Y keskväärtused avalduvad samade valemite järgi nagu lihtsalt diskreetse või pideva juhuslik suurus keskväärtus, kui kasutada vastava ühemõõtmelise jaotusena juhusliku vektori komponendi marginaaljaotust. Nende keskväärtuste geomeetriliseks tõlgenduseks on vastavate marginaalsete jaotustiheduste (graafikute) raskuskeskme projektsioon abstsissteljele. Tinglike jaotuste keskväärtused avalduvad samuti samade valemite järgi nagu lihtsalt diskreetse või pideva juhusliku suuruse keskväärtus, kui kasutada vastava ühemõõtmelise jaotusena juhusliku vektori komponendi tinglikku jaotust. y (x) nimetatakse regressiooniks: Regressioon näitab seega juhusliku suuruse keskväärtuse sõltuvust mingist teisest suurusest.
Vormi kordamisel tekkivat vormide jada nimetatakse reaks. Vastavalt sellele, kas vormid või vahekaugused on muutuvad või muutumatud eristatakse meetrilist ja geomeetrilist rida. Inimene tajub lihtsamalt mõistetavat rütmi, seega ka lihtsamaid ridu, seetõttu välditakse komplitseeritud meetriliste ridade ja ka geomeetriliste ridade kasutamisel keerukaid elementide vaheldumise kombinatsioone. Optiliselt muutub meetriline rida geomeetriliseks reaks perspektiivi lisandumisel. Maastikukujunduses kasutatakse rütmi sageli mitte matemaatilise täpsusega ning vormi täpse kordumisega, vaid mingi elemendi, vaate või isegi teatud motiivi rütmilise kordamisega. 2.6 Kontrast Kontrast tähendab vormiosade vastandlikkuse rõhutamist, tekkides vastandlike vormide kõrvutamisel. Kontrastse võrdluspaari võivad moodustada mahult samaväärsed vormid või ka mahult väga erinevad vormid, kus väiksem vorm mingi omaduse tõttu on Suuremast
väljendatakse murruna, mille lugeja on 1. Suhtelise ava maksimaalset väärtust nimetatakse täisavaks, pöördväärtust diafragmaarvuks. Efektiivse suhtelise ava suurus D /f', kus on objektiivi läbilaskvustegur. Peegel- läätsobjektiivide suhtelise ava määramisel tuleb arvesse võtta, et niisuguste objektiivide sisendava keskosa on ekraneeritud. Suhtelise ava ruut määrab kujutisetasandi valgustatuse ja seda nimetatakse objektiivi valgusjõuks (geomeetriliseks või efektiivseks). 12 7. Bajonett Bajonett on liide, mis võimaldab objektiivi kiiresti fotoaparaadiga ühendada. Ühendamine toimub kahest detailist koosneva sõlme abil, üks neist detailidest asub objektiivi raamistusel ja sellel on väljaulatuvad tihvtid või hambad, teine paikneb aparaadi kerel ning selles on süvendid. Objektiivi kinnitamisel lähevad tihvtid või hambad vastavatesse süvenditesse ja
lim u ( k ) n k=0 Arvrea koondumise u ( n) lim u ( n )=0 tarvilik tingimus Kui rida koondub, siis tema üldliige läheneb nullile n n=0 Geomeetriline rida Geomeetriliseks reaks nimetatakse rida kujul qn=1+q+ q 2+...+ qm+... n=0 Harmooniline rida Harmooniliseks reaks nimetatakse rida kujul n1a =1+ 21a + 31a +... , a>0 n=0 Geomeetrilise rea
f (x ) eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). See järeldub järgmisest võrduste reast: f ( x ) −f (a) lim f ( x )=lim f ( x )−f ( a ) + f ( a )=lim lim (x−a)+ f ( a )=f ' ( a ) ∙ 0+ f ( a ) =f ( a) x→ a x →a x →a x−a x→ a 4. Milline on diferentseeruvuse geomeetriline sisu? Diferentseeruvuse geomeetriliseks tähenduseks on pideva joone siledus. Punktis, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, esineb tema graafikul murdepunkt. 5. Defineerida hulgas diferentseeruv funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks kindel reaalarv f′(x). Seega on f′ funktsioon, mis on määratud hulgas D. 6
punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b f ( x ) dx = S a abBA Kui kõverjoonne trapets asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga "-", sest kõik f ( i ) < 0 . NEWTON-LEIBNIZ'i VALEM Saime kaks valemit kõverjoonse trapetsi pindala arvutamiseks S abBA = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x ) b S abBA = f ( x ) dx a b
punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b f ( x ) dx = S a abBA Kui kõverjoonne trapets asub allpool x telge, annab määratud integraal tema pindala märgiga "-", sest kõik f ( i ) < 0 . NEWTON-LEIBNIZ'i VALEM Saime kaks valemit kõverjoonse trapetsi pindala arvutamiseks S abBA = F ( b ) - F ( a ) , kus F ( x ) = f ( x ) b S abBA = f ( x ) dx a b
ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel. Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse
JUUGEND Juugendstiil tekkis 19. saj lõpul Saksamaal reaktsioonina ajalooliste stiilide matkimise ja USA-s hoogustunud ehituse tööstusliku suuna vastu. Vastandiks sellele nn eklektikale püüti luua uut omapärast stiili. Eesti keeles tarvitatav "juugendstiil" tuleneb saksa ajakirja "Jugend" ("Noorus") nimest, kus seda stiili tutvustati ja soovitati. Mujal maailmas kasutatakse rohkem nimetust "art nouveau". [12] Juugendstiil jaguneb maaliliseks ja geomeetriliseks. Iseloomustab tunduvalt vabam kompositsioon, eeskuju võeti tihti väänlevatest ja lopsakatest taimemotiividest. Suurt tähelepanu pööratakse ruumide ja ruumigruppide omavahelisele seosele, nende mugavusele ja valgustusele. Hoone nagu pandi kokku üksikutest eriotstarbelistest ja eri kujuga osadest. Uudisena hakatakse kasutama ehituses looduslikke ehitusmaterjale rohkem kui varem. Algstaadiumis asendab juugend kõik seni arhitektuuris tuntud
reaalarvude järjestatud kolmikuga (xP ; yP ; zP ), kus xP on punkti P ristprojektsiooni Px koordinaat abstsissteljel, yP on punkti P ristprojektsiooni Py koordinaat ordinaatteljel ja zP on punkti P ristprojektsiooni Pz koordinaat aplikaatteljel. punkti silinderkoordinaadid üleminekuvalemid silinderkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku vahel: 13. Geomeetrilise vektori mõiste, tähistused. Vektorite võrdsus. Kollineaarsed vektorid. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. iseloomustab: suund, siht ja pikkus. tähistus a=(a1; a2; a3) või AB=(a1; a2; a3). geomeetrilised vektorid on võrdsed, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja pikkuselt võrdsed. erineda võivad alguspunktid. geomeetrilised vektorid on samasihilised ehk kollineaarsed, kui nad asuvad kas ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel (siht on sama, suund ja pikkus võivad olla erinevad). tähistus a|| b.
annaabi.ee 
