Reaalarvud ( slaidid ) (0)

Julia Lissovskaja
matemaatika õpetaja
Tartu Kutsehariduskeskus
2010
Arvuhulgad
Naturaalarvude hulk
Täisarvude hulk
Ratsionaalarvude hulk
Reaalarvude hulk
Naturaalarvude hulk
Naturaalarvud on arvud
0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,...
Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega
N
Naturaalarvude hulga
omadused
Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel
Naturaalarve saab järjestada
0 1 2 3 4
1. a = b; 2. a > b; 3. a Naturaalarvude hulk on lõpmatu
Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes
Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine
Naturaalarvud
Paaris- ja paaritu arvud ­ arvuga 2
jaguvuse alusel
Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse
alusel
Algarv ­ ühest suuremat naturaalarvu,
mis jagub vaid ühe ja iseendaga
Kordarvud ­ kõiki ülejäänud ühest
suuremaid naturaalarve
NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega
kordarvud
Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid
naturaalarve, millega arv a jagub.
Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur
ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite
korrutisega.
Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT)
nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik
antud arvud.
Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena
nimetatakse algteguriteks lahutamiseks.
Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks
murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise
jagajana.
ÜLESANNE:
Lahutame algteguriteks arvud 30 ja 75 ning
leiame nende arvude suurima ühisteguri:
30 2 75 3
15 3 25 5
5 5 5 5
1 1
30 = 2 · 3 · 5; 75 = 3 · 5 · 5;
Arvude suurima ühisteguri arvutamisel
korrutame nende ühiseid algtegurid:
SÜT (30;75) = 3 · 5 = 15
Arvu a kordseks nimetatakse arvu, mis jagub arvuga a.
Igal (nullist erineval) arvul a on lõpmata palju kordseid.
Antud arvude ühiskordseiks nimetatakse arve, mis jaguvad iga
antud arvuga.
Antud arvude vähimaks ühiskordseiks (VÜK) nimetatakse
vähimat nullist erinevat arvu, mis jagub iga antud arvuga.
Arvude vähimat ühiskordset läheb tarvis näiteks erinimeliste
murdude ühise nimetaja leidmiseks.
ÜLESANNE:
Leiame arvude 30 ja 75 vähima ühiskordse:
30 2 75 3
15 3 25 5
5 5 5 5
30 = 2 · 3 · 5;
1
75 = 3 · 5 · 5;
1
Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame
esimese arvu kõik algtegurid teise arvu
nende algteguritega, mida esimeses arvus
ei ole:
VÜK (30;75) = 2 · 3 · 5 · 5 = 150
Täisarvude hulk
Iga nullist erineva täisarvu korral nimetatakse arve a
ja ­a teineteise vastandarvudeks:
a = -a ja a + (-a) = 0
Täisarvud on arvud
..., -(n+1), -n, -(n-1),...,-3,-2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n, n+1,...
Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z
Täisarvude hulga omadused
Täisarvude hulk on lõpmatu
Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel
-2
Täisarvude hulk-1 0 hulk ­ iga
on järjestatud 1 kahe erineva
2 täisarvu korral
saame öelda, milline nendest on suurem
Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise tehete
suhtes
Ratsionaalarvude hulk
Ratsionaalarvuks nimetatakse harilik murdu , kus aZ
ja bZ
a ning b0
Ratsionaalarvude
b hulka tähistatakse tähega Q
Ratsionaalarvu vastandarvuks nimetatakse
ratsionaalarvu a
Ratsionaalarvu
b
pöördarvuks
a -a a nimetatakse
- = =
ratsionaalarvu . b b -b
a
b
b
a
Ratsionaalarvude hulga
omadused
Iga ratsionaalarvu saame kujutada punktidena arvteljel
Ratsionaalarvude hulk on järjestatud hulk ­ kahest
ratsionaalarvust loetakse suuremaks seda, mille vastav punkt
arvteljel asub teisega võrreldes positiivses suunas
Ratsionaalarvude hulk Q on tihe ­ iga kahe erineva
ratsionaalarvu a ja b vahel asub vähemalt üks ratsionaalarv.
Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise,
korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes
Murdarvu ehk murru võime
saada:
a) Ühiku jaotamisel võrdseteks osadeks;
b) Mitme terviku jaotamisel võrdseteks osadeks;
c) Mõõtmise tulemusena;
d) Kahe täisarvu jagatisena
Murdudega seoses kasutame järgmisi mõisted:
murru liikmeid nimetame vastavalt lugeja .
nimetaja
Harilikud murrud jaotatakse:
Lihtmurdudeks, kui |a| 3 -1
,
7 2
Liigmurdudeks, kui |a||b|, näiteks 5 3.
,
Segaarv on naturaalarvu ja lihtmurrusumma
4 3
näiteks .
1 1
Kümnendmurd 3 = 3 +on kümnendsüsteemis koma
7 7
abil kirjutatud murdarv, näiteks 3,6
Iga ratsionaalarvu võime esitada kümnendmurruna:
Lõplik kümnendmurd ­ taandumatutest murdudest
teisenevad lõplikeks kümnendmurdudeks need, mille
nimetaja algteguriteks on ainult 2 ja 5;
Lõpmatu perioodilise kümnendmurd ­ kui taandumatu
murru nimetaja algtegurite hulgas on 2-st ja 5-st erinevaid
tegureid, siis jagamisel hakkab mingi jääk korduma ja tekkib
perioodiline kümnendmurd.
Perioodilised kümnendmurrud
Puhtperioodilisteks kümnendmurdudeks,
kui periood järgneb vahetult komale;
Segaperioodilisteks kümnendmurdudeks,
kui periood ei järgne vahetult komale.
Reaalarvude hulk
Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise
kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks.
Irratsionaalarvud ei ole avaldatavad lõpmatu
perioodilise kümnendmurruna.
Ratsionaalarvude hulk Q ja irratsionaalarvude hulk I
moodustavad kokku reaalarvude hulga R.
Reaalarvude hulga omadused
Reaalarvude hulk on järjestatud lõpmatu hulk
Reaalarvude hulk on pidev ­ nendele arvudele vastavad punktid
katavad kogu arvtelje
Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja
nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest
reaalarvust on reaalarv.
Ülesannete lahendamisel on vaja teada tehetes osalevate liikmete
nimetusi
liidetav +liidetav = summa;
vähendatav - lahutatav = vahe;
tegur · tegur = korrutis;
jagatav : jagaja = jagatis.
NB! Lahutamine on liitmise pöördtehe ning jagamise on korrutamise
pöördtehe.
Tehete järjekord keerulisema avaldise
väärtuse arvutamisel:
1)Kui avaldises esinevad ka sulud, siis
sooritatakse kõigepealt sulgudes olevad
tehted;
2)Korrutatakse ja jagatakse avaldises antud
järjekorras;
3)Liidetakse ja lahutatakse avaldises antud
järjekorras.
arvud 0, 1, 2, 3, ...
N: naturaalarvud negatiivsed arvud -1, -2,...
5 3
Z: täisarvud murrud ;- ;...
6 5
I:
Q: ratsionaalarvud irratsionaalarvud
2 ; ;...
R: reaalarvud
Teeme ülesanded.
Arvude aritmeetiline ja geomeetriline
keskmine
Arvude a1, a2, a3,..., an aritmeetiliseks
keskmiseks nimetatakse arvu
a1 + a2 + ... + an
a=
n
Positiivsete arvude a1, a2, a3,..., an
geomeetriliseks keskmiseks nimetatakse
arvu
a = n a1 a2 ... an
Kahe arvu geomeetrilist keskmist nimetatakse
mõnikord ka nende arvude keskmiseks
võrdeliseks.
Positiivsete arvude geomeetriline keskmine ei
ole suurem samade arvude aritmeetilisest
keskmisest:
a1 + a2 + ... + an
n a1 a2 ... an
n
Ülesanne
Leia arvude 23, 45 ja 76 geomeetrilise
keskmine:
a = n a1 a2 ... an
Kasutades , saame
a = 3 23 45 76 = 3 78660 = 42,85
Arvu kümme astmed
Klassid Järgud Kümne aste Mõõtühikute Tähis
kümnendeesliited
Triljonid Sada triljonit 1014
Kümme triljonit 1013
Üks triljon 1012 tera- T
Miljardid Sada miljardit 1011
Kümme miljardit 1010
Üks miljard 109 giga- G
Miljonid Sada miljonit 108
Kümme miljonit 107
Üks miljon 106 mega- M
Tuhanded Sada tuhat 105
Kümme tuhat 104
Üks tuhat 103 kilo- k
Ühelised Sada 102 hekto- h
Kümme 101
Üks 100
Murdosad Kümnendikud 10-1 detsi- d
Sajandikud 10-2 senti- c
Tuhandikud 10-3 milli- m
Miljondikud 10-6 mikro- µ
Miljardikud 10-9 nano- n
Mõõteühikute teisendamine
Pikkus 1km=1000m Pindala 1km2=100ha=104a=106m2
1m=10dm=100cm 1m2=100dm2=104cm2
1cm=10mm=100µm 1cm2=100mm2=104µm2
Ruumal 1m3=1000dm3=106cm3 Kaal 1 t (tonn)=10ts (tsentner)=
a 1000kg
1cm3=1000mm3=106µm
3 1ts=100kg
1 l (liiter)=1dm3 1kg = 1000g
1 m3 =1000l
Arvu standardkuju
Väga suuri ja väga väikesi arve saab kirjutada arvu 10
astme abil kujul a10k, kus kZ ja 1a Selliselt esitatud arve nim. standartkujulisteks arvudeks.
Näide: 5980...00000...000 = 598 1022
22 nulli
VÕRRE
Kahe suhte (jagatise) võrdsust
a c
nimetatakse
b d võrdeks:
= ehk a : b = c :
d, kus a ja d on võrde välisliikmed ning b
ja c on võrde siseliikmed.
Võrde põhiomadus: a d = b c
välisliikmetekorrutis võrdub siseliikmete korrutisega.
8 12
Näiteks võrdsest = järeldub, et 8 3 = 12 2
2 3
Teeme ülesanded.
PROTSENTARVUTUS
Protsent on üks sajandik osa arvust
(tervikust, kogumist, ...)
Protsendi tähiseks on %
Protsentarvestus
A (tervik, arv) 100%
B (osa) p%
Tähistame otsiva tähega x
Protsendi Kui mitu protsenti Arvu leidmine Kui mitme
leidmine antud moodustab arv B antud protsendi protsendi võrra
arvust: arvust A?: järgi: on arv A suurem
B on teadmata; p on teadmata. A on teadmata; arvust B?:
leida p% arvust A. A - 100% leida arv A, millest (A-B)% on
A - 100% B-x% p% on B. teadmata.
x-p% x - 100% B - 100%
Leiame: B-p% (A-B) - x %
A p
Leiame: B 100 B 100
Leiame: ( A - B) 100
x= x= x= x =
Leiame: B
100 A p
ÜLESANNE
Leia 5% arvust 30:
30 - 100% 30 100 30 5
x-5% = x= = 1,5
Leia arvu, millest 3% on 18:
x 5 100
x - 100%
18 - 3 % x 100 18 100
= x=
Arvuta, kui mitu protsendi moodustab arv 24 arvust 96:
= 600
18 3 3
96 - 100%
24 - x %
96 100 24 100
=
Arvuta, kui mitme protsendi võrra on arv 24 x=
väiksem arvust 32: = 25
Leiame nende arvude vahe:24 x
32-24=8 96
32 - 100%
8-x%
32 100 8 100
= x= = 25
8 x 32
Teeme ülesanded.
Arvtelje erinevad piirkonnad
Reaalarve võime kujutada punktidena arvteljel.
Reaalarvude hulga pidevuse tõttu vastab arvtelje
igale punktile parajasti üks reaalarv.
Seega võime öelda, et reaalarvude hulk ja arvtelje
punktide hulk on üksüheses vastavuses.
Valime arvteljelt kaks suvalist reaalarvu a ja b
nii, et oleks a Need arvud jaotavad arvtelje kolmeks osaks e
piirkonnaks.
x
x
Sellised piirkonnadb kujunevad endast
b
reaalarvude hulga osahulki.
Mõnedele neist hulkadest on antud
spetsiaalsed nimetused ja tähistused.
Lõiguks [a,b] nimetatakse kõigi nende reaalarvude x
hulka, mille puhul a x b
x
a b
Vahemikuks (a,b) nimetatakse kõigi nende reaalarvude x
hulka, mille puhul a x
a b
Poollõiguks [a,b) nimetatakse kõigi nende reaalarvude x
hulka, mille puhul a x x
a b
Poollõiguks (a,b] nimetatakse kõigi nende reaalarvude x
hulka, mille puhul a x
a b
Poolsirged on reaalarvude hulgad, mis rahuldavad üht järgmistest
seostest:
a
x
a
a x , tähistame [a, )
x
a tähistame (- , b)
x
x b, tähistame (- , b]
x
b
x
b
Kogu arvtelg on kõigi reaalarvude hulk
R = (-, )
Lõike, vahemikke, poollõike ja kõigi reaalarvude
hulka (kogu arvtelge) nimetatakse koos
reaalarvude piirkondadeks.
Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka
A B, mille elementideks on hulkade A ja B kõik
ühised elemendid ja ainult need.
Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka A
B, mille elementideks on nii hulga A kõik
elemendid kui ka hulga B kõik elemendid.
ARVU ABSOLUUTVÄÄRTUS
Reaalarvu a absoluutväärtus
a, kui a 0;
| a |=
- a,absoluutväärtus
Arvteljel tähendab reaalarvu kui a vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist.
Näide:
|5|=5;
|-6|=6;
|-0,3|=0,3.
RATSIOONALAVALDISTE
LIHTSUSTAMINE
Ratsionaalarvaldiseks nimetatakse avaldist, milles tehetena
võivad esineda vaid arvude ja/või muutujate liitmine,
lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine
täisarvuga.
Ratsionaalavaldises ei tohi esineda muutujat juuritavas.
Kui muutuja esineb juuritavas, siis nimetatakse vastatakse
vastavat avaldist irratsionaalavaldiseks.
Näiteks avaldised ja on ratsionaalavaldised, kuid
avaldis on irratsionaalavaldis.
Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi
võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5
2x + 5
Sulgude ette toomine:
ab + ac = a(b + c);
Arvutamise abivalemid:
a2 ­ b2 = (a + b)(a ­ b);
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a ­ b)2 = a2 ­ 2ab + b2;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
(a ­ b)3 = a3 ­ 3a2b + 3ab2 ­ b3;
a3 + b3 = (a + b)(a2 ­ ab + b2);
a3 ­ b3 = (a ­ b)(a2 + ab + b2);
Teeme ülesanded.
Rühmitamisvõte:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Meeldetuletuseks:
Kahe negatiivse arvu korrutamisel (samuti jagamisel)
saame tulemuseks positiivse arvu;
Miinusmärk sulu ees muudab märgid sulu sees.
ASTME MÕISTE ÜLDISTAMINE
TÄISARVULISTE ASTENDAJAGA ASTE
Astendamine on võrdsete tegurite korrutise
a a a a = an leidmine, kus an on aste,
n tegurita ­ astendatav ja n ­ astendaja.
Näide: 34 = 3 3 3 3 = 81
Pea meeles!
iga arv astmes 1 on see arv ise: a1 = a
iga arv astmes 0 on võrdne ühega: a0 = 1
REEGLID m
(a b) = a b a m-n
=
n n n
a
an
n n
a a 1
= n,b0 a -n
= n
b (a ) =ba
n m n m
a
am an = am+n
a0 = 1
a1 = a
Kui negatiivset arvu astendame paarisarvulise astendajaga, siis
saame pisitiivse astme, kui astendame paarituarvulise
astendajaga, siis saame negatiivse astme:
(-5)2 = 25 (-5)3 = -125
ASTME MÕISTE ÜLDISTAMINE
RATSIONAALARVULISTE ASTENDAJAGA
ASTE
Ruutjuureks antud mittenegatiivsest arvust
nimetatakse niisugust mittenegatiivset arvu,
mille ruut võrdub antud arvuga:
siis, kui ba2 =
= ab ja b 0
Näide: , sest
9 =3 =9
3 2
Murrulise astendajaga astme defineerime nii:
m
, kusa >= 0,
an n m m Z, n Z, n 2
a
(loeme: n-es juur arvust a astmes m)
Juurimisel kasutame järgmisi nimitusi:
on juur,
n n
a m on juurija ja a juuritav.
Ruutjuure korral jäetakse juurija kirjutamata. Kui n = 3,
siis nimertame juurt kuupjuureks. Kui n > 3, siis
erinimetusi juurtele antud ei ole, loeme: neljas juur, viies
juur jne.
Pea meeles!
1. Igal positiivsel arvul on parajasti üks n-es juur
2. Negatiivsel arvul ei ole paarisarvulise juurija korral juurt
3. Negatiivsel arvul on paaritu juurija korral parajasti üks
negatiivne juur
4. iga n N korral, kui n 2
n
0 =0
REEGLID
n
a b = a b n n
a na
n = n , a 0, b > 0
b b
nq
a mq
= a n m
( a)
n
m
= a , kui m n m
n m
a = nm
a
Avaldisel 10 - 26 = 10 - 64 puudub väärtus, sest
negatiivsel arvul pole paarisarvulise juurijaga juurt.
TEHTED ASTMETE JA VÕRDSETE
JUURIJATEGA JUURTEGA
Tehete sooritamisel astmetega või võrdsete
juurijatega juurtega on otstarbekas valida
just see lahendusmeetod, mis tundub
lahendajale lihtsam:
8 7 1
7
8 : 16 =
7 7 =
16 2 1
1 1 1
1 1 7
7
8 : 16 = 8 : 16 = (8 : 16) = =
7 7 7 7 7
2 2
5
4 5 16 = 5 4 16 = 5 64 = 5 26 = 5 25 2 = 25 2
1 1 1 1 6 1
1
5
4 5 16 = 4 16 = (4 16) = 64 = 2 = 2 = 25 2
5 5 5 5 5 5
Teeme ülesanded.