Jadad (0)

JADAD
11. klass
Aili Hollak
Arvuti koolis lõputöö
Koolitaja E. Tarro, 5. kursus
JADAD
Jada ­ teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates
1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n.
Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ...
Jada üldliige - n
Jada üldliikme valem - n= f(n)
Näiteid jadadest
Ruudu 1 2 3 4 5 6
nr.
Pindala 1 4 9 16 25 36
Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu
pindala.
Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30. ruudu pindala 900, n-nda ruudu
pindala on n²
JADADE LIIGITUS
Jadad
Tõkestatud Tõkestamata
Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud
Tõkestamatult kasvavad
Muud
Tõkestamatult kahanevad
JADAD
Näited
Tõkestatud jada
hääbuv jada 1,½,,¼,...,
konstantne jada 3,3,3,...,3,...
Tõkestamata jada 6-ga jaguvad naturaalarvud
alates arvust 6
tõkestamatult kasvav
3,0 -3,-6,-9,...
tõkestamatult kahanev
Jadad ehk progressioonid
Aritmeetiline jada Geomeetriline jada
mõiste: jada, milles iga mõiste: jada, milles iga
liikme ja temale eelneva liikme ja temale eelneva
liikme vahe on jääv suurus. liikme jagatis on jääv
seda jäävat suurust suurus.
nimetatakse jada vaheks ja seda jäävat suurust ni-
tähistatakse tähega d. metatakse jada teguriks
an+1= an+d ja tähistatakse tähega q.
an+1= an·q
VALEMID
Geomeetriline jada
Aritmeetiline jada
üldliikme valem
üldliikme valem an=a1qn-1
an= a1+( n-1)d Summa valem
Sn=a1(qn­1): (q -1)
Summa valem (legend malelauast)
Sn= (a1+an)n :2
(Viide C.Fr.Gaussile)
Carl Friedrich
Gauss
Saksa matemaatik
Carl Friedrich Gauss
1777 ­ 1855
Lugu 9-aastasest
koolipoisist Gaussist, kes
õpetaja korralduse: leida
kõikide naturaal-arvude
summa, täitis silmapilkselt.
Legend malelauast
Teatavasti leiutati male
1 2 4 8 16 32 64 Indias. Legend: rikas vürst
lubas täita mängu leiutaja
soovi anda talle malelaua
1.ruudu eest ühe nisutera,
2. eest kaks, 3. eest neli ­
iga järgmise eest kaks kor-
da rohkem teri kui eelmise
eest. Kuigi soov tundus ole-
vat tagasihoidlik, ei olnud
seda võimalik täita. Miks?
Täida tabel aritmeetilise jada kohta
Ül.nr. a1 d n an Sn
1 1 2 10
2 3 12 36
3 23 10 5
4 4 25 75
5 -16 20 28
6 8 -17 -80
7 4 7 63
Täida tabel geomeetrilise jada kohta
Ül.nr. a1 q n an Sn
1 2 -3 4
2 2 6 32
3 1 3 40
4 0,5 5 -8
5 -0,5 6 -0,125
Aritmeetiline jada ­ test
Küsimus Valikvastused
1) Aritmeetiliseks jadaks 1) eelneva liikme ja jääva
nimetatakse arvujada, teguri korrutisega;
milles iga liige alates 2) eelneva liikme ja jääva
teisest võrdub arvu summaga;
3) kahe järgneva liikme
aritmeetilise keskmisega
Aritmeetiline jada ­ test
2) Aritmeetilise jada 1) an = a1 + nd
üldliikme 2) an = a1 + (n ­ 1)d
arvutamise valem 3) an = a1d
Aritmeetiline jada ­ test
3) Jadas 3; 7; 11; 15, 1) -4; 2) 3;
... on jada vahe 3) 4; 4) 5
1) Sn= (a1+an)n :2;
4) Aritmeetilise jada n
esimese liikme summa 2) Sn= (2a1+an)n :2;
arvutamise valem 3) Sn= (a1+(n-1)d)n :2
Aritmeetiline jada ­ test
5) Kui aritmeetilises 1) positiivsete liikmetega
jadas a1>0 ja 0 siis jada on 2) positiivsete
liikmetega ja kasvav;
3) negatiivsete
liikmetega ja kahanev;
4) negatiivsete
liikmetega ja kasvav
Aritmeetiline jada ­ test
6) Aritmeetiline jada on 1) 0 kahanev ainult siis, 2) -1 kui jada vahe 3) d 4) d Aritmeetiline jada ­ test
7) Kui aritmeetilises 1) 1; 2) 0;
jadas a2= 4 ja d = -1, 3) 7; 4) -1
siis a5=
8)Järgnevatest jadadest 1) ainult teine ja kolmas;
2) ainult teine ja neljas;
2; -4; 6, -8; 10; ...
3) ainult esimene, teine ja
2; 4; 6; 8; ...
kolmas;
1; 3; 9; 27;...
4) kõik neli jada.
4; 2; 0; -2; ...
on aritmeetilised jadad
Geomeetriline jada ­ test
Küsimused Valikvastused
1) Geomeetriliseks 1) eelneva liikme ja jääva
teguri korrutisega;
jadaks nimetatakse
2) eelneva liikme ja jääva
arvujada, milles iga liige arvu summaga;
alates teisest võrdub 3) kahe järgneva liikme
jagatisega
Geomeetriline jada ­ test
2) Geomeetrilise jada n 1) Sn=a1(1-qn): (q -1)
esimese liikme 2) Sn=a1(qn-1): (q -1)
summa arvutamise
valem on 3) Sn=a1qn-1: (q -1)
4) Sn=(a1qn-1): (q -1)
Geomeetriline jada ­ test
3) Geomeetriline jada, 1) 3; 3½; 4; 4½; ...;
milles a1= 3 ja q = ½, on 2) 3; 6; 12; 24; ...;
3) 3; 3,5; ¾;; ...;
4) 3; 2½; 2; 1½; ...;
4) Geomeetriline jada 1)q on hääbuv, kui jada 3) q tegur on
Geomeetriline jada ­ test
5) Geomeetrilise jada 1) -2;
3; -6; 12; -24; ... 2) 2;
tegur q on 3) -½;
4) ½.
Geomeetriline jada ­ test
6) Kui geomeetrilise 1) jada alati kasvav;
jada tegur q >0, siis on 2) jada liikmed sama märgiga,
3) jada liikmed sama märgiga,
kui a1>0
ning jada liikmed vahelduvate
märkidega, kui a1 4) jada liikmed alati positiivsed.
Geomeetriline jada ­ test
7) Järgnevatest jadadest 1) kõik esitatud jadad;
-5; -10; -20; -40; ... 2) ainult esimene ja
kolmas;
-5; -3; -1; 1; ...
3) ainult esimene, kolmas
-5; 2,5; -1,25; 0,625; ... ja
-5; -2,5; 1,25; -0,625; ... neljas;
on geomeetrilised jadad 4) ainult esimene, teine ja
kolmas.
Kontrolltöö ­ aritmeetiline jada
1. Aritmeetilises jadas on 1= 2 ja 7= 17. Leia 11.
2. Aritmeetilises jadas on 1= 3 ; d = 4. Leia S10 .
3. Leia kõigi kahekohaliste paaritute arvude
summa.
4. Leia 5, kui 2+ 8=36.
5. Jada on antud valemiga n= 4+3n. Leia selle
jada kaheksa esimese liikme summa.
6. Kirjuta arvude -8 ja 10 vahele viis arvu nii, et
nad koos antud arvudega moodustaksid
aritmeetilise jada.
Kontrolltöö - geomeetriline jada
1. Geomeetrilises jadas on a1= 2 ja a6=64. Leia a8.
2. Geomeetrilises jadas on a1= -3 ja q= -2. Leia a6
3. Leia summa: 1+2+22+...+26 =
4. Leia geomeetrilises jadas a5, kui a3 a 7=81
5. Kirjuta arvude (-2) ja 54 vahele kaks arvu nii, et
nad koos antud arvudega moodustaksid
geomeetrilise jada jada.
6. Jada on antud valemiga an=2 ·3n
Leia selle jada viie esimese liikme summa.