Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0
= = 3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine. LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures LAUSE: Kui lõigul pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis -1 pöördfunktsioonil x=f (y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)>0 (xX), siis Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide . 4
Matemaatiline analüüs I (Vähendatud programmi teooria vastused) Lokaalse ekstreemumi mõiste. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b)
Def1. Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus
Muudel juhtudel y'= (diferentseeruvusest järeldub pidevus)== g'(f(x))f'(x). Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b], st leidub L>0 nii, et iga x1 ja x1 korral lõigust [a,b] kehtib (M.O.T.T.) 7. L'Hospitali reegel. 5. Pöödfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Teoreem: kui funktsioonil y=f(x) on kohal x tuletis f'(x)0, siis pöördfunktsiooni tuletis Tõestus: Pöördfunktsiooni argumendiks on y, st Eelduse kohaselt on funktsioon y=f(x) diferentseeruv kohal x, järelikult ka pidev kohal x
y=0 ja xy-tasandi võrrand z=0. Pinna z=f(x,y) tasandilõigeteks tasanditega z=c erinevate c väärtuste korral nim. jooni Analoogiliselt defineeritakse pinna z=f(x,y) tasandilõiked tasanditega x=a ning y=b. Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) määramispiirkonna need punktid, kus funktsioonil on konstantne väärtus c, moodustavad joone, mida nim. nivoojooneks, selle võrrand on f(x,y)=c. Teades nivoojooni, on lihtsam uurida pinna z=f(x,y) iseloomu. 4. Kahe muutuja funktsiooni osamuut ja täismuut. (Definitsioonid + korralik selgitus joonise 1 põhjal). Vaatleme pinna z=f(x,y) ja xy-tasapinnaga paralleelse tasapinna y=const lõikejoont PS. Et y
Kui funktsioon ei ole antud ilmutamata kujul, tuleb ta ilmutamata kujule viia (kõik võrrandi liikmed ühele poole). Kui puutujatasandi võrrand satub kujule 0 = 0, siis pole puutujatasand üheselt määratud. Normaalvektori nullist erinev pikkus ega suund samas sihis ei ole oluline, s.t normaalvektorit võib korrutada suvalise nullist erineva arvuga. Mitme muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne miinimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmin u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D lokaalne maksimum, kui U ( P0 ) D nii, et P U ( P0 ) korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: locmax u = u ( P0 ) = A . Lokaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis.
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy
a arvutmiseks. Tuua näide. b 10. Sõnastada ja tõestada muutuja vahetuse valem f ( x)dx a arvutmiseks. Analüüs 1 Teooriatöö lühiküsimused. 1. Defineerida millal on punktis x = x0 funktsioonil f(x) miinimum (või maksimum) Maksimum on kui Piltlikult öeldes on maksimum graafiku tipp ja miinimum graafiku org. Ekstreemumpunkt näitab millal graafik muutub kasvavast kahanevaks ja vastupidi 2. Sõnastada f(x) ekstreemumi olemasolu jaoks tarvilik tingimus.Mis on kriitilised punktid.? Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas tuletis võrdub nulliga voi lõplik tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine.
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas väide on õige või vale: Jääkfunktsioone ei saa leida Karnaugh' kaardi abil Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Osaliselt õige - Hinne 0,75 / 1,00 vali kõik õiged väited: Vali üks või enam: Funktsioonil võib Taandatud DNK puududa, kuigi minimaalne DNK (MDNK) on sellel funktsioonil olemas - VALE Taandatud DNK-d on võimalik leida Karnaugh' kaardi abil Taandatud DNK ja minimaalne DNK (MDNK) võivad olla üks ja sama avaldis Taandatud DNK võib olla suurema keerukusega avaldis kui minimaalne DNK (MDNK) Taandatud DNK on funktsiooni kõikide implikantide disjunktsioon - VALE Taandatud DNK on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon Funktsioonil võib olla mitu erinevat Taandatud DNK-d - VALE
Tõestada ei ole vaja. = + , kus = Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis 0. Diferentsiaal on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Kehtib ligikaudne valem kui 0. 19) Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Öeldakse, et funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui 1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID. Sõnastada Fermat' lemma Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks.
3. Mida nim. fniks?(lk. 124) 4. Mida nim. fni nullkohtadeks? Tähis ja tingimus. 5. Mida nim. fni positiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 6. Mida nim. fni negatiivsuspiirkonnaks? Tähis ja tingimus. 7. Millal nim. fni vahemikus kasvavaks? 8. Millal nim. fni vahemikus kahanevaks) (lk. 134) 9. Missugust fni nim. kasvavaks? 10. Missugust fni nim. kahanevaks?(lk. 136) 11. Millal on funktsioonil kohal xe maksimum? (lk. 136) 12. Millal on fnil kohal xe miinimum? 13. Missugust fni nim. paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab funkts. Väärtust arvutada 2
ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10. Punkti ümbrus- punkti x0 ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub: ( a; b): a < x0 < b 11. Muutuva suuruse piirväärtus- arvu a nim. muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates
Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( b) Igal puhul kehtib võrratus · Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon
Question 10 (sisesta õiged vastused arvudena) Correct Sellel Karnaugh' kaardil on üldse kokku 18 tk. implikante, millest lihtimplikante Mark 2 out of 2 on 6 tk. MDNK sisaldab siin sellel funktsioonil 3 lihtimplikanti. (implikantide arvu määramine õnnestub kiiremini, kui see kaart joonistada ümber paberile ja hakata seal implikante kaardile äramärkima. Silmaga ekraanilt implikante loendades kulub palju aega ja väga kerge on eksida)
ja kirjutatakse lim f ( x ) = A x a ehk f ( x ) A , kui x a või lim f ( x ) = A , kui x a . 7 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a 2. Funktsiooni lõpmatu piirväärtus kuhjumispunktis Definitsioon: Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus punktis a , kui iga arvu N > 0 korral leidub selline arv > 0 , et kehtib võrratus f ( x ) > N (< - N ) , alati kui 0 < x - a < , ja kirjutatakse lim f ( x ) = (- ) x a ehk f ( x ) (- ) , kui x a . Ühepoolsed piirväärtused 3. Funktsiooni (lõplik) ühepoolne piirväärtus kuhjumispunktis
... + f ( n ) ( a )( x - a ) + Rn ( x ) 2 3 n 1! 2! 3! n! 7. Teoreemid funktsiooni kasvamise ja kahanemise ning funktsiooni tuletise vahelistest seostest tõestuseta. Nende teoreemide geomeetriline tõlgendus. 1) Kui lõigul [ a, b] diferentseeruv funktsioon on sellel lõigul kasvav, siis on funktsioonil lõigul [ a, b] mittenegatiivne tuletis, s.t. f ( x ) 0 . 2) Kui funktsioon f ( x ) on lõigul [ a, b] pidev ja vahemikus ( a, b ) diferentseeruv, kusjuures a< x 0 , siis see funktsioon lõigul [ a, b] kasvab. 1) Kui funktsioon f ( x ) lõigul [ a, b] kahaneb, siis sellel lõigul f ( x ) 0 . 2) Kui f ( x ) < 0 vahemikus ( a, b ) , siis f ( x ) kahaneb lõigul [ a, b] . 8. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi definitsioonid. Funktsiooni ekstreemumi mõiste.
Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja LAUSE: Kui lõigul [a,b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x tähistatakse dy või df , dy= df = f’(x)Δx nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures Võttes y=x , saame dy=dx=x’ * Δx = Δx dx– argumendi diferentsiaal dy=f’(x)dx↔f’(x) = dy/dx
:Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, ∆𝑥→0 𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥) 𝑔 2(𝑥) 3).( Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt Logaritmilise tuletise valemi tuletamine(. üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b).
a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat järku kahanev suurus suhtes. Järelikult võimalikult väikse väärtuse korral hakkab diferentsiaal avaldises domineerima. a.x. Kehtib võrratus: , kui b. Diferentsiaali omadused: c. 2. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui: a.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) a.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) b. Öeldakse et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui: b.i. Funktsioonil f on määratud punkt x1 mingis ümbruses (x1-, x1+ ) b.ii. Iga x (x1-, x1+ ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1) c
(veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. >0 korral leidub *Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka niisugune arv >0, et kehtib võrratus |f(x)-a|<, alati kui 0<|x-a|<. Ja määramispiirkonna kirjeldus. *Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse kirjutatakse limf(x)=A (xa). graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus.Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab 18.Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. x a-, mis rahuldab tingimust x a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule 6. Funktsioonide liigid. Näited. b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) b kui xa-. *Paaris- ja paaritud fun
muutumispiirkonnas vastavusse mitu y väärtust. Muutujat x nimetame argumendiks ja y sõltuvaks muutujaks. · Määramispiirkonnaks nimetame x väärtuste hulka (funktsioonis f=(x)) · Väärtuste hulgaks nimetame hulka · Esitlusviisid: 1. Esitlusviis tabeli kujul Funktsiooni argumendi väärtused esitatakse tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused teises reas. On võimalik ainlult siis, kui funktsioonil on arvuline väärtus. 2. Analüütiline esitlusviis Funktsioon esitatakse valemi kujul, vajadusel lisatakse määramispiirkonna kirjeldus 3. Graafiline esitlusviis Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkordinaadistikus. · Funktsiooni f graafiku definitsioon Kui f(x)>0 siis on graafik ülalpool x-telge, kui x<0 siis on graafik allpool x-telge
.=y(n-1)(x1)=0, y(n)(x1) 0 ; n1 globaalseks ekstreemumiks. Teoreem 1 (ekstreemumi tarvilik tingimus) Funktsioonil Siis on järgmised võimalused: 1) g(a)=g(b) 2) g(x) on pidev lõigul [a,b] 3) g' (x) on diferentseeruv 1)n on paarisarv =>x1 on ekstreemum; vahemikus ( a,b) y=f(x) saavad olla ekstreemumid vaid nendes punktides, kus f'(x)=0 või ei eksisteeri üldse
Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim () Katkevuspunktide liigid · I liiki katkevuspunkt kui on olemas mõlemad lõplikud ühepoolsed piirväärtused: lim = + lim = - · Kui A = B, siis on funktsioonil punktis a kõrvaldatav katkevus. · Kui A B, siis on funktsioonil punktis a hüppekoht. · II liiki katkevuspunkt vastasel juhul, st kui vähemalt üks ühepoolne piirväärtus ei eksisteeri või on lõpmatus: lim = ± või puudub + lim = ± või puudub - Ülesanne. Leida järgmiste funktsioonide katkevuspunktid, teha kindlaks nende liik. Võimaluse korral kõrvaldada katkevus. 3 1
Ühepoolsete piirväärtuste tähistused. 13. Millal piirväärtus ei eksisteeri? (Ka graafiliselt) 1) Parem- ja vasakpoolsed piirväärtused eksisteerivad, kuid ei võrdu. 2) Funktsiooni väärtused kasvavad tõkestamatult punkti a ümbruses. 3) Kui toimub funktsiooni väärtuste suur võnkumine punkti a ümbruses. 14. Piirväärtuste tehetega seotud omadused ja tähtsad piirväärtused. 15. Teoreem 1 (koos tõestusega), Teoreem 2 ja Teoreem 5 (lk 10). Teoreem 1: Kui funktsioonil f(x) on olemas piirväärtus punktis a, siis see piirväärtus on ühene. Tõestus: Oletame vastuväiteliselt, et on olemas 2 piirväärtust St lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑗𝑎 lim 𝑓(𝑥) = 𝐵 . Nüüd lahutame võrduse mõlemad pooled: 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 − 𝐵 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 Paneme tähele, et lim 𝑓(𝑥) − lim 𝑓(𝑥) = lim ( 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)) = lim 0 = 0
y P f(x) x Funktsiooni tuletis kohal x on võrdne 0 x x+x funktsiooni graafikule kohal x tõmmatud puutuja tõusuga. 9 Funktsiooni diferentseeruvus Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. Kui funktsioonil y = f (x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on diferentseeruv aga mingi piirkonna igas punktis, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. Teoreem. Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal. 10 Näide Seega on pidevus funktsiooni diferentseeruvuse tarvilik tingimus
b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.1.2. Igakorral kehtib võrratus; a.2. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3
puudu üks kümnetuhandik. Ka siis, kui arvutame funktsiooni väärtused argumendi väärtusest x = 1 paremale poole jäävatel kohtadel, näeme, et mida lähemal on x väärtus arvule 1, seda vähem erineb funktsiooni väärtus arvust 2: x 1,00001 1,0001 1,001 1,01 1,1 1,5 y 2,00001 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 Seega kui x 1, siis y 2. Kuigi funktsioonil puudub väärtus kohal x = 1, öeldakse, et tal on sellel kohal olemas piirväärtus. x 2 -1 Arvu 2 nimetatakse funktsiooni y = piirväärtuseks argumendi lähenemisel x -1 x 2 -1 arvule 1 ja kirjutatakse lim = 2. x 1 x -1 10
5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon z=f(x; y) on diferentseeruv selles punktis. Kui funktsioon z = f (x; y) on diferentseeruv punktis P(x; y), siis funktsioon f on pidev selles punktis. Suurust df := fx (x; y)dx + fy (x; y)dy; kus dx := x ja dy := y, nimetatakse funktsiooni f (x; y) täisdiferentsiaaliks. Suurust d2f=d(df) nim teist järku täisdif. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1;.....
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20
Teooria 2. kollokvium 1.Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓′ (𝑥)−𝑓′ (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎
Piirväärtuste tehetega seotud omadused ja tähtsad piirväärtused. 1. kui c on konstant, siis lim [cf(x)] = c[lim f(x)] s.t 2. lim [f(x) ± g(x)]= lim f(x) ± lim g(x) 3. lim[f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x) 4. lim f(x) /g(x) = lim f(x) /lim g(x), eeldusel et lim g(x)≠0 5. Iga konstandi c korral lim c= c 6. lim x→a x = a Tähtsad piirväärtused: 9. Teoreeme piirväärtuste kohta (Teoreem 1 koos tõestusega). Teoreem 1: Kui funktsioonil f(x) on olemas piirväärtus punktis a, siis piirväärtus on ühene Tõestus: 10. Funktsiooni pidevus (definitsioonid, tingimused pidevuseks ja näited, geomeetriline tõlgendus, tehted pidevate funktsioonidega). Definitsioon: funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui f(x) piirväärtus kohal a võrdub funktsiooni f(x) väärtusega sellel kohal Tingimused pidevuseks: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a
. . x4 ) = ( 4 , 5 , 6 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 ) 1 1 1 1 0 0 kanname tõeväärtustabeli (4, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15)1 4-muutuja kaardile Lihtimplikantideks nimetatakse maksimaalseid ehk suurimaid implikante — selliseid, mis tervikuna ei sisaldu üheski muus (veelgi suuremas) 1-de intervallis. sellel funktsioonil on lihtimplikantideks : {100 101} {001 011} {001 101} |____________________________________________________________________________________ | x 3 x4 x 1 x2 00 01 11 10 00 Leida Karnaugh' kaardi abil MDNK ja Taandatud DNK Ü
Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem 2.2. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse denfitsioon. ( ) Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises( ) piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on limf(x) = b ehk f(x) b kui x a xa Tingimus x = a piirväärtuse definitsioonis on sisse toodud() selleks, et eristada funktsiooni väärtust kohal a tema piirväärtusest kohal a. Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline tõlgendus. ( )
10. Mitme muutuja funktsiooni kui f ( x0 ; y 0 ) < f ( x, y ) kõigi punktile maksimumi ja miinimumi mõisted. ( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Ekstreemumi tarvilik tingimus (tõestusega). erinevate punktide f ( x, y ) puhul. Ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui Öeldakse, et funktsioonil funktsioonil z = f ( x, y ) on punktis M 0 ( x0 ; y 0 ) (s.o. z = f ( x, y ) on x = x0 , y = y 0 puhul x = x0 ja y = y 0 korral) maksimum, ekstreemum, siis argumentide nende väärtuste puhul z iga esimest järku kui f ( x0 ; y 0 ) > f ( x, y ) kõigi punktile osatuletis võrdub nulliga või puudub. ( x0 ; y0 ) küllalt lähedaste ja temast Tõestus. Anname muutujale y kindla
lim xa f(x) = A või lim f ( x) = A x a või f(x) A, kui x a. Näide . Tõestame,et lim x1 (2x + 1) = 3. Olgu > 0 suvaline.Siis f(x) - A=(2x+1)-3 = 2x-1< , kui x-1< . Seega võttes = , näeme, et definitsiooni 1nõuded on täidetud. 2 2 Definitsioon 2. Öeldakse, et funktsioonil f on lõpmatu piirväärtus piirprotsessis . x a, kui iga arvu N > 0 korral leidub arv > 0, nii et f(x) > N ( f(x) < -N ), alati kui 0 < | x - a | < . Kirjutame lim xa f(x) = ( vastavalt lim xa f(x) = - ). 2. Funktsiooni piirväärtuse omadused Teoreem 2. Kui eksisteerivad lõplikud piirväärtused lim xa f(x) = A ja lim xa g(x) = B, siis 1) lim xa [ f(x) ± g(x)] = A ± B, 2) lim xa [ c f(x)] = c A,
3 sest 1 ( 3 = 3 x x)' 2 3 ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad. 2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone. Uurime: On antud funktsioonid: Leiame nende kõikide tuletised: Kõikide ühine tulemus: x3 x 3 3 ' f(x) = 3 = x2 2
Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused Kui punkt A on suuruse P piirväärtus, siis öeldakse et suurus P läheneb punktile A ehk koondub punktis A ja kirjutatakse P A või lim P= A. A ja P vaheline kaugus läheneb nullile. Suuruse P koordinaadid peavad samuti lähenema punkti A vastavte koordinaatideni st. kui PA siis piai, Iga i = 1,2,...,m korral 10) Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. M-muutuja funktsioonil on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis P A, mis rahuldab tingimust P A, funktsiooni väärtus (P) läheneb arvule b. Sellisel juhul kirjutatakse Lim (x)=b või (P) b kui P A. PA 11) Mitmemuutuja funktsiooni pidevus etteantud punktis. Pidevus piirkonnas. Millise omadusega on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik? · Olgu antud mitmemuutuja funkts. z = (P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni. nim
Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaosaks. J¨a¨akliikme v~oib v¨aikese x korral funktsiooni muudu avaldises ¨ara j¨atta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C - konstant, 5. d(u/ v)= (vdu-udv)/ v2 kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). ¨ Oeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on m¨a¨aratud punkti x1 mingis u¨mbruses (x1 - ²,x1 + ²); 2. iga x (x1 - ²,x1 + ²) korral kehtib v~orratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funkt- siooni lokaalseteks
Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused Kui punkt A on suuruse P piirväärtus, siis öeldakse et suurus P läheneb punktile A ehk koondub punktis A ja kirjutatakse P A või lim P= A. A ja P vaheline kaugus läheneb nullile. Suuruse P koordinaadid peavad samuti lähenema punkti A vastavte koordinaatideni st. kui PA siis piai, Iga i = 1,2,...,m korral 10) Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. M-muutuja funktsioonil on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis P A, mis rahuldab tingimust P A, funktsiooni väärtus (P) läheneb arvule b. Sellisel juhul kirjutatakse Lim (x)=b või (P) b kui P A. PA 11) Mitmemuutuja funktsiooni pidevus etteantud punktis. Pidevus piirkonnas. Millise omadusega on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik? · Olgu antud mitmemuutuja funkts. z = (P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni. nim
Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. Kehtib võrdus Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. Kõrgemat järku diferentsiaalid.
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
= 28 x - 0,01x 2 - 50 Statsionaarne punkt (kus tuletis võrdub nulliga) on = 28 - 0,02 x 28 - 0,02 x * = 0 x * = 1400 Ekstreemumi piisav tingimus (teist järku tuletise märgi järgi) = -0,02 ( x * ) = -0,02 < 0 Funktsioonil on statsionaarses punktis x * = 1400 lokaalne maksimum. max = ( x * ) = 28 1400 - 0,01 1400 2 - 50 = 19550 2. (10) Leidke tulufunktsiooni z = x 2 + y 2 + 2 xy - x 4 - y 4 kõik esimest ja teist järku osatuletised ( x ja y on müüdud kogused). Leidke funktsiooni kõik statsionaarsed punktid. z xx = 2 -12 x 2 z x = 2 x + 2 y - 4 x 3
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a2 b2 c2 = a2 b2 c2 , a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 5. funktsioon kasvamise ja kahanemise omadused 1 Iga u ¨lesanne annab 4 punkti. 1 2 6. Funktsioonil y = f (x) on punktis x0 lokaalne miinimum, kui y ordub (x4 + 5x2 )3 ) 7. Millega v~ a b x 8. Kujundi pindala S v~ ordub b
(x2). Kui funktsiooni y = f (x) on rangelt kahanev, leidub selline > 0, et 0 < | x| < y / x < 0. Kui funktsiooni f (x) tuletis kohal x on positiivne ( negatiivne), siis funktsioon f (x) kasvab (kahaneb) rangelt punktis x. o Kui punkt a on funktsiooni f (x) statsionaarne punkt ja f'' (x) on pidev punktis a ning f'' (a) 0, siis funktsioonil f (x) on punktis range lokaalne ekstreemum, kusjuures f'' (a) < 0 on punktis a range lokaalne maksimum ja f'' (a) > 0 korral on punktis a range lokaalne miinimum. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv , et 0 < | x| < y 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
määramispiirkonna kirjeldus. 3) Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. See omadus tuleneb otseselt funktsiooni ühesusest. Tõepoolest: kui leiduks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikaks graafikut mitmes punktis, siis oleks funktsiooni graafikul vaadeldavas kohas mitu "kõrgust", seega oleks ka funktsioonil ühe argumendi korral mitu väärtust. (Ühesel) funktsioonil ei saa aga mitut väärtust olla. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y- teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks, kui iga xX korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x)
annaabi.ee 
