vahemikus. Tunnus: f´´(x)>0 16) Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on võrdsed. Graafik sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=f(-x) 17) Funktsiooni nimetatakse paarituks kui funktsiooni väärtused kohtadel x ja -x on vastasmärgilised. Graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. f(-x)=-f(x) 18) Asümptoodiks nim. Sirget, millele funktsiooni graafiku mingi haru läheneb piiramatult. Rõhtasümptood y=b, st. sirge tõus on 0. Püstasümptood paralleelne y-teljega Kaldasümptood y=kx+b on siis, kui leiduvad konstandid k ja b nii, et
Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Asümptoodi mõiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Punkt eemaldub lõpmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a=x joone y=f(x) vertikaalasümptoot? Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25) Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Sirget # nimetatakse joone = asümptoodiks, kui joone = jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest # läheneb nullile. Vertikaalasümptoot on y-teljega paralleelne sirge. Asümptoodi võrrand on = . Sirje = on joone = asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim , lim) , lim, , lim, '() '( '( '(
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,vnimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja). Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui x → a−¿ f ( x )=−∞ kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim ¿ ,
Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f′′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=kx + b protsessis 𝑥 → − või 𝑥 → + , kusjuures neid kahte kaugenemist tuleb uurida eraldi.
a joone y = f (x) vertikaalasumptoot? Kaldasumptoot ja horisontaalasumptoot. Valemid kaldasumptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f (x) = - lim f (x)= xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+
Olgu f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a;b), siis kehtib: Kui f´´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a;b). Kui f´´(x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) kumer vahemikus (a;b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f (x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega
Def: Öeldakse, et funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne maksimum, ki leidub selline positiivne arv δ, et 0<|∆xl<δ⇒∆y≥0. Def: Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatult eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. 16. Fermat´ teoreem. Kui funktsioonil f(x) on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis funktsiooni Tõestus. tuletis selles punktis on null. Olgu selles punktis x väitsevastaselt f´(x)≠0. Seega f´(x) >0 või f´(x)<0 ja funktsioon f(x) on selles punktis
Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusesse selle kaugus sirgest läheneb nullile. Vertikaalasümptood y-teljega paralleelne sirge. Võrrand Tingimused, mille korral on joone vertikaalasümtood: 1. 2. 3. 4. Kaldasümptood - Sirge, mis on paralleelne y-teljega. Võrrand , kus k on asümptoodi tõus. Horisontaalasümtood Kaldasümtooodi erijuht, kus Võrrand Kui on joone asümtood protsessis siis k ja b avalduvad valemitega 1. 2. 11
Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot- kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 30. Funktsiooni algfunktsioon- funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul:
olemas alumine rada. Funktsiooni suurimat ja vähimat väärtust hulgal nimetatakse funktsiooni ekstremaalseteks väärtusteks sellel hulgal. (Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalseteväärtuste vahel.) Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nim selle joone asümptoodiks. Vertikaalasümpt: x=a, kaldasümpt: y=kx+b Funktsiooni tuletiseks punktis a nimetatakse funktsiooni muudu(y) ja argumendi muudu(x) jagatise piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis a, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv punktis a y
Seega on vastav punkt käänupunkt. Väärtusel käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil -teljestikus joont . Sirget nimetatakse joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest läheneb nullile. b. Vertikaalasümptoot Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a. c. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Sirge joone vertikaalasümptoot ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: Põhjendus: Sirged , kus , on joone vertikaalasümptoodid. Kehtivad piirväärtused
Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised. *d(f+g) =df*g + f*dg Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb *d() = . tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone asümptoodiks. Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni n-1-järku *vertikaalasümptoodid x=a; *kaldasümptoodid y=kx+b, diferentsiaalist. 1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning 4. Parameetriliselt antud funktsiooni tuletis
Seega korral asendub nõgusus kumerusega, mis tähendab, et on käänupunkt. 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x=a joone y=f(x) vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Vaatleme tasandil xy-teljestikus joont y=f(x). Sirget l nimetatakse joone y=f(x) asümptoodiks, kui joone y=f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. a.i. Vertikaalasümptoodid need on y--teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a a.ii. Sirge x=a on joone y=f(x) asümptoot siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtuses: a.iii. Põhjendus: Olgu sirge joone vertikaalasümptood
Selgitada, mis on joone Kui punkti funktsiooni y = f (x) argumendi asümptoot. Mis on püstasümtoot kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel ja kaldasümptoot? mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x = a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Mis on antud funktsiooni y = f(x) Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsioon? algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F´(x) =
Kui tuletisel f (x) on kriitilises punktis a lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt. 17 Funktsiooni graafiku asümptoodid Asetsegu punkt ( x; y ) funktsiooni f graafikul, millel on lõpmatusse ulatuv haru. Kui punkti ( x; y ) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Vasakpoolne y y = f (x) rõhtasümptoot y=b b Parempoolne kaldasümptoot y = mx + b a 0 x Püstasümptoot x= a 18 Funktsiooni graafiku asümptoodid
ε>0 korral sirgest läheneb nullile, siis nim. seda sirget joone asümptoodiks. y=f (x) f ( x ) + g( x) ja Joonisel võib olla leidub selline
3 a) muudab. Seega on ühel pool punkti a jääkliige positiivne ja teisel pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni graafikut ja teisel pool punkti a on puutuja ülalpool funktsiooni graaikut ning punkt a on käänupunkt. 20).Joone asümptoodid Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks. · vertikaalasümptoodid x = a; Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. · kaldasümptoodid y = kx + b, kus Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata juhul ning seejärel asetada nad antud võrdusesse. (y=ax+b)
punktist on absoluutväärtuselt konstantne. Definitsioonis mainitud kaht antud punkti nim hüperbooli fookusteks. x²/a²-y²/b²=1 nim hüperbooli kanooniliseks võrrandiks. Sellest võrrandist järeldub, et hüperbool on teist järku algebraline joon. Hüperbooli omadused: 1. hüperbool on sümmetriline x-telje, y-telje ja nullpunkti suhtes. 2. hüperbool lõikab x-telge punktides A1(-a;0) ja A2(a;0) y-telge hüperbool ei lõika. Hüperbooli asümptoodiks nim sirget millele hüperbool kulgemisel lõpmatusse piiramatult läheneb. Risthüperbooliks ehk võrdhaarseks hüperbooliks nim hüperbooli mille reaal- ja imaginaartelg on võrdsed, (a=b). Siit järeldub, et risthüperbooli asümptoodid ristuvad. Parabool Parabooliks nim tasandi niisuguste punktide hulka mis asuvad võrdsel kaugusel antud punktist, mida nim fookuseks ja antud sirgest mida nim juhtjooneks. Fookuse kaugust juhtjoonest tähistatakse tähega p, mida nim parabooli parameetriks
märki, siis on P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. Põhjendus: Kui f(x) on väiksem nullist punktist x1-st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f(x) kumer punktist x1 vasakul ja nõgus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P = (x1, f(x1)) käänupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasõmptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x), siis vastavalt asümptoodi definitsioonile tema kaugus sirgest x = a läheneb nullile. Seega peab punkti M x-
Jagades suurusega g(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi . Teoreem on tõestatud. 32Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = Teoreem 3.6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~oigul [a, b] pidev ja vahemikus f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Tõestus
Tippude vahelist lõiku
pikkusega 2a nimetatakse hüperbooli reaalseks teljeks, arvu a aga reaalseks poolteljeks. Hüperbooli
ja y-telje lõikepunkti leidmiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem. x2/a2-y2/b2=1 ja x=0 y2/b2=-1.
Sellel võrrandil ei ole reaalseid lahendeid ja seega y-telge hüperbool ei lõika. Seetõttu arvu b
nimetatkse imaginaarseks poolteljeks. 3. Hüperbool sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide
alguse suhtes. 4. Hüperbooli asümptoodiks nimetatakse sirget, millele hüperbool lõpmatusse
kulgemisel piiramatult läheneb. Saab näidata, et hüperboolil on 2 asümptooti. Nendeks on sirged
y=(b/a)x ja y=(-b/a)x. 5. Suhet e=c/a nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Kuna 0a
Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P= (x1;f(x1) ) joone y= f(x) käänupunkt. 20).Joone asümptoodid Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks. vertikaalasümptoodid: Joon x=a on funktsiooni y=(f) vertikaalasümptoodiks, kui vähemalt üks järgnevatest tingimustest on tõene: 1. 2. horistonaatlasümptoodid: Horisontaaljoon y=c on funktsiooni y=f(x) asümptood, kui: või . kaldasümptoodid y = kx + b, kus
Kuidas neid leitakse? Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 76.Mida nimetatakse funktsiooni asümptootideks? Kui funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks. 77.Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote? 78.Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Kui ühemuutuja funktsioon on y=2x Ja meile on vaja leida algfunktsion, leidmiseks me kasutame integrali siis võtame integralir ühe muutuja funktsioonist 79.Algfunktsioonide hulga üldkuju. Kui F(x) ja G(x) on kaks erinevat funktsiooni f(x) algfunktsiooni, siis nad erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra. 80.Määramata integraali mõiste
nimetatakse selle joone käänupunktiks. (eeldame puutuja olemasolu punktis C). Käänupunktis puutuja lõikab joont. Näide. Leiame joone y = x3 +2 kumeruse ja nõgususe piirkonnad ning käänupunktid. Leiame y =3 x 2 , y =6 x. Siis teoreemi 19 põhjal on antud joon nõgus vahemikus (0,) ja kumer vahemikus (,0), joone käänupunktiks on punkt (0,2). 7. Joone asümptoodid Definitsioon 12. Sirget u nimetatakse joone y = f(x ) asümptoodiks, kui joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest u läheneb nullile. Joone punkti P=(x,y) kaugenemine lõpmatussetähendab seda, et x (x ) või y (y ). Asümptoodid liigitatakse püstasümptootideks (vertikaalasümptootideks), kald- asümptootideks ja rõhtasümptootideks ( horisontaalasümptootideks). I Püstasümptoodid on sirged võrrandiga x=a. Sirge x=a on joone y = f(x) püst- asümptoodiks parajasti siis, kui
Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine. Kaldasümptoot: Kaldasümptoodid on asümptoodid, mille võrrand avaldub kujul y=mx+b. Parempoolsed kaldasümptoodid y=m+x+b+ m+= b+= Vasakpoolsed kaldasümptoodid y=m-x+b- m-= b-= kui kehtivad võrdused:
käänupunkt. Väärtusel x=0 käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge a x = joone ) (xfy = vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil xy -teljestikus joont y=f (x) . Sirget l nimetatakse joone y=f ( x) asümptoodiks, kui joone y=f ( x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x=a. Millistel tingimustel on sirge x=a joone y=f ( x) vertikaalasümptoot? Põhjendada. Sirge x=a joone y=f ( x) vertikaalasümptoot ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: x a-¿ f ( x )=- x a-¿ f ( x )=
millest funktsiooni f teise tuletise negatiivsuse tõttu f (x ) < Y iga x(a,b) korral, mis tähendabki joone y = f (x) kumerust vahemikus (a,b). Juhul f (x) > 0 on tõestus analoogiline. Joone y = f (x) punkti C = (c, f (c)), mis eraldab joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. (eeldame puutuja olemasolu punktis C). Käänupunktis puutuja lõikab joont. joone asümptoodid: Sirget u nimetatakse joone y = f(x ) asümptoodiks, kui joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest u läheneb nullile. Joone punkti P=(x,y) kaugenemine lõpmatusse tähendab seda, et x (x ) või y (y ). Asümptoodid liigitatakse püstasümptootideks (vertikaalasümptootideks), kald-asümptootideks ja rõhtasümptootideks ( horisontaalasümptootideks). I Püstasümptoodid on sirged võrrandiga x=a. Sirge x=a on joone y = f(x) püst-asümptoodiks parajasti siis, kui
Kumeruspiirkond: f´´(x)<0 Nõgususpiirkond: f´´(x)>0 Käänupunkt: f´´(x)=0 või kui f´´ puudub 5. Selgita, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümptoot ja kaldasümptoot? Kui punkti funktsiooni y=f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingis sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Püstasümptoot: püstasümptoodid on asümptoodid, mis asetsevad risti x-teljega. Püstasümptoodi võrrandi üldkuju on x=a. Antud joone korral otsitakse püstasümptoote selliste x väärtuste juures, kus tekib 0-ga jagamine. Kaldasümptoot: Kaldasümptoodid on asümptoodid, mille võrrand avaldub kujul y=mx+b. Parempoolsed kaldasümptoodid y=m+x+b+ m+= b+= Vasakpoolsed kaldasümptoodid y=m-x+b- m-= b-= kui kehtivad võrdused:
Selle leidmiseks esmalt lahendada võrrand f ''(x) = 0 (see on ainult tarvilik tingimus) ja seejärel uurida, kas f `' (x) muudab märki nimetatud punktis. 8. Joone asümptoodid. 4 Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] . x x x Võrrandi numbriline lahendamine- Võrrandi numbriliseks lahendamiseks on mitmeid võimalusi : 1
29. Kuidas leida funktsiooni kumeruse ja nõgususe piirkondi ning käänupunkte? Funktsiooni teise tuletise abil. 30. Selgitada, mis on joone asümptoot. Mis on püstasümtoot ja kaldasümptoot? Kui punkti funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x = a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui punkt (x; y) läheneb kaldasümptoodile protsessis x+lõpmatus (x - lõpmatus) siis kaldasümptooti nimetatakseparempoolseks (vasakpoolseks) kaldasümptoodiks. Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. 31
käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - ∞ xa- lim f(x)= - ∞ xa+ lim f(x)= ∞ xa- lim f(x)= ∞ xa+
Omadus 2. Hüperbool on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. Hüperbooli kuju sõltub arvudest a ja c. Suhet c e= a nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks. Kuna c>a, siis e > 1 . Definitsioon. Kui joone punkti X(x,y) kaugenemisel lõpmatusse tema kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetame joone asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = ax + b, kus a 0, nimetatakse joone kaldasümptoodiks. Teoreem. Sirged b b y=- x ja y= x. a a on hüperbooli kaldasümptoodid. Tõestus: Hüperboolil on neli lõpmatusse minevat "otsa". Näitame, et hüperbooli "parempoolse" haru "ülemise otsa" asümptoodiks on sirge l2. Sellel osal Seega
Selle leidmiseks esmalt lahendada võrrand f ''(x) = 0 (see on ainult tarvilik tingimus) ja seejärel uurida, kas f `' (x) muudab märki nimetatud punktis. Näide: Leida, kas punktis x = 1 ümbruses funktsioon y = 3x 2 + 2x + 7 on kumer või nõgus. y = 6x + 2 y = 6 > 0 nõgus kõikjal 8. Joone asümptoodid. Def Kui joone y = f ( x ) punkti P(x;f(x)) kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus teatavast sirgest läheneb piiramatult nullile, siis seda sirget nimetatakse joone y = f ( x ) asümptoodiks Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] x x x Ligikaudne arvutamine Defineerisime diferentsiaali kui funktsiooni muudu peaosa. See võimaldab kasutada diferentsiaali kui funktsiooni muudu ligikaudset väärtust dy y Valem on seda täpsem, mida väiksem on muut x
võrdsuse omavahelise seose kohta. (lk 11) Piirväärtus limx→a f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad v˜ordsed ¨uhepoolsed piirv¨a¨artused lim x→a− f(x) ja lim x→a+ f(x). Peale selle, piirv¨a¨artuse limx→a f(x) olemasolu korral kehtib valem limx→a f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x). 14. Defineerida funktsiooni graafiku asümptoot. (lk 13) Sirget nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui P → ∞ selle punkti kaugus sirgest läheneb nullile. 15. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasümptoot? Millistel tingimustel on sirge y = b joone y = f(x) horisontaalasümptoot? (lk 13) Sirge x = a on joone y = f(x) vertikaalasümptoot, kui piirprotsessis x → a − või x → a + funktsiooni väärtus f(x) läheneb kas pluss või miinus lõpmatusele. Sirge y = b on joone y = f(x) horisontaalasümptoot, kui piirprotsessis x → −∞ või x → ∞
Seega b-a=h; c=a+9h; 0<9<1; b- Kui n=2k on paarisarv, siis xn /n!= x2k /n!>0, kui xx1 Eeldame, et f(n)(x) on pidev punkti x1 ümbruses, siis c=a+h-a+9h=h(1-9) 22. Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, Siis saame f(x)-f(x1)>0 ; f(x)>f(x1) x1 ümbruses millele funktsioon y=f(x) graafik läheneb kui tahes Seega x1 on miinimum. lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku Analoogselt saame, et f(n)( x1)<0 siis x1 on max. Kui n on
järku tuletis f ` ` (x1) puudub. Funktsiooni argumendi väärtusi mille korral kas teist järku tuletis võrdub nulliga või lõplik teist järku tuletis puudub nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks. 34. Joone graafiku asümtoodid: Asümptoodid. Definitsioon1. kui võrrandiga y=f(x) antud joone punkti P kaugenemisel lõpmatusse selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nim. antud joone asümptoodiks. Kaldasümptoot. Valem: y=kx+b; Joone y=f(x) kaldasümptootide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata: juhul x- seosest lim x- (f(x)-kx-b)=0 millest saame, 1 et k= lim x- f(x)/x ^ b= lim x-(f(x)-kx); *juhul x+ seosest lim x+ (f(x)-kx-b)=0, millest saame, et k=lim x+ f(x)/x ^ b= lim x+(f(x)-kx). Kui uuritaval juhul vaadeldavad piirväärtused suuruste k ja b leidmiseks eksisteerivad, siis
tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asu¨mptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asu¨mptoodi v~orrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - xa- lim f(x)= - xa+ lim f(x)= xa- lim f(x)= xa+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asumptoodi v~orrand on y = kx + b, kus k on asumptoodi t~ous. Kaldasumptoodi erijuht on horisontaalasumptoot, mis on paralleelne x-teljega. T~ous k on sellisel juhul v~ordne nulliga, st asumptoodi v~orrand on y = b.
Globaalse maksimumi ja globaalse miinimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. 28. Käänukoht - punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot - kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 4 30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul:
(Asümptoodid)*Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle lokaalsete punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: valemit. * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid
Esitage 2 näidet! Kui murru lugeja aste on nimetaja astmest madalam, siis nimetatakse murdu lihtmurruks, vastasel juhul liigmurruks. Näited: lihtmurd: , liigmurd: , 15. Mis on osamurrud? Toode 2 näidet! Osamurd on murd kujul , kus A, B, p, q on reaalarvulised konstandid ja nimetaja nullkohad ei ole reaalarvud ning k on positiivne täisarv. Näited: v.t. punkti 12 16. Mis on funktsiooni graafiku asümptoot? Tooge 2 näidet! F-ni graafiku asümptoodiks nimetatakse sirget, mis tähistab graafiku lõpmatusepunkti, millele graafik läheneb piiramatult. Näited: v.t. järgmist punkti 17. Mis on funktsiooni graafiku püstasümptoot, kaldasümptoot? Tooge 2 näidet! Sirget x=a, kus a on funktsiooni f(x) graafiku lõpmatuspunkt, nimetatakse püstasümptoodiks. Sirget y=ax+b nimetatakse funktsiooni graafiku kaldasümptoodiks, kui funktsiooni f(x) graafik läheneb sellele piiiramatult. Näited: Antud juhul on sirge püstasümptoot ja
Teoreem Käänupunkti piisav tingimus Olgu funktsiooni teist järku kriitiline punkt, kui läbides seda punkti teine tuletis märki muudab on joone käänupunkt. Tõestus Oletades, et on suurem nullist punktist paremal ja väiksem vasakul. Järelikult on joon nõgus punktist vasakul ja kumer paremal. Seega korral asendub nõgusus kumerusega, mis tähendab, et on käänupunkt. 32. Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusesse selle kaugus sirgest läheneb nullile. Vertikaalasümptood y-teljega paralleelne sirge. Võrrand Tingimused, mille korral on joone vertikaalasümtood. Olgu sirge joone vertikaalasümtood. Kui punkt eemaldub lõpmatusesse joonest siis tema kaugus sirgest läheneb nullile. Järelikult peab punkti M x-kordinaat lähenema punktile a, kas vasakult või paremalt
Analoogiliselt arutleme juhul, kui f(x) on väiksem nullist punktist x1-st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f(x) kumer punktist x1 vasakul ja nõgus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P =(x1, f(x1)) käänupunkt. 32. Joone asumptoodi definitsioon. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l l.aheneb nullile. Vertikaalasumptoot. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasumptoot.? Pohjendada. Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasümptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x), siis vastavalt asümptoodi
(x2-x1)
Kui x < x1 , siis x1 - x < 0, x1 - x < 0 Kui funktsioon on kumer, siis puutuja väärtused on suuremad ja y - y 0 Järelikult - y ' ' ( ) > 0 ehk y ' ' ( ) < 0 x x1 x1 Järelikult y ' ' ( x) < 0, x (a, b) m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 37 Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine. Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, millele funktsioon y = f (x) graafik läheneb kui tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22.1) lim f ( x) = + või lim f ( x) = + x x0 - 0 x x0 + 0 Enamasti on x 0 II liiki katkevuspunkt.
Kui x < x1 , siis x1 - x < 0, x1 - x < 0 Kui funktsioon on kumer, siis puutuja väärtused on suuremad ja y - y 0 Järelikult - y ' ' ( ) > 0 ehk y ' ' ( ) < 0 x x1 x1 Järelikult y ' ' ( x) < 0, x (a, b) m.o.t.t. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 37 Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid. Funktsiooni täielik uurimine. Definitsioon 1 Asümptoodiks nimetatakse sirget, millele funktsioon y = f (x) graafik läheneb kui tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22.1) lim f ( x) = + või lim f ( x) = + x x0 - 0 x x0 + 0 Enamasti on x 0 II liiki katkevuspunkt.
annaabi.ee 
