Analüüs 1 teooriatöö põhiküsimused. 1. Definneerida funktsiooni f(x) algfunktsiooni ja tuua näiteid. Mis on algfunktsioonide üldavaldis? Põhjenda seda. Defineerida sümboli f ( x ) dx. Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral. x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Integraal Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni [F(x)+c], mille tuletis on võrdne f(x). Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2
järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C
Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks: 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. 30
Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C konstant Geomeetriline sisu
sirgest läheneb nullile. Vertikaalasümptood y-teljega paralleelne sirge. Võrrand Tingimused, mille korral on joone vertikaalasümtood: 1. 2. 3. 4. Kaldasümptood - Sirge, mis on paralleelne y-teljega. Võrrand , kus k on asümptoodi tõus. Horisontaalasümtood Kaldasümtooodi erijuht, kus Võrrand Kui on joone asümtood protsessis siis k ja b avalduvad valemitega 1. 2. 11. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Algfunktsioon funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e
kus - on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne -teljega. Tõus - on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on . Kui - on joone asümptoot protsessis , siis - ja avalduvad valemitega - lim / lim 0 - 1 '. '. 26) Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse
Kaldasümptoodid on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. f (x ) k= xlim →∞ x lim [f ( x )−kx ] b= x→∞ 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2
xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste
Kirjutame ja ütleme, et funktsioon on avaldatud funktsiooni kaudu, rakendades argumendile -operaatorit, kui Funktsiooni võib arvutada järgmise algoritmi järgi: Arvutame järjestikku , , ................................................ Kui saame mingi arvu korral, , siis lõpetame ja väljastame . Definitsioon 1.5. ([1], 23) Funktsiooni nimetatakse osaliselt rekursiivseks (ORF), kui ta on algfunktsioon või teda saab avaldada algfunktsioonide kaudu, kasutades lõplik arv kordi asendusskeemi, lihtrekursiooniskeemi ja -operaatorit. Mõiste funktsiooni (*)-arvutatavus tähendab seda, et selle funktsiooni väärtusi on võimalik arvutada vastava Turingi masina abil, kus see ,,(*)" märgib kahte tingimust, mis peavad kehtima vastava Turingi masina korral. Need tingimused on järgmised: 1*) funktsiooni väärtuse arvutamisel ei asu masina lugev-kirjutav pea lindil kunagi vasakul pool argumendi (argumentide) esimest vasakpoolset pesa,
siis punkti M kaugus läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest võrdub lõigu MP pikkusega , saame Ühtlasi näeme jooniselt, et , kus on asümptoodi tõusunurk. Kuna jääb muutumatuks protsessis , siis põhjal Edasi paneme tähele et, võrdub funktsioonide ja väärtuste vahega, st Seega Selles avaldises , kui . Seega ehk 33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. a. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus . b. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f
vi.7. Tuues x sulgude ette saame: a.vi.8. Selles valemis oleva korrutise esimene tegur (x) läheneb lõpmatusele, kuid korrutis ise läheneb nullile. Järelikult peab teine tegur lähenema nullile: a.vi.9. Selles avaldises , kui . Seega: a.vi.10. Võrdusest saame veel: 11. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldiste kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. a. Algfunktsiooni definitsioon - funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus b. Algfunktsioonide üldavaldised - Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus c. Tõestus: c.i. Kuna iga korral, siis : ,
Funktsioonid, mis erinevad vabaliikmete poolest, annavad sama tuletise, seega on kõik ülaltoodud funktsioonid funktsiooni x2 algfunktsioonid. Kõik need funktsioonid saab kokku võtta nii, et tähistame vabaliikme (liidetava) konstandi C abil: x3 f(x) = 3 x3 x3 f(x) = 3 + 3 3 +C x3 f(x) = 3 - 5 x3 1 f(x) = 3 + 2 Kõikide nende algfunktsioonide argumentide x hulgad erinevad teineteisest maksimaalselt liidetava C võrra. Kui teame mingi funktsiooni f(x) üht algfunktsiooni F(x), siis saame kohe avaldada mis iganes teise algfunktsiooni kujul F(x) + C. Täpsemalt öeldes on algfunktsioon F(x) ja C sellele lisanduv konstant. Definitsioon Funktsiooni määramata integraaliks nimetatakse avaldist kujul F(x) + C , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant.
Selles avaldises b /x 0, kui x . Seega lim x(f(x)/ x- k)= 0 ehk lim x f(x)/ x- k = 0 ehk k = lim x f(x)/ x b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F'(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F'(x) = f(x) iga x D korral, siis [F(x) + C]' = F'(x) + C' = F'(x) = f(x) iga x D korral,
Seega [ f (x) x ] -k =0 ehk lim ¿ x f (x) x -k =0 ehk lim ¿ x f ( x) k =lim b= lim [f ( x )-kx ] x x x 33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga xD korral kehtib võrdus F ' (x)=f (x ) . Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus C on suvaline konstant.
Seega lim x→∞(f(x)/ x− k)= 0 ehk lim x→∞ f(x)/ x− k = 0 ehk k = lim x→∞ f(x)/ x b = lim x→∞ [f(x) − kx]. Kokkuvõttes oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis [F(x) + C]’ = F’(x) + C’ = F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral,
nt c b 1.4 MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTUSVÕTTED 1) Newton-Leibnizi valem MIS VAHE on määratud ja määramata integraalil? Määramata integraal on mingi algfunktsiooniga avaldis F(x) + C , mis võib omada tänu x-le mitmeid erinevaid väärtusi. Määratud integraal omab aga mingit konkreetset y väärtust mingil konkreetsel lõigul, see on mingil lõigul esinevate algfunktsioonide kõikide väärtuste summa, mingi konkreetne suurus, piiritletud suurus!! Kui vaadelda integraali tähistust, siis tuleks sellesse suhtuda nii, et määratud integraal on funktsiooni f(x) kahe algfunktsiooni vahe, kusjuures üks algfunktsioon asub ülemisel rajal, teine alumisel. VAATAME JOONIST, mõtiskleme... · Meil kulgeb funktsioon f(x) lõigul [a, b]
lim [f(x)- k - b]= 0 . x x x Selles avaldises b 0, kui x . Seega x lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4.5) x x x x x x Võrdusest (4.4) saame veel b = lim[f(x) - kx] x (Vaadake lk 99) 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x kuulub D korral, siis
33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D Jagades suurusega ba dx saame m ba f(x)dxba dx M. korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c [a, b] nii, et kujul F + C, kus C on suvaline konstant
ka funktsioon G(x) = x2 + C, kus C võib olla mis tahes reaalarv. Üldiselt, kui funktsioon y = F (x) on funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X (st F (x) = f (x)), siis on selle funktsiooni algfunktsiooniks ka funktsioon G(x) = F (x) + C, kus C on mingi reaalarv, sest G (x) = F (x) + C = F (x) = f (x). Saab näidata, et funktsioon G(x) = F (x) + C kirjeldab kõiki antud funktsiooni y = f (x) algfunktsioone. Definitsioon 3.2 Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka F (x) + C nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon
lähenemisel mingile piirvärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile,siis seda sirget nimetatakse selle funktsiooni grafiku asümptoodiks. 77.Kuidas leitakse funktsiooni asümptoote? 78.Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Kui ühemuutuja funktsioon on y=2x Ja meile on vaja leida algfunktsion, leidmiseks me kasutame integrali siis võtame integralir ühe muutuja funktsioonist 79.Algfunktsioonide hulga üldkuju. Kui F(x) ja G(x) on kaks erinevat funktsiooni f(x) algfunktsiooni, siis nad erinevad teineteisest mitte rohkem kui konstandi võrra. 80.Määramata integraali mõiste Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, siis avaldist F(x) + C, kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. 81.Määramata integraali omadused
kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 36. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y=F(x) nim funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x)=F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunktsioon, siis on seda y=F(x)+C Näide: Funktsiooni f(x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F(x) = e2x, sest F´ (x) = 2e2x = f(x). Määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim kõikide algfunktsioonide hulka ehk f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 37. Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine). Muutujavahetus - f(u)du = f[g(x)]g'(x)dx; ( u = g(x); du = g'(x)dx ) Ositi integreerimine - udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste või ln). 38. Määratud integraali mõiste ja omadused
F (x) = dF (x) = f (x) dx G(x) = dG(x) = g(x) dx c F (x) = d(c F (x)) = c f (x)dx ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Algfunktsioonide tabel Algfunktsioonide tabel Ma¨ aramata ¨ integraalide arvutamiseks kasutame fakti, et tegemist on ~ tuletise votmise po¨ ordoperaatoriga. ¨ Seega saame kasutada tuletiste tabelit. Vaatame astmefunktsiooni f (x) = x algfunktsiooni leidmist. Tuletiste tabelist (x ) = x -1 (x ) = x -1 =0
suuremad ja y- -y0 Järelikult -y''()>0 ehk y''()<0 ; xx1=>x1 Järelikult y''(x)<0, x (a,b) II liiki osamurru integreerimine 23. Definitsioon 1 Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F(x) mille korral F'(x)=f(x) Definitsioon 2 Funktsiooni f(x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1.df(x)=f(x)+C ; df(x)dx 2. 3. Lineaarsus Võttes tuletised saame, vp=>af(x)+g(x) ja pp=>af(x)+g(x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. 3. Definitsioon 1 Funktsiooni (x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks
0 ja Z''x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 35. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon funktsiooni y = F(x) nim. funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunkts., siis on seda y=F(x) + C. Määramata integraal määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim. kôikide algfunktsioonide hulka e. f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 36. Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine). Muutuja vahetus: f(u)du = f[g(x)]g'(x)dx; ( u = g(x); du = g'(x)dx ) Ositi integreerimine: udv = uv - vdu; (harilikult u-ks kas x aste vôi ln). Liitfunktsioon: f(ax+b)dx = 1/a*F(ax+b) 39. Määratud integraali mõiste ja omadused
dy = f ( x ) dx = ydx , kus dx = x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F ( x ) , mille puhul F ( x ) = f ( x ) , 36 nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks. Kuna F ( x ) = ( F ( x ) + C ) , siis avaldist F ( x ) + C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f ( x ) algfunktsioonide üldavaldist nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . Sellest definitsioonist järeldub: 1. ( ) f ( x ) dx = F ( x ) + C = f ( x ) . 2. d f ( x ) dx = f ( x ) dx . 3
F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni y = f(x) algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F(x)) = G(x) - F(x) = f(x) - f(x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule Määramata integraal. Funktsiooni y = f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse . 19. Muutujate vahetuse meetod (muutujate vahetuse selgitus). Oletame, et on vaja leida integraal , kusjuures f(x) algfunktsiooni ei ole lihtne vahetult leida. Sellisel juhul püütakse teha integraalialuses avaldises muutuja vahetust. Oletame, et x = (t) on diferentseeruv funktsioon, millel leidub pöördfunktsioon, siis: dx = '(t)dt ning kehtib võrdus
punkt M(x; y) 3) leida kõik teist järku osatuletised f''xx f''yy f''xy 4) kontrollida, kas statsionaarne punkt on ekstreemum: lahendada f''xxf''yy (f''xy)2 5) leida ekstreemumkoht f (M) 33. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y = F(x) nimetatakse funktsiooni y = f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka tähistatakse f(x)dx = F(x) + C Määramata integraali omadused: a. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette:cf(x)dx = cf(x)dx b. integraal funktsioonide summast/vahest võrdub liidetavate integraalide summaga/vahega (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx c. tuletis määramata integraalist on võrdne integraalialuse funktsiooniga [f(x)dx]' = f(x) d
t. kehtib valem f x x f x f x x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F x , mille puhul F x f x , 36 nimetatakse funktsiooni f x algfunktsiooniks. Kuna F x F x C , siis avaldist F x C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f x algfunktsioonide üldavaldist nimetatakse funktsiooni f x määramata integraaliks ja tähistatakse f x dx , s.t. f x dx F x C . Sellest definitsioonist järeldub: 1.
Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Tõestus Kuna iga korral, siis , mis näitab, et suvaline funktsioon on tõesti algfunktsioon hulgas D. Kui f-il leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul . Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid siis saame iga korral. Nulltuletist omab ainult konstantne funktsioon, seega , kus C on konstant. Sealt järeldub Määramata integraal Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldis ja tähistatakse e Määramata integraal ei ole ühene funktsioon tal on lõputult erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisalt võib tõlgendada integraali, kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon, kujutades seda funktsiooni xy-konrdinaadistikus saame joonteparve mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje paralleellükk abil. 34. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
umptoodi võrrand on y = b. Tuletada valemid kaldasumptoodi vorrandi kordajate jaoks piirprotsessis x .. Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega k = lim f(x)/ x b = lim(f(x) - kx) x x 33. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sonastada ja toestada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x D korral, siis
Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x ) + C F ( x ) = f ( x ). Funktsiooni määramata integraali leidmist nimetatakse selle funktsiooni integree- rimiseks. Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed. 1. ( f ( x) dx ) = f ( x), 2
(n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. 26. Algfunktsioon ja määramata integraal. Tehetega seotud integreerimisvõtted. Algfunktsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) = f ( x ) Määramata integraal funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f ( x )dx Tehetega seotud integreerimisvõtted: Funktsiooni u + v määramata integraal: Kui leiduvad u ( x )dx ja v( x )dx , siis suvaliste , R korral on olemas ka [u( x ) + v( x )]dx ja kehtib seos: [u ( x ) + v( x )]dx =u ( x )dx + v( x )dx TÕESTUS:
6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x ) Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust
Teada lauset 7.3 kaks korda diferentseeruva funktsiooni ekstreemumist: Eeldame, et funktsioonil f : D → R on punktis c ∈ D esimene ja teine tuletis ning f′ (c) = 0 ja f′′ (c) ≠ 0. Kui f′′ (c) < 0, siis funktsioonil f on kohal c lokaalne maksimum, juhul f′′ (c) > 0 aga lokaalne miinimum. Tuua näiteid nende lausete rakendamise kohta: 31. Funktsiooni algfunktsioon ja integreerimine Defineerida funktsiooni algfunktsioon, kirjeldada antud funktsiooni kõigi algfunktsioonide hulka. Kui intervallis D märatud funktsioon f on mingi funktsiooni F : D → R tuletis selles intervallis, s.t. F′ (x) = f (x) iga x ∈ D korral, siis öeldakse, et F on funktsiooni f algfunktsioon intervallis D. Lihtne on näha, et algfunktsioon, kui ta olemas on, ei ole üheselt määratud: kui kehtib seos (12.9), siis suvalise arvu C puhul (F (x) + C)′ = F′ (x) = f (x) iga x ∈ D korral. Niisiis, kui F on funktsiooni f algfunktsioon intervallis D, siis on seda ka funktsioon
6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x ) Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx Võttes tuletised saame, vp f ( x) + g ( x) ja pp f ( x) + g ( x) Tuletise võrdusest järeldub, et avaldised ei saa erineda rohkem kui konstandi poolest. © 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust
7.2 Algfunktsioon Definitsioon 7.1 Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemi- kus (a, b), kui F (x) = f (x) iga x (a, b) korral. Märkus 7.1 Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F (x) + C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. 7.3 Määramata integraal Definitsioon 7.2 Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F (x) + C nimeta- takse funktsiooni f määramata integraaliks. Siin F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. Tähistame f (x) dx = F (x) + C. (7.1) Definitsioon 7.3 Funktsiooni määramata integraali leidmist nimetatakse selle funktsioo- ni integreerimiseks. Märkus 7.2 Määramata integraali definitsioonist järelduvad järgmised seosed: 1. f (x) dx = f (x),
piirkonnas F ( x ) = f ( x ) . Sama tingimuse võib esitada ka kujul F ( x ) = f ( x ) ehk dF ( x ) = f ( x )dx . d dx Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F, siis on tal lõpmata palju algfunktsioone G, mis kõik avalduvad kujul G ( x ) = F ( x ) + C , kus C = const . Definitsioon: Funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f (x )dx . Seega võime kirjutada: f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: integraalimärk; f ( x )dx integraalialune avaldis;
siis funktsioon G ei ole punktis x = 1 diferentseeruv. Meenutame, et funktsiooni F : D → R nimetatakse funktsiooni f : D → R algfunktsioo- niks intervallis D, kui iga x ∈ D korral F ′ (x) = f (x). Järeldus 5.23 Kui funktsioon f on pidev lõigus [a, b], siis seosega (5.18) määratud funkt- sioon G on funktsiooni f algfunktsioon lõigus [a, b]. Tõestus. Iseseisvalt!z Järelduse 5.23 abil saame tõestada Newton–Leibnizi valemi. Kõigepealt kirjeldame funkt- siooni kõigi algfunktsioonide omavahelist vahekorda. Lause 5.24 Olgu D intervall, olgu funktsioonid F ja G funktsiooni f : D → R algfunktsioo- nid intervallis D. Siis leidub C ∈ R nii, et G(x) = F (x) + C. Tõestus. Vaadelge funktsiooni H(x) = G(x) − F (x), leidke, et H ′ (x) = 0 ning järeldage lause 4.12 abil, et H on konstantne funktsioon (iseseisvalt!z). Lause 5.24 tõttu on intervallis D funktsiooni f : D → R kõigi algfunktsioonide üldkuju
Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. M¨ a¨aramata integraali m~ oiste. Funktsiooni f algfunktsioonide u ¨ldavaldist F (x) + C, kus Con konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨a¨ aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f (x)dx = F (x) + C , C - konstant . (5.1) Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. M¨a¨ aramata integraal ei ole u ¨hene funktsioon
Kuna G ja F on u ¨he ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame (G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f (x) - f (x) = 0 iga x D korral. Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G - F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest v~ordusest saame seose G = F + C, mis n¨aitab, et 103 G ikkagi avaldub kujul F + C. J~oudsime vastuolule. Teoreem on t~oestatud. M¨ a¨aramata integraali m~ oiste. Funktsiooni f algfunktsioonide u ¨ldavaldist F (x) + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f m¨ a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f (x)dx = F (x) + C , C - konstant . (5.1) Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. M¨a¨aramata integraal ei ole u ¨hene funktsioon. Iga x korral on tal l~opmatult
Siin tähistab ühte võimalikest algfunktsioonidest ning suvalist konstanti. Määramata integ- raali tähiseks on integraali kõverik ilma ülemise ja alumise rajata. Seega kirjutak- sime: . Algfunktsioon ja määratud integraal Algfunktsioonide abil võiksime tegelikult defineerida ka määratud integraali. Nimelt võiksime öelda, et funktsiooni määratud integraal vahemikus on võrdne mõne tema algfunktsiooni muuduga selles vahemikus. Ehk siis: . kus jällegi on üks suvaliselt valitud algfunktsioon.
annaabi.ee 
