Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega (1)

Sisujuht

16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x → a+ ja f( a- ) = lim f(x); x → a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 4
17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x → a - on lõpmatu või ei eksisteeri 4
20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. 4
1. Arvuhulgad : naturaal-, täis-, ratsionaal -, reaal- ja kompleksarvud . Nende omadused. 6
2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. 6
Absoluutväärtuse omadused 6
3. Muutuvad ja jäävad suurused, tuua näiteid. 6
4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. 6
5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. 7
6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud . 7
7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. 7
8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond . Tuua näiteid. 7
9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. 8
10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. 9
11. Tõkestamatult kasvav funktsioon, tõkestamatult vähenev funktsioon. 10
12. Funktsiooni piirväärtuse aritmeetiliste tehetega seotud omadused. 10
13. Funktsiooni pidevus antud punktis, funktsiooni ühepoolne pidevus, piirkonnas pidev funktsioon. Tuua näiteid. 11
14. Katkev funktsioon, esimest liiki katkevus , esimest liiki katkevuspunktide jaotus, teist liiki 11
katkevuspunktid. Tuua näiteid. 11
15. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni pidevus. Tuua näiteid. 13
16. Weierstrassi teoreem funktsiooni tõkestatusest, Weierstrassi teoreem ekstremaalsetest väärtustest, teoreem lõigul pideva funktsiooni nullkohast. 13
17. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu), tuletise leidmise skeem. 14
18. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (tõestusega). 14
19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y= loga x , y=ax tuletiste leidmine. 15
20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. 16
21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. 16
22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. 17
23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. 18
24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. 18
25. Funktsiooni diferentsiaal , diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. 19
26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. 19
27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist . 19
28. Rolle’i teoreem, tema geomeetriline interpretatsioon. L’ Hospitali reegel. 19
29. Taylori valem, Maclaureni valem. Taylori valemi tuletamine . 20
30. Kirjeldada Newtoni meetodit võrrandite ligikaudsel lahendamisel. 21
Lähendite jada koondumine 21
31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis -, kahanemis-ja konstantsustingimused. 21
32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. 22
33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. 22
34. Määramata integraal , määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). 23
35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. 23
36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. 24
Osamurdude integreerimine 24
37. Kirjeldada kõvertrapetsi pindala leidmist. 24
38. Määratud integraal ja tema omadused. 24
39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. 25
40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. 25
41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. 26
42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. 26
43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. 27
44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. 27
45. Diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrandi lahend , üldlahend, erilahend , singulaarne lahend. 28
46. Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Kirjeldada eralduvate muutujatega 29
diferentsiaalvõrrandi lahendamist. 29
47. Homogeenne diferentsiaalvõrrand, kirjeldada homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamist. 30
1. Tõestada, et funktsiooni piirväärtus on võrdne etteantud suurusega. 30
2. Tõestada, et funktsioon on pidev antud piirkonnas. 31
3. Põhjendada, miks funktsioon on pidev/ei ole pidev antud piirkonnas. 31
4. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis. 31
5. Avaldada antud funktsiooni n-järku tuletis. 31
6. Leida funktsiooni muut ja diferentsiaal. 31
7. Leida mitme muutuja funktsiooni määramispiirkond. 32
8. Leida antud mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. 32
9. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks . 32
1. Leida funktsiooni määramispiirkond. 32
2. Leida antud funktsiooni pöördfunktsioon ja pöördfunktsiooni määramispiirkond. 32
3. Leida antud funktsiooni katkevuskohad , kõrvaldatava katkevuse puhul kõrvaldada katkevus. 32
4. Leida antud ( ilmutatud ) funktsiooni tuletis. 32
5. Leida antud funktsiooni integraal. 32
6. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. 32

Põhimõisted ja -definitsioonid

1. Funktsioon - kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon.
2. Elementaarne põhifunktsioon - elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid;
3. Elementaarfunktsioon - funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
4. Tõkestatud funktsioon - funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | 0 korral leidub niisugune arv δ > 0 , et kehtib võrratus | f(x) – A | kirjutatakse lim f(x) = A kui x → a
13. Pidev funktsioon - funktsiooni y = f(x) nim. pidevaks kohal a, kui
lim f(x) , x → a = f(a) . Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: 1) funktsioon peab olema määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x → a = f(a)
14. Katkev funktsioon - funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x → a = f(a) EI KEHTI.
15. Katkevuspunkt - Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks.