Detailide tugevus väändel (0)

31
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
3.1. Varda arvutusskeem väändel
Väände puhul on tihtipeale koormusteks detaili otseselt väänavad pöördemomendid või
jõupaarid (Joon. 3.1):
•  koormust ülekandvad võllid;
•  keermesliited pingutamisel, jne.;
või siis detaili telje ristsihis ekstsentriliselt mõjuvad koormused või nende
komponendid:
•  keerdvedrud;
•   ruumilised raamid, jne.
Väänav pöördemoment = varda ristlõikeid ümber telje (telje suhtes) pöörav koormus M
Arvutusskeemi koostamine väändel
 
Arvutusskeem 
Tegelik konstruktsioon  
Lihtsustatud mehaaniline  süsteem
Ideaalne mehaaniline süsteem 
•  Võll on väänduv, (aga ei paindu); 
Ei arvesta tühise mõjuga 
•  Alus on absoluutselt jäik; 
parameetreid 
•   Laagrid on absoluutselt jäigad. 
(Saint Venant’i printsiip) 
Tegelik konstruktsioon
Arvutusskeem väändel
F1
F2
Võll
Väänav pöördemoment
M
l
F4
P
M =
Radiaal - tugilaager
Vedav rihmaratas
P = ülekantav võimsus, [W]
ω = pöörlemise nurkkiirus , [rad/s]
Veetav rihmaratas
Radiaal- laager  F3
Joonis 3.1
Arvutusskeem ei arvesta siin tühiseks loetud mõjureid:
•  varda paine  (kuna laagrid on rihmaratastele küllat ligidal);
•  kõik vibratsioonid;
•  võlli pöörlemisest tekkinud dünaamilised koormused (tsentrifugaaljõud jms.);
•  hõõrdumine laagrites.
Priit Põdra, 2004
32
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
3.2. Väänava koormuse mõju vardale
Väänava pöördemomendiga M   koormatud sirge varras  (Joon. 3.2):
•  pöördemomendi M  toimel ristlõiked pöörduvad üksteise suhtes ümber varda
telje (varras väändub);
•  igale M  väärtusele vastab varda parameetritest (materjal ja geomeetria ) sõltuv
väändedeformatsioon;
•  väändedeformatsiooni iseloomustavad iga ristlõike väändenurk ϕ (raadiuse
pöördenurk algasendist) ja varda suhteline väändenurk γ (varda moodustaja  kaldenurk
algasendist);
•  koormuse M  kasvades väändenurgad suurenevad (antud juhul);
•  koormuse M  vähenedes väändedeformatsioon (ϕ ja γ) väheneb või kaob
täielikult ( elastsus ).
Väänatud sirged vardad
M
M
ϕ
Väänav koormus
Ristlõiked
Joonis 3.2
•  ristlõiked pöörduvad üksteise suhtes ümber varda telje;
Puhas vääne = varda
•  varda telg jääb sirgeks ja varda pikkus ei muutu;
tööseisund, kus:
•  ristlõiked jäävad paralleelseteks ja risti teljega ;
•  ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ja ei muuda kuju.
NB! Puhas vääne on võimalik vaid ümarvarraste korral
3.3. Sisejõud väändel
3.3.1. Väändemoment
Sirgele võllile on rakendatud väänavad pöördemomendid M  (Joon. 3.3):
•  võll väändub (tekib väändedeformatsioon);
•  piisavalt tugeva  pöördemomendi korral võll puruneb;
•  väändumist ja purunemist takistavad võllis sisejõud, s.t. jõud, mis mõjuvad
võlli osakeste vahel.
Priit Põdra, 2004
33
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
Sisejõu olemus väändel
F1
Zoom
F2
F3
M
F4
Sisejõud
Koormus
M
Väänav pöördemoment
Joonis 3.3
Eelnevast :
Sisejõud = keha osakestevaheliste jõudude (molekulaarjõudude)  resultant
Väändemoment = osakestevaheliste (sise-) jõudude resultant väändel (Joon. 3.4)
Väändemomendi olemus
Koormus
Ristlõige
M
Väändemoment
Osakestevahelised
Osakestevaheliste
jõud
T
jõudude resultant
Joonis 3.4
Väändemoment T takistab selle ristlõike pöördumist ümber varda telje
Väänatud varda sisejõud (väändemomendid T) määratakse lõikemeetodiga.
Eelnevast:
Lõikemeetod: tasakaalus vardast mõtteliselt eraldatud on
ka tasakaalus
MÄRGIREEGEL ( vaadates väändemomendiga sisepinda kõrvaldatud osa poolt):
Positiivne väändemoment on
Negatiivne väändemoment on
suunatud päripäeva
suunatud vastupäeva
Priit Põdra, 2004
34
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
Positiivne väändemoment T
Negatiivne väändemoment T
M
Lõige
M Lõige
M
Lõige
M
Lõige
M
M
T (+)
T (-)
   
   
Joonis 3.5
3.3.2. Väändemomendi epüürid. Näited
Eelnevast:
Sisejõu epüür = sisejõu graafik piki varda telge
Väändemomendi epüüri abil määratakse detaili (võlli) lõigud, mis on kõige rohkem
väändemomendiga koormatud ning seega ohtlikumad purunemise suhtes väändel.
3.3.2.1. Näide. Väänavad üksik-pöördemomendid
Määrata üksikkoormustega väänatud tasakaalus varda ohtlik lõige ja väändemomentide
jagunemine!
Varda sisejõu (väändemoment T)  avaldis ja väärtused muutuvad iga üksikkoormuse
(pöördemomendi  M) rakenduskohas (Joon. 3.6). Need muutused määratakse
lõikemeetodiga. Tarvis on teha kolm lõiget, varda otsalõigud, mis piirnevad vaid
ühe koormusega, on koormamata:
Arvutusskeem (3D)
Lõige I M2 = 5kNm Lõige II Lõige III
M4 = 4kNm
M1 = 2kNm
x
x
M3 = 1kNm
Joonis 3.6
Lahenduskäik:
•  lõige I (M1 ja M2 vahel), analüüs vasakult poolt, kuna arvutamine on lihtsam:
Tasakaalutingimus
TI 
TI = M1 = 2 kNm (+)
(päripäeva on positiivne)
M1 
(TI väärtus M1 ja M2 vahel on muutumatu)
Priit Põdra, 2004
35
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
•  lõige II (M2 ja M3 vahel), analüüs vasakult poolt:
M2 
Tasakaalutingimus
TII = M2 - M1 = 5 - 2 = 3kNm (-)
(vastupäeva on epüüril negatiivne)
(TII väärtus M2 ja M3 vahel on muutumatu)
M1  
TII
•  lõige III (M3 ja M4 vahel), analüüs paremalt poolt, kuna arvutamine on lihtsam:
 
M4  
Tasakaalutingimus
TIII = M4 = 4kNm (-)
x 
T
(vastupäeva on negatiivne)
III  
(TIII väärtus M3 ja M4 vahel on muutumatu)
•  arvutatud väärtused kantakse epüürile (Joon. 3.7), valides positiivse suuna
allapoole
Varda väändemomendi T epüür, [kNm]
M1 = 2kNm
M2 = 5kNm
M3 = 1kNm
M4 = 4kNm
2D arvutusskeem
4
3
Väänded eri suundades
2
Joonis 3.7
Vastus: Varda ohtlik lõik on koormuste M3 ja M4 vahel, kus mõjub suurim
väändemoment 4Nm.
Varda väändemomendi epüür on astmeline.
PRAKTILINE JÄRELDUS:
Iga punktmomendi mõju avaldub
•  tema mõjule vastavas suunas;
väändemomendi epüüril astmena :
•  tema väärtuse võrra.
3.3.2.2. Näide. Väänav joon-pöördemoment
Määrata ühtlase varda ohtlik lõige sisejõu (väändemomendi) jagunemine vardas !
Konsoolne ühtlane varras (Joon. 3.8) on koormatud ühtlaselt jaotunud väänava
joonpöördemomendiga (ehk lauspöördemomendiga) mx. Sellest tingitud sisejõu muutus
määratakse lõikemeetodiga.
Priit Põdra, 2004
36
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
Arvutusskeem (3D)
Ekvivalentne arvutusskeem (2D)
Ühtlaselt jaotunud väänav
p = 100kN/m
joonpöördemoment
Lõige
x
mx = hp = 1kNm/m
3
p = 100kN/m
100
b
10
x
l
h
Joonis 3.8
Lahenduskäik:
•  lõige tehakse varda kinnituskohast kaugusel x, analüüs lõikest paremalt, kuna
toereaktsiooni pole arvutatud:
mx = hp = 1kNm/m
M = mx(l – x)
T
T
x
x
l - x
l - x
Tasakaalutingimus
Lõikest paremale jääva vardaosa
joonkoormuse ekvivalentne
M
T(x) = m
x = mx(l - x)
x(l - x) = ph(l - x)
üksikkoormus:
•  väändemomendi funktsioon
Varda väändemomendi T epüür, [kNm]
T (x) = ph(l − x) on lineaarne lõike
m
asukoha koordinaadi x suhtes 
x = 1kNm/m
(Joon.
3.9). Järelikult T epüür on
kaldsirge:
⎧
 
siis,
 ,
0
T = phl = 100
( 
Nm +)
0.1
 
Kui x = ⎨
⎩l =
 
siis
 
m,
1
0
T =  
0
Vastus: Varda ohtlik lõige on tema
kinnituskohas, kus väändemomendi
Joonis 3.9
väärtus on 0.1kNm.
PRAKTILINE JÄRELDUS:
Iga (ühtlase) joonpöördemomendi
•  tema mõjule vastavas suunas;
mõju avaldub väändemomendi
•  tema koguväärtuse (s.o. ekvivalentne üksik-
epüüril kaldsirgena:
koormus) võrra koormusjoone lõpuks.
Priit Põdra, 2004
37
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
3.4. Pinged väändel
3.4.1. Nihkepingete olemus
Eelnevast:
Pinge = sisejõu intensiivsus mõttelisel pinnal
(pinnaühiku kohta tulev sisejõud ehk sisejõu tihedus lõikepinnal)
Nihkepinged ⇒ sisejõu mõjumise siht on lõike (mõttelise sisepinna )  normaali sihiga risti
(ehk piki lõike pinda).
Nihkepinge  ( tangentsiaalpinge ):
•  on suunatud piki detaili sisepinda (pinna normaaliga risti);
•  näitab materjalikihte sisepinna sihis üksteise suhtes nihutatavate sisejõudude
intensiivsust.
Nihkepinged jagunevad (üldiselt) vastavalt koormusolukorra mõjule (Joon. 3.10):
•  väändepinged = kui ristlõikeid üksteise suhtes pööratakse ümber varda telje;
•  lõikepinged = kui lõikeid üksteise suhtes nihutatakse (näiteks materjali lõikamisel).
Vääne
Lõige
 
Nihkepind
Koormus  F 
Nihkepind
M 
Sisejõud 
Koormus
Sisejõud 
F 
Väändepinge 
M 
Lõikepinge 
Joonis 3.10
MÄRGIREEGEL (Joon.3.11):
Positiivne nihkepinge mõjub
Negatiivne nihkepinge mõjub
positiivsel sisepinnal positiivses
positiivsel sisepinnal negatiivses
suunas (või negatiivsel sisepinnal negatiivses
suunas (või negatiivsel sisepinnal positiivses
suunas)
suunas)
Positiivne sisepind  = pinna normaal
Negatiivne sisepind = pinna normaal
(telje suund) väljub sellelt pinnalt
(telje suund) suubub sellesse pinda
Märgireeglil puudub siin füüsikaline sisu ⎯ tähtis on aga eristada pingete mõjumise
suundi (eriti juhtudel, kui on tarvis erinevaid pingekomponente liita ja/või lahutada).
Priit Põdra, 2004
38
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
Positiivne sisepind
Negatiivne sisepind
τ
τ
xy (-)
xy
Sisepind
z
Sisepind
x
z
τxy
τxz
Normaal
τ
x
xz (-)
y
y
τxy
τ
indeksid:
⎯ esimene näitab pinna normaali 
   ⎯ nihkepinge, [Pa]:
(x),
⎯ teine näitab  projektsiooni sihti pinnal (y või z).
Joonis 3.11
3.4.2. Nihkepingete paarsuse seadus
Sirge ümarvarras on koormatud väänavate pöördemomentidega M (Joon. 3.12):
•  koormuste toimel ristlõiked pöörduvad üksteise suhtes ümber varda telje (telg ja
raadius jäävad sirgeteks ja iga ristlõige jääb tasapinnaliseks ja ümaraks);
•  vardast eraldatakse mõtteliselt  mahuelement (elementaarpikkusega dx);
•  mahuelemendi otsad on üksteise suhtes pöördunud (ϕ võrra), järelikult mõjuvad
otspindadel nihkepinged τ (ja ainult nihkepinged);
Väänatud ümarvarras
Väänatud varda mahuelement
 
 
B
F 
Puhas vääne
τ 
ϕ 
M 
τ 
C
τ 
τ 
E 
M 
dx
Ristlõigete väändepinged
Tasakaalus pingeelement (puhas  nihe )
τBF
B 
F 
B
F
τ
τ
τEF
BC
BC
τEF 
C
E
C
E
τEC
Joonis 3.12
Priit Põdra, 2004
39
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
•  selle mahuelemendi pinnalt eraldatakse elementaarmõõtmetega pingeelement
(õhuke  prisma ) BCEF, (küljed BF ja CE on paralleelsed varda teljega);
•  pingeelemendi külgedel CB ja FE mõjuvad nihkepinged (ϕ tõttu);
Tasakaalutingimus:τ
= τ ;
BC
EF
•  pingeelement peab olema tasakaalus (τBC ja τEF koos tekitavad pöördemomendi);
•  kujund BCEF on täielikult tasakaalus vaid siis, kui ka külgedel BF ja CE
mõjuvad nihkepinged τBF ja τEC; Tasakaalutingimus: τ
= τ ;
BF
EC
Nihkepingete
Ristuvate lõikepindade ühise serva ristsihis mõjuvad nihkepinged
paarsuse seadus
on võrdsed ja sama märgiga (suunatud mõlemad kas serva poole või
sellest eemale)
(Joon. 3.13):
Kehtib kõikides kehades mistahes koormusseisundite korral
NB! Nihkepinged mõjuvad alati
Nihkepingete paarsus
paarikaupa: τxy-ga kaasneb alati ka
samaväärne τyx
τyx(-)
τyz(+)
τxy(-)
Nihkepingete paarsuse seadus
⎧τ = τ
τ
xy
yx
zy(+)
⎪
väändel:
z
⎨τ = τ
yz
zy
⎪
Väänatud ümarvarda pikilõikes mõjub
⎩τ = τ
zx
xz
ristlõike väändepingetega samaväärne
x
lõikepinge (Joon. 3.14).
τxz(+)
τzx(+)
y
Joonis 3.13
Nihkepingete paarsus väändel
M 
Koormus 
Ristlõikepind 
T 
Lõikepinge
τ 
τ 
Sisejõud 
Väändepinge
Joonis 3.14
3.4.3. Suurim normaalpinge väändel ja purunemine
Puhas nihe = pingeolukord  ( pingus ) kus pingeelemendi (Joon.3.12) ristuvatel pindadel
mõjuvad ainult nihkepinged (normaalpinged puuduvad)
Priit Põdra, 2004
40
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
PROBLEEM:
Teada on, et varda ristlõikepinnad on puhta nihke pinnad (kujund BCEF, kus
normaalpinged puuduvad);
Vaja on leida selline pind (kaldenurgaga β), kus mõjuvad kõige suuremad
normaalpinged (leida β, kus σ = max).
Puhta nihke pingeelement BCEF (Joon. 3.15) on tasakaalus:
•  vaadeldakse suvalist kaldpinda (puhta nihke pingeelemendi suhtes kaldu nurga β võrra);
•   kaldpinnal mõjuvad nii nihkepinge τβ, [Pa] kui ka normaalpinge σβ, [Pa] (allpool
selgub  tasakaalutingimustest, et kaldpinnal peavad olema mõlemad);
•  lõigatud pingeelemendi
ƒ  lõiketasapinnas (horisontaalne) A0;
tahkude pindalad on, [m2]:
ƒ  väändetasapinnas (vertikaalne) A0cotβ;
ƒ  kaldtasapinnas A0/sinβ;
•  eeldatakse, et kõik pinged
ƒ  lõiketasapinna põikjõud  Q = A
τ ;
1
0
laotuvad lõigatud
ƒ  väändetasapinna põikjõud  Q = τA cot β
pingeelemendi tahkudel
2
0
ühtlaselt ⎯ sisejõudude
ƒ  kaldtasapinnas:
resultandid saab avaldada, [N]:
⎧
 
d
normaaljõu N = σ A / sin β
  ⎨
0
⎩
 
põikjõud Q = τ A / sin β
0
Puhta nihke pingeelement
Lõigatud pingeelement
τ
B
F
τβ
σβ
τ
τ
τ
C
C
E
τ
τ
E
Tahkude pindalad
Sisejõudude resultandid
A
Q
0
 
y
β = τβ sinβ
A0
sinβ
A
N
0
 
β = σβ sinβ
A0cotβ 
C 
Q2 = τA0cotβ
E
A
Q
x
0 
1 = τA0
Joonis 3.15
•  lõigatud pingeelemendi
⎪⎧∑ F = ⇒
 
0
 Q + Q sin β − N cos β = 0
x
1
tasakaalutingimused tulevad:
⎨
⎪⎩∑ F = ⇒
 
0
 Q + Q cos β − N sin β = 0
y
2
⎧τ = τ cos 2β
•  võrrandisüsteem 
(arvestades eelnevaid avaldisi) on rahuldatud, kui: ⎨
⎩σ = τ sin 2β
Priit Põdra, 2004
41
Tugevusanalüüsi alused  ⎯   3. DETAILIDE TUGEVUS VÄÄNDEL
•  kaldpinna pingeseisund (τβ ja σβ väärtused) sõltub tema kaldenurgast β:
β = 0
β = π/6 = 30°
β = π/4 = 45°
β = π/3 = 60°
β = π/2 = 90°
τβ = τ
τβ = 0.5τ
τβ = 0
τβ = -0.5τ
τβ = -τ
σβ = 0
σβ = 0.87τ
σβ = τ
σβ = 0.87τ
σβ = 0
Suurim nihkepinge (τ = max) ⇒ varda ristlõikes (β = 0) ja paarne
Ümarvarda puhta
pinge ristuvas tasapinnas (β = 90°);
väände suurimad
pinged:
Suurim normaalpinge (σ = max) ⇒ pinnas, mis 45° ristlõike
suhtes kaldu
PRAKTILINE JÄRELDUS:
Puhtalt väänatud varda ristlõike suhtes 45° kaldu paikneb pind, kus materjal
töötab tõmbele ja nihe puudub
Varda purunemise iseloom väändel sõltub materjali vastupanuvõimest nihke- ja
tõmbepingetele (Joon. 3.16):
Väänatud ümarvarras
Purunemine ristlõikepinnal (teras)
 
M 
Puhas vääne
M 
Materjali  nihketugevus  on on väiksem, kui
tõmbetugevus: τLim