Elektriahelad kodutöö nr 1 - Alalisvoolu hargahel (0)

 Elektriahelad kodutöö nr 1 - Alalisvoolu hargahel 



Ülesande algandmed:  R₁ = 8 Ω  J₇ = 2 A  R₂ = 5 Ω  I₁ = 4A  R₃ = 4 Ω  E₂ = 50 V  R₄ = 6 Ω  E₃ = 30 V  R₅ = 6 Ω  E₄ = 40 V  R₆ = 7 Ω  E₅ = 50 V  R₇ = 2 Ω  E₆ = 30 V  R₈ = 3 Ω  E₁ - ?      Joonis 1. Ülesande algskeem.    


1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal    Joonis 2. Lihtustatud skeem suletud kontuuridega.   Kirchoffi seaduste põhjal saan koostada võrrandsüsteemi.   Võrrandite arvu määramine:    = 5 - 1 = 4   = 6 - 3 = 3  Kirchoffi I seaduse põhjal:
(1)  I₁ - I₃ - I₆ = 0 (2)  I₂ + I₃ - I₄ = 0  (3)   I₅ - I₂ - I₁ = 0  (4)  I₄ + I₆  - I₅ = 0      Kirchoffi II põhjal:
I  I₅R₅ + I₂R₂ + I₄R₄  = E₂ + E₄ + E₅    II  I₆ R₆ - I₄R₄  - I₃R₃ = E₆  - E₄ - E₃   III  I₁R₁  + I₃R₃ - I₂R₂ = E₃ - E₂ +E₁   NKI NKII  


2. Kontuurvoolumeetod  Selleks,  et  lahendada  ülesannet  kontuurvoolu  meetodil  tuleb  skeemi  esmalt  lihtsustada.  Selleks 
eemaldan  liiasused,  antud  juhul  voltmeetrid  ning  ühendan  omavahel  maandused.  Seejärel  määran 
voolu  arvatavad  suunad  ning  koostan  tekkinud  harude  kohta  kontuurid,  milles  voolab  sama  vool. 
Kolme  haru  kohta  saan  koostada  3  võrrantit,  mille  lahendamisel  saan  teada  voolutugevused  (ja 
tegelikud voolusuunad) ning otsitava elektromotoorjõu E₁.    Joonis 3. Lihtsustatud skeem voolukontuuridega.       I₁₁･(R₂ + R₄ + R₅) - I₂₂･R₄ - I₃₃･R₂ = E₂ + E₄ + E₅      - I₁₁･R₄ + I₂₂･(R₃ + R₄ + R₆)  - I₃₃･R₃ + J₇ • R₆ = E₆  - E₄ - E₃     - I₁₁･R₂  - I₂₂･R₃ + I₃₃･(R₁ + R₂ + R₃) = E₃ - E₂ +E₁       I₁₁･(5 + 6 + 6) - I₂₂･6 - I₃₃･5 = 50 + 40 + 50      - I₁₁･6 + I₂₂･(4 + 6 +7)  - I₃₃･4 + 2 • 7 = 30  - 40 - 30     - I₁₁･5  - I₂₂･4 + I₃₃･(8 + 5 + 4) = 30 - 50 + E₁     17 I₁₁ - 6 I₂₂ - 5 I₃₃ = 140   
  - 6 I₁₁ + 17 I₂₂  - 4 I₃₃ = - 54 
  - 5 I₁₁  - 4 I₂₂ + 17 I₃₃ = E₁ - 20   


                |17  -6  -5  |    =  |-6  17   -4 | = 3364      |-5  -4         17 |                    |140   -6       -5  |  =  |-54  17  -4 | = 109E₁ + 29452   ;      |E₁-20  -4       17 |                |17   140    -5  |  =  |-6  -54  -4 | = 98E₁ + 864    ;      |-5      E₁-20   17 |                              |17   -6        140 |  =  |-6  17         -54 | = 253E₁ + 4908   ;       |-5      -4       E₁-20 |                        Kuna ülesande algandmetes on antud I₁, siis saame kasutada seost: 
I₁ = I₃₃ = 4 A      ⟹ ∆₃ = I₃₃ • ∆  253E₁ + 4908= 4 • 3364  
253E₁ =  4 • 3364 - 4908 /: 253 
E₁ = 33,79 V  Asendades E₁ väärtuse maatrikslahendisse saame teada ülejäänud haruvoolud: 
                 =   =   = 9,85 A       =   =   = 1,24 A  I₂  = I₁₁ - I₃₃ = 5,85A 
I₃ = I₃₃ - I₂₂ = 2,76A 
I₄ = I₁₁ - I₂₂ = 8,61A 
I₅ = I₁₁ = 9,85A 
I₆ = I₂₂ + J₇  = 3,24 A  Δ Δ1 I11 = Δ1 Δ Δ2 I22 = Δ2 Δ Δ3 I33 = Δ3 Δ I33 = Δ3 Δ I11 = Δ1 Δ 109E1 + 29452 3364 109 ∙ 33,79 + 29452 3364 I22 = Δ2 Δ 98E1 + 864 3364 98 ∙ 33,79 + 864 3364  


3. Potentsiaalide jagunemine skeemis    Joonis 4. Lihtsustad skeem koos maanduse ja nummerdatud sõlmedega.   Olgu sõlm nr 5 maandatud, seega tema potentsiaal on 0V.  𝜑₅ = 𝜑₀ = 0V  Leian ülejäänud sõlmede potentsiaalid:  𝜑₁ = 𝜑₀ - E₆ + I₆R₆ = 0 - 30 + 3,24 • 7 = -7,32 V 
𝜑₂ = 𝜑₁ + E₃ - I₃R₃ = -7,32 + 30 - 2,76 • 4 = 11,64 V  
𝜑₃ = 𝜑₂ - E₂ + I₂R₂  = 11,64 - 50 + 5,85 • 5 = -9,11 V 
𝜑₄ = 𝜑₂ - E₄ + I₄R₄ = -9,11 - 40 + 8,61 • 6 = 2,55 V     =33,79V =40V =50V =50V =30V 8,61A= =4A =5,85A =3,24A =2,76A =9,85A =2A


4. Võimsuste bilanss  Võimsuste bilanssi tegemisel on eesmärk üheselt määratud: saada klappima omavahel genereeritav 
ja takistitel tarbitav võimsus. Selleks kasutataks tarbija poolt Joule Lenzi seadust  P = I²R  ning 
elektromotoorjõu poolt genereeritava võimsuse saame seosest P = EI.    =      Esmalt arvutan tarbitava võimsuse:   =  =   =  =   = 1429,99 W  Elektromotoorjõu allika poolt genereeritava võimuse saan  arvutada  järgnevalt:   =  =   = 1444,56 W  Vooluallika võimsus avaldub:  U₅₁ = | 𝜑₅ - 𝜑₁| = |0 - (-7,32)| = 7,32 V   = J₇•U₅₁ = 2 • 7,32 = 14,64 W  Genereeritav võimsus kokku:   =   = 1444,56 - 14,64 = 1429,92 W    =       1429,99 W ≈ 1429,92 W  Tootmine on ligikaudselt võrdne tarbimisega. Võimsuste bilanss peab paika. 
Seega, leitud parameetrid vastavad ülesande tingimustele.  ∑ Ptarbija ∑ Ptootja ∑ I 2 i Ri = ∑ PEi − ∑ PJi ∑ Ptarbija ∑ I 2 i Ri I21R1 + I22R2 + I23R3 + I24R4 + I25R5 + I26R6 42 ∙ 8 + 5,852 ∙ 5 + 2,762 ∙ 4 + 8,612 ∙ 6 + 9,852 ∙ 6 + 3,242 ∙ 7 ∑ PEi = E1I1 + E2I2 + E3I3 + E4I4 + E5I5 + E6I6 33,79 ∙ 4 + 50 ∙ 5,85 + 30 ∙ 2,76 + 40 ∙ 8,61 + 50 ∙ 9,85 + 30 ∙ 3,24 ∑ PJi ∑ Ptootja ∑ PEi − ∑ PJi ∑ Ptarbija ∑ Ptootja   =30V


5. Voltmeetrite näidud    Joonis 5. Voltmeetritega aseskeem.  Voltmeeter   on ahelasse ühendadud sõlmede 1 ja 4 (maa) vahele. Tema näiduks on sõlme 1 potentsiaal. Seega:   = |  𝜑₁| = |-7,32| = -7,32 V  Voltmeeter   on ahelasse ühendatud sõlme 3 ja 6 vahele. Tema näiduks on sõlmede 3 ja 6  potentsiaalide vahe. Sõlme 6 potentsiaal on leitav kui:  𝜑₆= 𝜑₄ - E₄ = 0 - 40= - 40 V  = | 𝜑₆ - 𝜑₃ | = |-40 - (-9,11)| = 30,89 V  UV1 UV1 UV2 UV2  


6. Teise haru vool I₂ ekvivalentse generaatori meetodil.  Ekvivalentse  generaatori  teoreem:  Takistust  omava  eraldatud  skeemiharu  suhtes  saab  aktiivse 
kaksklemmi asendada ühe ekvivalentse generaatoriga, mida iseloomustab emj   ja sisetakistus  . 
Siinjuures    võrdub  tühijooksupingega  katkestatud  haru  klemmidel,  sisetakistus  võrdub  kaks- klemmi sisendtakistusega   =       
Kirchoffi II seaduse põhjal:   I'₄R₄ + I'₅R₅ - U₀ = E₂ + E₄ + E₅  
⟹  U₀ = I'₄R₄ + I’₅R₅ -  E₂ - E₄ - E₅ =         (Joonis 7 põhjal)  Eg Rg Eg Rg Rsis Eg I′ 2= Eg R2 + Rg   Joonis 6. Haru 2 tühijooksuskeem B A B A


  I’₁₁(R₁ +R₂ + R₄ + R₅) - I’₂₂(R₃ + R₄) = E₁ + E₃  + E₄ + E₅    -I’₁₁(R₃ + R₄)+ I’₂₂･(R₃ + R₄ + R₆) + J₇ R₆ = E₆  - E₄ - E₃  I’₁₁(8+5+6+7) - I’₂₂(4+6) = 33,79 + 30 + 40 + 50   -I’₁₁(4 + 6)+ I’₂₂･(4 + 6+ 7) + 2•7 = 30  - 40 - 30  24 I’₁₁ - 10 I’₂₂ = 153,79 
-10 I’₁₁ + 17 I’₂₂ = -54    ∆=  |24           -10| = 308         = 6,73           |-10           17|  ∆₁=   |153,79    -10| = 2074,43       = 0,78            |-54           17|  ∆₂ =  |24     153,79| = 241,9      I’₄ = I’₁₁ - I’₂₂ = 6,73 - 0,78 = 5,95 A            |-10         -54|        I’₅ = I’₁₁ = 6,73 A  U₀ = I'₄R₄ + I’₅R₅ -  E₂ - E₄ - E₅ =  5,95 • 
4 + 6,73 • 6 - 50 - 40 - 50 = -63,92 V =    I′ 11 = Δ1 Δ = 2074,43 308 I′ 22 = Δ2 Δ = 241,9 308 Eg   Joonis 7. Haru 2 ekvivalentse takistuse ja emj allikaga aseskeem.


Passiivahela sisetakistuse   määramine. Esmalt eemaldan ahelast kõik EMJ ja vooluallikad ning 
lihtsustan skeemi. Tekkiv kolmnurkühendus tuleb teisendada tähtühenduseks.   =   = 1,41 Ω   =   = 1,65 Ω   =   = 2,47 Ω        = 5,83 Ω  Seega saamegi välja rehkendada 2. haru voolu I₂:   =  |  |= 5,90 A  Rg Ra = R3R4 R3 + R4 + R6 4 ∙ 6 4 + 6 + 7 Rb = R3R6 R3 + R4 + R6 4 ∙ 7 4 + 6 + 7 Rc = R6R4 R3 + R4 + R6 7 ∙ 6 4 + 6 + 7 Rg = Ra + (Rb + R5) ∙ (Rc + R1) (Rb + R5) + (Rc + R1) Rg = 1,41 + (1,65 + 6) ∙ (2,47 + 8) (1,65 + 6) + (2,47 + 8) I2 = Eg R2 + Rg −63,92 5 + 5,83   B A Joonis 9. Passiivahelaks teisendatud aseskeem Joonis 10. Passiivahelaks teisendatud aseskeemi  lihtsustamine. Kolmnurkühenduse teisendamine  tähtühenduseks. Joonis 8. Katkestatud haru 2 olukorras kontuurvoolu skeem.


7. Sisend - ja vastastikjuhtivus  Sisendjuhtivus:      Vastastikjuhtivus:    Elektromotoorjõu allikas E₂ jääb ainsana ahelasse. Teised pinge- ja vooluallikad ellimineeritakse.   
  I'₁₁･(R₂ + R₄ + R₅) - I'₂₂･R₄ - I'₃₃･R₂ = E₂      - I'₁₁･R₄ + I'₂₂･(R₃ + R₄ + R₆)  - I'₃₃･R₃ =0    - I'₁₁･R₂  - I'₂₂･R₃ + I'₃₃･(R₁ + R₂ + R₃) = -E₂     I'₁₁･(5 + 6 + 6) - I'₂₂･6 - I'₃₃･5 = 50    - I'₁₁･6 + I'₂₂･(4 + 6 +7)  - I'₃₃･4 = 0    - I'₁₁･5  - I'₂₂･4 + I'₃₃･(8 + 5 + 4) = -50     17 I'₁₁ - 6 I'₂₂ - 5 I'₃₃ = 50   
  - 6 I'₁₁ + 17 I'₂₂  - 4 I'₃₃ = 0 
  - 5 I'₁₁  - 4 I'₂₂ + 17 I'₃₃ = -50 
              |17  -6  -5  |    =  |-6  17   -4 | = 3364      |-5  -4         17 |                    |50   -6       -5  |  =  |0  17  -4 | = 8200      ;   =    = 2,437 A    |-50   -4       17 |                |17   50   -5     |   =  |-6  0  -4 | = 1200      ;   =   = 0,356 A    |-5      -50      17   |                              |17   -6        50 |  =  |-6  17         0   | = -7200      ;   =   = -2,140 A    |-5      -4          -50 |                       I'₂  = I'₁₁ - I'₃₃ = 4,577 A         I'₃ = I'₃₃ - I'₂₂ = - 2,496 A   =   = 0,09154 S       =   = 0,04992 S G22 = I′ 2 E2 G23 = I′ 3 E2 Δ Δ1 I11 = Δ1 Δ 8200
3364 Δ2 I22 = Δ2 Δ 1200
3364 Δ3 I33 = Δ3 Δ −7200 3364 G22 = I′ 2 E2 4,577 50 G23 = I′ 3 E2 | −2,496 50 |