Elektriahelad kodutöö 2 - Vahelduvvooluahel (0)

Elektriahelad kodutöö 2 - Vahelduvvooluahel 



Ülesande algandmed:  E₁ = 100 V  f = 50 Hz  E₂ = 100 V  L₁ = 20 mH  ⍺   = 30˚  L₂ = 30 mH  R₁ = 4 Ω  L₃ = 10 mH  R₂ = 5 Ω  C₁ = 200 µF  R₃ = 2 Ω  C₂ = 250 µF            Joonis 1. Ülesande algskeem.  


1. Võrrandisüsteem Kirchoffi seaduste põhjal    Joonis 2. Algskeem, vattmeeter eemaldatud.  Joonis 3. Lihtustatud skeem  


  Kirchoffi seaduste põhjal saab koostada võrrandsüsteemi.   Võrrandite arvu määramine:    = 2 - 1 = 1   = 3 - 1 = 2  Differenttsiaalkujul:  i₁ + i₂ - i₃ = 0                  Sümbolmeetodil komplekssuuruste kujul:  i₁ + i₂ - i₃ = 0     NKI NKII i1R′ 1+ 1 C′ 1∫ i1dt + L1 di1 dt + L3 di3 dt + i3R3 = E1 i2R2 + 1 C2 ∫ i2dt + L2 di2 dt + L3 di3 dt + i3R3 = E2 i1(r′ 1− jxC′  1 + jxL1) + i3( jxL3 + r3) = e1 i2(r2 − jxC 2 + jxL2) + i3( jxL3 + r3) = e2


2. Voolude kompleks-effektiivväärtuste leidmine    1.1. Kontuurvoolumeetod    Joonis 3. Lihtsustatud skeem voolukontuuridega.         Kondensaatori komplekstakistus avaldub valemist:   , kus     =    = - j15,915 Ω   =   = - j12,732 Ω  Induktiivpooli komplekstakistus avaldub valemist:      =   = j6,283 Ω   =   = j9,425 Ω  =   = j3,142 Ω  i11(r′ 1− jxC′  1 + jxL1 + jxL3 + r3) + i22( jxL3 + r3) = e1 i11( jxL 3 + r3) + i22(r2 − jxC2 + jxL2 + jxL3 + r3) = e2 xC = 1 ωC ω = 2π f xC 1 = 1 2π fC1 1 2π ∙ 50 ∙ 200 ∙ 10−6 xC 2 = 1 2π fC2 1 2π ∙ 50 ∙ 250 ∙ 10−6 xL = ωL = 2π f L xL 1 = 2π f L1 2π ∙ 50 ∙ 20 ∙ 10−3 xL 2 = 2π f L2 2π ∙ 50 ∙ 30 ∙ 10−3 xL 3 = 2π f L3 2π ∙ 50 ∙ 10 ∙ 10 −3


Järgnevalt  leian  algskeemis  rööbiti  olnud  takisti  R₁  ja  kondensaatori  C₁  ekvivalentse  takistuse 
(valemis kirjeldatud kui:   ):   =   = 3,76 - j0,945 Ω  Leian E₂ kompleksi väärtuse. Kuna ta jääb E₁-st 30˚ võrra maha siis:  Ė₂ = E₂(cos ⍺ - jsin⍺) = 100•(cos30˚ - jsin30˚)= 86,603 - j50 V = 100  ∠30˚ V  Nüüd saan asendada kõik leitud suurused esialgsesse valemisse ning välja arvutada voolud:           Kasutan võrrandi lahendamises asendusvõtet. Selleks avaldan esimesest valemist i₁₁               Asendan leitud seose 2. valemisse ning leian i₂₂    … pärast mõningaid tehteid saan:  = 9.266 - j6.148   = 2.050 - j5.937   = 2.050 - j5.937 A = 6,282 ∠-70.93˚ A  = 9.266 - j6.148  A = 11,120 ∠-33.55˚A   = 11.316 - j12.085 A = 16,557 ∠-46.87˚ A  r′ 1− jxC′  1 R1 ∙ xC 1 R1 + xC1 4 ∙ (−j15,915) 4 + (−j15,915) i11(3,76 − j0,945 + j6,283 + j3,142 + 2) + i22( j3,142 + 2) = 100 i11( j3,142 + 2) + i22(5 − j12,732 + j9,425 + j3,142 + 2) = 86,603 − j50 i11(5,76 + j8,48) + i22(2 + j3,142) = 100 i11(2 + j3,142) + i22(7 − j0,165) = 86,603 − j50 i11 = 100 − i22(2 + jπ) (5,76 + j8,48) 100 − i22 (4 − π2) + j4π (5,76 + j8,48) + i22(7 − 0,165) = 86,603 − j50 i22 i11 = 100 − (9.266 − j6.148)(2 + j3.142) (5.76 + j8.48) i1 = i11 i2 = i22 i3 = i1 + i2 = (2.050 − j5.937) + (9.266 − j6.148)


  1.2. Sõlmpingete meetod  Sõlmede A ja B vahelise pinge leidmiseks kasutan seost:    ⟹       Haruvool on leitav kui antud haru pingete (erinevuse) ja näivtakistuse suhe:              Ülesande lahendamiseks on vaja teada harutakistusi ja juhtivusi. Leian need:     Ω    =     Ω   = 2 + j3,142 Ω  UAB ∙ YAA = IAA UAB = IAA YAA = E1y1 + E2y2 y1 + y2 + y3 i1 = E1 − UAB z1 i2 = E2 − UAB z2 i3 = UAB z3 z1 = r′ 1− jxC′  1 + jxL1 = 3,76 − j 0,945 + j6,283 = 3,76 + j5,338 z2 = r2 − jxC 2 + jxL2 = 5 − j12,732 + j9,425 = 5 − j3,307 z3 = jxL 3 + r3 Joonis 4. Lihtsustad skeem sõlmede vahelise pingega.


 = 0,0882 - j0,1252 S   = 0,1391 + j0,0920 S   = 0,1442 - j0,2265 S  Avaldan kõik leitud juhtivused   leidmiseks valemisse:         = 60,593 + j11,381 V = 61.65 ∠10.63˚ V   = 2.051 - j5.938 A = 6,282 ∠-70.93˚ A     =  9.267 - j6.147 A  = 11,120 ∠-33.55˚ A     = 11.318 - j12.085 A = 16,557 ∠-46.86˚ A  y1 = 1 z1 y2 = 1 z2 y3 = 1 z3 UAB UAB = E1y1 + E2y2 y1 + y2 + y3 = 100 ∙ (0,0882 − j0,1252) + (86,603 − j50) ∙ (0,1391 + j0,0920) 0,0882 − j0,1252 + 0,1391 + j0,0920 + 0,1442 − j0,2265 = UAB i1 = E1 − UAB z1 = 100 − (60,593 + j11,381) 3,76 + j5,338 i2 = E2 − UAB z2 = (86,603 − j50) − (60,593 + j11,381) 5 − j3,307 i3 = UAB z3 = 60,593 + j11,381 2 + j3,142


3. Potentsiaalide jagunemine skeemis 
        Joonis 6. Skeem koos maanduse ja nummerdatud sõlmedega.   Olgu sõlm 0 maandatud, seega tema potentsiaal on 0V ehk  𝜑₀ = 0 V  Tulles vasakult: 
𝜑₁ = 𝜑₀ + E₁ = 100 V 
𝜑₂ = 𝜑₁ - i₁ ･  = 100 - (2.051 - j5.938)･(3,76 - j0,945) = 97.899 + j24.265 V  𝜑₂ = 100.86 ∠13.92˚ V 
𝜑₃ = 𝜑₂ - i₁ ･  = (97.899 + j24.265) - (2.051 - j5.938) ･ j6,283 = 60.591 + j11.379 V  𝜑₃ = 61.65 ∠10.63˚ V  Tulles paremalt: 
𝜑₆ = 𝜑₀ + E₂ = 86,603 - j50 = 100  ∠30˚ V 
𝜑₅ = 𝜑₆  - i₂･R₂ = 86,603 - j50 - (9.267 - j6.147)･5 = 40.268 -  j19.265 V 
𝜑₅ = 40.51 ∠- 25.57˚ V 
𝜑₄ = 𝜑₅ - i₂ ･  = (40.268 -  j19.265) - (9.267 - j6.147) ･(-j12,732) = 118.532 + j98.722 V  𝜑₄ = 154.26 ∠39.78˚ V  z(R1C1) jxL 1 jxC 2


𝜑₃ = 𝜑₄ - i₂  ･  = 118.532 + j98.722 - (9.267 - j6.147)･(j9,425) = 60.597+ j11.381 V  𝜑₃ = 61.66 ∠10.63˚ V 
𝜑₇ = 𝜑₃ - i₃･   = 60.597+ j11.381 - (11.318 - j12.085)･ (j3,142)= 22.631 - j24.175 V  𝜑₇ = 33.11 ∠-46.89˚ V  Tulles alt:  
𝜑₇ = 𝜑₀  + i₃･R₃ = 0 +2･(11.318 - j12.085) = 22.636 - j24.175 V = 33.11 ∠-46.89˚ V  Nagu näha, siis potentsiaalid  𝜑₃ ja 𝜑₇  klapivad, kuigi nende lahenduskäigud on erinevad.    Joonis 5. Topgraafiline diagramm  jxL 2 jxL 3 '


4. Võimsuste bilanss  Võimsuste bilanssi tegemisel on eesmärk üheselt määratud: saada klappima omavahel genereeritav 
ja takistitel tarbitav (näiv)võimsus. Selleks kasutan tarbija poolt Joule Lenzi seadust  S = |i|²Z  ning 
elektromotoorjõu poolt genereeritava võimsuse saame seosest S = EĪ.    =    Ī   Esmalt arvutan tarbitava võimsuse korrutades komplekstakistuse voolu mooduli ruuduga:   =  =  =  = (6,282)²  ･(3,76+j5,338)+ (11,120)² ･(5- j3,307) + (16,557)² ･(2 + j3,142) =   = 1314.923 + j663.061W = 1472.64 ∠26.75˚ W  Elektromotoorjõu allikate poolt genereeritava võimuse saan arvutada järgnevalt: 
Elektromotoorjõu kompleks korrutada voolu kaaskompleksiga.  Ī  = E₁Ī₁ +E₂Ī₂  = 100 ･(2,051+ j5,938) + (86,603 - j50)･(9,267+j6147) =  = 1315,001 + j662,799 W = 1472.60 ∠26.75˚ W   =       1314,923 + j663,061 W ≈ 1315,001 + j662,799 W 
1472.64 ∠26.75˚ W ≈ 1472.64 ∠26.75˚ W  Tootmine on ligikaudselt võrdne tarbimisega. Võimsuste bilanss peab paika. 
Seega, leitud parameetrid vastavad ülesande tingimustele.  5. Vattmeetri näit 
    Vattmeeter on ahelasse ühendadud sõlmede 2 ja 0 (maa) vahele. Vattmeeter näitab aktiivvõimsust. 
Näidu arvutamisel kasutan voolu I₁ kaaskompleksi.   P = Re[( 𝜑₂ -𝜑₀)･(-Ī₁)] = Re[𝜑₂･(-Ī₁)]   P = Re[(97.899 + j24.265)･(-(2.051 + j5.938))]=Re[-56.705-j631.092] = -56.71 W  ∑ Starbija ∑ Stootja ∑ |ii| 2 Zi = ∑Ei i ∑ Starbija ∑ |ii| 2 Zi i21(Z1) + i22(Z2) + i23(Z3) ∑ Stootja = ∑ Ei i ∑ Ptarbija ∑ Ptootja


6. E₁ ja I₃ hetkväärtused 1,5 perioodi ulatuses  Leian EMJ amplituudi    =   = 141,42 V  e₁(t) =    e₁(t) =   I₃= 16,557 ∠46,86˚ A  Leian voolu I₃ amplituudi   =   = 23,415 A   i₃(t) =    i₃(t) = 23,415 • sin(2π • 50 - 46,86˚)  Em = E1 2 2 ∙ 100 Emsin(2πf + Ψ) 141,42 ∙ sin(2π ∙ 50 + 0) Im = I3 2 2 ∙ 16,557 I3 2sin(2πf + Ψ) Joonis 7. Elektromotoorjõu E₁ ja 3. haru voolu I₃ hetkväärtused graafiliselt 1,5 perioodi ulatuses.  
Graafik tehtud mõõtkavas 1:50 (E₁ amplituudi vähendatud 50 korda I₃ suhtes.)