FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '=
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks
hüpoteetiliseks süllogismiks. Suurem eeldus pq Väiksem eeldus qz Tuletis pz Kui enne panime süllogisme sümbolites kirja nagu eelpool, siis nüüd võtame kasutusele uue viisi: [ ( p q) ( q z ) ] ( p z) Kui väiksem eeldus on kategooriline otsustus, siis on ka tuletis kategooriline: [ ( p q ) p] q SEGATÜÜBILINE HÜPOTEETILINE SÜLLOGISM Modus ponensi reegel: kui väiksemas eelduses kinnitatakse (jaatatakse) alust, siis tuletiseks on tagajärje kinnitus (jaatus). Tuletist ei anna: [( p q ) p] q [( p q ) p] ? [( p q ) p ] q [( p q ) p ] ? [( p q ) p ] q Tuletist ei anna: [( p q ) p ] ?
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et . Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav
suureks.4.Öeldakse, et funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks kohal a on kui korral kahanevad funktsiooni f(x) väärtused kui tahes väikseks. 11. Defineerige funktsiooni y=f(x) tuletis argumendi x järgi ( ) ( ) ( ) Nimetatakse funktsiooni y=f(x) tuletiseks arguendi x suhtes. Suurust nimetatakse argumendi x muuduks. Suurust nim. funktsiooni uuduks üleminekul punktist x punkti Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse funktsiooni diferentseerimiseks. 12. Milline on funktsiooni tuletise füüsikaline ja geomeetriline tähendus? f f ( x x) f ( x) Geomeetriline tähendus: Kui eksisteerib piirväärtus lim x
muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks
argumendi muutumisel. 63.Funktsiooni 2., 3. ja n-järku tuletis Olgu funktsioon y =f(x) diferentseeruv lõigul [a;b]. Funktsiooni tuletise f'(x) väärtused on üldiselt sõltuvad argumendist x, s.o. tuletis f'(x) kujutab endast x funktsiooni. Diferentseerides seda funktsiooni, saame funktsiooni f(x) niinimetatud teise tuletise. Funktsiooni teise tuletise tuletist nimetatakse kolmandat järku tuletiseks ehk kolmandaks tuletiseks ja tahistatakse y'''või f'''(x). Üldiselt, funktsiooni f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse ( n - 1)-järku tuletise tuletist ja tähistatakse kas sümboliga y (n) või f(n) (x): y(n) =[y(n-1)]' = f(n) (x). 64.Kõrgemat järku tuletiste leidmise eeskirjad Kui me soovime leida kõrgemat järku tuletist, näiteks kolmandat järku tuletist siis, on vaja võtta esimest tuletist, pärast teist tuletis ja pärast
Teooria 2. kollokvium 1.Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓′ (𝑥)−𝑓′ (𝑎) 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 Kui funktsioonil 𝑓 (𝑛−1) eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni 𝑓 n- järku tuletiseks kohal a.
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x
Funktsiooni tuletis Paljude matemaatiliste probleemide lahendamine viib tulemusele, et tuleb võtta funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel 0 st y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. Diferentsiaalarvutuse lõid 17. sajandil saksa matemaatik ja filosoof G. W. Leibnitz ning inglise matemaatik ja füüsik I. Newton
Näiteks: Kui täna on kolmapäev, siis me viibime auditooriumis C214. Suurem eeldus on implikatiivne ja väiksem eeldus on kategooriline otsustus ehk [(p → q) ˄ p] → q . Kõigepealt on suurem eeldus (p → q) ja peale ja (˄) märki on väiksem eeldus (p) ja lõpus on tuletis (q). p – alus (esimeses eelduses alati esimesel kohal) q – tagajärg Üks nähtus põhjustab teist nähtust (kutsub esile). 1. Reegel Moodus ponens – kui väiksemas eelduses kinnitatakse alust, siis tuletiseks on tagajärje kinnitus. [(p → q) ˄ p] → q _ _ Kui väiksemas eelduses jaatatakse alust, siis tuletiseks on tagajärje jaatus. [(p → q) ˄ p] →q Ta kasutab jaatava asemel kinnitama (kinnitad jaatavat või eitavat). Õpetaja Ilmar Lilleorg Maria Sillandi RP 121-T _ p – mitte p _
ootuspärane; alussõna ei ole tuntud; alussõna ei ole lekseem, vaid kinnistüvi; alussõnas on toimunud fonoloogilisi muutusi, mis ei võimalda seda üheselt samastada oletatava alussõna tüüpilise tüvekujuga; sõnal ei ole alussõna, küll aga tähenduselt lähedane samatüveline korrelaat. Nt. emis, vetikas, loom EI OLE TULETIS. Ei ole alussõna ega tähenduse poolest kokku kuuluvaid korrelaate. Sõna ei saa pidada tuletiseks kui juurtüvi on unikaalne, nii et seda ei ole võimalik tänapäeva keeles seostada ühegi teise sõnaga. Nt. nugis, vasikas, rõõm 19. LAENSÕNAD on üldiselt muganenud eesti keele fonoloogilise ja sõnastruktuuriga. Mida vanem laensõna, seda muganenum. Osa mitmesilbilistest laensõnadest on kohanenud keele varasemate liiteliste sõnastruktuuridega ja meenutavad oma kuju poolest tuletisi. Erinevus on selles, et laensõnal ei ole harilikult lekseemina käibivat alussõna
Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon
väärtuste vahel. Hulka X nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x ∈ X ∧ y = f(x)} ⊂ 10. Tuletise definitsioon. Diferentseeruvus. Ühepoolsed tuletised. Diferentseeruvuse ja Y funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Elementi x nimetatakse funktsiooni f argumendiks ehk pidevuse seos. sõltumatuks muutujaks ja elementi y sõltuvaks muutujaks Funktsiooni y = f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y = f(x) muudu ∆y ja argumendi Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut laheneb nullile. hulgal X on määratud ühene funktsioon f. Kui funktsioon f omab punktis a loplikku tuletist, siis õeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv.
piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis- funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis- funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema (n 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga. 20. Diferentseeruv funktsioon- kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0
v.s. 6. Funktsiooni pidevus. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui lim xa f (x) = f (a). Funktsiooni nimetatakse pidevaks piirkonnas A, kui ta on pidev piirkonna A igas punktis. Definitsioon nõuab kolme tingimuse täidetust: o Leidub lim xa f (x) o Leidub f (a), st a X o lim xa f (x) = f (a) 7. Funktsiooni tuletis, tuletise omadused. o Funktsiooni y = f (x) tuletiseks kohal x nimetatakse y = f (x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f' (x) = lim x 0 y / x = lim x 0 f (x + x) f (x) / x 8. Funktsiooni diferentsiaal, omadused. o Funktsiooni y = f (x) diferentsiaaliks dy nimetatakse avaldist dy = f' (x) x. o Omadused: [ f (x) + g (x)]' = f' (x) + g' (x)
Uurides analoogiliselt kõiki elementaarseid põhifunktsioone, saab tõestada, et iga elementaarne põhifunktsioon on on pidev punktis, milles ta on määratud. Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y
(Lõigul pideval funktsioonil on olemas ekstremaalsed väärtused sellel lõigul. Lõigul pidev funktsioon omab iga väärtust, mis paikneb ekstremaalseteväärtuste vahel.) Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile, siis seda sirget nim selle joone asümptoodiks. Vertikaalasümpt: x=a, kaldasümpt: y=kx+b Funktsiooni tuletiseks punktis a nimetatakse funktsiooni muudu(y) ja argumendi muudu(x) jagatise piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis a, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv punktis a y Funktsiooni f(x) vasakpoolseks tuletiseks punktis a nimetatakse piirväärtust f ( x ) = lim ehk
[5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)? Funktsioon f (x) = 2x osutub näiteks funktsiooni F (x) = x2 tuletiseks, funktsioon f (x) = sin x on aga funktsiooni F (x) = - cos x tuletiseks. Sel juhul öeldakse, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Funktsioon F (x) = - cos x on aga funktsiooni f (x) = sin x algfunktsiooniks. Definitsioon 3
s Hetkeline kiirus: t 0 t 4 Tuletise mõiste y y = f (x) y = f (x + x) - f (x) f (x+x) y f (x) x 0 x x+x x Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) f ( x) = lim = lim , x 0 x x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x) Tuletise tähised: f ( x), y, y x , , 5 dx dx Tuletise leidmise skeem Vastavalt tuletise definitsioonile, koosneb funktsiooni tuletise leidmine järgmistest etappidest:
Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus. f ( x) C ( x0 ) ,kui 1) f ( x0 ) lim f ( x) x x0 2) lim f ( x ) = f ( x0 ) 3) x x0 Tuletada funktsiooni pidevuse tunnus: y = f ( x + x) - f ( x) lim f ( x + x) - f ( x) = 0 x 0 lim y = 0 x 0 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentsieeruvuse ja pidevuse vaheline seos. 1) y = f (x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y lim x 0 x , kus y = f ( x + x ) - f ( x ) 2)Iga diferentseeruv funktsioon on pidev funktsioon: f ( x) D( x) f ( x) C ( x) Eeldus: f ( x) D( x) Väide: f ( x) C ( x) Kontrollin C(x) tingimust y y lim y = lim * x = lim * lim x = 0 x 0 x 0 x x 0 x x 0 MOTT 4. Sõnastada ja tõestada kahe funktsiooni summa diferentseerimise reegel
Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0 22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem, tõestust ei küsi). Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui
on diferentseeruvad vahemikus (, ) ja on lõigul [, ] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus: 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus. Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks kohal a. = Definitsioon Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni n-järku tuletiseks kohal a. Leibnizi valem Funktsioonide korrutise n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga: Kus binoomkordajad Tõestus Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise:
Def1. Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3
nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18. Funktsiooni tuletis - funktsiooni y = f(x) tuletiseks f `(x) kohal x nimetatakse piirväärtust f ` (x) = lim y / x ; x 0 = lim f ( x + x) f(x) / x ; x 0, kui see piirväärtus eksisteerib. 19. Funktsiooni n-järku tuletis - funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse tema (n 1)-järku tuletise tuletist ja seda tähistatakse f (n) (x) sümboliga. 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi
Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y/x0
Definitsioon:Kui funktsioonil f ’ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). järku tuletiseks kohal a. Cauchy keskväärtusteoreem Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis
seos. Tuletis – funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtus, kui argumendi muut läheneb nullile. Diferentseeruvus – Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis deferentseeruv. Tähistame f ∈ C¹ (a) või f ∈ D(a). (Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks) Ühepoolsed tuletised - def Funktsiooni y = f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x-)=lim Δy/Δx Δx→0- def Funktsiooni y = f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ' (x+)=lim Δy/Δx Δx→0+
Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi:
· Funktsiooni lokaalen miinimum Funktsioonil on punktis lokaalne miinimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses b) Iga puhul kehtib võrratus Lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. · Fermat' lemma Kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis siis 4. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. N järku tuletis Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist N järku diferentsiaal Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku diferentsiaali . Kehtib valem Kõrgemat järku diferentsiaalid Teades, et funktsiooni tuletis on , kus suurus dy sõltub punktist a, kus ta arvutatakse argumendi muudust dx, olgu viimane konstantne. 5. Funktsiooni Taylori polünoomi valem. Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
Andes muutujale y muudu y ja jättes x muutumatuks, võib analoogilise arutluse teel leida: Kui on antud funktsioon z=F(x,y,u,v), kus y, u, ja v sõltuvad omakorda argumendist x, siis on z oma olemuselt ainult ühe muutuja x funktsioon ja võib seada küsimuse tuletise ledimisest. See tuletis leitakse järgneva valemi abil: et aga y, u ja v on ainult ühe muutuja x funktsioonid, siis muutuvad osatuletised harilikkudeks tuletiseks; peale selle 1, mistõttu Seda valemit nim. täistuletise valemiks (erinevalt osatuletisest ). 10. Täisdiferentsiaali kuju invariantsus. Korralik selgitus. Leiame võrdustega z=F(u,v) ja u=(x,y), v=(x,y) määratud liitfunktsiooni täisdiferentsiaali. Paigutades ja määratud avaldised täisdiferentsiaali valemisse saame Teisendame saadud võrduse paremat poolt:
jada x1, x2, ..., xn korral vastav funktsiooni väärtuste jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) koondub alati arvuks A, siis öeldakse, et see arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks ja kirjutatakse kujul: 30. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. Ühe muutuja funktsiooni tuletis kui leidub lõplik piirväärtus: siis seda nim funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. Ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. Kõrgemat järku tuletised funktsiooni f' tuletist nim funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''
Tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Ühe reaalarvulise parameetriga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Füüsikas on nihke tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Integraal määramata integraaliks nimetatakse funktsiooni algfunktsiooni leidmist ehk tuletise pöördfunktsiooni. Määratud integraal on arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni f(x) graafiku, x-telje ning vertikaalsete sirgetega x=a ja
selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest, vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki et lõigul [a; b] leidub vähemalt üks punkt c kus f(c) = 0. 13. Funktsiooni tuletise mõiste: Def. F.-i y=f(x) tuletiseks nim. piirväärtust y'=lim x0 y/x= limx0 f(x+x)-f(x)/ x. Kui vaadelda ühepoolseid piirväärtusi tingimustel x0-0 või x0+0, siis saame vasempoolse või parempoolse tuletise. *Kui f.-l on tuletis mingis punktis, siis on ta pidev selles punktis. Vastupidine väide on vale. Näide. Leian f.-i y=sinx tuletise. (sinx)´= lim delx0 dely/delx= lim delx0 (sin(x+delx)-sinx)/delx= lim delx0 (2sin(((delx)/2)cos(x+
' 2 1) Funktsioon f(x) = 3 on funktsiooni f(x) =x algfunktsioon reaalarvude hulgal R , sest 3 2 =x ja mõlemad funktsioonide määramispiirkond on reaalarvude hulk; iga reaalarvu puhul on funktsiooni x3 3 tuletiseks x2. x3 x3 ' 3 = x2 F(x) = 3 algfunktsioon tuletis f(x) = x2 1 2) F(x) = 3
pöördufunktsioon on pidev lõigus otspunktidega f(a) ja f(b). 13. Funktsiooni tuletis (definitsioon). Selle füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus. Näiteid. Tähistused. Millal funktsiooni tuletis puudub? Definitsioon: kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi muudu suhte korral x on olemas poorväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x Füüsikaline ja geomeetriline tõlgendus: füüsikaline tõlgendus – KIIRENDUS; geomeetriline tõlgendus – funktsiooni TÕUSUNURK Näited: Tähistused: Millal funktsiooni tuletis puudub: funktisoonides, kus esinevad teravad tipud, tuletist ei leidu 14. Seos funktsiooni pidevuse ja diferentseeruvuse vahel (Teoreem lk 13). Teoreem: Kui funktsioonil on olemas lõplik tuletis antud kohal, siis funktsioon on pidev sellel kohal
1. Funktsioon on määratud punkti mingis ümbruses - , + ; 2. Iga - , + korral kehtib võrratus . Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma kui funktsioonil on punktis lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis = 0. 20) Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni = -järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni -1-järku tuletise tuletist ja tähistatakse . Lõplikku -järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse -korda diferentseeruvaks. 21) Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? = + - + - + + - 1! 2! !
pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa. x y = cos 3 NT: Funktsioon 2 on kõikjal pidev, sest tema koostisosad x v= y = u , u = cos v ja 3 2 on kõikjal pidevad. 6. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu). funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust x f ( x + x ) - f )( x ) f ( x ) = lim = lim x 0 y x 0 x kui see piirväärtus eksisteerib. dy df ( x ) f ( x ), y , y x , , Tuletise tähised: dx dx Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja
Järelikult eksisteerib ka vasakul pool olev piirväärtus. Teoreem on tõestatud. l'Hospitali reegel jääb kehtima ka siis, kui piirprotsessis xa asendada piirprotsessiga x või x-. 27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid. a. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid a.1. Funktsiooni n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse . a.2. Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. a.3. Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised , kus n=1,2,3... ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. b
graafiku kumerusest (nogususest) vahemikus (a, b) jareldub, et x (a, b) f''(x) 0 (f''(x) 0). 3. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid. Oeldakse, et punkt a (täpsemini punkt(a, f(a))) on funktsiooni f(x) graafiku käänupunkt, kui leidub Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku tuletiseks kohal x ja selline > 0, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal (a - , a) ja nogus hulgal (a, a + ) voi nogus tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x->0 *f'(x)=
20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne. Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. 21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks? ' f ( a) f ' '(a) 2 f ' ' ' ( a)
Antud hulgal Kõikjal 10. Funktsiooni tuletis. Pidevus ja diferentseeruvus. Aritmeetiliste tehetega seotud diferentseerimisreeglid ( tõestus summa korral ). y Funktsiooni tuletis Kui on olemas piirväärtus lim , siis seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f x 0 x tuletiseks punktis x ja märgitakse sümbolitega: dy df ( x ) y = f ( x ) = = = y x = f x = y = f ( x ) dx dx Lagrange ' i Leibnizi Tähistus Newtoni tähistus tähistus liitfunktsiooni tähistus jne. korral
2z/y2=/y(z/y); nz/xn=/x(n-1z/xn-1) Teoreem: Kui 2-muutuja f-n z=(x; y) on olemas z/x; z/y; 2z/x2; 2z/yx pidevad siis 2z/xy=2z/yx Tuletis antud suunas z=(x; y) (joon) z=z/xx+z/yy+1x+2y /:s (s on pikkus s=x2+y2 ja x/s=cos ning y/s=cos (joon). Asendades valemisse saab: z/s=z/xx/s+z/yy/s+1x/s+2y/s [cos, cos-vektori s suunakoosinused s°- vektori s suunaline ühikvektor s°=(cos; cos)=(x/s; y/s)] z/s=z/xcos+z/ycos+1cos+2cos Def: Piirv- st s0 suhtest z/s nim kahe muutuja f-ni z=(x; y) tuletiseks vektori s suunas ja tähistatakse z/s. Seega z z = lim ja z/s=z/xcos+z/ycos . Kui on antud w=(x; y; z) siis s°=(cos;cos;cos) ja s s 0 s w/s=w/xcos+w/ycos+w/zcos Gradient w=(x; y; z) skalaarväli (määrab ära) gradw=(w/x; w/y; w/z) gradient määrab vektorvälja. Gradientvektor e gradient.
g(x) ≠ 0 2. Liitfunktsiooni f[g(x)] on pidev kohal a, kui g(x) on pidev kohal a ja f(u) on pidev kohal b= g(a). Lihtsamalt, liitfunktsioon on pidev, kui tema koostisosad on pidevad. 14. Kui argumendi muudu lähenemisel nullile funktsiooni f(x) muudu ja argumendi muudu suhtel kohal x on olemas piirväärtus, siis nimetatakse seda piirväärtust funktsiooni f(x) tuletiseks kohal x. a. Tähistused: 1. Lagrange´i tähistus: y´=f´(x) f (x) ¿ 2. Leizbnizi tähistus: d ¿ dy =¿ dx b. Füüsikaline tõlgendus: c
suurima ja vähima väärtuse vahel. Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0 1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 16.1.) Seos
Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0 2. Kollokvium 1. Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali mõisted. Argumendi x diferentsiaal. Tuletis. Funktsiooni y = f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtus kohal x argumendi muudu lähenemisel 0 nimetatakse selle funktsiooni tuletiseks kohal x ja x lim x 0 y tähistatakse y', f'(x) või st: y' = Kui viimane piirväärtus on lõplik, siis funktsioon y = f(x) on diferentseeruv kohal x. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Seos funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel (vastava teoreemi tõestus, Teoreem 3.1.) Seos
∆𝑥 = ∆𝑥 = 𝑥̇ Analoogiliselt leitakse ka param. esitatud funktsiooni kõrgemat järku tuletised. lim ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡 5). (Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus). *Kõrgemat järku tuletised: Kui funktsioonil 𝑓′ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist 𝑓 ′ (𝑥)−𝑓 ′(𝑎) nimetatakse funktsiooni 𝑓 teist järku tuletiseks kohal a. 𝑓 ′′ (𝑎) ≔ [𝑓 ′ (𝑎)]′𝑥=𝑎 = lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 *Kui funktsioonil 𝑓 (𝑛−1) eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni
x1, x2, ..., xn funktsiooni argumentide jada f(x1), f(x2), ..., f(xn) funktsiooni väärtuste jada arv A on funktsiooni piirväärtuseks, kui arvuks a koonduva argumentide jada korral vastav funktsiooni väärtuste jada koondub arvuks A funktsioon on pidev, kui 27. Ühe muutuja funktsiooni tuletise ja diferentsiaali mõisted. Kõrgemat järku tuletised. funktsiooni tuletis kui funktsioonil leidub lõplik piirväärtus: siis seda nimetatakse funktsiooni f tuletiseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f' või y'. funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. funktsiooni diferentsiaal kui funktsioonil on lõplik tuletis mingi piirkonna igas punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonist vaadeldavas piirkonnas. Kohal x diferentseeruva funktsiooni f (ehk y = f(x)) diferentsiaaliks kohal x
a. Olgu funktsioon y=f(x) dieferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f` hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f` on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame arvuada funktsiooni f` tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f``. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f``` jne. a.i. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f (n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks. a.ii. Kui funktsioonil on olemas kõik f(n), kus n=1,2,3...ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks. a.iii
Too näiteid pidevatest ja funktsiooni y=f(x) nimetatakse pidevaks mittepidevatest funktsioonidest. kohal a. Kui viimane võrdus kehtib iga määramispiirkonna punkti puhul, siis funktsiooni nimetatakse pidevaks. Funktsiooni pidevus tähendab seda, et tema graafikuks on pidev joon Defineerida tuletis. Funktsiooni y=f(x) tuletiseks nimetatakse funktsiooni muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läh eneb nullile (∆x→0) Milline on tuletise geomeetriline Funktsiooni tuletist võib antud punktis tähendus? geomeetriliselt tõlgendada, kui selle funktsiooni graafiku puutuja tõusu antud
annaabi.ee 
