Trigonomeetrilised võrrandid (0)

Trigonomeetrilised võrrandid
© T. Lepikult, 2010
Trigonomeetriline võrrand
Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja
esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides
Näiteks võrrand
2 sin 2 x + cos x - 1 = 0
on trigonomeetriline võrrand, võrrand
x sin 1 + x 2 cos = 0
aga ei ole trigonomeetriline võrrand.
Võrrandeid
sin x = a, | a | 1, tan x = a,
cos x = a, | a | 1, cot x = a,
nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks.
Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine
sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ;
cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ;
tan x = a, x = arctan a + n , n Z ;
cot x = a, x = arccot a + n , n Z .
Näide
Lahendada võrrand tan x = 3.
Lahendus
Kuna arctan 3 = ,
3
siis x = + n ehk x = (3n + 1) , kus n Z .
3 3
Võrdlusmeetod
Keerukamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel teisendatakse
võrrandit nii, et see taanduks lõpuks ühele või mitmele põhivõrrandile.
Võrdlusmeetod võrrandite lahendamisel.
sin x = sin x = (-1) n + n , n Z ;
cos x = cos x = ± + 2n , n Z ;
tan x = tan x = + n , n Z ;
cot x = cot x = + n , n Z .
Näide
1) cos 2 x = cos 0,38 2 x = ±0,38 + 2n
x = ±0,19 + n , n Z ;
2) tan 7 x = tan 6 x 7 x = 6 x + n x = n , n Z .
Algebraline võrrand trigonomeetrilise
funktsiooni suhtes
Kui trigonomeetriline võrrand on mingi trigonomeetrilise funktsiooni
suhtes algebraline võrrand, siis esmalt lahendatakse see (algebraline)
võrrand temas esineva trigonomeetrilise funktsiooni suhtes. Tulemusena
saadakse põhivõrrandid või neile vahetult taanduvad võrrandid.
Näide
5 cos 2 x + 21cos x - 20 = 0.
Lahendame antud võrrandi kui ruutvõrrandi cos x suhtes:
5u 2 + 21u - 20 = 0.
Lahenditeks on
u1 = 0,8 ja u2 = -5.
Tulemusena saame võrrandid
cos x = 0,8 ja cos x = -5.
millest esimene annab lahendi x = ±0,6435 + 2n , n Z ,
teine aga on vastuoluline.
Algebraline võrrand trigonomeetrilise
funktsiooni suhtes
Mõned trigonomeetrilised võrrandid kujutavad endast algebralisi
võrrandeid keerukama avaldise suhtes.
Näide
tan 2 6 x tan 6 x
2
+2 + 1 = 0.
tan 3 x tan 3 x
tan 6 x
Tegemist on ruutvõrrandiga = z suhtes.
tan 3 x
Lahendades selle (z suhtes), saame võrrandi
tan 6 x
= -1 tan 6 x = - tan 3 x = tan(-3 x)
tan 3 x
Edasine lahendamine toimub võrdlusmeetodi kohaselt:
n
6 x = -3x + n x=
9
Algebraline võrrand trigonomeetrilise
funktsiooni suhtes
Trigonomeetriline võrrand taandub sageli algebraliseks võrrandiks, kui
minna üle ühe ja sama argumendi
Näide 1 sin 2x
sin 2 x - sin 2 x
2
- 2 sin x = 0 sin 2 x - sin 2 x - 2 sin x cos x = 0
2
cos x
sin 2 2 x - 2 sin 2 x = 0 sin 2 x(sin 2 x - 2) = 0
1) sin 2 x = 0 2 x = n x = n / 2.
2) sin 2 x - 2 = 0 (vastuolu)
Algebraline võrrand trigonomeetrilise
funktsiooni suhtes
Näide 2 cos x cos 2 x = cos 3x
[cos(2 x - x) + cos(2 x + x)] / 2 = cos 3 x
[cos x + cos 3 x] / 2 = cos 3 x
cos x = cos 3x
cos x = cos 3x
x = ±3 x + 2n
1) x = +3 x + 2n 2) x = -3x + 2n
4 x = 2n
- 2 x = 2n
x = - n x = n / 2
Võrrandid, mille vasak pool teisendub
korrutiseks ja parem pool on null
Näide
cos 4 x + cos 2 x = 0
4x + 2x 4x - 2x
2 cos cos =0
2 2
2 cos 3 x cos x = 0
2
1) cos 3 x = 0 3 x = ± 2 + 2n x = ± + n
6 3
2) cos x = 0
x = ± + 2n
2