El.väli- elektriliselt laetud kehade poolt tekitatav jõuväli. El.välja tugevus-näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehadele. q=+1C E=F/g Superpositsiooni printsiip ehk liitumispõhimõte- võrdub laengute süsteemi väljatugevus üksikutest laengutest põhjustatud väljatugevuste vektorite summa ehk E- vektoreid tuleb liita. El.välja jõujooned- mõtteline joon, mille igas punktis on el.välja tegevuse vektor (E) suunatud pikki selle joone puutujaga. El.välja graaf.kujutamine- Homogeene el.väli- On ühesugune raskusjõu väli. Tema välja jõujooned on omavahel paralleelsed sirged, mille vahekaugus ei muutu. Töö el.väljas- A=F*s*cos_ Ep=mgh Ep=qEd El.välja potentsiaal- näitab, kui suur on vaadeldavas el.välja punktis ühikulise positiivsuse laenguga keha potentsiaalne energia. Tähis _=k*Q/r _=Ep/q Ekvipotentsiaalpinnad- ühesugust potentsiaali omavate elektrivälja punktide hulk.
a) y = 2 x - 6 b) k = 24-6= 2 k 2 = 2 2 - 6 = -2 1 y - ( - 2 ) = 2( x - 4 ) y - ( - 2 ) = -2( x - 2 ) y + 2 = 2x - 8 y + 2 = -2 x + 4 y = 2x - 8 - 2 y = -2 x - 2 + 4 y = 2 x - 10 y = -2 x + 2 NB! Kui ülesande tingimustes on antud puutujaga paralleelse või ristuva sirge võrrand, siis tuleb antud võrrandist leida puutuja tõus: 1) Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed: k1 = k 2 2) Ristuvate sirgete tõusude korrutis on -1: k1 k 2 = -1 Harjutusülesanded 1. Leia puutuja võrrand ja tõusunurk joonele y = 3 x - 4 x + 1 kohal x = -2. 2 2. On antud joon y = x - 6 x - 5 . Leia sellele joonele tõmmatud puutuja võrrand, kui 2
2 0,70M propanool 64 64 - 3 0,375M propanool 51 50 55 4 0,1875M propanool 50 49 48 5 0,09375M propanool 46 46 46 6 0,046875M propanool 44 44 44 Graafikud Siin joonisel on näidatud koostatud pindpinevuse isoterm koos nelja erineval kontsentratsioonil tõmmatud puutujaga. Excelis graafikut lähemalt vaadeldes sain määrata täpsemalt lõigu Z pikkused. Joonisel on näidatud koostatud adsorptsiooni isoterm lahuse ja õhu piirpinnal. Siin on toodud maksimaalse adsorptsiooni graafilise määramise jaoks graafik . Arvutused Pindpinevuse isotermi graafikul puutujate kaudu võetud ordinaattelje pikkused : Kontsentratsioon Z, Pindliig , c,
Füüsikaline suurus, mis iseloomustab magnetvälja vastavas ruumipunktis: magnetinduktsioon on magnetvälja magnetvoo tihedus. Magnetinduktsioon on 1T (tesla), kui magnetvälja jõujoontega risti paiknevale 1m pikkusele juhtmelõigule, milles on voolutugevus 1A, mõjub magnetjõud 1N. 13. Mida kujutavad endast magnetvälja jõujooned? Kirjelda neid vooluga juhtmete ja püsimagnetite ümber. Magnetvälja jõujooned on kinnised kõverjooned, mille igasse punkti kujutatud puutujaga ühtib magnetinduktsiooni B-vektori siht. Mida tihedamalt on jõujooni, seda tugevam magnetväli on. Jõujoonte suunaks on kokku lepitud mööda magnetnõela SN. 14. Selgita superpositsiooniprintsiipi magnetinduktsiooni kohta. Kui magnetvälju tekitab mitu magnetit, siis nende magnetinduktsioonid liituvad nagu vektorid, arvestades igaühe suunda. 15. Sõnasta ja oska kasutada "parema käe rusikareeglit" magnetinduktsiooni või voolu suuna määramiseks?
18. Mida iseloomustavad kesktõmbejõud ja tsentrifugaaljõud? Kesktõmbejõud ehk tsentripetaaljõud on ringliikumises olevale kehale mõjuv jõud, mis on suunatud tiirlemise keskpunkti poole Tsentrifugaaljõud ehk kesktõukejõud on üks inertsijõududest, see tähendab, et tegu on vaid inertsist tuleneva nähtusega, mitte ringliikumise põhjusega. See tekib punktmassi või keha kõverjoonelisel liikumisel ja mõjub liikumissuunaga (trajektoori puutujaga) risti ja ringliikumise keskpunktist eemale. 19. Hooke’ seadus. (Tähtede seletus ja vektorite suunad) F= -kx, k- konstantne tegur, keha jäikus/materjali elastsusmoodul, x- deformatsiooni nihe. Elastse deformatsiooni puhul on varda pikenemine võrdeline sellele mõjuva jõuga. Kehtib kuni pole saavutatud elastsuspiir. Tõmbe korral positiivne ja survel negatiivne (x). Kehtib elastse deformatsiooni korral. 20. Mis on elastsusmoodul ja mis on nihkemoodul?
37.Piirdenurk Piirdenurgaks nimetatakse nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haarad lõikavad ringjoont. Samale kaarele toetuvad piirdenurgad on võrdsed. Piirdenurk võrdub poolega samale kaarele toetuvast kesknurgast. 38.Teoreem piirdenurgast Ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. ABC on piirdenurk. 39.Ringjoone puutuja Ringjoone puutujaks nimetatakse sirget millel on ringjoonega üks ühine punkt. Puutepunkti tõmmatud raadius on risti puutujaga. Lõik A on ringjoone puutuja. 40.Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt Kolmnurga kõigi külgede keskristsirged lõikuvad ühes punktis, mis ongi kolmnurga ümberringjoone keskpunkt. 41.Kolmnurga siseringjoone keskpunkt Kolmnurga siseringjoone keskpunktiks on nurgapoolitajate lõikepunkt. 42.Korrapärane hulknurk Kumerat hulknurka, millel on võrdsed küljed ja võrdsed nurgad, nimetatakse korrapäraseks hulknurgaks
Puutuja tõus k = tan on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 . k = y x = x = f ( x0 ) . Teades puutepunkti koordinaate ja puutuja tõusu, 0 leiame puutuja võrrandi, kasutades selleks sirge võrrandit läbi antud punkti antud tõusuga: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ehk y - y0 = f ( x0 )( x - x0 ) . Normaaliks punktis M0 nimetatakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Leiame normaali tõusu. Et joone normaal on puutujaga risti, siis sirgete ristseisu tunnuse põhjal 1 1 1 (k1*k2=-1) on tema tõus k 2 = - = - ja normaali võrrand on y - y0 = - ( x - x0 ) k1 f ( x0 ) f ( x0 ) Funktsiooni uurimine- Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest
Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks. Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne! Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Valem - a² + b² = c² a² = c² - b² b² = c² - a² 25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine. Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti. 26. Hulknurk, korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine. Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa. Hulknurka, mille küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse korrapäraseks. Korrapärase hulknurga siseringiraadius ehk apoteem on külje kaugus siseringi keskpunktist. Korrapärase hulknurga ümberringjoone raadius on hulknurga tipu kaugus keskpunktist. r – siseringi raadius R – ümberringi raadius 27
17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis )) A = (a, f (a (tõestust ei küsi). Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2. 1. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on määratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud
Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Olgu tasandil -teljestikus antud joon = ! . Joone = ! puutujaks punktis nimetatakse tema lõikaja % piirsirget, mis tekib punti % lähenemisel punktile mööda joont =! . Joone puutuja võrrand punktis = , ! kujul - ! = n - , kus n on tõus. Joone = ! normaalsirgeks punktis nimetatakse sirget, mis läbib punti ja ristub joone =! puutujaga selles punktis. ) Punkti = , ! läbiva normaalsirge võrrand on - ! =- h - . f +
6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x) Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). y - f(a) = f (a)(x - a) Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0 5
Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = p(x − a) Joone y = f(x) normaalsirgeks punk tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = - 1 f ' (a) (x-a)
kohta =F/l Pindpinevustegur sõltub vedeliku keemilistest omadustest ja temperatuurist.SI süsteemis on pindpinevusteguri ühikuks N/m. 2.2.Vedelike dünaamika 2.2.1.Joa pidevuse teoreem · Vedeliku liikumise oleku saab määrata,kui iga ruumipunkti jaoks on teada kiirusvektor,kui aja funktsioon · Vedeliku voolamise kirjeldamiseks on voolujooned-mõttelised jooned voolavas vedelikus,mis on defineeritud nii,et kiirusvektor igas vedeliku punktis ühtib voolujoone puutujaga · Ideaalseks nimetatakse vedelikku,mida ei saa kokku suruda ja kus puudub sisehõõre · Vedeliku statsionaarse voolamise puhul on kiirusvektor igas voolava vedeliku punktis const.,samuti ka rõhk · Joa pidevuse teoreemi kohaselt,ideaalse vedeliku hulk,mis voolab ajaühikus läbi voolutoru iga ristlõike,on const S1V1=S2V2=const Ehk dV/st=sv=const v-voolamise kiirus s- voolutoru ristlõike pindala
3 2 1. Leidke funktsiooni f (x) nullkohad ja negatiivsuspiirkond. 2. Arvutage funktsiooni f (x) maksimumpunkti koordinaadid. 14 3. Funktsiooni f (x) graafiku puutuja kohal x0 2 on sirge y 2 x . Koostage 3 võrrand sirgele, mis on antud puutujaga paralleelne ning ka antud funktsiooni graafiku puutuja. 1 x 24. x = ; puutuja joonele f(x) y ; puutuja joonele g(x) y = -ex + 2; 3 e 1 (e) 1 ; AB e2 1 ; S ABC e2 1 2 e e 2e e 2 1 2 3 16 3 2 3 16 3 2 3 25
mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
=F/l Pindpinevustegur sõltub vedeliku keemilistest omadustest ja temperatuurist.SI süsteemis on pindpinevusteguri ühikuks N/m. 2.2.Vedelike dünaamika 2.2.1.Joa pidevuse teoreem Vedeliku liikumise oleku saab määrata,kui iga ruumipunkti jaoks on teada kiirusvektor,kui aja funktsioon Vedeliku voolamise kirjeldamiseks on voolujoonedmõttelised jooned voolavas vedelikus,mis on defineeritud nii,et kiirusvektor igas vedeliku punktis ühtib voolujoone puutujaga Ideaalseks nimetatakse vedelikku,mida ei saa kokku suruda ja kus puudub sisehõõre Vedeliku statsionaarse voolamise puhul on kiirusvektor igas voolava vedeliku punktis const.,samuti ka rõhk Joa pidevuse teoreemi kohaselt,ideaalse vedeliku hulk,mis voolab ajaühikus läbi voolutoru iga ristlõike,on const S1V1=S2V2=const Ehk dV/st=sv=const vvoolamise kiirus s voolutoru ristlõike pindala
mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = . Kasutades neid valemeid arvutame: f(x) = = = 22. Joone puutuja. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) Joone normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A Üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja Üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk = /2 , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f(a). Kui aga punktis A esineb graafikul murdepunkt, siis ei ole selles punktis võimalik puutujat Üheselt määrata
suunatud trajektoori kõveruskeskmesse (ringliikumise korral ringjoone keskpunkti). Tsentripetaaljõud hoiab keha kõverliikumises. Fkt =ma(n) = m* (v²/R). Nt rattaga sõites kallutatakse kurvi sisse poole. Tsentrifugaaljõud ehk kesktõukejõud on üks inertsijõududest, see tähendab, et tegu on vaid inertsist tuleneva nähtusega, mitte ringliikumise põhjusega. See tekib punktmassi või keha kõverjoonelisel liikumisel ja mõjub liikumissuunaga (trajektoori puutujaga) risti ja ringliikumise keskpunktist eemale. Nt autoga kurvis sõites kaldub inimene ja autos olevad asjad kurvist väljapoole. Võnkesüsteem Võnkesüsteem on vastastikmõjus olevatest kehadest koosnev süsteem, milles võib esineda võnkumine. 1. Võnkesüsteemide ühised omadused: eksisteerib tasakaaluolek, mille korral süsteemi potentsiaalne energia on minimaalne; 2. tasakaaluolekust välja viidud kehale mõjub koordinaatidest sõltuv jõud, mis püüab teda
Kuna a > c > 0, siis näeme, et mistahes ellipsi ekstsentrilisus kuulub vahemikku (0, 1). Leiame ekstsentrilisus ellipsi pooltelgede a ja b kaudu: Kui e=0, siis 1 0 , ehk tegemist on ringjoonega. Mida väiksem e, seda rohkem ellips on lähedane ringjoonele. Omadus 3 (ellipsi optiline omadus): Vaatleme suvalist punkti P ellipsil. Konstrueerime selles F2. Lõik PF1 moodustab puutujaga nurga ja lõik PF2 moodustab puutujaga nurga . Kehtib punktis ellipsi puutuja. Lisaks tõmbame sirglõigud punktist P mõlemasse fookusesse F1 ja omadus = . · · · Omadust 3 nimetatakse ellipsi optiliseks omaduseks
suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu. Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=x, ja funktsiooni diferentsiaal on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x). Seega võrdub funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi jagatisega. Joone puutuja ja normaal Normaalik punktis M0 nimetakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 Funktsiooni uurimine Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes:
f x P y - y0 = - ( x - x0 ) f y P Teisendades saame f ( x - x0 ) + f ( y - y 0 ) = 0 x P y P ? Sirge ax + by + c = 0 normaalvektoriks on n = { a, b} Nivoojoone puutuja normaalvektoriks on seega f f z z n= ; = ; = grad z P x P y P x P y P Järelikult grad z on risti puutujaga ja seega ka nivoopinnaga. 2) Vaatleme kolme muutuja funktsiooni oni u = f ( x, y, z ) ja selle nivoopinda f ( x, y , z ) = c . Võtame nivoopinna punkti P ja kõverjoone L, mis asub nivoopinnal ja läbib punkti P( x0 , y 0 , z 0 ) . Olgu joone L parameetrilised võrrandid x = u ( t ) L : y = v(t ) z = w( t ) ning u ( t 0 ) = x 0 , v( t 0 ) = y 0 , w( t 0 ) = y 0 ? ? Siis vektor r
= f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous ¯ p puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p = lim xa ¯ p = lim xa f(x) - f(a) /x a = f'(a) saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan. Kuna = + /2 ja tan = f'(a), siis p = tan = tan( +/2)= -1/tan= -1/f'(a) y - f(a) = -1/f'(a) * (x - a) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. argumendi v¨a¨artusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A = (a,f(a)) sile joon, mille puutuja t~ousunurk ei ole 2.
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = p = = f ` (a) Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = = f (a) Lõpp võetud vanast konspektist ja lim p õige kirjapilt jäi mulle arusaamatuks. Normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub funktsiooni y = f(x) graafiku puutujaga selles punktis. Punkti A = (x0 ,y0) läbiva normaalsirge võrrand: y y0 = - Võrrandi tuletamine: Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + ja tan = f (a), siis p = tan = tan( +) = - = - Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - · (x - a) 5. Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Näidata, et kehtib ligikaudne valem y dy, kui x Peaosa
0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a). Selle p~ohjal on punkti A=(a, f (a))
0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a). Selle p~ohjal on punkti A=(a, f (a))
lim(xa) p(kriips) = lim(xa) (f(x)-f(a))/x-a=f'(a)(3.4) Valemitest (3.3) ja (3.4) saamegi puutuja võrrandi y- f(a) = f'(a)(x - a) : (3.5) Valem (3.5) kehtib juhul kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Normaal: Joone normaalsirge ja tema võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget n mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge on koos oma tõusunurkadega alfa ja beta. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan beta. Kuna beta = alfa + pi/2 ja tan alfa = f'(a) siis p = tan beta = tan (alfa + pi/2) = -1/tanalfa =-1/f'(a) (3.6) Valemite (3.6) ja (3.2) põhjal on punkti A = (a; f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:y - f(a) = -1/f'(a)(x - a) : Muidugi kehtib selline võrrand juhul kui f'(a) 0
Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 , siis ei ole f(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Joone normaalsirge definitsioon: Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) : Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f(a), siis Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Muidugi kehtib selline võrrand juhul, kui f(a) = 0. Kui f(a) = 0, siis on normaalsirge y - telje sihiline ja tema võrrand on x = a. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu: argumendi väärtusel
Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23. Funktsiooni peaosa ja jääkliige Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et
Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal . Eelnevatest valemitest saamegi puutuja võrrandi See valem kehtub juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f ` (a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f ` (a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. JOONE NORMAALSIRGE DEFINITSIOON Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse, sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone normaalsirge võrrand punktis A = (a,f(a)). Joonisel on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu . Kuna ja , siis . Valemite põhjal on punkti A = (a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: . Võrrand kehtib juhul, kui f `(a) 0. Kui f `(a) = 0, siis on normaalsirge y-telje sihiline ja tema võrrand on x = a.
punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f'(a)(x - a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan Kuna = + ja tan = f'(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a))
r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)) (Joons! Ei leidnud kusagilt õpikust) to=>¤t r= (t+¤t)=r(x(to+¤t),y(to+¤t),z(to+¤t))(Joonis!) ro=(x(to),y(to),z(to)) r(to+t)-r(to)=¤r=(¤x,¤y,¤z) ¤x=x(to+¤t)-x(to) ¤y=y(to+¤t)-y(to) ¤z=z(to+¤t)-z(to) lim(t->0) ¤r/¤t=r*= lim(¤t->0) (¤x/¤t,¤y/¤t,¤z/¤t)=(x*,y*,z*) x*=dx/xt y*=dy/dt z*=dz/dt Puutuja võrrand: (x-xo)/m= (y-yo)/n= (z-zo)/p=t s=(m,n,p) sihivektori koordinaadid (x-xo)/x*(to)= (y-yo)/y*(to)=(z-zo)(z*(to) Tasand, mis läbib punkti M on risti puutujaga, on normaaltasand: x*(to)(x-xo)-y*(to)(y-yo)+z*(to)(z-zo)=0 10. Skalaarväli. Funktsiooni suunatuletis (Margus) 11. Skalaarvälja gradient Funktsiooni gradiendi mõiste ja omadused Olgu u=f(x,y,z) kolmemuutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et osatuletised f'x, f'y ja f'z eksisteerivad piirkonnas D. Vektorit gradf(P)=(f'x(P),f'y(P),f'z(P)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P.
joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y − f(a) = f’(a)(x − a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ Kuna φ = α + ja tan α = f’(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Diferentseeruvuse geomeetriline sisu Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis
Jadaühenduses olevate tarvitite või takistite kogutakistus võrdub üksikute takistuste summaga. Rööbiti ühendatud elementide kogutakistuse pöördväärtus võrdub nende takistuste pöördväärtuse summaga. 4. Tsentrifugaaljõud ehk kesktõukejõud on üks inertsijõududest, see tähendab, et tegu on vaid inertsist tuleneva nähtusega, mitte ringliikumise põhjusega. See tekib punktmassi või kehakõverjoonelisel liikumisel ja mõjub liikumissuunaga (trajektoori puutujaga) risti ja ringliikumise keskpunktist eemale. 5. Rööpühenduses ehk paralleelühenduses kondensaatoritele rakendub ühesuurune pinge. Sel juhul võrdub kogumahtuvus rööbiti ühendatud kondensaatorite mahtuvuste summaga: Jadaühenduses ehk järjestikühenduses kondensaatoreid läbib ühesuurune vool. Niisuguse ühenduse korral on kogumahtuvuse pöördväärtus võrdne erinevate kondensaatorite mahtuvuste pöördväärtuste summaga:
Enne lahtirebenemist liikusid need osakesed joonkiirusega ja nüüd jätkavad inertsist samas suunas. Nurkkiirus on kiirus, millega muutub raadiuse pöördenurk. Nurkkiirust mõõdetakse ühikuis rad/s ja see näitab pöörlemisraadiuse poolt läbitud nurga ja selleks kulunud aja suhet. Kesktõmbejõud - see on suunatud raadiuse sihis tiirlemiskeskpunkti poole. Kesktõmbejõud on risti joonkiirusega, sest ringi raadius on alati risti puutujaga. Tsentrifugaaljõud on küll olemas ja suunatud vastupidiselt tsentripetaal- ehk kesktõmbejõule. Siit järeldub, et tsentrifugaaljõud on radiaalse suunaga. Kuid tsentrifugaaljõud pole rakendatud samale kehale millele tsentripetaaljõud, vaid tiirlemiskeskmele. Siin on tegemist ikka inertsiga. Sarnane olukord esineb autosõidul. Kui auto sõidab kurvis ja meid surutakse vastu auto välisseina, siis öeldakse tihti, et see ongi tsentrifugaaljõud, mis meile mõjub
101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suunanurkade määramiseks. 103. Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulik teljestik koosneb kolmest teljest (t, n, b), mis liiguvad koos punktiga. t puutuja telg n peanormaaltelg b binormaaltelg n ja b asuvad mõlemad normaaltasapinnas, mis on risti puutujaga 104. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? Loomuliku teljestiku teljed liiguvad koos punktiga, Descartesi kordinaatteljed on liikumatud. 105. Anda kooldumistasapinna definitsioon kolme punkti kaudu. Kooldumistasapind on tasapind, millel on kõveraga kõrgeim puutumise järk. 106. Anda kooldumistasapinna definitsioon kahe puutuja kaudu. 107. Anda kooldumistasapinna mõlemad definitsioonid. 108
101. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suuna ja kiirenduse mooduli määramiseks. ax=-Ak^2sin(kt+epsilon) 102. Kirjutada valemid punkti kiirenduse suunanurkade määramiseks. 103. Mida nimetatakse loomulikuks teljestikuks punkti liikumisel trajektooril? Loomulik teljestik koosneb kolmest teljest (t, n, b), mis liiguvad koos punktiga. t puutuja telg n peanormaaltelg b binormaaltelg n ja b asuvad mõlemad normaaltasapinnas, mis on risti puutujaga 104. Mis vahe on loomulikul teljestikul ja tavalistel Descartesi koordinaattelgedel? Loomuliku teljestiku teljed liiguvad koos punktiga, Descartesi kordinaatteljed on liikumatud. 105. Anda kooldumistasapinna definitsioon kolme punkti kaudu. Kooldumistasapind on tasapind, millel on kõveraga kõrgeim puutumise järk. 106. Anda kooldumistasapinna definitsioon kahe puutuja kaudu. 107. Anda kooldumistasapinna mõlemad definitsioonid. 108
e. Seejärel keeratakse pikksilm tagumise lati poole, seatakse silindrilise vesiloodi mull elevatsioonikruvist keskele ja võetaks punase külje lugem tp. 57. Maa kumerus ja refraktsiooni mõju nivelleerimistulemustele, metoodika nende mõju elimineerimiseks. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB0. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB0 suurendada suuruse k võrra, mida nimetatakse Maa kumerusest tingitud parandiks. Olgu O maakera keskpunkt, AO=OB1=R selle raadius. Maa kumerusest tingitud parandit k=B0B1 saab arvutada täisnurksest kolmnurgast AOB0. Pythagorase teoreemi järgi saame: ehk , kus s=AB0 on nivelleeritavate punktide vahekaugus. Avaldisest saame valemi Maa kumerusest tingitud parandi arvutamiseks: .
silindrilise vesiloodi mull keskel olema. e. Seejärel keeratakse pikksilm tagumise lati poole, seatakse silindrilise vesiloodi mull elevatsioonikruvist keskele ja võetaks punase külje lugem tp. 54. Maa kumerus ja refraktsiooni mõju nivelleerimistulemustele, metoodika nende mõju elimineerimiseks. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB0. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB0 suurendada suuruse ∆k võrra, mida nimetatakse Maa kumerusest tingitud parandiks. Olgu O maakera keskpunkt, AO=OB1=R selle raadius. Maa kumerusest tingitud parandit ∆k=B0B1 saab arvutada täisnurksest kolmnurgast AOB0. Pythagorase teoreemi järgi saame: 2 2 2 2 2 2
52b. Selle juurde märgime tema suuruse T. Eespool me juba ju märkasime, et tasakaalu puhul on ühe ja sama nööri kõikides osades ühesugune tõmbejõud. Sellest siis ka sama märge T. Kolmandaks, nuki kui sideme reaktsioonjõud N 4 . Kuna siin on tegemist kahe kokkupuutuva pinnaga, millest alumine osutub punktiks, siis reaktsioonjõud on risti ülemisega, s.t. ta on risti ringjoonega. Teiste sõnadega, reaktsioonjõud on risti ringjoone puutujaga, mis on tõmmatud puutepunktis. Ning muidugi on selle suund just selline, nagu joonisel 4.52b on näha, sest nukk hoiab ketast üleval, mitte ei tõmba alla. Jõudude skeem selle ülesande jaoks ongi valmis. Näide 6. Süsteem koosneb kolmest kehast: L-kujulisest vardast 1 ehk ABC (joonis 4.53), täisnurksest prismast 2 ja silindrist 3. Teha kõigi kolme keha jaoks jõudude skeem, kui kõik need kehad on rasked. A 1 B
· Vedeliku voolamise kirjeldamiseks on voolujooned-mõttelised jooned voolavas vedelikus,mis on defineeritud nii,et kiirusvektor igas vedeliku punktis ühtib voolujoone puutujaga · Ideaalseks nimetatakse Vedeliku ja õhu piirpinna lähedal on vedelikku,mida ei saa kokku suruda molekulidevaheliste tõukejõudude osakaal ja kus puudub sisehõõre väiksem kuna vedeliku molekulide põrgete · Vedeliku statsionaarse voolamise sagedus piirpinnal väheneb ja molekulide puhul on kiirusvektor igas voolava
Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk tuletis f (a) on m¨a¨aratud. Kui puutuja t~ousunurk on 2 , siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. Joone normaalsirge ja selle v~ orrand. Joone y = f (x) normaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f (x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f (x) puutuja s ja normaal- sirge n koos oma t~ousunurkadega ja . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan . Kuna = + 2 ja tan = f (a), siis ( ) 1 1 p = tan = tan + =- =- . (3.13) 2 tan f (a) yy
Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) . (3.12) Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk tuletis f (a) on m¨a¨aratud. Kui puutuja t~ousunurk on 2 , siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. Joone normaalsirge ja selle v~ orrand. Joone y = f (x) normaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f (x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f (x) puutuja s ja normaal- sirge n koos oma t~ousunurkadega ja . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan . Kuna = + 2 ja tan = f (a), siis 1 1 p = tan = tan + =- =- . (3.13) 2 tan f (a) yy
külgserva või liitjoone osa otsaserva (üksikosade tinglik piirjoon). Kaarja liitjoone osa puhul lisanduvad neile võimalused haaramiseks lähend-trapetsi haarade kaudu. Seejuures kuvatakse haaramismooduse tähis alati liitjoone matemaatilisel telgjoonel. Haaramismooduste tööpiirkonnad: – alati töötavad – INT, MID, NEA ja END (nii kogu liitjoone kui terviku kui ka iga liitjoone osa suhtes); – kaarjale osale – CEN, PER (sisuliselt risti kõvera puutujaga antud punktis) ja TAN; – sirgele osale – PER. Mingi liitjoone osa (kaar, sirglõik) eelmisest osast erineva laiusega osa joonestamisele peab eelnema mis tahes muule tegevusele selle osa laiuse seadistamine. Laia liitjoone käsitlemisel võetakse aluseks tema geomeetriline keskjoon. Töö 3 Klamber 43 PLINE ↵ {punkt } ┐
Distantsjooned on kaarele vastava nurga poolitajaga paralleelsed. Mõõtarvu ette märgitakse väike kaareke. Kui radiaalsuunaliste distantsjoonte vahele on haaratud mitu kontsentrilist kaarjoont, tuleb tingimata näidata, millise juurde mõõtarv kuulub. Raadiuste tähistamine Sele 55. Raadiuste tähistamine Raadiuse mõõtjoon peab alati olema risti mõõdetava kaarjoone kujuteldava puutujaga. Kui pole oluline näidata kaare tsentri asukohta, võib raadiuse mõõtjoone jätta tsentrini tõmbamata. Suure raadiuse puhul võib tsentri tinglikult kaarele lähemale tuua. Mõõtjoon tehakse sel juhul murdega. Väliste ja sisemiste ümardusraadiuste märkimine Sele 56. Väliste ja sisemiste ümardusraadiuste märkimine Läbimõõdumärk Sele 57. Läbimõõtude märkimine joonisel
Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = lim f (x) f (a)/ x - a= f (a) xa xa saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f (a)(x - a) , kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud, nt. Kui kui f(a) = /2 . Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( +/2)= - 1/tan = - 1/f(a) Punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2 . 23
tsentrifugaaljõud paiskab vedeliku tööratta labade vahelt välja survega H (joonis 3 ), mis oleneb vedelikule antud energia poolt tekitatud vedeliku kiirusest Vedeliku voo osakeste kiiruse võib jagada suhteliseks ja absoluutseks kiiruseks. Pumba tööratta pöörlemisel (joonis 3) pumbatava vedeliku osakesed pööreldes koos töörattaga liiguvad pumba tööratta liikumiskiirusega (u), mille vektor langeb kokku tööratta pöörlemise trajektoori puutujaga antud punktis. Samal ajal liikudes pikki töölabasid töörattalt väljumise suunas liiguvad vedeliku osakesed suhtelise kiirusega tööratta suhtes (w), mille vektor on töölaba puutujasuunaline. Vedeliku osakestele liikumisele antud summaarne ehk absoluutkiirus pumba kere suhtes võrdub töörattaga vedeliku kaasaliikumise kiiruse (u) ja tööratta suhtes vedeliku kiiruse (w) geomeetrilise summaga.
Kõrguskasvu määramise keskmine ruutviga on +- 0,5 mm. GPS mõõtmistega on täpsus sentimeeter. Detsimeetri täpsusega saab teha trigonomeetrilist nivelleerimist. Baromeetriline toimib õhurõhu erinevuste kaudu ning täpsus on detsimeeter. 47. Kõrguslike nivoopindade omadused. Maa kuremusest ja refraktsioonist tingitud parand. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemate õlgade puhul(vahekauguste) sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga AB. Et kõrguskasv on tegelikult kahe punkti nivoopindade vahe, siis suuremate kauguste puhul on vaja lõiku BB suurendada suuruse k võrra, mida nim. Maa kumerusest tingitud parandiks. k= s²/2R kus s =AB on nivelleeritavate punktide vahekaugus ja R Maa raadius. Peale selle avaldab kõrguskarsvule mõju ka valguskiire refraktsioon. Kallaku maastikul läbib rõhtne viseerimiskiir eri tihedusega õhukihte ja kord-korralt murdudes
Kui lati jaotside algavad nullist, siis on keskmise niidi lugem e võrdne viseerimiskiire kõrgusega punkti kohal. Olles mõõtnud sama latiga okulaari keskpunkti saabe kõrguskasvu. (h=i-e) 57. Maa kumerus ja refraktsiooni mõju nivelleerimistulemustele, metoodika nende mõju elimineerimiseks Maa kumeruse mõju: Avaldab mõju suurte kauguste puhul. Rõhtne viseerimiskiir kujutab endast lühemtata õlgade puhul sirgjoont, mis on paralleelne instrumendi seisupunkti nivoopinna puutujaga. Suurte kauguste puhul tuleb aga mõõdetud kaugus väiksem tegelikust. Parand k s^2=k*(2R+k) Refraktsiooni mõju: kallakul maastikul läbib rõhtne viseerimiskiir eri tihedusega õhukihte ja kord-korralt murdudes moodustab mingi kõvera, mille nõgus pool on suunatud tihedamate õhukihtide poole. Selle tulemusel saadakse lugem latilt e' mõnevõrrra väiksem sellest, mis vastab rõhtsale viseerimiskiirele. Parand on: r=e-e'. r ei ole võimalik täpselt arvutada, keskmiselt on 0,16k.
annaabi.ee 
