väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a − Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ε). Siis kirjutatakse x → a + 5. Kas muutuva suuruse vasak- ja parempoolsed piirprotsessid on selle suuruse piirprotsessi erijuhtudeks? Miks? (lk 3) Piirprotsessi üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. 6. Defineerida piirprotsessid x → ∞ ja x → -∞ . (lk 4) Muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab
Avaldis f’(x)∆x nim. y=f(x) differentsiaaliks(esimene järk: dy või df). dy = df = f’(x)∆x dy = f’(x)∆x ↔ f’(x) = dx Diff. omadused: Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut dy f ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi ∆ x→0 . f’(x) = . D(f+g) = df + dg. d(f*g) =df*g + f*dg. d( )= dx g df∗g−f ∗dg g2 � ��=�(��−1�) ���=�(�)(�)(��)� Kui funktsioon �=�(�) on esitatud parameetrilisel kujul { X=φ(t)
neist on eelnev ja kumb järgnev. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon: Üldine definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Analoogiliselt saab defineerida ja selgitada ka piirprotsessi x -. Definitsioon on järgmine: Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M.
arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a- Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x lÄheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab nÄidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik jÄrgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse Ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tÄhistatakse jÄrgmiselt: x või lim x = . Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes vÄikese positiivse arvu korral saab nÄidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik jÄrgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a Ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on jÄrgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide: Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Tõestus: Tõestame selle väite esimese poole, so: kui on lõpmatult kahanev, siis on lõpmatult kasvav (vastupidine väide tõestatakse analoogiliselt). Olgu lõpmatult kahanev, . Peame tõestama, et suurus on lõpmatult kasvav, . Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb meil näidata et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad . Fikseerime mingi pos. arvu M ja kasutame eeldust . Vastavalt piirprotsessi definitsioonile eksisteerib suvalise kuitahes väikese pos. arvu korral selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Kuna viimases lauses võib olla suvaline
𝑑𝑥 – argumendi diferentsiaal 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 ↔ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 Diferentsiaali omadusi Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi ∆𝑥 → 0. 𝑑𝑦 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 𝑓 𝑑𝑓∙𝑔−𝑓∙𝑑𝑔 𝑑 (𝑔) = 𝑔2 Kõrgemat järku diferentsiaalid Funktsiooni𝑦 = 𝑓(𝑥) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni 𝑛 − 1-järku diferentsiaalist
suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a-, a+) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a-, a] või [a, a+). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu
1. Määratud integraali mõiste.
Olgu antud f(x) [a;b] ja geom. tõlgenduse jaoks f(x)>=0. a=x0
määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal.
näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x → a või lim x = a . Piirväärtuse üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või mõlemalt poolt) muutuja x lähenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame üldisest piirväärtuse definitsioonist, kui me seal esineva ümbruse (a−ε, a+ε) kitsendame kas vasakpoolseks või parempoolseks ümbruseks (a−ε, a] või [a, a+ε). Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese
moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev. · Muutuva suuruse x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . · Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-;-M), st rahuldavad võrratust x < - M. Tähistusviis on : x - või lim x = - .
saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ). Siis kirjutatakse x a + . Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrratust x < -M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Koonduvad ja hajuvad jadad - Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks.
Hiina RV moodustamise ajal oli rahvastikust kirjaoskamatuid u.90%. Pekingi ülikool asutati 1898. a.-l . Teadus Hiinas hakati kirja kasutama II-st a-tuh. Hulk olulisi leiutisi tehti seal sajandeid varem kui mujal: (kompass,seismoskoop,püssirohi,paber,portselan). "Matemaatika üheksas raamatus"(Zhang Cang). Sun Zi lahendas lineaarvõrrandisüsteemi täisarvudega. 3.saj. Võttis Liu Huei kasutusele kolmnurkade sarnasuse mõiste,samuti ka piirprotsessi mõiste. Yang Huei võttis kasutusele kümnendmurrud. Itaalia matemaatik M.Ricci tõlkis hiina keelde esimesed 6 osa Eukleidese "Elementidest". Filosoofia Alged ulatuvad I a-tuh. algusesse. Klassikaline ajajärk oli 5.-3.saj. kujunesid põhikoolkonnad. I filosoof pärimuste põhjal on Laozid. 4.-3.saj. tekkis legismi koolkond. Kirjandus Vanimad mälestised on mütoloogia pärimused ja rahvalaulud. Shijing sisaldab 11.-6.saj-st pärinevaid luuletekste.
Siis
kirjutatakse xa +
8)
· Piirprotsesside x ja x
i) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure
pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse
väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M;) st rahuldavad võrratust x>M. (Taolist piirprotsessi
tähistatakse järgmiselt: X või limx=)
ii) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes
suure pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse
väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (;M), st rahuldavad võrratust x
Siis
kirjutatakse xa +
8)
· Piirprotsesside x ja x
i) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure
pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse
väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M;) st rahuldavad võrratust x>M. (Taolist piirprotsessi
tähistatakse järgmiselt: X või limx=)
ii) Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes
suure pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse
väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (;M), st rahuldavad võrratust x
0 Muutuvat suurust alfa x nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x läheneb x , kui lim(x läheneb o x ) alfa x= lõpmatus. Ka vohav suurus. 0 28. Tõestada, et lõpmata väikese suuruse korrutis tõkestatud suurusega on lõpmata väike suurus. Olgu α(x) lõpmata väike suurus piirprotsessi x⇢ x ja f(x) tõkestatud funktsioon suuruse x o mingis ümbruses 0 Uᵧ(x ), st ∃M>0:｜f(x)｜≤M (x……... 0 29
piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x->a-- kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P1 = (x; f(x)) punktile A1 = (a; b1) ja suvalises piirprotsessis x->a +, kus x ei võrdu a, läheneb funktsiooni graafku jooksev punkt P2 = (x; f(x)) punktile A2 = (a; b2) (joonis 2.5). Kui b1 ei võrdu b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x->a--, xei võrdu a. Piirprotsessi x->a erijuhtudel x->a-- ja x->a + läheneb f(x) erinevatele arvudele. 10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12
tähistatakse dy või df, dy=df= f'(x)x. Võttes y=x, saame dy=dx = x'x= x, dx argumendi hulgal (a - , a) ja kumer hulgal (a, a + ). diferentsiaal dy=f'(x)dx <->f'(x)= . Omadusi: *funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga *nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x->0 *f'(x)= *d(f+g) = df + dg 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised. *d(f+g) =df*g + f*dg Kui joone y=f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb *d() =
1 Kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis integraalsummas esinevad korrutised f (k )xk on selliste ristk¨ ulikute pindaladeks, mille alused on xk ja k~orgu- sed f (k ). Selliste ristk¨ ulikute pindalade summa, st integraalsumma sn on ligikaudu v~ordne niisuguse k~overtrapetsi pindalaga, mis alt on piiratud x- teljega, vasakult sirgega x = a, paremalt sirgega x = b ja u ¨lalt funktsiooni y = f (x) graafikuga. Kui vaadelda piirprotsessi 0, siis k~oikide osal~oikude pikkused hak- kavad kahanema ja selleks et osal~oigud kataksid kogu l~oigu [a; b], tuleb v~otta neid osal~oike j¨arjest rohkem. Ristk¨ulikute pindalade summa sn hakkab osal~oiku- de arvu kasvades t¨apsemalt iseloomustama k~overtrapetsi pindala. Seega, kui l~oigul [a; b] on f (x) 0, siis m¨a¨aratud integraal t¨ahendab geomeetriliselt k~overtrapetsi pindala. Definitsioon 2. Funktsioone, mis rahuldavad definitsioonis 1 esitatud
näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ). Siis kirjutatakse x a+ . Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x või lim x = . Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvuM korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-, -M), st rahuldavad võrratust x < -M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x - või lim x = -. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, .
Kõrgemat järku diferentsaalid. Definitsioon Avaldist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse või , Võttes , saame argumendi diferentsiaal Diferentsiaali omadusi · Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. · Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi · · · · Kõrgemat järku diferentsiaalid: Definitsioon Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni -järku diferentsiaalist Saab näidata, et 7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb). Definitsioon
Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga ; Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi Δx→0; f’(x)=dy/dx ; d(f+g)=df+dg ; Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): d(fg)=df*g+ f*dg ;d(f/g)=(df*g-f*dg)/g2 Kõrgemat järku diferentsiaalid Definitsioon
lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). 10. Tuletada joone y = f(x) puutuja võrrand punktis A=(a, f(a)). Kõigepealt märgime, et valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A(a, f(a)) kujul y − f(a) = p(x − a), kus p on s tõus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Lõikaja AP tõusunurk tähistatakse β-ga. Seega on lõikaja AP tõus ¯p = tan β. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et p¯ = tan β = (f(x) − f(a))/(x – a) . Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus ¯p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal saame puutuja tõusu f ( x )−f (a)
Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def
Def. Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y=f(x). Joone puutuja s võrrandi tuletamine. Puutuja s avaldub punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a):=p(x-a), kus p on tõus ja momendil veel tundmatu. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Joone lõikaja tõusunurk on . Seega on lõikaja tõus p=tan . Vaatleme nüüd piirprotsessi x->a. Kui x->a, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def
f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10. Tuletada valem tasandilise kujundi massi arvutamiseks aine ruumitiheduse kaudu Vaatleme tasandilist piirkonda D, mis on kaetud mingi ainega nii, et piirkonna iga pindalaühiku kohta tuleb teatud hulk seda ainet. Valime piirkonnas D suvalise osapiirkonna S. Olgu S mass mS ning pindala S. Suhet S= mS/S nimetatakse aine keskmiseks pindtiheduseks osapiirkonnas S. Võtame Si peal konkreetse punkti P. Vaatleme piirprotsessi, kus S kahaneb punktiks P. ( P ) = lim S - aine pindtihedus S 0 punktis P Jagame piirkonna D n osapiirkonnaks Si, kus i=1,2,...,n. Olgu Si pindala Si ja PiSi (P)(Pi), kui PSi mSi=(Pi)Si Piirkonna D ligikaudne mass n mn = ( Pi )Si i =1 Olgu di Si diameeter ja n=max{d1, d2,...,dn}, siis funktsiooni (P) kus Vi on hulga V tükeldamisel n osahulgaks V1, V2,..., Vn saadud
kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v~orratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirv¨a¨artus, siis ¨oeldakse, et suurus x l¨aheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse xa v~oi lim x = a . Piirv¨a¨ artuse u¨ldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- malt v~oi m~olemalt poolt) muutuja x l¨ahenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨aheneb arvule a ¨ ainult vasakult v~oi paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame u ¨ldisest piirv¨a¨ artuse definitsioonist, kui me seal esineva u ¨mbruse (a-, a+) kit- sendame kas vasakpoolseks v~oi parempoolseks u ¨mbruseks (a - , a] v~oi [a, a + ).
kuuluvad arvu a u ¨mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v~orratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirv¨a¨artus, siis ¨oeldakse, et suurus x l¨aheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse xa v~oi lim x = a . Piirv¨a¨artuse u¨ldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, pare- malt v~oi m~olemalt poolt) muutuja x l¨ahenemine arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x l¨aheneb arvule a ¨ ainult vasakult v~oi paremalt. Uhepoolsete piirprotsesside definitsioonid saame u ¨ldisest piirv¨a¨artuse definitsioonist, kui me seal esineva u ¨mbruse (a-, a+) kit- sendame kas vasakpoolseks v~oi parempoolseks u ¨mbruseks (a - , a] v~oi [a, a + ).
Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Meie eesm¨argiks on tuletada puutuja s v~orrand. K~oigepealt m¨argime, et valemi (3.9) p~ohjal avaldub puutuja s v~orrand punktis A = (a,f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) kus p on s t~ous. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. L~oikaja AP t~ous on ¯ p = tan. T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous ¯ p puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p = lim xa ¯ p = lim xa f(x) - f(a) /x a = f'(a) saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub
4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = p = = f ` (a) Valemitest y f (a) = p(x - a) ja p = limp = = f (a) Lõpp võetud vanast konspektist ja lim p õige kirjapilt jäi mulle arusaamatuks. Normaalsirge
𝑥 𝑘 + (𝑅𝑛 𝑓)(𝑥). *Diferentsiaali omadusi: Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga. 12)b) Kui n+1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a,x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga 𝑑𝑦 piirprotsessi ∆𝑥 → 0. ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 ; 𝑑(𝑓 + 𝑔) = 𝑑𝑓 + 𝑑𝑔 ; 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝑑𝑓 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑑𝑔 ; 𝑓 𝑑𝑓∙𝑔−𝑓∙𝑑𝑔 13).(Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul))
Kõigepealt märgime et valemi (3.2) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a; f(a)) kujul y - f(a) = p(x- a) ; (3.3) kus p on s tõus. Momendil on p veel tundmatu suurus. Avaldame suuruse p funktsiooni f tuletise kaudu. Selleks vaatleme joonist 3.3lk33. Joonisel on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p(kriipsuga) = tan. Joonisel olevalt täisnurkselt kolmnurgalt näeme et p(kriipsuga)= tan = (f(x)-f(a))/x-a. Vaatleme nüüd piirprotsessi xa. Kui xa siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p(kriipsuga) puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = lim(xa) p(kriips) = lim(xa) (f(x)-f(a))/x-a=f'(a)(3.4) Valemitest (3.3) ja (3.4) saamegi puutuja võrrandi y- f(a) = f'(a)(x - a) : (3.5) Valem (3.5) kehtib juhul kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud
muudu ja argumendi muudu suhtega =f()x : x = f ( ) x Meie eesmärk on aga kuidagi avaldada nüüd TULETIS. See pole aga midagi muud, kui funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile: lim '(x) = x 0 x = f ( ) lim lim f ( ) Aga kuna x , siis ka x 0 x = x0 Aga vaatame nüüd seda piirprotsessi x 0 teatud konkreetse pilguga... elame sellesse olukorda sisse: kui x läheneb nullile, siis läheneb argumendi väärtus väärtusele x, sest suurus asub lõigus [x , x+x], mis kahaneb x lähenemisel nullile aina rohkem ja rohkem. Seega siit saame uue järelduse: kui x 0 , siis samal ajal x , lim f ( ) lim f ( ) Seega siit järeldame omakorda, et x0 = x lim f ( ) Seega x = '(x) lim f ( )
mööda joont y=f(x). (JOONIS) Puutuja võrrand s avaldus punktis A=(a,f(a)) kujul y-f(a)=p(x-a), kus p on s tõus. Momendil on p(puutuja) veel tundmatu kaugus. Avaldame suuruse p(puutuja) funktsiooni f tuletise kaudu. (JOONISEL) on lõikaja AP tõusunurk tähistatud -ga. Seega on lõikaja AP tõus p(lõikaja)=tan. Täisnurkselt kolmnurgalt APQ näeme, et Vaatleme nüüd piirprotsessi xa. Kui xa, siis P läheneb punktile A mööda joont y=f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p(puutuja). Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal: Järeldub puutuja võrrand: Valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x=a. c
Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja x mistõttu . Funktsiooni argument on t ja sõltuv muutuja y mistõttu 22. · Joone puutuja ja selle võrrand Olgu tasandil xy teljestikus antud joon . Joone puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis
definitsiooni 3 nõuded täidetud. 4. Tähtsad piirväärtused sin x 1) lim x 0 . x sin x Olgu f(x) = , X = (- , 0) (0, ). x Siinjuures x on nurk radiaanides (radiaan kesknurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele) ;1 rad 57 ° 17. sin x Punkt x = 0 on funktsiooni y = määramispiirkonna X kuhjumispunkt, saame x vaadelda piirprotsessi x 0. Lähtume võrratusest sin x < x < tan x, iga x ( 0, ) korral, 2 millest x 1 1< < , sin x cos x ja (hindame pöördväärtusi): sin x
(6.17) Fy (x, f (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu. Funktsiooni z = f (x1 , . . . , xm ) osatuletis vektori s suunas n¨aitab selle funk- tsiooni "kasvu kiirust", kui argumendiga P = (x1 , . . . , xm ) liikuda vektori s suunas. Vaatleme piirprotsessi P A, mille k¨aigus punkt P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda vektori s suunalist sirget l. Selles protsessis defineeritud piirv¨a¨ artus nim. f (P ) - f (A) lim (6.18) P A |P A| f tuletiseks vektori s suunas punktis Suunatuletise valem. Tuletame valemi fs (A) jaoks. Selleks avaldame k~oigepealt
Saab võtta tarvitusele ka kõrgemat järku diferentse: 2x[k] = 2x[k +1]- x[k] = x[k +2]- 2x[k +1]+x[k]; 3x[k]= 2x[k+1]- 2x[k]=x[k+3]-3x[k+2]+3x[k+1]-x[k] Avaldisest nahtub, et korget jarku diferentse saab avaldada naaberdiskreetide kaudu avaldistena, mille koefitsendid vastavad binoomkoefitsentidele ning liikmete märgid vahelduvad. Tuletise mõiste definitsiooni kaudu saab leida tuletise ligikaudse seose diferentsidega Tingituna piirprotsessi võimatusest diferentsi korral võivad vead tuletise asendamisel osutuda küllalt suurteks. Üldjuhul saab anda võrrandid kujul Y(t)=CX(t)+DU(t) -> Y[k]=CX[k] + DU[k] 2.3 Diskreetne ülekandefunktsioon Leiame diskreetaja süsteemi väljundmuutuja z-kujutise, lähtudes diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Saame Y(Z) = Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k; Y(z)= Viimases avaldises on moodustunud h[nT] ja u[kT] z-kujutise avaldised
diskreetfunktsiooni diferentsi abil Δx[k] = x[k + l]- x[k] Diferents on eenduv naaberdiferentside vahe. Saab võtta tarvitusele ka kõrgemat järku diferentse: Δ2x[k] = Δ 2x[k +1]- Δ x[k] = x[k +2]- 2x[k +1]+x[k]; Δ3x[k]= Δ2x[k+1]- kaudu avaldistena, mille koefitsendid vastavad binoomkoefitsentidele ning liikmete märgid vahelduvad. Tuletise mõiste definitsiooni kaudu saab leida tuletise ligikaudse seose diferentsidega. Tingituna piirprotsessi võimatusest diferentsi korral võivad vead tuletise asendamisel osutuda küllalt suurteks. Üldjuhul saab anda võrrandid kujul Y(t)=CX(t)+DU(t) -> Y[k]=CX[k] + DU[k] Diskreetne ülekandefunktsioon- Leiame diskreetaja süsteemi väljundmuutuja z-kujutise, lähtudes diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Saame Y(Z) = Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k; Y(z)= Viimases avaldises on moodustunud h[nT] ja u[kT] z-kujutise avaldised
x0 x2 /2 0 x0 x2 /2 x0 x/2 siis x2 1 - cos x (x 0) . 2 ¨ Ulesanne 1. N¨ aidake, et tan x x (x 0) , ln(1 + x) x (x 0) , ex - 1 x (x 0) . M¨ arkus 2. Enamik suuruste ekvivalentsusseoseid on esitatud piirprotsessi x 0 korral. Juhul kui x0 = 0, on piirprotsessi x x0 korral otstarbekas kasutada muutujate vahetust y = x - x0 . N¨ aiteks sin(x - ) x - (x ), sest sin y y (y 0) , kusjuures y = x - . Lause 7. Kui l~opmata v¨aike suurus (x) on ekvivalentne suurusega 1 (x) piir- protsessis x x0 ja l~ opmata v¨
Saab võtta tarvitusele ka kõrgemat järku diferentse: Δ2x(k) = Δ 2x(k +1)- Δ x(k) = x(k +2)- 2x(k +1)+x(k) Δ3x(k)= Δ2x(k+1)-Δ2x(k)=x(k+3)-3x(k+2)+3x(k+1)-x(k). Avaldisest on näda, et kõrget järku diferentse saab avaldada naaberdiskreetide kaudu avaldistena, mille koefitsendid vastavad binoomkoefitsentidele ning liikmete märgid vahelduvad. Tuletise mõiste definitsiooni kaudu saab leida tuletise ligikaudse seose diferentsidega. Tingituna piirprotsessi võimatusest diferentsi korral võivad vead tuletise asendamisel osutuda küllalt suurteks. Üldjuhul saab anda võrrandid kujul Y(t)=CX(t)+DU(t) -> Y(k)=CX(k) + DU(k) Diskreetne ülekandefunktsioon: Leiame diskreetaja süsteemi väljundmuutuja z-kujutise, lähtudes diskreetse konvolutsioonisumma avaldisest. Valime uue muutuja n=m-k, seega m=n+k. Moodustusid h(nT)ja u(kT]) z-kujutise avaldised. Nüüd defineerime diskreetse mpulsskaja z-
selt peaks > 0 korral alates teatud jada liikmest kehtima tingimused |1 - 0| < ja | - 1 - 0| < , mis aga on v~oimatu juba n¨aiteks = 0, 5 puhul. J¨arelikult jadal (1.2) piirv¨a¨artust ei eksisteeri. 2 1.2.2 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Jada piirv¨a¨artuse korral saame r¨a¨akida ainult u¨hest piirprotsessist n . Funktsiooni f (x) piirv¨a¨artust v~oib defineerida suvalise piirprotsessi x a, sealhulgas ka piirprotsessi x ± korral. Funktsiooni piirv¨a¨artuse defineerimisel kasutame kaht (v¨aikest) positiiv- set suurust ja . Definitsioon 2.1. Reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui > 0 korral niisugune > 0, et kui |x - a| < , siis |f (x) - b| < . Teiste s~onadega, reaalarvu b nimetatakse funktsiooni f (x) piirv¨a¨artuseks piirprotsessis x a, kui funktsiooni f (x) v¨a¨artused on arvule b kuitahes
Piirväärtuse definitsiooni põhjal lim g f ( x ) = 0 . Järelikult g f on hääbuv selles protsessis. xa OMADUS 7 Kui antud protsessis leiduvad lõplikud piirväärtused lim f (x ) = A ja lim g ( x ) = B , siis selles protsessis leiduvad järgmised piirväärtused: a) lim( f (x ) + g ( x )) = A + B , b) lim( f ( x ) g ( x )) = A B f (x ) A c) lim = , kui B 0 . g (x ) B Tõestus: Tõestame piirprotsessi x a varinadi a). > 0 1 > 0 : f ( x ) < 0 < x - a < 1 2 2 2 > 0 2 > 0 : g ( x ) < 0 < x - a < 2 2 2 2 Valime = min ( 1 , 2 ) x U (a ) {a} A- < f (x ) < A + 2 2 x U (a ) {a} + B- < g (x ) < B + 2 2
¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 2/9 Diferentsiaal Diferentsiaali omadusi Lause ~ Funktsiooni diferentsiaal on vordeline argumendi muuduga. Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi x 0. dy f (x) = . dx Lause d(f + g) = df + dg; d(f · g) = df · g + f · dg; f df · g - f · dg d = . g g2 ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 3/9
R ja g : [c, d] → R on funktsiooni f : [a, b] → R pöördfunktsioon (selgitada!)z. Lause 3.19 kohaselt on g lõigus [c, d] pidev, seega pidev ka punktis y0 . 3.4 Elementaarfunktsioonid, nende pidevus Selles alapunktis on meie eesmärgiks defineerida põhilised elementaarfunktsioonid (v.a. sii- nus ja koosinus) ja veenduda nende pidevuses. Me lähtume ratsionaalse argumendiga ekspo- nentfunktsioonist, mis defineeritakse aritmeetiliste tehete abil, ning rakendades piirprotsessi, jätkame selle reaalarvulistele argumentidele. Logaritmfunktsioon määratakse kui eksponent- funktsiooni pöördfunktsioon, astmefunktsioon ja hüperboolsed funktsioonid saadakse ekspo- nentfunktsioonist vastavate liitfunktsioonide moodustamise teel. Trigonomeetriliste funkt- sioonide defineerimise viime täielikult läbi siis, kui oleme arvridade teooria välja arendanud. 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon Ratsionaalse argumendiga astmefunktsioon
ral fraktaalset lumehelvest, mille kohta saab lugeda juba järgmisest osast [lk 377]. Ja isegi kui füüsikud tegelevad peaaegu alati funktsioonidega, millel tuletis leidub – nagu näiteks juba nähtud ruutfunktsioon või siinusfunktsioon – on oluline küsida, millal üldse on tuletisest mõistlik rääkida. Seda järgnevalt arutamegi. Meenutame, et defineerisime funktsiooni tuletise mingil kohal piirprotsessi kaudu. Seega leidubki funktsiooni tuletis sellel kohal täpselt siis, kui sellel piirprotsessil tõepoolest leidub piirväärtus. Seda tingimust veidi lähemalt uurides selgub näiteks, et iga funktsioon, millel lei- dub mingis punktis tuletis, peaks olema tingimata sealsamas punktis ka pidev. See oli täpselt probleem, mida kohtasime mõni lehekülg tagasi rahvaarvu kirjeldavat
annaabi.ee 
