Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus II. Võrrandite samaväärsus ja põhiomadused 1. Võrrandiks nimetatakse võrdust, mis sisaldab tundmatut suurust ehk tundmatut. Millistel juhtudel on tegemist võrrandiga : a) x - 1 = 1 .................. d) 4 - 7 + 14 = 11 ......... g) 13x - 2y - 24 = 0 ......... b) 3x + 4 = 4 ............... e) 2x - 2x = 6 - 6 .......... h) 21 + 12 - 14 - 7 .......... c) 5x - 4 + 2 = 5x .......... f) 7x + 3 = 7y - 9 ........... i) 3x +4y - 7 - 13 ............. 2
Võrratused NÄIDE 1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool ...
võimalikkust antud tingimustel. Variatsiooni ulatus Variatsiooni ulatus on tunnuse suurima ja vähima väärtuse vahe Sulgude avamine Sulgude avamisel kasutatakse korrutamise jaotuvuse seadust. Miinus märk sulu ees muudab märgi sulu sees. Sarnaste liidetavate koondamine Sarnased liidetavad erinevad üksteisest kordaja poolest või ei erine üldse Sarnaste liidetavate liitmist nimetatakse koondamiseks. Ühe tundmatuga lineaarvõrrand ja lineaarvõrratus Võrrand on võrdlus mis sisaldab tundmatut Võrrandi lahendiks on kõik tundmatu väärtuse mille korral võrdus muutub tõeseks Kõik lahendid kokku moodustavad võrrandi lahendihulga Lahendihulga leidmist nimetatakse võrrandi lahendamiseks Kaht võrrandit mis sisaldavad samu tundmatuid nimetatakse sama väärseteks kui nende lahendi hulgad on võrdsed
- negatiivsete täisarvude hulk =+U- U{0} ratsionaalarvude hulk (harilikud murrud ehk perioodilised kümnendmurrud) irratsionaalarvude hulk (mitteperioodilised kümnendmurrud nt. 2; 3; ; e ) reaalarvude hulk = U Märgid "sisaldub" üks hulk sisaldub teises "kuulub" element kuulub hulka "või" "ja" "nii, et" nt. ={m/n m n } "ühisosa" ehk "ja" "ühend" ehk "või" "välja arvatud" Võrratuste lahendamine Lineaarvõrratus Näiteks: Graafiliselt: x+9>4x x+9-4x>0 x-4x>-9 -3x+9>0 -3x>-9 |:(-3) y= -3x+9 x<3 y>0 Vastus: x]-;3[ Ruutvõrratus Näiteks: 6+x-x2<0 y= 6+x-x2 y<0 Vastus: x]-;-2[]3; [ Kõrgema astme võrratus Näiteks: x5-x3-8x2+80 y= x5-x3-8x2+8 y0 Vastus: x]-;-1][1;2] Murdvõrratus Näiteks: x +1 0 x-2 x +1 y= x-2 y0 Vastus: x[-1;2[ Kokkuvõte ehk intervallmeetod Viin kõik võrratuse liikmed paremale poole;
Võrratusmärk ei muutu, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama positiivse arvuga. 5x > 15 5 : → ׀x > 3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemaid pooli korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse arvuga. –5x > 15 (5–) : → ׀x < –3 Võrratusmärk muutub vastupidiseks, kui vahetada võrratuse pooli. 2x + 3 < 6x → 6x > 2x + 3 Lineaarvõrratuse lahendamine Ühe tundmatuga lineaarvõrratus üldkujul on ax > b või ax < b. RUUTVÕRRAND JA VÕRRATUS Ruutvõrrand on teise astme algebraline võrrand. Ühe tundmatuga ruutvõrrand on teisendatav kujule kus a ≠ 0 Ruutvõrrandi lahendid on antud valemiga Ruutvõrrandi liikmed - ruutliige (tundmatu teise astme liige); bx - lineaarliige (tundmatu esimese astme liige); c - vabaliige (ei sisalda tundmatut).
Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused Lineaarvõrratus Ühe tundmatuga esimese astme ehk lineaarvõrratuseks nimetatakse võrratust kujul ax + b > 0 või ax + b < 0 või ax + b 0 või ax + b 0, kus a 0 ja b on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Lineaarvõrratuste lahendamine Lineaarvõrratuste lahendihulgad saame järgmiste teisendustega: 1. viime liikme b võrratuse paremale poolele; 2
Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K) Piirkond: ]2;[ Võrrand: x-2+x=2+x+1 -> x2=5 Seega võrrandi lahendid on -1/3 ja 5. 4. Võrratused ja võrratussüsteemid Lineaarvõrratus Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 3(x-1)+5>2x-6 -> 3x-3>4x-6 -> -x>-3|:(-1) -> x<3 Juhul, kui jagad võrratust negatiivse arvuga, muutub võrratuse märk! Ruutvõrratus Ruutvõrratust on kõige kergem lahendada intervallmeetodiga. Selleks tuleb esimesena võrdustada võrratus nulliga ning lahendada ruutvõrrand. x2-2x-3>0 -> x2-2x-3=0 -> x1 = 3 x2 = -1
Juurvõrrandid n a1 a 2 ... a k = n a1 n a 2 ... n a k a d g n a a h = aei +dhc +bfg - gec - fha -dbi n = ; kui b 0 b e b n b c f i np a mp = n a m 16. Ühe muutujaga lineaarvõrratus ax + b > 0 ( <, , ) ( a) n m = n am 17. Ühe muutujaga ruutvõrratus , kus a 0 m n a = mn a ax 2 + bx + c = 0 , kus a 0 m
2) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks; 3) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks; 4) võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk pole teada, sest siis võime saada esialgse võrratusega mittesamaväärse võrratuse. 2.10 Lineaarvõrratus Lineaarvõrratuseks ehk esimese astme võrratuseks nimetatakse võrratust, millele saab anda ühe kujudest ax < b , ax > b , ax b , ax b , kus a 0 . Kaht esimest nimetatakse rangeteks, kaht viimast aga mitterangeteks võrratusteks. b Kui ax < b ja a > 0 , siis x < . a b Kui ax < b ja a < 0 , siis x > . a
ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3
2) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama positiivse arvuga jääb võrratuse märk endiseks; 3) võrratuse poolte korrutamisel (jagamisel) ühe ja sama negatiivse arvuga muutub võrratuse märk vastupidiseks; 4) võrratuse pooli ei tohi korrutada ega jagada muutujat sisaldava avaldisega, mille märk pole teada, sest siis võime saada esialgse võrratusega mittesamaväärse võrratuse. 2.10 Lineaarvõrratus Lineaarvõrratuseks ehk esimese astme võrratuseks nimetatakse võrratust, millele saab anda ühe kujudest ax b , ax b , ax b , ax b , kus a 0 . Kaht esimest nimetatakse rangeteks, kaht viimast aga mitterangeteks võrratusteks. b Kui ax b ja a 0 , siis x . a b Kui ax b ja a 0 , siis x . a
...........................................17 Juurvõrrand.............................................................................................................................18 Absoluutväärtust sisaldav võrrand..........................................................................................18 Arvvõrratus, selle omadused.................................................................................................. 19 Ühe muutujaga lineaarvõrratus...............................................................................................19 Ühe muutujaga lineaarvõrratuse süsteem...............................................................................19 Ruutvõrratus........................................................................................................................... 20 Intervallide meetod...............................................................................................................
13 cos2 – 10 cos + 1 = 0, millest O1 r B 5+2 3 5–2 3 1 = arccos 13 ja 2 = arccos 13 © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 42 VÕRRATUSED Lineaarvõrratus on võrratus kujul ax > b või ax < b. 7 Võrratuse 3x > 7 lahendihulk on lõpmatu vahemik ; 3 Võrratuse –3x > 7 mõlema poole jagamisel arvuga (–3) muutub võrratuse märk 7 7 vastupidiseks, s.t. x < ning lahendihulk on ; .
annaabi.ee 
